लघुगणकीय रूप से उत्तल कार्य: Difference between revisions

Revision as of 23:09, 22 June 2023

गणित में, एक फलन (गणित) f 'लघुगणकीय रूप से उत्तल' या 'अतिउत्तल' है^[1] यदि ${\log }\circ f$ , f के साथ लघुगणक की संघटन, अपने आप में एक उत्तल फलन है।

परिभाषा

मान लीजिए कि $X$ एक वास्तविक संख्या सदिश समष्टि का उत्तल उपसमुच्चय है, और मान लीजिए कि $f : X \to R$ को गैर-ऋणात्मक मान लेने वाला फलन होने दें। तो f है:

लघुगणकीय रूप से उत्तल यदि ${\log }\circ f$ उत्तल है, और
सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल यदि ${\log }\circ f$ पूरी तरह उत्तल है।

यहाँ हम व्याख्या करते हैं $\log 0$ जैसा $-\infty$ .

स्पष्ट रूप से, $f$ लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि, सभी $x 1, x 2 \in X$ और सभी $t \in [0, 1]$ के लिए, निम्नलिखित दो समतुल्य शर्तें हैं:

{\begin{aligned}\log f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq t\log f(x_{1})+(1-t)\log f(x_{2}),\\f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq f(x_{1})^{t}f(x_{2})^{1-t}.\end{aligned}}

इसी प्रकार, $f$ सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि उपरोक्त दो अभिव्यक्तियों में, सभी t ∈ सख्त असमानता होती है $(0, 1)$ .

उपरोक्त परिभाषा $f$ को शून्य होने की अनुमति देती है, लेकिन यदि $f$ लघुगणकीय रूप से उत्तल है और $X$ में कहीं भी गायब हो जाता है तो यह $X$ के इंटीरियर में हर जगह गायब हो जाता है।

समतुल्य शर्तें

यदि $f$ एक अंतराल $I \subseteq R$ पर परिभाषित एक भिन्न फलन है , तो $f$ लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि $I$ में सभी के लिए है $x$ और $y$ के लिए निम्नलिखित स्थिति है:

\log f(x)\geq \log f(y)+{\frac {f'(y)}{f(y)}}(x-y).

यह इस शर्त के बराबर है कि, जब भी $x$ और $y$ $I$ और $x > y$ में होते हैं,

\left({\frac {f(x)}{f(y)}}\right)^{\frac {1}{x-y}}\geq \exp \left({\frac {f'(y)}{f(y)}}\right).

इसके अतिरिक्त, $f$ सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि और केवल तभी जब ये असमानताएं हमेशा सख्त होती हैं।

यदि $f$ दो बार अलग-अलग है, तो यह लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि और केवल तभी, यदि, $I$ में सभी $x$ के लिए,

f''(x)f(x)\geq f'(x)^{2}.

यदि असमानता हमेशा सख्त है, तो $f$ सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है। यद्यपि, इसका विलोम गलत है: यह संभव है $f$ सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है और यह कि, कुछ $x$ के लिए,अपने पास $f''(x)f(x)=f'(x)^{2}$ . उदाहरण के लिए, यदि $f(x)=\exp(x^{4})$ , तब $f$ सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है, लेकिन $f''(0)f(0)=0=f'(0)^{2}$ .

आगे भी, $f\colon I\to (0,\infty )$ लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि और केवल यदि $e^{\alpha x}f(x)$ सभी के लिए उत्तल है $\alpha \in \mathbb {R}$ .^[2]^[3]

पर्याप्त शर्तें

यदि $f_{1},\ldots ,f_{n}$ लघुगणकीय रूप से उत्तल हैं, और $w_{1},\ldots ,w_{n}$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तब $f_{1}^{w_{1}}\cdots f_{n}^{w_{n}}$ लघुगणकीय रूप से उत्तल है।

यदि $\{f_{i}\}_{i\in I}$ लघुगणकीय रूप से उत्तल कार्यों का कोई परिवार है, तब $g=\sup _{i\in I}f_{i}$ लघुगणकीय रूप से उत्तल है।

यदि $f\colon X\to I\subseteq \mathbf {R}$ उत्तल है और $g\colon I\to \mathbf {R} _{\geq 0}$ लघुगणकीय रूप से उत्तल और गैर-घटता है, तब $g\circ f$ लघुगणकीय रूप से उत्तल है।

गुण

लघुगणकीय रूप से उत्तल फलन f एक उत्तल फलन है क्योंकि यह बढ़ते उत्तल फलन का मिश्रण है $\exp$ और फलन $\log \circ f$ , जो परिभाषा के अनुसार उत्तल है। यद्यपि, लघुगणकीय रूप से उत्तल होना उत्तल होने की तुलना में सख्ती से प्रबल संपत्ति है। उदाहरण के लिए, वर्गाकार फलन $f(x)=x^{2}$ उत्तल है, लेकिन इसका लघुगणक है $\log f(x)=2\log |x|$ नहीं है। इसलिए वर्गाकार फलन लघुगणकीय रूप से उत्तल नहीं है।

उदाहरण

$f(x)=\exp(|x|^{p})$ लघुगणकीय रूप से उत्तल है जब $p\geq 1$ और सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल कब उत्तल होता है $p>1$ .
$f(x)={\frac {1}{x^{p}}}$ पर कड़ाई से लघुगणकीय रूप से उत्तल है $(0,\infty )$ सभी के लिए $p>0.$
सकारात्मक वास्तविक संख्याओं तक सीमित होने पर यूलर का गामा फलन सख्ती से लघुगणकीय उत्तल होता है। वास्तव में, बोह्र-मोलेरुप प्रमेय द्वारा, इस संपत्ति का उपयोग वास्तविक तर्कों के लिए तथ्यात्मक फलन के संभावित विस्तार के बीच यूलर के गामा समारोह को चिह्नित करने के लिए किया जा सकता है।

यह भी देखें

लघुगणकीय रूप से अवतल कार्य

संदर्भ

John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-90328-3.
"Convexity, logarithmic", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Niculescu, Constantin; Persson, Lars-Erik (2006), Convex Functions and their Applications - A Contemporary Approach (in English) (1st ed.), Springer, doi:10.1007/0-387-31077-0, ISBN 978-0-387-24300-9, ISSN 1613-5237.

Montel, Paul (1928), "Sur les fonctions convexes et les fonctions sousharmoniques", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (in French), 7: 29–60{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link).

This article incorporates material from logarithmically convex function on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.

[1] Kingman, J.F.C. 1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.

[2] Montel 1928.

[3] NiculescuPersson 2006, p. 70.

[1]

[2]

[3]

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 मान लीजिए कि {{math|''X''}}  एक [[वास्तविक संख्या]] सदिश समष्टि का [[उत्तल सेट|उत्तल उपसमुच्चय]] है, और मान लीजिए कि  {{math|''f'' : ''X'' → '''R'''}} को गैर-ऋणात्मक मान लेने वाला फलन होने दें। तो f है:
 * लघुगणकीय रूप से उत्तल यदि <math>{\log} \circ f</math> उत्तल है, और
-* सख्ती से लॉगरिदमिक रूप से उत्तल यदि <math>{\log} \circ f</math>  पूरी तरह उत्तल है.।
+* सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल यदि <math>{\log} \circ f</math>  पूरी तरह उत्तल है।
 यहाँ हम व्याख्या करते हैं <math>\log 0</math> जैसा <math>-\infty</math>.
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 f(tx_1 + (1 - t)x_2) &\le f(x_1)^tf(x_2)^{1-t}.
 \end{align}</math>
-इसी प्रकार, {{math|''f''}} सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि केवल यदि, उपरोक्त दो अभिव्यक्तियों में, सभी t ∈ सख्त असमानता होती है {{math| (0, 1)}}.
+इसी प्रकार, {{math|''f''}}  सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि उपरोक्त दो अभिव्यक्तियों में, सभी t ∈ सख्त असमानता होती है{{math| (0, 1)}}.
-उपरोक्त परिभाषा  {{math|''f''}} को शून्य होना अनुमति देती है, लेकिन यदि {{math|''f''}}  लघुगणकीय रूप से उत्तल है और {{math|''X''}} में कहीं भी गायब हो जाता है तो यह {{math|''X''}}  के इंटीरियर में हर जगह गायब हो जाता है।
+उपरोक्त परिभाषा  {{math|''f''}}  को शून्य होने की अनुमति देती है, लेकिन यदि {{math|''f''}}  लघुगणकीय रूप से उत्तल है और {{math|''X''}}  में कहीं भी गायब हो जाता है तो यह {{math|''X''}}  के इंटीरियर में हर जगह गायब हो जाता है।
-=== <s>समतुल्य</s> शर्तें ===
+=== समतुल्य शर्तें ===
-यदि {{math|''f''}} अंतराल पर परिभाषित एक अवकलनीय फलन है {{math|''I'' ⊆ '''R'''}}, तब {{math|''f''}} लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि और केवल यदि निम्न स्थिति सभी के लिए है {{math|''x''}} और {{math|''y''}} में {{math|''I''}}:
+यदि {{math|''f''}}  एक अंतराल {{math|''I'' ⊆ '''R'''}} पर परिभाषित एक भिन्न फलन है , तो {{math|''f''}}  लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि {{math|''I''}} में सभी के लिए है {{math|''x''}} और {{math|''y''}} के लिए निम्नलिखित स्थिति है:
 :<math>\log f(x) \ge \log f(y) + \frac{f'(y)}{f(y)}(x - y).</math>
-यह इस शर्त के बराबर है कि, जब भी {{math|''x''}} और {{math|''y''}} में हैं {{math|''I''}} और {{math|''x'' > ''y''}},
+यह इस शर्त के बराबर है कि, जब भी {{math|''x''}} और {{math|''y''}} {{math|''I''}} और {{math|''x'' > ''y''}} में होते हैं,
 :<math>\left(\frac{f(x)}{f(y)}\right)^{\frac{1}{x - y}} \ge \exp\left(\frac{f'(y)}{f(y)}\right).</math>
-इसके अतिरिक्त, {{math|''f''}} सख्ती से लॉगरिदमिक रूप से उत्तल है यदि और केवल यदि ये असमानताएं हमेशा सख्त होती हैं।
+इसके अतिरिक्त, {{math|''f''}}  सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि और केवल तभी जब ये असमानताएं हमेशा सख्त होती हैं।
-यदि {{math|''f''}} दो बार अलग-अलग है, तो यह लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि और केवल यदि, सभी के लिए {{math|''x''}} में {{math|''I''}},
+यदि {{math|''f''}}  दो बार अलग-अलग है, तो यह लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि और केवल तभी, यदि, {{math|''I''}} में सभी {{math|''x''}} के लिए,
 :<math>f''(x)f(x) \ge f'(x)^2.</math>
-यदि असमानता हमेशा सख्त है, तो {{math|''f''}} सख्ती से लॉगरिदमिक रूप से उत्तल है। हालाँकि, इसका विलोम असत्य है: यह संभव है {{math|''f''}} सख्ती से लॉगरिदमिक रूप से उत्तल है और वह, कुछ के लिए {{math|''x''}}, अपने पास <math>f''(x)f(x) = f'(x)^2</math>. उदाहरण के लिए, यदि <math>f(x) = \exp(x^4)</math>, तब {{math|''f''}} सख्ती से लॉगरिदमिक रूप से उत्तल है, लेकिन <math>f''(0)f(0) = 0 = f'(0)^2</math>.
+यदि असमानता हमेशा सख्त है, तो {{math|''f''}}  सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है। यद्यपि, इसका विलोम गलत है: यह संभव है {{math|''f''}}  सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है और यह कि, कुछ {{math|''x''}} के लिए,अपने पास <math>f''(x)f(x) = f'(x)^2</math>. उदाहरण के लिए, यदि <math>f(x) = \exp(x^4)</math>, तब {{math|''f''}}  सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है, लेकिन <math>f''(0)f(0) = 0 = f'(0)^2</math>.
-आगे, <math>f\colon I \to (0, \infty)</math> लॉगरिदमिक रूप से उत्तल है यदि और केवल यदि <math>e^{\alpha x}f(x)</math> सभी के लिए उत्तल है <math>\alpha\in\mathbb R</math>.<ref>{{harvnb|Montel|1928}}.</ref><ref>{{harvnb|NiculescuPersson|2006|p=70}}.</ref>
+आगे भी, <math>f\colon I \to (0, \infty)</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि और केवल यदि <math>e^{\alpha x}f(x)</math> सभी के लिए उत्तल है <math>\alpha\in\mathbb R</math>.<ref>{{harvnb|Montel|1928}}.</ref><ref>{{harvnb|NiculescuPersson|2006|p=70}}.</ref>
 == पर्याप्त शर्तें ==
-यदि <math>f_1, \ldots, f_n</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल हैं, और यदि <math>w_1, \ldots, w_n</math> गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तब <math>f_1^{w_1} \cdots f_n^{w_n}</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल है।
+यदि <math>f_1, \ldots, f_n</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल हैं, और  <math>w_1, \ldots, w_n</math> गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तब <math>f_1^{w_1} \cdots f_n^{w_n}</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल है।
 यदि <math>\{f_i\}_{i \in I}</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल कार्यों का कोई परिवार है, तब <math>g = \sup_{i \in I} f_i</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल है।
-यदि <math>f \colon X \to I \subseteq \mathbf{R}</math> उत्तल है और <math>g \colon I \to \mathbf{R}_{\ge 0}</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल और गैर-घटता है, तब <math>g \circ f</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल है।
+यदि <math>f \colon X \to I \subseteq \mathbf{R}</math>  उत्तल है और <math>g \colon I \to \mathbf{R}_{\ge 0}</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल और गैर-घटता है, तब <math>g \circ f</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल है।
 == गुण ==
-लघुगणकीय रूप से उत्तल फलन f एक उत्तल फलन है क्योंकि यह वर्धमान फलन उत्तल फलन का फलन संयोजन है <math>\exp</math> और समारोह <math>\log\circ f</math>, जो परिभाषा के अनुसार उत्तल है। हालांकि, लघुगणकीय रूप से उत्तल होना उत्तल होने की तुलना में सख्ती से मजबूत संपत्ति है। उदाहरण के लिए, स्क्वायरिंग फ़ंक्शन <math>f(x) = x^2</math> उत्तल है, लेकिन इसका लघुगणक है <math>\log f(x) = 2\log |x|</math> क्या नहीं है। इसलिए वर्गाकार फलन लघुगणकीय रूप से उत्तल नहीं है।
+लघुगणकीय रूप से उत्तल फलन f एक उत्तल फलन है क्योंकि यह बढ़ते उत्तल फलन का मिश्रण है <math>\exp</math> और  फलन <math>\log\circ f</math>, जो परिभाषा के अनुसार उत्तल है। यद्यपि, लघुगणकीय रूप से उत्तल होना उत्तल होने की तुलना में सख्ती से प्रबल संपत्ति है। उदाहरण के लिए, वर्गाकार फलन <math>f(x) = x^2</math> उत्तल है, लेकिन इसका लघुगणक है <math>\log f(x) = 2\log |x|</math> नहीं है। इसलिए वर्गाकार फलन लघुगणकीय रूप से उत्तल नहीं है।
 == उदाहरण ==
-* <math>f(x) = \exp(|x|^p)</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल है जब <math>p \ge 1</math> और सख्ती से लॉगरिदमिक रूप से उत्तल जब <math>p > 1</math>.
+* <math>f(x) = \exp(|x|^p)</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल है जब <math>p \ge 1</math> और सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल कब उत्तल होता है  <math>p > 1</math>.
-* <math>f(x) = \frac{1}{x^p}</math> कड़ाई से लघुगणकीय रूप से उत्तल है <math>(0,\infty)</math> सभी के लिए <math>p>0.</math>
+* <math>f(x) = \frac{1}{x^p}</math> पर कड़ाई से लघुगणकीय रूप से उत्तल है <math>(0,\infty)</math> सभी के लिए <math>p>0.</math>
-* धनात्मक वास्तविक संख्याओं तक सीमित होने पर यूलर का गामा फलन कड़ाई से लघुगणकीय रूप से उत्तल होता है। वास्तव में, बोह्र-मोलेरुप प्रमेय द्वारा, इस संपत्ति का उपयोग यूलर के [[गामा समारोह]] को वास्तविक तर्कों के [[ कारख़ाने का ]] फ़ंक्शन के संभावित विस्तार के बीच करने के लिए किया जा सकता है।
+* सकारात्मक वास्तविक संख्याओं तक सीमित होने पर यूलर का गामा फलन सख्ती से लघुगणकीय उत्तल होता है। वास्तव में, बोह्र-मोलेरुप प्रमेय द्वारा, इस संपत्ति का उपयोग वास्तविक तर्कों के लिए[[ कारख़ाने का | तथ्यात्मक]] फलन के संभावित विस्तार के बीच यूलर के [[गामा समारोह]] को चिह्नित करने के लिए किया जा सकता है।
 == यह भी देखें ==

v t e Convex analysis and variational analysis
Basic concepts	Convex combination Convex function Convex set
Topics (list)	Choquet theory Convex geometry Convex metric space Convex optimization Duality Lagrange multiplier Legendre transformation Locally convex topological vector space Simplex
Maps	Convex conjugate Concave (Closed K- Logarithmically Proper Pseudo- Quasi-) Convex function Invex function Legendre transformation Semi-continuity Subderivative
Main results (list)	Carathéodory's theorem Ekeland's variational principle Fenchel–Moreau theorem Fenchel-Young inequality Jensen's inequality Hermite–Hadamard inequality Krein–Milman theorem Mazur's lemma Shapley–Folkman lemma Robinson-Ursescu Simons Ursescu
Sets	Convex hull (Pseudo-) Convex set Effective domain Epigraph Hypograph John ellipsoid Lens Radial set/Algebraic interior Zonotope
Series	Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx))
Duality	Dual system Duality gap Strong duality Weak duality

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