द्विघात भिन्नता

गणित में, ब्राउनियन गति और अन्य मार्टिंगेल्स जैसी स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के विश्लेषण में द्विघात भिन्नता का उपयोग किया जाता है। द्विघात भिन्नता किसी प्रक्रिया में केवल एक प्रकार की भिन्नता है।

परिभाषा

मान लीजिए कि $X_{t}$ एक वास्तविक-मूल्यवान स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जिसे संभाव्यता स्थान $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ पर परिभाषित किया गया है और समय सूचकांक $t$ बिना ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं से अधिक है। इसकी द्विघात भिन्नता वह प्रक्रिया है, जिसे $[X]_{t}$ के रूप में लिखा जाता है, जिसे परिभाषित किया गया है

$[X]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}$

जहां $P$ अंतराल के विभाजन से अधिक होता है $[0,t]$और विभाजन $P$ का मानदंड जाल है। यह सीमा, यदि यह उपस्थित है, तो प्रायिकता में अभिसरण का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। ध्यान दें कि एक प्रक्रिया यहां दी गई परिभाषा के अर्थ में सीमित द्विघात भिन्नता की हो सकती है और इसके पथ समग्र विभाजनों के योग के सर्वोच्च लेने के चिरसम्मत अर्थ में प्रत्येक $t>0$ के लिए लगभग निश्चित रूप से अनंत 1-भिन्नता के हो सकते हैं; यह, विशेष रूप से, ब्राउनियन गति के लिए स्थिति है।

अधिक सामान्यतः, दो प्रक्रियाओं $X$ और $Y$ का सहपरिवर्तन (या अंतर-भिन्नता) होता है।

$[X,Y]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \to 0}\sum _{k=1}^{n}\left(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}\right)\left(Y_{t_{k}}-Y_{t_{k-1}}\right).$

सहसंबंध ध्रुवीकरण पहचान द्वारा द्विघात भिन्नता के संदर्भ में लिखा जा सकता है:

$[X,Y]_{t}={\tfrac {1}{2}}([X+Y]_{t}-[X]_{t}-[Y]_{t}).$

संकेतन: द्विघात भिन्नता को $\langle X\rangle _{t}$या $\langle X,X\rangle _{t}$ के रूप में भी अंकित किया जाता है।

परिमित भिन्नता प्रक्रियाएं

कहा जाता है कि एक प्रक्रिया $X$ में परिमित भिन्नता होती है यदि इसमें प्रत्येक परिमित समय अंतराल (प्रायिकता 1 के साथ) पर परिबद्ध भिन्नता होती है। इस तरह की प्रक्रियाएं बहुत आम हैं, विशेष रूप से, सभी निरंतर भिन्न-भिन्न फंक्शन सहित हैं। सभी निरंतर परिमित भिन्नता प्रक्रियाओं के लिए द्विघात भिन्नता उपस्थित है, और शून्य है।

इस कथन को गैर-निरंतर प्रक्रियाओं के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है. किसी भी कैडलग परिमित भिन्नता प्रक्रिया $X$ में $X$ के जंप के वर्गों के योग के बराबर द्विघात भिन्नता है। इसे और अधिक सटीक रूप से बताने के लिए, $t$ के संबंध में $X_{t}$की बाईं सीमा को $X_{t-}$ द्वारा दर्शाया गया है, और समय $t$ पर $X$ की जंप को $\Delta X_{t}=X_{t}-X_{t-}$ के रूप में लिखा जा सकता है. फिर, द्विघात भिन्नता द्वारा दिया जाता है।

$[X]_{t}=\sum _{0<s\leq t}(\Delta X_{s})^{2}.$

प्रमाण है कि निरंतर परिमित भिन्नता प्रक्रियाओं में शून्य द्विघात भिन्नता निम्नलिखित असमानता से होती है। यहाँ, $P$ अंतराल का एक विभाजन है $[0,t]$, और $V_{t}(X)$ की भिन्नता है $X$ ऊपर $[0,t]$.

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}&\leq \max _{k\leq n}|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|\sum _{k=1}^{n}|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|\\&\leq \max _{|u-v|\leq \Vert P\Vert }|X_{u}-X_{v}|V_{t}(X).\end{aligned}}$

की निरंतरता से $X$, यह इस रूप में सीमा में गायब हो जाता है $\Vert P\Vert$ शून्य हो जाता है।

इसकी प्रक्रिया

एक मानक वीनर प्रक्रिया का द्विघात परिवर्तन $B$ मौजूद है, और इसके द्वारा दिया गया है $[B]_{t}=t$, हालांकि परिभाषा में सीमा का मतलब है $L^{2}$ भावना और रास्ते में नहीं। यह आईटीओ प्रक्रियाओं के लिए सामान्यीकरण करता है, जिसे परिभाषा के अनुसार, आईटीओ इंटीग्रल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

${\begin{aligned}X_{t}&=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,d[B]_{s}\\&=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds,\end{aligned}}$

कहाँ $B$ ब्राउनियन गति है। ऐसी किसी भी प्रक्रिया में द्वारा दिया गया द्विघात भिन्नता है

$[X]_{t}=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\,ds.$

सेमीमार्टिंगलेस

सभी s ्स के द्विघात रूपांतरों और सहसंयोजकों को अस्तित्व में दिखाया जा सकता है। वे स्टोकेस्टिक कलन के सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण हिस्सा बनाते हैं, जो इटो के लेम्मा में दिखाई देता है, जो कि इटो इंटीग्रल के लिए चेन नियम का सामान्यीकरण है। भागों के सूत्र द्वारा एकीकरण में द्विघात सहसंयोजक भी प्रकट होता है

$X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t},$

जिसका उपयोग गणना करने के लिए किया जा सकता है $[X,Y]$.

वैकल्पिक रूप से इसे स्टोकास्टिक अंतर समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है:

$\,d(X_{t}Y_{t})=X_{t-}\,dY_{t}+Y_{t-}\,dX_{t}+\,dX_{t}\,dY_{t},$

कहाँ $\,dX_{t}\,dY_{t}=\,d[X,Y]_{t}.$

मार्टिंगेल्स

सभी कैडलैग मार्टिंगेल्स और स्थानीय मार्टिंगेल्स में अच्छी तरह से परिभाषित द्विघात भिन्नता है, जो इस तथ्य से अनुसरण करती है कि ऐसी प्रक्रियाएं सेमीमार्टिंगेल्स के उदाहरण हैं। यह दिखाया जा सकता है कि द्विघात भिन्नता $[M]$ एक सामान्य स्थानीय वर्ग पूर्णांक मार्टिंगेल का $M$ छलांग के साथ, शून्य से शुरू होने वाली अद्वितीय सही-निरंतर और बढ़ती हुई प्रक्रिया है $\Delta [M]=\Delta M^{2}$ और ऐसा है $M^{2}-[M]$ एक स्थानीय मार्टिंगेल है। के होने का प्रमाण है $M$ (स्टोचैस्टिक कैलकुलस का उपयोग किए बिना) करंदीकर-राव (2014) में दिया गया है।

चौकोर पूर्णांक मार्टिंगेल्स के लिए एक उपयोगी परिणाम इटो आइसोमेट्री है, जिसका उपयोग इटो इंटीग्रल्स के विचरण की गणना के लिए किया जा सकता है,

$\operatorname {E} \left(\left(\int _{0}^{t}H\,dM\right)^{2}\right)=\operatorname {E} \left(\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right).$

यह परिणाम जब भी रहता है $M$ एक कैडलैग स्क्वायर इंटीग्रेबल मार्टिंगेल है और $H$ एक बंधी हुई पूर्वानुमेय प्रक्रिया है, और अक्सर इसका उपयोग इटो इंटीग्रल के निर्माण में किया जाता है।

एक अन्य महत्वपूर्ण परिणाम बर्कहोल्डर-डेविस-गुंडी असमानता है। यह द्विघात भिन्नता के संदर्भ में अधिकतम मार्टिंगेल के लिए सीमा देता है। एक स्थानीय मार्टिंगेल के लिए $M$ शून्य से प्रारंभ करके, अधिकतम द्वारा निरूपित किया जाता है $M_{t}*=\operatorname {sup} _{s\in [0,t]}|M_{s}|$, और कोई वास्तविक संख्या $p\geq 1$, असमानता है

$c_{p}\operatorname {E} ([M]_{t}^{p/2})\leq \operatorname {E} ((M_{t}^{*})^{p})\leq C_{p}\operatorname {E} ([M]_{t}^{p/2}).$

यहाँ, $c_{p}<C_{p}$ की पसंद के आधार पर स्थिरांक हैं $p$, लेकिन ज़रेबंद पर निर्भर नहीं $M$ या समय $t$ इस्तेमाल किया गया। अगर $M$ एक सतत स्थानीय मार्टिंगेल है, तो बर्कहोल्डर-डेविस-गुंडी असमानता किसी के लिए भी लागू होती है $p>0$.

एक वैकल्पिक प्रक्रिया, पूर्वानुमेय द्विघात भिन्नता का उपयोग कभी-कभी स्थानीय रूप से वर्ग पूर्ण करने योग्य मार्टिंगेल के लिए किया जाता है। इसे इस प्रकार लिखा जाता है $\langle M_{t}\rangle$, और इसे अद्वितीय अधिकार-निरंतर और बढ़ती अनुमानित प्रक्रिया के रूप में शून्य से शुरू होने के रूप में परिभाषित किया गया है $M^{2}-\langle M\rangle$ एक स्थानीय मार्टिंगेल है। इसका अस्तित्व दूब-मेयर अपघटन प्रमेय से होता है और निरंतर स्थानीय मार्टिंगेल्स के लिए, यह द्विघात भिन्नता के समान है।

यह भी देखें

• कुल भिन्नता
• परिबद्ध भिन्नता

संदर्भ

• Protter, Philip E. (2004), Stochastic Integration and Differential Equations (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-540-00313-7
• Karandikar, Rajeeva L.; Rao, B. V. (2014). "On quadratic variation of martingales". Proceedings - Mathematical Sciences. 124 (3): 457–469. doi:10.1007/s12044-014-0179-2. S2CID 120031445.