परिमित अवयव

क्रम सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, आंशिक रूप से क्रमित किए गए समुच्चय के संहत अवयव या परिमित अवयव वे अवयव होते हैं जिन्हें किसी भी गैर-रिक्त निर्देशित समुच्चय के सर्वोच्च द्वारा सम्मिलित नहीं किया जा सकता है जिसमें पूर्व से ही संहत अवयव के ऊपर सदस्य सम्मिलित नहीं होते हैं। संहतता की यह धारणा एक साथ समुच्चय सिद्धांत में परिमित समुच्चय, टोपोलॉजी में संहत समष्टि और बीजगणित में परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल की धारणाओं को सामान्य बनाती है। (गणित में संहतता की अन्य धारणाएँ भी हैं।)

औपचारिक परिभाषा

आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय (P,≤) में अवयव c को संहत (या परिमित) कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समकक्ष प्रतिबन्धों में से एक को संतुष्ट करता है:

• P के प्रत्येक निर्देशित समुच्चय D के लिए, यदि D में सर्वोच्च उकृष्ट D और C ≤ उकृष्ट D है तो D के कुछ अवयव d के लिए C ≤ d है।
• P के प्रत्येक आदर्श (क्रम सिद्धांत) I के लिए, यदि I के निकट सर्वोच्च समर्थन I और c ≤ समर्थन I है तो c, I का अवयव है।

यदि क्रमित समुच्चय P अतिरिक्त रूप से अर्ध-जालक है (अर्थात, यदि इसमें बाइनरी उच्चतम है) तो ये स्थितियाँ निम्नलिखित कथन के बराबर हैं:

• P के प्रत्येक उपसमुच्चय S के लिए, यदि S का सर्वोच्च उकृष्ट S है और c ≤ उकृष्ट S है, तो S के कुछ परिमित उपसमुच्चय T के लिए c ≤ उकृष्ट T है।

विशेष रूप से, यदि c = उकृष्ट S, तो c, S के परिमित उपसमुच्चय का सर्वोच्च है।

इन समतुल्यताओं को सम्मिलित अवधारणाओं की परिभाषाओं से सरलता से सत्यापित किया जाता है। सम्बद्ध-अर्ध-जालक की स्थिति में, किसी भी समुच्चय को परिमित (गैर-रिक्त) उच्चतम के अंतर्गत संवृत करके उसी उच्चक के साथ निर्देशित समुच्चय में बदला जा सकता है।

निर्देशित पूर्ण आंशिक क्रमों या पूर्ण जालक पर विचार करते समय निर्दिष्ट उच्चतम स्थित अतिरिक्त आवश्यकताओं को निश्चित रूप से हटाया जा सकता है। सम्बद्ध-अर्ध-जालक जिसे पूर्ण रूप से निर्देशित किया जाता है वह लगभग पूर्ण जाली है (संभवतः कम से कम अवयव की कमी है) - विवरण के लिए पूर्णता (क्रम सिद्धांत) देखें।

उदाहरण

• उपसमुच्चय मूलभूत उदाहरण उपसमुच्चय द्वारा क्रमित कुछ समुच्चय ए के सत्ता स्थापित पर विचार करके प्राप्त किया जाता है। इस पूर्ण जाली के भीतर, संहत अवयव बिल्कुल ए के परिमित समुच्चय हैं। यह परिमित अवयव नाम को उचित ठहराता है।
• संहत शब्द संहत समुच्चय | (टोपोलॉजिकल रूप से) टोपोलॉजिकल स्पेस टी के संहत उपसमुच्चय की परिभाषा से प्रेरित है। समुच्चय वाई संहत है यदि खुले समुच्चय एस के प्रत्येक संग्रह के लिए, यदि एस पर संघ में वाई को उपसमुच्चय के रूप में सम्मिलित किया जाता है, तो Y को S के परिमित उपसंग्रह के संघ के उपसमुच्चय के रूप में सम्मिलित किया गया है। T के पावर समुच्चय को उपसमुच्चय समावेशन क्रम के साथ पूर्ण जाली के रूप में ध्यान में रखते हुए, जहां समुच्चय के संग्रह का सर्वोच्च उनके संघ द्वारा दिया जाता है, के लिए टोपोलॉजिकल स्थिति संहतता सम्बद्ध-अर्ध-जालकेस में संहतता की स्थिति की नकल करती है, लेकिन खुलेपन की अतिरिक्त आवश्यकता के लिए।
• यदि यह स्थित है, तो क्रमित समुच्चय का सबसे बड़ा और सबसे छोटा अवयव हमेशा संहत होता है। ऐसा हो सकता है कि यह एकमात्र संहत अवयव है, जैसा कि इकाई अंतराल [0,1] (वास्तविक संख्याओं से विरासत में मिले मानक क्रम के साथ) के उदाहरण से पता चलता है।
• जाली का प्रत्येक सम्बद्ध-प्राइम|पूरी तरह से सम्बद्ध-प्राइम अवयव संहत होता है।

बीजगणितीय मुद्राएँ

एक क्रमित समुच्चय जिसमें प्रत्येक अवयव अपने नीचे के संहत अवयवों का सर्वोच्च होता है, बीजगणितीय क्रमित समुच्चय कहलाता है। ऐसे पॉसमुच्चय जो पूर्ण आंशिक क्रमों को निर्देशित करते हैं, डोमेन सिद्धांत में बहुत उपयोग किए जाते हैं।

एक महत्वपूर्ण विशेष मामले के रूप में, बीजगणितीय जाली पूर्ण जाली एल है जहां एल का प्रत्येक अवयव एक्स एक्स के नीचे संहत अवयवों का सर्वोच्च है।

एक विशिष्ट उदाहरण (जो बीजीय नाम के लिए प्रेरणा के रूप में कार्य करता है) निम्नलिखित है:

किसी भी बीजगणित ए के लिए (उदाहरण के लिए, समूह, अंगूठी, क्षेत्र, जाली, आदि; या यहां तक ​​​​कि बिना किसी ऑपरेशन के मात्र समुच्चय), उप (ए) को ए के सभी उपसंरचनाओं का समुच्चय होने दें, अर्थात, A के सभी उपसमुच्चय जो A के सभी संक्रियाओं (समूह जोड़, वलय जोड़ और गुणन, आदि) के अंतर्गत संवृत हैं। यहां सबस्ट्रक्चर की धारणा में बीजगणित ए में कोई शून्य संचालन नहीं होने की स्थिति में रिक्त सबस्ट्रक्चर सम्मिलित है।

तब:

• समुच्चय समावेशन द्वारा क्रमित समुच्चय सब(ए), जाली है।
• Sub(A) का सबसे बड़ा अवयव समुच्चय A ही है।
• उप(ए) में किसी भी एस, टी के लिए, एस और टी की सबसे बड़ी निचली सीमा एस और टी का समुच्चय सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन है; सबसे छोटी ऊपरी सीमा एस और टी के मिलन से उत्पन्न उपबीजगणित है।
• समुच्चय उप(ए) पूर्ण जाली भी है। उपसंरचनाओं के किसी भी परिवार की सबसे बड़ी निचली सीमा उनका प्रतिच्छेदन है (या यदि परिवार रिक्त है तो ए)।
• उप(ए) के संहत अवयव बिल्कुल ए की सूक्ष्म रूप से उत्पन्न उपसंरचनाएं हैं।
• प्रत्येक उपसंरचना अपनी अंतिम रूप से उत्पन्न उपसंरचनाओं का संघ है; इसलिए Sub(A) बीजगणितीय जालक है।

इसके अलावा, प्रकार का व्युत्क्रम माना जाता है: प्रत्येक बीजगणितीय जाली कुछ बीजगणित ए के लिए उप (ए) के लिए समरूपता है।

एक और बीजगणितीय जाली है जो सार्वभौमिक बीजगणित में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है: प्रत्येक बीजगणित के लिए ए हम Con(A) को A पर सभी सर्वांगसम संबंधों का समुच्चय मानते हैं। A पर प्रत्येक सर्वांगसमता उत्पाद बीजगणित AxA का उपबीजगणित है, इसलिए Con(A) ⊆ Sub(AxA)। फिर से हमारे निकट है

• Con(A), समुच्चय समावेशन द्वारा क्रमित, जाली है।
• Con(A) का सबसे बड़ा अवयव समुच्चय AxA है, जो स्थिर समरूपता के अनुरूप सर्वांगसमता है। सबसे छोटी सर्वांगसमता AxA का विकर्ण है, जो समरूपता के अनुरूप है।
• Con(A) पूर्ण जाली है।
• Con(A) के संहत अवयव बिल्कुल सूक्ष्म रूप से उत्पन्न सर्वांगसमताएं हैं।
• Con(A) बीजगणितीय जालक है।

फिर से उलटा है: जॉर्ज ग्रेट्ज़र और ई. टी. श्मिट के प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक बीजगणितीय जाली कुछ बीजगणित ए के लिए कॉन (ए) के लिए समाकृतिकता है।

अनुप्रयोग

डोमेन सिद्धांत नामक सिमेंटिक दृष्टिकोण में कंप्यूटर विज्ञान में संहत अवयव महत्वपूर्ण हैं, जहां उन्हें प्रकार का आदिम अवयव प्रमेय माना जाता है: संहत अवयवों द्वारा दर्शाई गई जानकारी किसी भी अनुमान से प्राप्त नहीं की जा सकती है जिसमें पूर्व से ही यह ज्ञान सम्मिलित नहीं है। संहत अवयवों का अनुमान उनके ठीक नीचे के अवयवों द्वारा नहीं लगाया जा सकता है। दूसरी ओर, ऐसा हो सकता है कि सभी गैर-संहत अवयवों को संहत अवयवों के निर्देशित सर्वोच्चता के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। यह वांछनीय स्थिति है, क्योंकि संहत अवयवों का समुच्चय अक्सर मूल क्रमित समुच्चय से छोटा होता है - ऊपर दिए गए उदाहरण इसे स्पष्ट करते हैं।

साहित्य

क्रम सिद्धांत और डोमेन सिद्धांत के लिए दिया गया साहित्य देखें।

श्रेणी:क्रम सिद्धांत