बेटमैन समीकरण

नाभिकीय भौतिकी में, बेटमैन समीकरण एक गणितीय मॉडल है जो क्षय दर और प्रारंभिक प्रचुरता के आधार पर क्षय श्रृंखला में बहुतायत और गतिविधियों को समय के कार्य के रूप में वर्णित करता है। मॉडल 1905 में अर्नेस्ट रदरफोर्ड द्वारा तैयार किया गया था और इस प्रकार विश्लेषणात्मक समाधान 1910 में हैरी बेटमैन द्वारा प्रदान किया गया था।

यदि, समय t पर समस्थानिकों $i$ के $N_{i}(t)$ परमाणु हैं जो $\lambda _{i}$ की दर से समस्थानिकों $i+1$ में क्षय हो जाते हैं, जिससे k-चरण क्षय श्रृंखला में समस्थानिकों की मात्रा इस प्रकार विकसित होती है:

${\begin{aligned}{\frac {dN_{1}(t)}{dt}}&=-\lambda _{1}N_{1}(t)\\[3pt]{\frac {dN_{i}(t)}{dt}}&=-\lambda _{i}N_{i}(t)+\lambda _{i-1}N_{i-1}(t)\\[3pt]{\frac {dN_{k}(t)}{dt}}&=\lambda _{k-1}N_{k-1}(t)\end{aligned}}$

(यह क्षय शाखाओं को संभालने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है)। जबकि इसे i = 2 के लिए स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है,इस प्रकार लंबी श्रृंखलाओं के लिए सूत्र के द्वारा निगमन हो जाते हैं। बेटमैन समीकरण एक मौलिक मास्टर समीकरण है जहां संक्रमण दर केवल एक वर्ण (i) से अगली (i+1) तक की अनुमति है किन्तु कभी भी विपरीत अर्थ में नहीं (i+1 से i वर्जित है)।

बेटमैन ने चरों के लाप्लास रूपांतरण को लेकर राशियों के लिए एक सामान्य स्पष्ट सूत्र का निगमन किया था।

$N_{n}(t)=N_{1}(0)\times \left(\prod _{i=1}^{n-1}\lambda _{i}\right)\times \sum _{i=1}^{n}{\frac {e^{-\lambda _{i}t}}{\prod \limits _{j=1,j\neq i}^{n}\left(\lambda _{j}-\lambda _{i}\right)}}$

(इसे स्रोत नियमो के साथ भी विस्तारित किया जा सकता है, यदि समस्थानिकों i के अधिक परमाणु स्थिर दर पर बाहरी रूप से प्रदान किए जाते हैं)।

241Pu के लिए बेटमैन-फलन के साथ मात्रा की गणना

जबकि बेटमैन सूत्र को कंप्यूटर कोड में प्रयुक्त किया जा सकता है, यदि $\lambda _{j}\approx \lambda _{i}$ कुछ समस्थानिकों जोड़ी के लिए, महत्व के हानि से कम्प्यूटेशनल त्रुटियां हो सकती हैं। इसलिए, अन्य विधियाँ जैसे कि साधारण अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ या आव्यूह घातांक विधि भी उपयोग में हैं।

उदाहरण के लिए, तीन समस्थानिकों की एक श्रृंखला के साधारण स्थिति के लिए संबंधित बेटमैन समीकरण कम हो जाता है

${\begin{aligned}&A\,\xrightarrow {\lambda _{A}} \,B\,\xrightarrow {\lambda _{B}} \,C\\[4pt]&N_{B}={\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}N_{A_{0}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)\end{aligned}}$

जो आइसोटोप $B$ की गतिविधि के लिए निम्नलिखित सूत्र देता है ($A=\lambda N$ को प्रतिस्थापित करके)।

${\begin{aligned}A_{B}={\frac {\lambda _{B}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}A_{A_{0}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)\end{aligned}}$

यह भी देखें

• हैरी बेटमैन
• परमाणु और कण भौतिकी में समीकरणों की सूची
• क्षणिक संतुलन
• धर्मनिरपेक्ष संतुलन
• फार्माकोकाइनेटिक्स, अस्पष्ट प्रयोज्यता