हाबिल समीकरण: Difference between revisions

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{{Short description|Equation for function that computes iterated values}}
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{{dablink|This article is about certain functional equations.  For ordinary differential equations which are cubic in the unknown function, see [[Abel equation of the first kind]].}}
{{dablink|यह लेख कुछ कार्यात्मक समीकरणों के बारे में है। सामान्य अंतर समीकरणों के लिए जो अज्ञात प्रणाली में घन हैं, [[पहली तरह का एबेल समीकरण]] देखें।}}


एबेल समीकरण, जिसका नाम [[नील्स हेनरिक एबेल]] के नाम पर रखा गया है, एक प्रकार का [[कार्यात्मक समीकरण]] है
एबेल समीकरण, जिसका नाम [[नील्स हेनरिक एबेल]] के नाम पर रखा गया है, एक प्रकार का [[कार्यात्मक समीकरण]] है
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या
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:<math>\alpha(f(x)) = \alpha(x)+1</math>.
:<math>\alpha(f(x)) = \alpha(x)+1</math>.
प्रपत्र समतुल्य हैं जब {{mvar|α}} उलटा कार्य है। {{mvar|h}} या {{mvar|α}} के iterated_function को नियंत्रित करें {{mvar|f}}.
प्रपत्र समतुल्य हैं जब {{mvar|α}} उलटा कार्य है। {{mvar|h}} या {{mvar|α}} के आवर्ती प्रणाली {{mvar|f}} को नियंत्रित करते है।


== समानता ==
== समानता ==
दूसरा समीकरण लिखा जा सकता है
दूसरा समीकरण लिखा जा सकता है
:<math>\alpha^{-1}(\alpha(f(x))) = \alpha^{-1}(\alpha(x)+1)\, .</math>
:<math>\alpha^{-1}(\alpha(f(x))) = \alpha^{-1}(\alpha(x)+1)\, .</math>
ले रहा {{math|''x'' {{=}} ''α''<sup>−1</sup>(''y'')}}, समीकरण लिखा जा सकता है
मान लीजिये {{math|''x'' {{=}} ''α''<sup>−1</sup>(''y'')}} है, निम्न समीकरण लिखा जा सकता है
::<math>f(\alpha^{-1}(y)) = \alpha^{-1}(y+1)\, .</math>
::<math>f(\alpha^{-1}(y)) = \alpha^{-1}(y+1)\, .</math>
एक ज्ञात कार्य के लिए {{math|''f''(''x'')}} , समस्या फलन के फलन समीकरण को हल करने की है {{math|''α''<sup>−1</sup> ≡ ''h''}}, संभवतः अतिरिक्त आवश्यकताओं को पूरा करता है, जैसे {{math|''α''<sup>−1</sup>(0)&nbsp;{{=}}&nbsp;1}}.
एक ज्ञात कार्य {{math|''f''(''x'')}} के लिए, समस्या {{math|''α''<sup>−1</sup> ≡ ''h''}} फलन के फलन समीकरण को हल करने की है, संभवतः अतिरिक्त आवश्यकताओं को पूरा करता है, जैसे {{math|''α''<sup>−1</sup>(0)&nbsp;{{=}}&nbsp;1}} है।


चरों का परिवर्तन {{math|''s''<sup>''α''(''x'')</sup> {{=}}  Ψ(''x'')}}, एक [[वास्तविक संख्या]] पैरामीटर के लिए {{mvar|s}}, हाबिल के समीकरण को प्रसिद्ध श्रोडर के समीकरण में लाता है, {{math|Ψ(''f''(''x'')) {{=}} ''s''&nbsp;Ψ(''x'')}} .
चरों का परिवर्तन {{math|''s''<sup>''α''(''x'')</sup> {{=}}  Ψ(''x'')}}, एक [[वास्तविक संख्या]] मापदण्ड {{mvar|s}} के लिए, हाबिल के समीकरण को प्रसिद्ध श्रोडर के समीकरण {{math|Ψ(''f''(''x'')) {{=}} ''s''&nbsp;Ψ(''x'')}} में लाता है।


आगे का बदलाव {{math|''F''(''x'') {{=}} exp(''s''<sup>''α''(''x'')</sup>)}} बॉचर के समीकरण में, {{math|''F''(''f''(''x'')) {{=}} ''F''(''x'')<sup>''s''</sup>}}.
आगे का बदलाव {{math|''F''(''x'') {{=}} exp(''s''<sup>''α''(''x'')</sup>)}} बॉचर के समीकरण {{math|''F''(''f''(''x'')) {{=}} ''F''(''x'')<sup>''s''</sup>}} में है।


एबेल समीकरण अनुवाद समीकरण का एक विशेष मामला है (और आसानी से सामान्य हो जाता है),<ref>[[János Aczél (mathematician)|Aczél, János]], (1966): ''Lectures on Functional Equations and Their Applications'', [[Academic Press]],  reprinted by Dover Publications,  {{ISBN|0486445232}} .</ref>
एबेल समीकरण अनुवाद समीकरण की एक विशेष स्तिथि है (और यह आसानी से सामान्य हो जाता है),<ref>[[János Aczél (mathematician)|Aczél, János]], (1966): ''Lectures on Functional Equations and Their Applications'', [[Academic Press]],  reprinted by Dover Publications,  {{ISBN|0486445232}} .</ref>
:<math>\omega( \omega(x,u),v)=\omega(x,u+v) ~,</math>
:<math>\omega( \omega(x,u),v)=\omega(x,u+v) ~,</math>
उदा., के लिए <math>\omega(x,1) = f(x)</math>,  
उदा. के लिए <math>\omega(x,1) = f(x)</math> है,  
:<math>\omega(x,u) = \alpha^{-1}(\alpha(x)+u)</math>. (अवलोकन करना {{math|''ω''(''x'',0) {{=}} ''x''}}.)
:<math>\omega(x,u) = \alpha^{-1}(\alpha(x)+u)</math>. ( {{math|''ω''(''x'',0) {{=}} ''x''}} का अवलोकन करें)


हाबिल समारोह {{math|''α''(''x'')}} आगे [[शिफ्ट ऑपरेटर]] (एक पैरामीटर लाइ समूह) के लिए विहित समन्वय प्रदान करता है।
एबल फलन {{math|''α''(''x'')}} आगे [[शिफ्ट ऑपरेटर|स्थानान्तरण संचालक]] (एक मापदण्ड लाइ समूह) के लिए विहित समन्वय प्रदान करता है।


{{see also|Iterated function#Abelian property and Iteration sequences}}
{{see also|पुनरावृत्त फलन#एबेलियन विशेषता और पुनरावर्तन अनुक्रम}}


== इतिहास ==
== इतिहास ==
प्रारंभ में, अधिक सामान्य रूप में समीकरण
प्रारंभ में, अधिक सामान्य रूप में समीकरण <ref name="abel">{{cite journal
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सुचित किया गया था। एकल चर के मामले में भी, समीकरण गैर-तुच्छ है, और विशेष विश्लेषण को स्वीकार करता है।<ref>Korkine, A (1882). "Sur un problème d'interpolation", ''Bull Sci Math & Astron''  '''6'''(1)  228—242.     
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एक रेखीय हस्तांतरण समारोह के मामले में, समाधान संक्षिप्त रूप से व्यक्त किया जा सकता है।<ref name="linear">{{cite journal
 
एक रेखीय हस्तांतरण फलन की स्तिथि में, समाधान संक्षिप्त रूप से व्यक्त किया जा सकता है। <ref name="linear">{{cite journal
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== विशेष मामले ==
 
== विशेष स्तिथि ==


[[टेट्रेशन]] का समीकरण हाबिल के समीकरण का एक विशेष मामला है {{math|''f'' {{=}} exp}}.
[[टेट्रेशन]] का समीकरण हाबिल के समीकरण का एक विशेष मामला है {{math|''f'' {{=}} exp}}.


एक पूर्णांक तर्क के मामले में, समीकरण एक पुनरावर्ती प्रक्रिया को कूटबद्ध करता है, उदाहरण के लिए,
एक पूर्णांक तर्क की स्तिथि में, समीकरण एक पुनरावर्ती प्रक्रिया को कूटबद्ध करता है, उदाहरण के लिए,
:<math>\alpha(f(f(x)))=\alpha(x)+2 ~,</math>
:<math>\alpha(f(f(x)))=\alpha(x)+2 ~,</math>
और इसी तरह,
और इसी तरह,
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== समाधान ==
== समाधान ==
एबेल समीकरण का कम से कम एक समाधान है <math>E</math> [[अगर और केवल अगर]] सभी के लिए <math>x \in E</math> और सभी <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>f^{n}(x) \neq x</math>, कहाँ <math> f^{n} = f \circ f \circ ... \circ f</math>, कार्य है {{mvar|f}} [[पुनरावृत्त समारोह]] {{mvar|n}} बार।<ref>[http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm5/fm5132.pdf  R. Tambs Lyche,Sur l'équation fonctionnelle d'Abel, University of Trondlyim, Norvege]</ref>
एबेल समीकरण का <math>E</math> पर कम से कम एक समाधान है यदि और केवल यदि सभी <math>x \in E</math> और सभी <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>f^{n}(x) \neq x</math> के लिए, जहां <math> f^{n} = f \circ f \circ ... \circ f</math>, फलन {{mvar|f}} को n बार दोहराया गया है। <ref>[http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm5/fm5132.pdf  R. Tambs Lyche,Sur l'équation fonctionnelle d'Abel, University of Trondlyim, Norvege]</ref>
विश्लेषणात्मक समाधान (Fatou निर्देशांक) को Fatou घटकों के वर्गीकरण के आसपास के क्षेत्रों में शक्ति श्रृंखला द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन के [[स्पर्शोन्मुख विस्तार]] द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।<ref>Dudko, Artem (2012). [http://www.math.toronto.edu/graduate/Dudko-thesis.pdf ''Dynamics of holomorphic maps: Resurgence of Fatou coordinates, and Poly-time computability of Julia sets''] Ph.D. Thesis</ref> विश्लेषणात्मक समाधान एक स्थिरांक तक अद्वितीय है।<ref>[https://www.birs.ca/workshops/2015/15w5082/files/resman.pdf Classifications of parabolic germs and fractal properties of orbits by Maja Resman, University of Zagreb, Croatia]</ref>
 
विश्लेषणात्मक समाधान (फटौ निर्देशांक) को फटौ घटकों के वर्गीकरण के आसपास के क्षेत्रों में शक्ति श्रृंखला द्वारा परिभाषित फलन के [[स्पर्शोन्मुख विस्तार]] द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। <ref>Dudko, Artem (2012). [http://www.math.toronto.edu/graduate/Dudko-thesis.pdf ''Dynamics of holomorphic maps: Resurgence of Fatou coordinates, and Poly-time computability of Julia sets''] Ph.D. Thesis</ref> विश्लेषणात्मक समाधान एक स्थिरांक तक अद्वितीय है।<ref>[https://www.birs.ca/workshops/2015/15w5082/files/resman.pdf Classifications of parabolic germs and fractal properties of orbits by Maja Resman, University of Zagreb, Croatia]</ref>
 




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** बॉचर का समीकरण
** बॉचर का समीकरण
* [[विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ]]
* [[विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ]]
* पुनरावृत्त समारोह
* पुनरावृत्त फलन
* शिफ्ट ऑपरेटर
* स्थानान्तरण संचालक
*[[सुपरफंक्शन]]
*[[सुपरफंक्शन|उत्कृष्ट फलन]]


==संदर्भ==
==संदर्भ==

Revision as of 18:31, 22 June 2023

यह लेख कुछ कार्यात्मक समीकरणों के बारे में है। सामान्य अंतर समीकरणों के लिए जो अज्ञात प्रणाली में घन हैं, पहली तरह का एबेल समीकरण देखें।

एबेल समीकरण, जिसका नाम नील्स हेनरिक एबेल के नाम पर रखा गया है, एक प्रकार का कार्यात्मक समीकरण है

या

.

प्रपत्र समतुल्य हैं जब α उलटा कार्य है। h या α के आवर्ती प्रणाली f को नियंत्रित करते है।

समानता

दूसरा समीकरण लिखा जा सकता है

मान लीजिये x = α−1(y) है, निम्न समीकरण लिखा जा सकता है

एक ज्ञात कार्य f(x) के लिए, समस्या α−1 ≡ h फलन के फलन समीकरण को हल करने की है, संभवतः अतिरिक्त आवश्यकताओं को पूरा करता है, जैसे α−1(0) = 1 है।

चरों का परिवर्तन sα(x) = Ψ(x), एक वास्तविक संख्या मापदण्ड s के लिए, हाबिल के समीकरण को प्रसिद्ध श्रोडर के समीकरण Ψ(f(x)) = s Ψ(x) में लाता है।

आगे का बदलाव F(x) = exp(sα(x)) बॉचर के समीकरण F(f(x)) = F(x)s में है।

एबेल समीकरण अनुवाद समीकरण की एक विशेष स्तिथि है (और यह आसानी से सामान्य हो जाता है),[1]

उदा. के लिए है,

. ( ω(x,0) = x का अवलोकन करें)

एबल फलन α(x) आगे स्थानान्तरण संचालक (एक मापदण्ड लाइ समूह) के लिए विहित समन्वय प्रदान करता है।

See also: पुनरावृत्त फलन § एबेलियन विशेषता और पुनरावर्तन अनुक्रम

इतिहास

प्रारंभ में, अधिक सामान्य रूप में समीकरण [2][3] प्रतिवेदित किया गया था। एकल चर के स्तिथि में भी, समीकरण गैर-तुच्छ है, और विशेष विश्लेषण को स्वीकार करता है। [4][5][6]

एक रेखीय हस्तांतरण फलन की स्तिथि में, समाधान संक्षिप्त रूप से व्यक्त किया जा सकता है। [7]


विशेष स्तिथि

टेट्रेशन का समीकरण हाबिल के समीकरण का एक विशेष मामला है f = exp.

एक पूर्णांक तर्क की स्तिथि में, समीकरण एक पुनरावर्ती प्रक्रिया को कूटबद्ध करता है, उदाहरण के लिए,

और इसी तरह,


समाधान

एबेल समीकरण का पर कम से कम एक समाधान है यदि और केवल यदि सभी और सभी , के लिए, जहां , फलन f को n बार दोहराया गया है। [8]

विश्लेषणात्मक समाधान (फटौ निर्देशांक) को फटौ घटकों के वर्गीकरण के आसपास के क्षेत्रों में शक्ति श्रृंखला द्वारा परिभाषित फलन के स्पर्शोन्मुख विस्तार द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। [9] विश्लेषणात्मक समाधान एक स्थिरांक तक अद्वितीय है।[10]


यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Aczél, János, (1966): Lectures on Functional Equations and Their Applications, Academic Press, reprinted by Dover Publications, ISBN 0486445232 .
  2. ↑ Abel, N.H. (1826). "Untersuchung der Functionen zweier unabhängig veränderlichen Größen x und y, wie f(x, y), welche die Eigenschaft haben, ..." Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1: 11–15.
  3. ↑ A. R. Schweitzer (1912). "Theorems on functional equations". Bull. Amer. Math. Soc. 19 (2): 51–106. doi:10.1090/S0002-9904-1912-02281-4.
  4. ↑ Korkine, A (1882). "Sur un problème d'interpolation", Bull Sci Math & Astron 6(1) 228—242. online
  5. ↑ G. Belitskii; Yu. Lubish (1999). "The real-analytic solutions of the Abel functional equations" (PDF). Studia Mathematica. 134 (2): 135–141.
  6. ↑ Jitka Laitochová (2007). "Group iteration for Abel's functional equation". Nonlinear Analysis: Hybrid Systems. 1 (1): 95–102. doi:10.1016/j.nahs.2006.04.002.
  7. ↑ G. Belitskii; Yu. Lubish (1998). "The Abel equation and total solvability of linear functional equations" (PDF). Studia Mathematica. 127: 81–89.
  8. ↑ R. Tambs Lyche,Sur l'équation fonctionnelle d'Abel, University of Trondlyim, Norvege
  9. ↑ Dudko, Artem (2012). Dynamics of holomorphic maps: Resurgence of Fatou coordinates, and Poly-time computability of Julia sets Ph.D. Thesis
  10. ↑ Classifications of parabolic germs and fractal properties of orbits by Maja Resman, University of Zagreb, Croatia
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