मूर स्पेस (टोपोलॉजी)

गणित में, विशेष रूप से बिंदु-समुच्चय टोपोलॉजी का, एक मूर स्पेस में विकास योग्य स्थान होता है जो नियमित हौसडॉर्फ स्पेस होता है। अर्थात्, एक टोपोलॉजिकल स्पेस X एक मूर स्पेस(अंतरीक्ष) होता है, यदि निम्नलिखित स्थितियाँ उपस्थित होती हों:

• किसी भी दो अलग-अलग बिंदुओं को पड़ोस द्वारा अलग किया जा सकता है, किसी भी बंद समुच्चय और इसके पूरक (समुच्चय सिद्धांत) में किसी भी बिंदु को पड़ोस द्वारा अलग किया जा सकता है। (X एक नियमित हौसडॉर्फ स्थान होता है।)
• X के खुले आवरण का एक गणनीय समुच्चय संग्रह होता है, जैसे कि किसी भी बंद समुच्चय C और किसी भी बिंदु p के पूरक के लिए संग्रह में एक आवरण उपस्थित होता है इस प्रकार प्रत्येक पड़ोस आवरण में p का C से असम्बद्ध समुच्चय होता है। (X एक विकासशील स्थान होता है।)

मूर रिक्त स्थान सामान्यतः गणित में रुचिकर होते हैं क्योंकि उन्हें रुचिकर मेट्राइज़ेशन प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए लागू किया जाता है। 20वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में आर एल मूर द्वारा मूर स्पेस की अवधारणा तैयार की गई थी।

उदाहरण और गुण

1. प्रत्येक मेट्रिजेबल स्पेस, एक्स, एक मूर स्पेस होता है। यदि {A(n)x} 1/n त्रिज्या की सभी गेंदों द्वारा X (X में x द्वारा अनुक्रमित) का मुक्त आवरण होता है, तो n के रूप में ऐसे सभी खुले आवरणों का संग्रह धनात्मक पूर्णांकों पर भिन्न होता है, जो X के विकास के लिए होता है। चूंकि सभी मेट्रिज़ेबल रिक्त स्थान सामान्य होते हैं, इसलिए सभी मीट्रिक रिक्त स्थान मूर रिक्त स्थान होते हैं।
2. मूर स्पेस नियमित स्पेस की तरह होता हैं और सामान्य स्पेस से इस प्रकार से अलग होता हैं कि मूर स्पेस का प्रत्येक सबस्पेस टोपोलॉजी भी मूर स्पेस होती है।
3. एक इंजेक्टिव, निरंतर खुले मानचित्र के तहत मूर स्पेस की छवि हमेशा मूर स्पेस होती है। (एक इंजेक्शन के तहत नियमित स्थान की छवि, और निरंतर खुले मानचित्र हमेशा नियमित होते हैं।)
4. दोनों उदाहरण 2 और 3 सुझाव देते हैं कि मूर रिक्त स्थान नियमित स्थान के समान होता हैं।
5. न तो सोरगेनफ्रे रेखा और न ही सोरगेनफ्रे विमान मूर स्थान होते हैं क्योंकि वे सामान्य होते हैं और दूसरी गणना योग्य नहीं होते हैं।
6. मूर विमान (जिसे निमेत्स्की अंतरिक्ष के रूप में भी जाना जाता है) गैर-मेट्रिजेबल मूर अंतरिक्ष का एक उदाहरण होता है।
7. प्रत्येक मेटाकॉम्पैक्ट, वियोज्य स्थान, सामान्य मूर स्थान मेट्रिज़ेबल होते है। इस प्रमेय को ट्रेयलर प्रमेय के रूप में जाना जाता है।
8. हर स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान, स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ सामान्य मूर स्थान मेट्रिज़ेबल होता है। यह प्रमेय रीड और ज़ेनोर द्वारा सिद्ध किया गया था।
9. अगर $2^{\aleph _{0}}<2^{\aleph _{1}}$, तो प्रत्येक वियोज्य स्थान सामान्य स्थान मूर स्थान मेट्रिज़ेबल होता है। इस प्रमेय को जोन्स प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

सामान्य मूर स्पेस अनुमान

लंबे समय से, टोपोलॉजिस्ट तथाकथित सामान्य मूर स्पेस अनुमान को सिद्ध करने की कोशिश कर रहे थे: प्रत्येक सामान्य मूर स्पेस मेट्रिजेबल होते है। यह इस तथ्य से प्रेरित था कि वें सभी ज्ञात मूर रिक्त स्थान जो मेट्रिज़ेबल नहीं थे, वे भी सामान्य नहीं थे। यह एक अच्छा मेट्राइजेशन प्रमेय होता। पहले कुछ अच्छे आंशिक परिणाम मिले; अर्थात् गुण 7, 8 और 9 जैसा कि पिछले खंड में दिया गया था।

संपत्ति 9 के साथ, हम देखते हैं कि हम ट्रेयलर के प्रमेय से मेटाकॉम्पैक्टनेस को छोड़ सकते हैं, लेकिन एक समुच्चय-सैद्धांतिक धारणा की कीमत पर। इसका एक अन्य उदाहरण फ्लेस्नर की प्रमेय होती है जहाँ V=L होता है जिसका का अर्थ होता है कि स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट, सामान्य मूर रिक्त स्थान मेट्रिजेबल होता हैं।

दूसरी ओर, सातत्य परिकल्पना (CH) के तहत और मार्टिन के स्वयंसिद्ध के तहत भी CH, गैर-मेट्रिजेबल सामान्य मूर रिक्त स्थान के कई उदाहरण होते हैं। नयीकोस ने साबित किया कि, तथाकथित पीईएमए (उत्पाद उपाय विस्तार स्वयंसिद्ध) के तहत, जिसे एक बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है, सभी सामान्य मूर रिक्त स्थान मेट्रिज़ेबल होते हैं। अंत में, यह बाद में दिखाया गया कि जेडएफसी का कोई भी मॉडल जिसमें अनुमान लगाया गया था, की एक बड़े कार्डिनल वाले मॉडल के अस्तित्व का तात्पर्य होता है। इतने बड़े कार्डिनल अनिवार्य रूप से आवश्यक होते हैं।

जोनस (1937) ने छद्म सामान्य स्थान मूर स्पेस का उदाहरण दिया था जो मेट्रिज़ेबल नहीं होता है, इसलिए अनुमान को इस तरह से मजबूत नहीं किया जा सकता है। रॉबर्ट ली मूर ने स्वयं इस प्रमेय को सिद्ध किया कि एक संग्रहवार सामान्य मूर स्थान मेट्रिजेबल होता है, इसलिए सामान्यता को मजबूत करना स्थितियों को सुलझाने का एक और विधि होती है।

संदर्भ

• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Counterexamples in Topology, Dover Books, 1995. ISBN 0-486-68735-X
• Jones, F. B. (1937), "Concerning normal and completely normal spaces", Bulletin of the American Mathematical Society, 43 (10): 671–677, doi:10.1090/S0002-9904-1937-06622-5, MR 1563615.
• Nyikos, Peter J. (2001), "A history of the normal Moore space problem", Handbook of the History of General Topology, Hist. Topol., vol. 3, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, pp. 1179–1212, ISBN 9780792369707, MR 1900271.
• The original definition by R.L. Moore appears here:

MR0150722 (27 #709) Moore, R. L. Foundations of point set theory. Revised edition. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. XIII American Mathematical Society, Providence, R.I. 1962 xi+419 pp. (Reviewer: F. Burton Jones)

• Historical information can be found here:

MR0199840 (33 #7980) Jones, F. Burton "Metrization". American Mathematical Monthly 73 1966 571–576. (Reviewer: R. W. Bagley)

• Historical information can be found here:

MR0203661 (34 #3510) Bing, R. H. "Challenging conjectures". American Mathematical Monthly 74 1967 no. 1, part II, 56–64;

• Vickery's theorem may be found here:

MR0001909 (1,317f) Vickery, C. W. "Axioms for Moore spaces and metric spaces". Bulletin of the American Mathematical Society 46, (1940). 560–564

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