द्वैध घातीय फलन

एकल घातीय फलन (नीला वक्र) की तुलना में द्वैध घातीय फलन (लाल वक्र)।

एक द्वैध घातीय फलन स्थिरांक (गणित) है जिसे घातांक की घात तक बढ़ाया जाता है। इस प्रकार से सामान्य सूत्र $f(x)=a^{b^{x}}=a^{(b^{x})}$ (जहाँ a>1 और b>1) है, जो घातीय फलन की तुलना में बहुत तीव्रता से बढ़ता है। अतः उदाहरण के लिए, यदि a = b = 10:

• f(x) = 10^10x
• f(0) = 10
• f(1) = 10¹⁰
• f(2) = 10¹⁰⁰गूगोल
• f(3) = 10¹⁰⁰⁰
• f(100) = 10¹⁰¹⁰⁰ = गूगोलप्लेक्स है।

इस प्रकार से गुणनखंड घातीय फलनों की तुलना में तीव्रता से बढ़ते हैं, परन्तु द्वैध घातीय फलनों की तुलना में बहुत धीमी गति से बढ़ते हैं। यद्यपि, टेट्रेसन और एकरमैन फलन तीव्रता से बढ़ते हैं। विभिन्न फलनों की वृद्धि दर की तुलना के लिए बिग ओ अंकन देखें।

अतः द्वैध घातीय फलन का व्युत्क्रम लघुगणक द्वैध लघुगणक log(log(x)) है।

द्वैध घातीय अनुक्रम

इस प्रकार से धनात्मक पूर्णांकों (या वास्तविक संख्याओं) के अनुक्रम को द्वैध घातीय वृद्धि दर कहा जाता है यदि अनुक्रम का nवाँ पद देने वाला फलन ऊपर और नीचे n के द्वैध घातीय फलनों से घिरा हो। अतः उदाहरणों में इस प्रकार से निम्नलिखित सम्मिलित हैं-

• फ़र्मेट संख्याएँ
  $$F(m)=2^{2^{m}}+1$$
• संनादी अभाज्य संख्याएँ: अभाज्य संख्याएँ p, जिसमें अनुक्रम 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p 0, 1, 2, 3, ... से अधिक है। इस प्रकार से 0 से प्रारंभ होने वाली प्रथम कुछ संख्याएं 2, 5, 277, 5195977, ... (sequence A016088 in the OEIS) हैं।
• द्वैध मेरसेन संख्या
  $$MM(p)=2^{2^{p}-1}-1$$
• सिल्वेस्टर के अनुक्रम (sequence A000058 in the OEIS)
  $$s_{n}=\left\lfloor E^{2^{n+1}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor$$
  के अवयव जहां E ≈ 1.264084735305302 (sequence A076393 in the OEIS) वर्डी का स्थिरांक है।
• के-अरी बूलियन फलन की संख्या:
  $$2^{2^{k}}$$
• अभाज्य संख्याएँ 2, 11, 1361, ... (sequence A051254 in the OEIS)
  $$a(n)=\left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor$$
  जहां A ≈ 1.306377883863 मिल्स स्थिरांक है।

इस प्रकार से अल्फ्रेड अहो और नील स्लोएन ने देखा कि कई महत्वपूर्ण पूर्णांक अनुक्रमों में, प्रत्येक पद स्थिरांक और पूर्व पद का वर्ग होता है। अतः वे दिखाते हैं कि ऐसे अनुक्रमों को मध्य घातांक 2 के साथ द्वैध घातीय फलन के मानों को निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करके बनाया जा सकता है। इस प्रकार से लोनास्कु और स्तानिका अनुक्रम के लिए कुछ और सामान्य पर्याप्त स्थितियों का वर्णन करते हैं जो द्वैध घातीय अनुक्रम और स्थिरांक का फलक हो।

अनुप्रयोग

एल्गोरिदमिक जटिलता

अतः कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में, 2-एक्सपीटाइम द्वैध घातीय समय में हल करने योग्य निर्णय समस्याओं का वर्ग है। इस प्रकार से यह एएक्सपीस्पेस के समतुल्य है, घातीय स्थान में वैकल्पिक ट्यूरिंग मशीन द्वारा हल की जा सकने वाली निर्णय समस्याओं का समुच्चय, और एक्सपीस्पेस का अधिसमुच्चय है। इस प्रकार से 2-एक्सपीटाइम में समस्या का उदाहरण जो एक्सपीटाइम में नहीं है, वह प्रेस्बर्गर अंकगणित में कथनों को सिद्ध या अस्वीकृत करने की समस्या है।

अतः एल्गोरिदम के डिजाइन और विश्लेषण में कुछ अन्य समस्याओं में, एल्गोरिदम के विश्लेषण के अतिरिक्त उसके डिजाइन के भीतर द्वैध घातीय अनुक्रमों का उपयोग किया जाता है। इस प्रकार से उत्तल हल्स की गणना के लिए चैन का एल्गोरिदम उदाहरण है, जो परीक्षण मान h_i = 2²ⁱ (अंतिम आउटपुट आकार के लिए अनुमान) का उपयोग करके गणनाओं का अनुक्रम निष्पादित करता है, अनुक्रम में प्रत्येक परीक्षण मान के लिए समय O(n log h_i) लेता है। अतः इन परीक्षण मानों की द्वैध घातीय वृद्धि के कारण, अनुक्रम में प्रत्येक गणना के लिए समय i के फलन के रूप में तीव्रता से बढ़ता है, और कुल समय अनुक्रम के अंतिम चरण के समय पर प्रभावी होता है। इस प्रकार, एल्गोरिथ्म के लिए कुल समय O(nlogh) है जहां h वास्तविक आउटपुट आकार है।

संख्या सिद्धांत

इस प्रकार से कुछ संख्या सिद्धांत सीमाएँ द्वैध घातीय हैं। अतः n भिन्न अभाज्य गुणनखंडों वाली विषम पूर्ण संख्याएँ अधिकतम $2^{4^{n}}$ ज्ञात होती हैं, जो नील्सन (2003) का परिणाम है।

इस प्रकार से k ≥ 1 उत्तल बहुकोणीय आकृति में पूर्णांक बिंदुओं के साथ डी-आयामी पूर्णांक जाली में बहुतलीय की अधिकतम मात्रा अधिकतम

$k\cdot (8d)^{d}\cdot 15^{d\cdot 2^{2d+1}}$

पर होती है, जो पिखुरको (2001) का परिणाम है।

अतः जे. सी. पी. मिलर और डेविड व्हीलर (कंप्यूटर वैज्ञानिक) द्वारा 1951 में ईडीएसएसी1 पर 79 अंकों की अभाज्य संख्याएं पाए जाने के बाद से इलेक्ट्रॉनिक युग में सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या साधारणतया वर्ष के द्वैध घातीय फलन के रूप में विकसित हुई है।

सैद्धांतिक जीवविज्ञान

इस प्रकार से जनसंख्या गतिशीलता में मानव जनसंख्या की वृद्धि को कभी-कभी द्वैध घातीय माना जाता है। अतः वरफोलोमेयेव और गुरेविच प्रयोगात्मक रूप से

$N(y)=375.6\cdot 1.00185^{1.00737^{y-1000}}\,$

में फिट होते हैं जहां N(y) वर्ष y में लाखों की जनसंख्या है।

भौतिकी

अतः स्व-स्पंदन के तोडा दोलक मॉडल में, आयाम का लघुगणक समय के साथ तीव्रता से बदलता है (बड़े आयामों के लिए), इस प्रकार आयाम समय के द्वैध घातीय फलन के रूप में भिन्न होता है।

इस प्रकार से डेंड्राइटिक वृहदणु को द्वैध-घातीय विधि से बढ़ते देखा गया है।