अपने आप में सघन (डेन्स इन इटसेल्फ): Difference between revisions
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सघन समुच्चय की धारणा | सघन समुच्चय की धारणा डेन्स इन इटसेल्फता से असंबंधित है। यह कभी-कभी भ्रमित करने वाला हो सकता है, क्योंकि '''"X, X में सघन है" (हमेशा सत्य) और "X डेन्स इन इटसेल्फ है"''' (कोई पृथक बिंदु नहीं) के समान नहीं है। | ||
==उदाहरण== | ==उदाहरण== | ||
ऐसे समुच्चय का एक सरल उदाहरण जो | ऐसे समुच्चय का एक सरल उदाहरण जो डेन्स इन इटसेल्फ है किन्तु बंद नहीं है (और इसलिए पूर्ण समुच्चय नहीं है) अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है (जिसे [[वास्तविक संख्या]]ओं का उपसमुच्चय माना जाता है)। इस प्रकार यह समुच्चय डेन्स इन इटसेल्फ है क्योंकि प्रत्येक [[पड़ोस (गणित)]] में एक अपरिमेय संख्या होती है <math>x</math> इसमें कम से कम एक अन्य अपरिमेय संख्या सम्मिलित है <math>y \neq x</math>. दूसरी ओर, अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय बंद नहीं होता क्योंकि प्रत्येक परिमेय संख्या इसके [[समापन (टोपोलॉजी)]] में निहित होती है। इसी प्रकार, परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी डेन्स इन इटसेल्फ है परंतु वास्तविक संख्याओं के स्थान में बंद नहीं है। | ||
उपरोक्त '''उदाहरण''', अपरिमेय और तर्कसंगत, भी उनके टोपोलॉजिकल स्पेस में घने सेट हैं <math>\mathbb{R}</math>. एक उदाहरण के रूप में जो | उपरोक्त '''उदाहरण''', अपरिमेय और तर्कसंगत, भी उनके टोपोलॉजिकल स्पेस में घने सेट हैं <math>\mathbb{R}</math>. एक उदाहरण के रूप में जो डेन्स इन इटसेल्फ है किन्तु अपने टोपोलॉजिकल स्पेस में सघन नहीं है, इस पर विचार करें <math>\mathbb{Q} \cap [0,1]</math>. यह सेट सघन नहीं है <math>\mathbb{R}</math> किन्तु डेन्स इन इटसेल्फ है. | ||
==गुण== | ==गुण== | ||
किसी स्थान का एक एकल (गणित) उपसमुच्चय <math>X</math> कभी भी | किसी स्थान का एक एकल (गणित) उपसमुच्चय <math>X</math> कभी भी डेन्स इन इटसेल्फ नहीं हो सकता, क्योंकि उसमें उसका अद्वितीय बिंदु पृथक होता है। | ||
किसी भी स्थान के | किसी भी स्थान के डेन्स इन इटसेल्फ उपसमुच्चय समुच्चयों के मिलन के अंतर्गत बंद होते हैं।<ref>Engelking, 1.7.10, p. 59</ref> इस प्रकार अपने आप में घने स्थान में, वे सभी खुले सेटों को सम्मिलित करते हैं।<ref>Kuratowski, p. 78</ref> चूँकि, वे स्थान जो T1 नहीं हैं उनमें सघन उपसमुच्चय हो सकते हैं जो डेन्स इन इटसेल्फ नहीं हैं: उदाहरण के लिए अंतरिक्ष में <math>X=\{a,b\}</math> [[अविवेकी टोपोलॉजी]] के साथ, सेट <math>A=\{a\}</math> घना है, किन्तु डेन्स इन इटसेल्फ नहीं है। | ||
किसी भी सघन सेट का बंद होना एक आदर्श सेट है।<ref>Kuratowski, p. 77</ref> | किसी भी सघन सेट का बंद होना एक आदर्श सेट है।<ref>Kuratowski, p. 77</ref> | ||
सामान्यतः, दो सघन-स्वयं सेटों का प्रतिच्छेदन अपने-आप में सघन नहीं होता है। किन्तु एक सघन-स्वयं समुच्चय और एक खुले समुच्चय का प्रतिच्छेदन | सामान्यतः, दो सघन-स्वयं सेटों का प्रतिच्छेदन अपने-आप में सघन नहीं होता है। किन्तु एक सघन-स्वयं समुच्चय और एक खुले समुच्चय का प्रतिच्छेदन डेन्स इन इटसेल्फ'''-समुच्चय''' है। | ||
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सामान्य टोपोलॉजी में, एक उपसमुच्चय टोपोलॉजिकल स्पेस को डेन्स इन इटसेल्फ या सघन [1][2] कहा जाता है।[3][4]
इस प्रकार यदि का कोई पृथक बिंदु नहीं है‚
समान रूप से, यदि प्रत्येक बिंदु डेन्स इन इटसेल्फ है का एक सीमा बिंदु है .
इस प्रकार डेन्स इन इटसेल्फ है यदि और केवल यदि , कहाँ का व्युत्पन्न समुच्चय (गणित) है .
डेन्स इन इटसेल्फ बंद समुच्चय को पूर्ण समुच्चय कहा जाता है। (दूसरे शब्दों में, एक पूर्ण समुच्चय पृथक बिंदु के बिना एक बंद समुच्चय है।)
सघन समुच्चय की धारणा डेन्स इन इटसेल्फता से असंबंधित है। यह कभी-कभी भ्रमित करने वाला हो सकता है, क्योंकि "X, X में सघन है" (हमेशा सत्य) और "X डेन्स इन इटसेल्फ है" (कोई पृथक बिंदु नहीं) के समान नहीं है।
उदाहरण
ऐसे समुच्चय का एक सरल उदाहरण जो डेन्स इन इटसेल्फ है किन्तु बंद नहीं है (और इसलिए पूर्ण समुच्चय नहीं है) अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है (जिसे वास्तविक संख्याओं का उपसमुच्चय माना जाता है)। इस प्रकार यह समुच्चय डेन्स इन इटसेल्फ है क्योंकि प्रत्येक पड़ोस (गणित) में एक अपरिमेय संख्या होती है इसमें कम से कम एक अन्य अपरिमेय संख्या सम्मिलित है . दूसरी ओर, अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय बंद नहीं होता क्योंकि प्रत्येक परिमेय संख्या इसके समापन (टोपोलॉजी) में निहित होती है। इसी प्रकार, परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी डेन्स इन इटसेल्फ है परंतु वास्तविक संख्याओं के स्थान में बंद नहीं है।
उपरोक्त उदाहरण, अपरिमेय और तर्कसंगत, भी उनके टोपोलॉजिकल स्पेस में घने सेट हैं . एक उदाहरण के रूप में जो डेन्स इन इटसेल्फ है किन्तु अपने टोपोलॉजिकल स्पेस में सघन नहीं है, इस पर विचार करें . यह सेट सघन नहीं है किन्तु डेन्स इन इटसेल्फ है.
गुण
किसी स्थान का एक एकल (गणित) उपसमुच्चय कभी भी डेन्स इन इटसेल्फ नहीं हो सकता, क्योंकि उसमें उसका अद्वितीय बिंदु पृथक होता है।
किसी भी स्थान के डेन्स इन इटसेल्फ उपसमुच्चय समुच्चयों के मिलन के अंतर्गत बंद होते हैं।[5] इस प्रकार अपने आप में घने स्थान में, वे सभी खुले सेटों को सम्मिलित करते हैं।[6] चूँकि, वे स्थान जो T1 नहीं हैं उनमें सघन उपसमुच्चय हो सकते हैं जो डेन्स इन इटसेल्फ नहीं हैं: उदाहरण के लिए अंतरिक्ष में अविवेकी टोपोलॉजी के साथ, सेट घना है, किन्तु डेन्स इन इटसेल्फ नहीं है।
किसी भी सघन सेट का बंद होना एक आदर्श सेट है।[7]
सामान्यतः, दो सघन-स्वयं सेटों का प्रतिच्छेदन अपने-आप में सघन नहीं होता है। किन्तु एक सघन-स्वयं समुच्चय और एक खुले समुच्चय का प्रतिच्छेदन डेन्स इन इटसेल्फ-समुच्चय है।
यह भी देखें
टिप्पणियाँ
- ↑ Levy, Ronnie; Porter, Jack (1996). "सबमैक्सिमल स्पेस के संबंध में अरहांगेलस्की और कोलिन्स के दो प्रश्नों पर" (PDF). Topology Proceedings. 21: 143–154.
- ↑ Dontchev, Julian; Ganster, Maximilian; Rose, David (1977). "α-Scattered spaces II".
- ↑ Steen & Seebach, p. 6
- ↑ Engelking, p. 25
- ↑ Engelking, 1.7.10, p. 59
- ↑ Kuratowski, p. 78
- ↑ Kuratowski, p. 77
संदर्भ
- Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4.
- Kuratowski, K. (1966). Topology Vol. I. Academic Press. ISBN 012429202X.
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446.
