घात श्रेणी

Not to be confused with IBM ThinkPad Power Series, The Power (TV series), Powers (American TV series), Powers (British TV series), or Power (TV series).

गणित में, घात श्रृंखला ( चर (गणित) में) रूप की अनंत श्रृंखला होती है

$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+\dots$$

जहाँ _nnवें पद के गुणांक का प्रतिनिधित्व करता है और c स्थिरांक है। पावर श्रृंखला गणितीय विश्लेषण में उपयोगी होती है, जहां वे असीम रूप से भिन्न कार्यों की टेलर श्रृंखला के रूप में उत्पन्न होती हैं। वास्तव में, बोरेल की लेम्मा | बोरेल की प्रमेय का तात्पर्य है कि प्रत्येक शक्ति श्रृंखला कुछ सुचारु कार्य की टेलर श्रृंखला है।

कई स्थितियों में, c (श्रृंखला का केंद्र) शून्य के बराबर होता है, उदाहरण के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला पर विचार करते समय। ऐसे मामलों में, शक्ति श्रृंखला सरल रूप लेती है

$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots .$$

गणितीय विश्लेषण में उनकी भूमिका से परे, पावर श्रृंखला साहचर्य में जनरेटिंग फ़ंक्शन ( प्रकार की औपचारिक पावर श्रृंखला) और इलेक्ट्रॉनिक इंजीनियरिंग (जेड को बदलने के नाम के तहत) के रूप में भी होती है। वास्तविक संख्याओं के लिए परिचित दशमलव प्रतिनिधित्व को पूर्णांक गुणांक के साथ, लेकिन तर्क x के साथ शक्ति श्रृंखला के उदाहरण के रूप में भी देखा जा सकता है 1⁄10. संख्या सिद्धांत में, पी-एडिक संख्या|पी-एडिक संख्याओं की अवधारणा भी घात श्रृंखला से निकटता से संबंधित है।

उदाहरण

बहुपद

घातीय फ़ंक्शन (नीले रंग में), और इसकी मैकलॉरिन श्रृंखला (लाल रंग में) के पहले n + 1 शब्दों के योग से इसका सुधार सन्निकटन। तो
n=0 देता है $f(x)=1$,
n=1 $f(x)=1+x$,
n=2 $f(x)=1+x+x^{2}/2$,
n=3 $f(x)=1+x+x^{2}/2+x^{3}/6$वगैरह-वगैरह.

किसी भी बहुपद को किसी भी केंद्र c के चारों ओर घात श्रृंखला के रूप में आसानी से व्यक्त किया जा सकता है, हालाँकि सीमित रूप से कई गुणांकों को छोड़कर सभी शून्य होंगे क्योंकि परिभाषा के अनुसार घात श्रृंखला में अनंत रूप से कई पद होते हैं। उदाहरण के लिए, बहुपद ${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ केंद्र के चारों ओर शक्ति श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है ${\textstyle c=0}$ जैसा

$$f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots$$

या केंद्र के आसपास ${\textstyle c=1}$ जैसा

$$f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots$$

इसका कारण टेलर श्रृंखला के चारों ओर f(x) का विस्तार है ${\textstyle x=1}$ है

$$f(x)=f(1)+{\frac {f'(1)}{1!}}(x-1)+{\frac {f''(1)}{2!}}(x-1)^{2}+{\frac {f'''(1)}{3!}}(x-1)^{3}+\cdots ,$$

जैसा ${\textstyle f(x=1)=1+2+3=6}$ और गैर-शून्य व्युत्पन्न हैं ${\textstyle f'(x)=2x+2}$, इसलिए ${\textstyle f'(1)=4}$ और ${\textstyle f''(x)=2}$, निरंतर।

या वास्तव में किसी अन्य केंद्र के आसपास विस्तार संभव है। कोई घात श्रृंखला को अनंत डिग्री के बहुपदों की तरह देख सकता है, हालाँकि घात श्रृंखला बहुपद नहीं हैं।

ज्यामितीय श्रृंखला, घातांकीय फलन और ज्या

ज्यामितीय श्रृंखला सूत्र

$${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,$$

जिसके लिए मान्य है ${\textstyle |x|<1}$, शक्ति श्रृंखला के सबसे महत्वपूर्ण उदाहरणों में से है, जैसे कि घातीय फ़ंक्शन सूत्र हैं

$$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,$$

और साइन सूत्र

$$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,$$

सभी वास्तविक x के लिए मान्य।

ये शक्ति श्रृंखला भी टेलर श्रृंखला के उदाहरण हैं।

घातांक के समुच्चय पर

किसी शक्ति शृंखला में नकारात्मक शक्तियों की अनुमति नहीं है; उदाहरण के लिए, ${\textstyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$ इसे पावर श्रृंखला नहीं माना जाता है (हालाँकि यह लॉरेंट श्रृंखला है)। इसी प्रकार, भिन्नात्मक शक्तियाँ जैसे ${\textstyle x^{\frac {1}{2}}}$ अनुमति नहीं है (लेकिन पुइसेक्स श्रृंखला देखें)। गुणांक ${\textstyle a_{n}}$ पर निर्भर रहने की अनुमति नहीं है ${\textstyle x}$, इस प्रकार उदाहरण के लिए:

$$\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots$$

कोई शक्ति शृंखला नहीं है.

अभिसरण की त्रिज्या

शक्ति श्रृंखला ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}$ चर के कुछ मानों के लिए अभिसरण श्रृंखला है x, जिसमें हमेशा शामिल रहेगा x = c (हमेशा की तरह, $(x-c)^{0}$ के रूप में मूल्यांकन करता है 1 और श्रृंखला का योग इस प्रकार है $a_{0}$ के लिए x = c). श्रृंखला अन्य मानों के लिए श्रृंखला को भिन्न कर सकती है x. अगर c अभिसरण का मात्र बिंदु नहीं है, फिर हमेशा संख्या होती है r साथ 0 < r ≤ ∞ ऐसा कि शृंखला जब भी अभिसरित होती है |x – c| < r और जब भी विचलन होता है |x – c| > r. जो नंबर r को शक्ति श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या कहा जाता है; सामान्यतः इसे इस प्रकार दिया जाता है

$$r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}$$

या, समकक्ष,

$$r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}$$

(यह कॉची-हैडामर्ड प्रमेय है; अंकन की व्याख्या के लिए सीमा श्रेष्ठ और सीमा निम्न देखें)। रिश्ता

$$r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|$$

यदि यह सीमा मौजूद है तो वह भी संतुष्ट है।

सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय इस प्रकार है |x – c| < rश्रृंखला की अभिसरण डिस्क कहलाती है। अभिसरण की डिस्क के अंदर श्रृंखला पूर्ण अभिसरण, और अभिसरण की डिस्क के प्रत्येक सघन स्थान उपसमुच्चय पर समान अभिसरण।

के लिए |x – c| = r, श्रृंखला के अभिसरण पर कोई सामान्य कथन नहीं है। हालाँकि, एबेल के प्रमेय में कहा गया है कि यदि श्रृंखला कुछ मूल्य के लिए अभिसरण है z ऐसा है कि |z – c| = r, तो श्रृंखला का योग x = z श्रृंखला के योग की सीमा है x = c + t (z – c) कहाँ t से कम वास्तविक चर है 1 ऐसा होता है 1.

पावर श्रृंखला पर संचालन

जोड़ और घटाव

जब दो फलन f और g को ही केंद्र c के चारों ओर घात श्रृंखला में विघटित किया जाता है, तो फलन के योग या अंतर की घात श्रृंखला शब्दवार जोड़ और घटाव द्वारा प्राप्त की जा सकती है। अर्थात यदि

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}$$

और

$$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}$$

तब

$$f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.$$

यह सत्य नहीं है कि यदि दो घात श्रृंखला है ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ और ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}}$ तब अभिसरण की त्रिज्या समान होती है ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}}$ अभिसरण की यह त्रिज्या भी है। अगर ${\textstyle a_{n}=(-1)^{n}}$ और ${\textstyle b_{n}=(-1)^{n+1}\left(1-{\frac {1}{3^{n}}}\right)}$, तो दोनों श्रृंखलाओं में 1 के अभिसरण की समान त्रिज्या है, लेकिन श्रृंखला ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}}}x^{n}}$ अभिसरण की त्रिज्या 3 है।

दो शक्ति श्रृंखलाओं के योग में, कम से कम, दो श्रृंखलाओं के अभिसरण की दो त्रिज्याओं में से छोटी त्रिज्या के अभिसरण की त्रिज्या होगी (और यह दोनों में से किसी से अधिक हो सकती है, जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में देखा गया है)।

गुणा और भाग

के लिए समान परिभाषाओं के साथ $f(x)$ और $g(x)$, उत्पाद की शक्ति श्रृंखला और कार्यों का भागफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.\end{aligned}}$$

क्रम ${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ अनुक्रमों के कनवल्शन के रूप में जाना जाता है $a_{n}$ और $b_{n}$.

विभाजन के लिए, यदि कोई अनुक्रम को परिभाषित करता है $d_{n}$ द्वारा

$${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}$$

तब

$$f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)$$

और कोई भी शर्तों को पुनरावर्ती रूप से हल कर सकता है $d_{n}$ गुणांकों की तुलना करके।

संगत समीकरणों को हल करने से गुणांक के कुछ आव्यूहों के निर्धारकों के आधार पर सूत्र प्राप्त होते हैं $f(x)$ और $g(x)$

$$d_{0}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}$$

$$d_{n}={\frac {1}{b_{0}^{n+1}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{n}\\a_{n-1}&b_{0}&b_{1}&\cdots &b_{n-1}\\a_{n-2}&0&b_{0}&\cdots &b_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{0}&0&0&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}$$

विभेदीकरण और ीकरण

बार समारोह $f(x)$ उपरोक्त के अनुसार शक्ति श्रृंखला के रूप में दिया गया है, यह अभिसरण के क्षेत्र के आंतरिक (टोपोलॉजी) पर व्युत्पन्न है। प्रत्येक पद को अलग-अलग मानकर इसे आसानी से व्युत्पन्न और अभिन्न बनाया जा सकता है:

$${\begin{aligned}f'(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n(x-c)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}(n+1)(x-c)^{n},\\\int f(x)\,dx&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(x-c)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}(x-c)^{n}}{n}}+k.\end{aligned}}$$

इन दोनों श्रृंखलाओं में मूल श्रृंखला के समान ही अभिसरण की त्रिज्या है।

विश्लेषणात्मक कार्य

Main article: Analytic function

'आर' या 'सी' के कुछ खुले सेट यू पर परिभाषित फ़ंक्शन एफ को विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन कहा जाता है यदि यह स्थानीय रूप से अभिसरण शक्ति श्रृंखला द्वारा दिया जाता है। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक a ∈ U में खुला पड़ोस (टोपोलॉजी) V ⊆ U है, जैसे कि केंद्र a के साथ शक्ति श्रृंखला मौजूद है जो प्रत्येक x ∈ V के लिए f(x) में परिवर्तित होती है।

अभिसरण की सकारात्मक त्रिज्या वाली प्रत्येक शक्ति श्रृंखला अपने अभिसरण क्षेत्र के टोपोलॉजिकल इंटीरियर पर विश्लेषणात्मक है। सभी होलोमोर्फिक फ़ंक्शन जटिल-विश्लेषणात्मक हैं। विश्लेषणात्मक कार्यों के योग और उत्पाद विश्लेषणात्मक होते हैं, जैसे कि भागफल तब तक विश्लेषणात्मक होते हैं जब तक हर गैर-शून्य होता है।

यदि कोई फ़ंक्शन विश्लेषणात्मक है, तो यह असीम रूप से भिन्न होता है, लेकिन वास्तविक मामले में इसका विपरीत आम तौर पर सत्य नहीं होता है। विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन के लिए, गुणांक a_n के रूप में गणना की जा सकती है

$$a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}$$

कहाँ $f^{(n)}(c)$ c पर f के nवें अवकलज को दर्शाता है, और $f^{(0)}(c)=f(c)$. इसका मतलब यह है कि प्रत्येक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन को स्थानीय रूप से उसकी टेलर श्रृंखला द्वारा दर्शाया जाता है।

विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन का वैश्विक रूप निम्नलिखित अर्थों में उसके स्थानीय व्यवहार से पूरी तरह से निर्धारित होता है: यदि एफ और जी दो विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन हैं जो ही कनेक्टिविटी ओपन सेट यू पर परिभाषित हैं, और यदि कोई तत्व मौजूद है c ∈ U ऐसा है कि f⁽ⁿ⁾(c) = g⁽ⁿ⁾(c) सभी के लिए n ≥ 0, तब f(x) = g(x) सभी के लिए x ∈ U.

यदि अभिसरण आर की त्रिज्या के साथ शक्ति श्रृंखला दी गई है, तो कोई श्रृंखला की विश्लेषणात्मक निरंतरता पर विचार कर सकता है, यानी विश्लेषणात्मक कार्य एफ जो कि बड़े सेटों पर परिभाषित होते हैं { x | |x − c| < r} और इस सेट पर दी गई पावर श्रृंखला से सहमत हूं। संख्या r निम्नलिखित अर्थ में अधिकतम है: हमेशा जटिल संख्या मौजूद होती है x साथ |x − c| = r ऐसा कि श्रृंखला की किसी भी विश्लेषणात्मक निरंतरता को परिभाषित नहीं किया जा सकता है x.

विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन के व्युत्क्रम फ़ंक्शन की शक्ति श्रृंखला विस्तार को लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

सीमा के निकट व्यवहार

अभिसरण की सकारात्मक त्रिज्या के साथ शक्ति श्रृंखला का योग अभिसरण डिस्क के आंतरिक भाग में प्रत्येक बिंदु पर विश्लेषणात्मक कार्य है। हालाँकि, उस डिस्क की सीमा पर बिंदुओं पर भिन्न व्यवहार हो सकता है। उदाहरण के लिए:

1. विचलन जबकि योग विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन तक विस्तारित होता है: ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$ अभिसरण की त्रिज्या के बराबर है $1$ और हर बिंदु पर अलग हो जाता है $|z|=1$. फिर भी, योग $|z|<1$ है ${\textstyle {\frac {1}{1-z}}}$को छोड़कर, जो विमान के हर बिंदु पर विश्लेषणात्मक है $z=1$.
2. कुछ बिंदुओं पर अभिसरण दूसरों पर भिन्न: ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}}$ अभिसरण की त्रिज्या है $1$. इसके लिए अभिसरण होता है $z=-1$, जबकि यह भिन्न होता है $z=1$.
3. सीमा के प्रत्येक बिंदु पर पूर्ण अभिसरण: ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}$ अभिसरण की त्रिज्या है $1$, जबकि यह हर बिंदु पर पूर्णतः और समान रूप से अभिसरित होता है $|z|=1$ हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) के साथ लागू वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट के कारण#p-श्रृंखला|हाइपर-हार्मोनिक अभिसरण श्रृंखला ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$.
4. अभिसरण की डिस्क के बंद होने पर अभिसरण लेकिन निरंतर योग नहीं: वाकलॉ सिएरपिंस्की|सिएरपिंस्की ने उदाहरण दिया अभिसरण की त्रिज्या के साथ शक्ति श्रृंखला की $1$, सभी बिंदुओं पर अभिसरण $|z|=1$, लेकिन योग असीमित कार्य है और, विशेष रूप से, असंतत है। सीमा बिंदु पर तरफा निरंतरता के लिए पर्याप्त शर्त हाबिल के प्रमेय द्वारा दी गई है।

औपचारिक शक्ति श्रृंखला

Main article: Formal power series

अमूर्त बीजगणित में, व्यक्ति वास्तविक और जटिल संख्याओं के क्षेत्र (गणित) तक सीमित हुए बिना और अभिसरण के बारे में बात किए बिना शक्ति श्रृंखला के सार को पकड़ने का प्रयास करता है। यह औपचारिक शक्ति श्रृंखला की अवधारणा की ओर ले जाता है, जो बीजगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स में महान उपयोगिता की अवधारणा है।

कई चर में पावर श्रृंखला

बहुपरिवर्तनीय कलन के प्रयोजनों के लिए सिद्धांत का विस्तार आवश्यक है। यहाँ शक्ति श्रृंखला को रूप की अनंत श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया गया है

$$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}(x_{k}-c_{k})^{j_{k}},$$

कहाँ j = (j₁, …, j_n) प्राकृतिक संख्याओं, गुणांकों का सदिश है a_{(j1, …, jn)} आमतौर पर वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ और केंद्र होते हैं c = (c₁, …, c_n) और तर्क x = (x₁, …, x_n) आमतौर पर वास्तविक या जटिल वेक्टर होते हैं। प्रतीक $\Pi$ गुणन#कैपिटल पाई नोटेशन है, जो गुणन को दर्शाता है। इसे अधिक सुविधाजनक बहु सूचकांक नोटेशन में लिखा जा सकता है

$$f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }(x-c)^{\alpha }.$$

कहाँ $\mathbb {N}$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है, इत्यादि $\mathbb {N} ^{n}$ प्राकृतिक संख्याओं के क्रमित n-टुपल्स का समुच्चय है।

ऐसी श्रृंखला का सिद्धांत ल-चर श्रृंखला की तुलना में अधिक पेचीदा है, जिसमें अभिसरण के अधिक जटिल क्षेत्र हैं। उदाहरण के लिए, पावर श्रृंखला ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}}$ सेट में बिल्कुल अभिसरण है $\{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}$ दो अतिपरवलय के बीच. (यह लॉग-उत्तल सेट का उदाहरण है, इस अर्थ में कि बिंदुओं का सेट $(\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)$, कहाँ $(x_{1},x_{2})$ उपरोक्त क्षेत्र में स्थित, उत्तल समुच्चय है। अधिक सामान्यतः, कोई यह दिखा सकता है कि जब c=0, पूर्ण अभिसरण के क्षेत्र का आंतरिक भाग हमेशा इस अर्थ में लॉग-उत्तल सेट होता है।) दूसरी ओर, अभिसरण के इस क्षेत्र के आंतरिक भाग में कोई अंतर और ीकृत हो सकता है श्रृंखला चिह्न के अंतर्गत, ठीक वैसे ही जैसे कोई सामान्य शक्ति श्रृंखला के साथ कर सकता है।

शक्ति श्रृंखला का क्रम

होने देना α पावर श्रृंखला के लिए बहु-सूचकांक बनें f(x₁, x₂, …, x_n). घात श्रेणी f के क्रम को न्यूनतम मान के रूप में परिभाषित किया गया है $r$ ऐसा है कि है_α ≠ 0 के साथ $r=|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$, या $\infty$ यदि f ≡ 0. विशेष रूप से, ल चर x में घात श्रृंखला f(x) के लिए, f का क्रम गैर-शून्य गुणांक के साथ x की सबसे छोटी शक्ति है। यह परिभाषा आसानी से लॉरेंट श्रृंखला तक फैली हुई है।

संदर्भ

• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Power series", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Formal Power Series". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Power Series". MathWorld.
• Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.