अधिकतम अवयव और न्यूनतम अवयव: Difference between revisions
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== परिभाषाएँ == | == परिभाषाएँ == | ||
माना <math>(P, \leq)</math> एक पूर्व-आदेशित सेट बनें और माना <math>S \subseteq P.</math> एक अवयव <math>g \in P</math> बताया गया {{em| '''कि महत्तम अवयव <math>S</math>'''}} यदि <math>g \in S</math> और अगर यह भी संतुष्ट करता है: | |||
:<math>s \leq g</math> सभी के लिए <math>s \in S.</math> | :<math>s \leq g</math> सभी के लिए <math>s \in S.</math> | ||
का उपयोग करके <math>\,\geq\,</math> के बजाय <math>\,\leq\,</math> उपरोक्त परिभाषा में, न्यूनतम अवयव की परिभाषा <math>S</math> पाया जाता है। स्पष्ट रूप से, एक अवयव <math>l \in P</math> बताया गया {{em| | का उपयोग करके <math>\,\geq\,</math> के बजाय <math>\,\leq\,</math> उपरोक्त परिभाषा में, न्यूनतम अवयव की परिभाषा <math>S</math> पाया जाता है। स्पष्ट रूप से, एक अवयव <math>l \in P</math> बताया गया {{em| ''' कि न्यूनतम अवयव <math>S</math>'''}} यदि <math>l \in S</math> और अगर यह भी संतुष्ट करता है: | ||
:<math>l \leq s</math> सभी के लिए <math>s \in S.</math> यदि <math>(P, \leq)</math> तब भी आंशिक रूप से आदेशित सेट है <math>S</math> अधिकतम एक महत्तम अवयव हो सकता है और इसमें कम से कम एक अवयव हो सकता है। जब भी का एक महत्तम अवयव <math>S</math> मौजूद है और अद्वितीय है तो इस अवयव को कहा जाता है | :<math>l \leq s</math> सभी के लिए <math>s \in S.</math> यदि <math>(P, \leq)</math> तब भी आंशिक रूप से आदेशित सेट है <math>S</math> अधिकतम एक महत्तम अवयव हो सकता है और इसमें कम से कम एक अवयव हो सकता है। जब भी का एक महत्तम अवयव <math>S</math> मौजूद है और अद्वितीय है तो इस अवयव को कहा जाता है महत्तम अवयव <math>S</math>. शब्दावली न्यूनतम अवयव <math>S</math> इसी तरह परिभाषित किया गया है। | ||
यदि <math>(P, \leq)</math> महत्तम अवयव है ( | यदि <math>(P, \leq)</math> महत्तम अवयव है (न्यूनतम अवयव के रूप में) तो इस अवयव को भी कहा जाता है {{em| '''उच्च'''}} (प्रति. {{em| '''निचला'''}}) का <math>(P, \leq).</math> | ||
=== ऊपरी/निचली सीमा से संबंध === | === ऊपरी/निचली सीमा से संबंध === | ||
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महानतम अवयव ऊपरी सीमा से निकटता से संबंधित हैं। | महानतम अवयव ऊपरी सीमा से निकटता से संबंधित हैं। | ||
माना <math>(P, \leq)</math> एक पूर्व-आदेशित सेट बनें और माना <math>S \subseteq P.</math> एक {{em|[[ऊपरी और निचली सीमाएं|ऊपरी सीमा]] के <math>S</math> मे <math>(P, \leq)</math>}} एक अवयव है <math>u</math> ऐसा है कि <math>u \in P</math> तथा <math>s \leq u</math> सभी के लिए <math>s \in S.</math> महत्वपूर्ण रूप से, की एक ऊपरी सीमा <math>S</math> में <math>P</math> है {{em|not}} का अंग होना आवश्यक है <math>S.</math> यदि <math>g \in P</math> फिर <math>g</math> का महत्तम अवयव है <math>S</math> अगर और केवल अगर <math>g</math> की ऊपरी सीमा है <math>S</math> में <math>(P, \leq)</math> {{em|और}} <math>g \in S.</math> विशेष रूप से, का कोई भी महत्तम अवयव <math>S</math> की ऊपरी सीमा भी है <math>S</math> (में <math>P</math>) लेकिन की एक ऊपरी सीमा <math>S</math> में <math>P</math> का महत्तम अवयव है <math>S</math> अगर और केवल अगर यह {{em|अंतर्गत आता है}} प्रति <math>S.</math> विशेष मामले में जहां <math>P = S,</math> की परिभाषा <math>u</math> की ऊपरी सीमा है <math>S</math> {{em|मे <math>S</math>}} बन जाता है: <math>u</math> ऐसा अवयव है <math>u \in S</math> तथा <math>s \leq u</math> सभी के लिए <math>s \in S,</math> जो है {{em|पूरी तरह से समान}} पहले दिए गए सबसे बड़े अवयव की परिभाषा के लिए है। | |||
इस प्रकार <math>g</math> का महत्तम अवयव है <math>S</math> अगर और केवल अगर <math>g</math> की ऊपरी सीमा है <math>S</math> {{em|in <math>S</math>}} | इस प्रकार <math>g</math> का महत्तम अवयव है <math>S</math> अगर और केवल अगर <math>g</math> की ऊपरी सीमा है <math>S</math> {{em|in <math>S</math>}} है। | ||
यदि <math>u</math> की ऊपरी सीमा है <math>S</math> {{em| | यदि <math>u</math> की ऊपरी सीमा है <math>S</math> {{em|मे <math>P</math>}} यह की ऊपरी सीमा नहीं है <math>S</math> {{em|मे <math>S</math>}} (जो हो सकता है अगर और केवल अगर <math>u \not\in S</math>) फिर <math>u</math> कर सकते हैं {{em|not}} का महत्तम अवयव हो <math>S</math> (हालांकि, यह संभव हो सकता है कि कोई अन्य अवयव {{em|is}} का महत्तम अवयव है <math>S</math>). | ||
विशेष रूप से इसके लिए संभव है <math>S</math> एक साथ {{em|not}} महत्तम अवयव है {{em| | विशेष रूप से इसके लिए संभव है <math>S</math> एक साथ {{em|not}} महत्तम अवयव है {{em|और}} वहाँ के लिए कुछ ऊपरी सीमा मौजूद है <math>S</math> {{em|मे <math>P</math>}}. | ||
यहां तक कि अगर एक सेट में कुछ ऊपरी सीमाएं हैं, तो यह आवश्यक नहीं है कि इसमें महत्तम अवयव हो, जैसा कि नकारात्मक वास्तविक संख्याओं के उदाहरण द्वारा दिखाया गया है। | यहां तक कि अगर एक सेट में कुछ ऊपरी सीमाएं हैं, तो यह आवश्यक नहीं है कि इसमें महत्तम अवयव हो, जैसा कि नकारात्मक वास्तविक संख्याओं के उदाहरण द्वारा दिखाया गया है। | ||
यह उदाहरण यह भी प्रदर्शित करता है कि कम से कम ऊपरी सीमा (इस मामले में संख्या 0) का अस्तित्व किसी महानतम अवयव के अस्तित्व को भी नहीं दर्शाता है। | यह उदाहरण यह भी प्रदर्शित करता है कि कम से कम ऊपरी सीमा (इस मामले में संख्या 0) का अस्तित्व किसी महानतम अवयव के अस्तित्व को भी नहीं दर्शाता है। | ||
=== अधिकतम | === अधिकतम तत्वों और स्थानीय/पूर्ण अधिकतमों की तुलना === | ||
किसी पूर्ववर्ती सेट के सबसेट के सबसे बड़े अवयव को सेट के अधिकतम अवयव के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो ऐसे अवयव हैं जो सेट में किसी भी अन्य अवयव से सख्ती से छोटे नहीं हैं। | किसी पूर्ववर्ती सेट के सबसेट के सबसे बड़े अवयव को सेट के अधिकतम अवयव के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो ऐसे अवयव हैं जो सेट में किसी भी अन्य अवयव से सख्ती से छोटे नहीं हैं। | ||
माना <math>(P, \leq)</math> एक पूर्व-आदेशित सेट बनें और माना <math>S \subseteq P.</math> एक अवयव <math>m \in S</math> कहा जाता है{{em|[[अधिकतम अवयव]] का <math>S</math>}} यदि निम्न स्थिति संतुष्ट है: | |||
:जब भी <math>s \in S</math> संतुष्ट <math>m \leq s,</math> फिर अनिवार्य रूप से <math>s \leq m.</math> यदि <math>(P, \leq)</math> एक आंशिक रूप से आदेशित सेट है <math>m \in S</math> का अधिकतम अवयव है <math>S</math> अगर और केवल अगर वहाँ करता है {{em|not}} कोई मौजूद है <math>s \in S</math> ऐसा है कि <math>m \leq s</math> तथा <math>s \neq m.</math> | :जब भी <math>s \in S</math> संतुष्ट <math>m \leq s,</math> फिर अनिवार्य रूप से <math>s \leq m.</math> यदि <math>(P, \leq)</math> एक आंशिक रूप से आदेशित सेट है <math>m \in S</math> का अधिकतम अवयव है <math>S</math> अगर और केवल अगर वहाँ करता है {{em|not}} कोई मौजूद है <math>s \in S</math> ऐसा है कि <math>m \leq s</math> तथा <math>s \neq m.</math> {{em|का अधिकतम अवयव <math>(P, \leq)</math>}} को उपसमुच्चय के अधिकतम अवयव के रूप में परिभाषित किया गया है <math>S := P.</math> एक सेट में अधिकतम अवयव के बिना कई अधिकतम अवयव हो सकते हैं। | ||
ऊपरी सीमा और अधिकतम अवयवों की तरह, सबसे बड़े अवयव मौजूद नहीं हो सकते हैं। | ऊपरी सीमा और अधिकतम अवयवों की तरह, सबसे बड़े अवयव मौजूद नहीं हो सकते हैं। | ||
कुल क्रम में अधिकतम अवयव और महत्तम अवयव मेल खाते हैं; और इसे अधिकतम भी कहा जाता है; स्थानीय अधिकतम के साथ भ्रम से बचने के लिए | कुल क्रम में अधिकतम अवयव और महत्तम अवयव मेल खाते हैं; और इसे अधिकतम भी कहा जाता है; स्थानीय अधिकतम के साथ भ्रम से बचने के लिए फलन मानों के मामले में इसे पूर्ण अधिकतम भी कहा जाता है।<ref>The notion of locality requires the function's domain to be at least a [[topological space]].</ref> दोहरी शर्तें न्यूनतम और पूर्ण न्यूनतम हैं। | ||
साथ में उन्हें चरम | साथ में उन्हें चरम मान कहा जाता है। | ||
इसी तरह के निष्कर्ष न्यूनतम अवयवों के लिए मान्य हैं। | इसी तरह के निष्कर्ष न्यूनतम अवयवों के लिए मान्य हैं। | ||
अधिकतम बनाम अधिकतम अवयवों को अलग करने में तुलनात्मकता की भूमिका | '''अधिकतम बनाम अधिकतम अवयवों को अलग करने में तुलनात्मकता की भूमिका''' | ||
एक महानतम अवयव के बीच सबसे महत्वपूर्ण अंतरों में से एक <math>g</math> और एक अधिकतम अवयव <math>m</math> एक पूर्व-आदेशित सेट का <math>(P, \leq)</math> यह उन अवयवों के साथ करना है जिनकी वे तुलना कर रहे हैं। | एक महानतम अवयव के बीच सबसे महत्वपूर्ण अंतरों में से एक <math>g</math> और एक अधिकतम अवयव <math>m</math> एक पूर्व-आदेशित सेट का <math>(P, \leq)</math> यह उन अवयवों के साथ करना है जिनकी वे तुलना कर रहे हैं। | ||
दो अवयव <math>x, y \in P</math> कहा जाता है {{em| | दो अवयव <math>x, y \in P</math> कहा जाता है {{em|तुलनीय}} यदि <math>x \leq y</math> या <math>y \leq x</math>; वे कहते हैं {{em|अतुलनीय}} अगर वे तुलनीय नहीं हैं। | ||
क्योंकि | क्योंकि अग्रिम-आदेश प्रतिवर्ती हैं (जिसका मतलब है कि <math>x \leq x</math> सभी अवयवों के लिए सत्य है <math>x</math>), हर अवयव <math>x</math> सदैव अपने से तुलनीय होता है। | ||
नतीजतन, अवयवों का एकमात्र जोड़ा जो संभवतः अतुलनीय हो सकता है {{em| | नतीजतन, अवयवों का एकमात्र जोड़ा जो संभवतः अतुलनीय हो सकता है {{em|विशिष्ट}} जोड़े है। | ||
सामान्य तौर पर, हालांकि, पहले से | सामान्य तौर पर, हालांकि, पहले से आदिष्ट किए गए सेट (और यहां तक कि निर्देशित सेट आंशिक रूप से आदिष्ट किए गए सेट) में ऐसे अवयव हो सकते हैं जो अतुलनीय हों। | ||
परिभाषा के अनुसार, एक अवयव <math>g \in P</math> का महत्तम अवयव है <math>(P, \leq)</math> यदि <math>s \leq g,</math> | परिभाषा के अनुसार, एक अवयव <math>g \in P</math> का महत्तम अवयव है <math>(P, \leq)</math> यदि <math>s \leq g,</math> हर एक के लिए <math>s \in P</math>; इसलिए इसकी परिभाषा के अनुसार, का महत्तम अवयव <math>(P, \leq)</math> विशेष रूप से तुलनीय होना चाहिए {{em|प्रत्येक}} में अवयव <math>P.</math> यह अधिकतम अवयवों की आवश्यकता नहीं है। | ||
अधिकतम अवयव <math>(P, \leq)</math> हैं {{em|not}} में हर अवयव के लिए तुलनीय होना आवश्यक है <math>P.</math> ऐसा इसलिए है क्योंकि सबसे बड़े अवयव की परिभाषा के विपरीत, अधिकतम अवयव की परिभाषा में एक महत्वपूर्ण शामिल है {{em|if}} कथन के लिए परिभाषित शर्त <math>m \in P</math> का अधिकतम अवयव होना <math>(P, \leq)</math> के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: | |||
के लिए परिभाषित शर्त <math>m \in P</math> का अधिकतम अवयव होना <math>(P, \leq)</math> के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: | |||
:सभी के लिए <math>s \in P,</math> {{em|IF}} <math>m \leq s</math> (इसलिए ऐसे अवयव जो अतुलनीय हैं <math>m</math> अनदेखा किया जाता है) फिर <math>s \leq m.</math> उदाहरण जहां सभी अवयव अधिकतम हैं लेकिन कोई भी महानतम नहीं है | :सभी के लिए <math>s \in P,</math> {{em|IF}} <math>m \leq s</math> (इसलिए ऐसे अवयव जो अतुलनीय हैं <math>m</math> अनदेखा किया जाता है) फिर <math>s \leq m.</math> | ||
:'''उदाहरण जहां सभी अवयव अधिकतम हैं लेकिन कोई भी महानतम नहीं है''' | |||
मान | मान कि <math>S</math> युक्त एक सेट है {{em|कम से कम दो}} (अलग) अवयव और एक आंशिक क्रम को परिभाषित करते हैं <math>\,\leq\,</math> पर <math>S</math> यह घोषित करके <math>i \leq j</math> अगर और केवल अगर <math>i = j.</math> यदि <math>i \neq j</math> के संबंधित <math>S</math> फिर न तो <math>i \leq j</math> न <math>j \leq i</math> धारण करता है, जो दर्शाता है कि विशिष्ट (अर्थात् गैर-बराबर) अवयवों के सभी युग्मों में <math>S</math> हैं {{em|मे}} तुलनीय। | ||
फलस्वरूप, <math>(S, \leq)</math> संभवतः महत्तम अवयव नहीं हो सकता (क्योंकि का महत्तम अवयव <math>S</math> से विशेष रूप से तुलना करनी होगी {{em| | फलस्वरूप, <math>(S, \leq)</math> संभवतः महत्तम अवयव नहीं हो सकता (क्योंकि का महत्तम अवयव <math>S</math> से विशेष रूप से तुलना करनी होगी {{em|प्रत्येक}} का अवयव <math>S</math> लेकिन <math>S</math> ऐसा कोई अवयव नहीं है)। | ||
हालांकि, {{em| | हालांकि, {{em|प्रत्येक}} अवयव <math>m \in S</math> का अधिकतम अवयव है <math>(S, \leq)</math> क्योंकि इसमें ठीक एक अवयव है <math>S</math> जो दोनों से तुलनीय है <math>m</math> तथा <math>\geq m,</math> वह अवयव है <math>m</math> खुद (जो निश्चित रूप से है <math>\leq m</math>).<ref group="note">Of course, in this particular example, there exists only one element in <math>S</math> that is comparable to <math>m,</math> which is necessarily <math>m</math> itself, so the second condition "and <math>\geq m,</math>" was redundant.</ref> | ||
इसके विपरीत, यदि एक पूर्वनिर्धारित सेट <math>(P, \leq)</math> एक महानतम अवयव होता है <math>g</math> फिर <math>g</math> का अधिकतम अवयव होगा <math>(P, \leq)</math> और इसके अलावा, सबसे बड़े अवयव के परिणामस्वरूप <math>g</math> से तुलनीय होना {{em| | इसके विपरीत, यदि एक पूर्वनिर्धारित सेट <math>(P, \leq)</math> एक महानतम अवयव होता है <math>g</math> फिर <math>g</math> का अधिकतम अवयव होगा <math>(P, \leq)</math> और इसके अलावा, सबसे बड़े अवयव के परिणामस्वरूप <math>g</math> से तुलनीय होना {{em|प्रत्येक}} का अवयव <math>P,</math> यदि <math>(P, \leq)</math> भी आंशिक रूप से आदेशित है तो यह निष्कर्ष निकालना संभव है <math>g</math> है {{em|केवल}} का अधिकतम अवयव <math>(P, \leq).</math> हालाँकि, यदि पहले से सेट किया गया है तो विशिष्टता निष्कर्ष की गारंटी नहीं है <math>(P, \leq)</math> है {{em|not}} आंशिक रूप से आदेश भी दिया है। | ||
उदाहरण के लिए, मान लीजिए <math>R</math> एक गैर-खाली सेट है और एक | उदाहरण के लिए, मान लीजिए <math>R</math> एक गैर-खाली सेट है और एक प्रीआदिष्ट परिभाषित करता है <math>\,\leq\,</math> पर <math>R</math> यह घोषित करके <math>i \leq j</math> {{em|हमेशा}} सभी के लिए रखता है <math>i, j \in R.</math> निर्देशित सेट पूर्व-आदेशित सेट <math>(R, \leq)</math> आंशिक रूप से आदेश दिया जाता है अगर और केवल अगर <math>R</math> ठीक एक अवयव है। अवयवों के सभी जोड़े <math>R</math> तुलनीय हैं और {{em|प्रत्येक}} का अवयव <math>R</math> का महत्तम अवयव है (और इस प्रकार एक अधिकतम अवयव भी)। <math>(R, \leq).</math> तो विशेष रूप से अगर <math>R</math> तब कम से कम दो अवयव होते हैं <math>(R, \leq)</math> एकाधिक है {{em|विशिष्ट}} महानतम अवयव है। | ||
== गुण == | == गुण == | ||
माना <math>(P, \leq)</math> आंशिक रूप से आदेशित सेट बनें और दें <math>S \subseteq P.</math> * एक सेट <math>S</math> अधिक से अधिक हो सकता है {{em|एक}} महत्तम अवयव है।<ref group="note">If <math>g_1</math> and <math>g_2</math> are both greatest, then <math>g_1 \leq g_2</math> and <math>g_2 \leq g_1,</math> and hence <math>g_1 = g_2</math> by [[antisymmetry]].</ref> इस प्रकार यदि किसी समुच्चय में महत्तम अवयव है तो वह आवश्यक रूप से अद्वितीय है। | |||
* यदि यह अस्तित्व में है, तो इसका महत्तम अवयव <math>S</math> की ऊपरी सीमा है <math>S</math> उसमें भी निहित है <math>S.</math> * यदि <math>g</math> का महत्तम अवयव है <math>S</math> फिर <math>g</math> का भी एक चरम अवयव है <math>S</math><ref group="note">If <math>g</math> is the greatest element of <math>S</math> and <math>s \in S,</math> then <math>s \leq g.</math> By [[antisymmetry]], this renders (<math>g \leq s</math> and <math>g \neq s</math>) impossible.</ref> और इसके अलावा, | * यदि यह अस्तित्व में है, तो इसका महत्तम अवयव <math>S</math> की ऊपरी सीमा है <math>S</math> उसमें भी निहित है <math>S.</math> * यदि <math>g</math> का महत्तम अवयव है <math>S</math> फिर <math>g</math> का भी एक चरम अवयव है <math>S</math><ref group="note">If <math>g</math> is the greatest element of <math>S</math> and <math>s \in S,</math> then <math>s \leq g.</math> By [[antisymmetry]], this renders (<math>g \leq s</math> and <math>g \neq s</math>) impossible.</ref> और इसके अलावा, कोई अन्य अधिकतम अवयव <math>S</math> के बराबर होगा <math>g.</math><ref group="note">If <math>M</math> is a maximal element, then <math>M \leq g</math> since <math>g</math> is greatest, hence <math>M = g</math> since <math>M</math> is maximal.</ref> | ||
** इस प्रकार यदि एक सेट <math>S</math> कई अधिकतम अवयव हैं तो इसमें महत्तम अवयव नहीं हो सकता है। | ** इस प्रकार यदि एक सेट <math>S</math> कई अधिकतम अवयव हैं तो इसमें महत्तम अवयव नहीं हो सकता है। | ||
* यदि <math>P</math> आरोही श्रृंखला की स्थिति, एक सबसेट को संतुष्ट करता है <math>S</math> का <math>P</math> महत्तम अवयव है अगर, और केवल अगर, इसमें एक अधिकतम अवयव है।<ref group="note">''Only if:'' see above. — ''If:'' Assume for contradiction that <math>S</math> has just one maximal element, <math>m,</math> but no greatest element. Since <math>m</math> is not greatest, some <math>s_1 \in S</math> must exist that is incomparable to <math>m.</math> Hence <math>s_1 \in S</math> cannot be maximal, that is, <math>s_1 < s_2</math> must hold for some <math>s_2 \in S.</math> The latter must be incomparable to <math>m,</math> too, since <math>m < s_2</math> contradicts <math>m</math>'s maximality while <math>s_2 \leq m</math> contradicts the incomparability of <math>m</math> and <math>s_1.</math> Repeating this argument, an infinite ascending chain <math>s_1 < s_2 < \cdots < s_n < \cdots</math> can be found (such that each <math>s_i</math> is incomparable to <math>m</math> and not maximal). This contradicts the ascending chain condition.</ref> | * यदि <math>P</math> आरोही श्रृंखला की स्थिति, एक सबसेट को संतुष्ट करता है <math>S</math> का <math>P</math> महत्तम अवयव है अगर, और केवल अगर, इसमें एक अधिकतम अवयव है।<ref group="note">''Only if:'' see above. — ''If:'' Assume for contradiction that <math>S</math> has just one maximal element, <math>m,</math> but no greatest element. Since <math>m</math> is not greatest, some <math>s_1 \in S</math> must exist that is incomparable to <math>m.</math> Hence <math>s_1 \in S</math> cannot be maximal, that is, <math>s_1 < s_2</math> must hold for some <math>s_2 \in S.</math> The latter must be incomparable to <math>m,</math> too, since <math>m < s_2</math> contradicts <math>m</math>'s maximality while <math>s_2 \leq m</math> contradicts the incomparability of <math>m</math> and <math>s_1.</math> Repeating this argument, an infinite ascending chain <math>s_1 < s_2 < \cdots < s_n < \cdots</math> can be found (such that each <math>s_i</math> is incomparable to <math>m</math> and not maximal). This contradicts the ascending chain condition.</ref> | ||
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== पर्याप्त | == पर्याप्त स्थितियाँ == | ||
* एक परिमित श्रृंखला (आदेश सिद्धांत) में हमेशा महत्तम और सबसे कम अवयव होता है। | * एक परिमित श्रृंखला (आदेश सिद्धांत) में हमेशा महत्तम और सबसे कम अवयव होता है। | ||
Line 79: | Line 79: | ||
कम से कम और सबसे बड़े अवयवों का अस्तित्व आंशिक क्रम की एक विशेष पूर्णता (आदेश सिद्धांत) है। | कम से कम और सबसे बड़े अवयवों का अस्तित्व आंशिक क्रम की एक विशेष पूर्णता (आदेश सिद्धांत) है। | ||
आगे की परिचयात्मक जानकारी | आगे की परिचयात्मक जानकारी आदिष्ट थ्योरी पर लेख में पाई जाती है। | ||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
[[File:KeinVerband.svg|thumb|upright=0.5|उदाहरण 2 का हसे आरेख]]* पूर्णांकों के उपसमुच्चय का समुच्चय में | [[File:KeinVerband.svg|thumb|upright=0.5|उदाहरण 2 का हसे आरेख]]* पूर्णांकों के उपसमुच्चय का समुच्चय में <math>\mathbb{R}</math> वास्तविक संख्याओं का कोई ऊपरी परिबंध नहीं होता है । | ||
* | * माना <math>\,\leq\,</math> पर <math>\{ a, b, c, d \}</math> द्वारा दिया जाएगा <math>a \leq c,</math> <math>a \leq d,</math> <math>b \leq c,</math> <math>b \leq d.</math> सेट <math>\{ a, b \}</math> ऊपरी सीमाएँ हैं <math>c</math> तथा <math>d,</math> लेकिन कम से कम ऊपरी सीमा नहीं, और कोई महत्तम अवयव नहीं (cf. चित्र) है। | ||
* परिमेय संख्याओं में, 2 से कम वर्ग वाले संख्याओं के समुच्चय की ऊपरी सीमा होती है लेकिन कोई महत्तम अवयव नहीं होता है और कोई ऊपरी सीमा नहीं होती है। | * परिमेय संख्याओं में, 2 से कम वर्ग वाले संख्याओं के समुच्चय की ऊपरी सीमा होती है लेकिन कोई महत्तम अवयव नहीं होता है और कोई ऊपरी सीमा नहीं होती है। | ||
* | * <math>\mathbb{R},</math> में 1 से कम संख्या के सेट में सबसे कम ऊपरी सीमा होती है, जैसे 1, लेकिन कोई महत्तम अवयव नहीं है। | ||
* | * <math>\mathbb{R},</math>में 1 से कम या उसके बराबर संख्याओं के सेट में महत्तम अवयव है, अर्थात। 1, जो इसकी सबसे कम ऊपरी सीमा भी है। | ||
* | * <math>\mathbb{R}^2</math> में उत्पाद क्रम के साथ, जोड़े का सेट <math>(x, y)</math> साथ <math>0 < x < 1</math> कोई ऊपरी सीमा नहीं है। | ||
* | * <math>\mathbb{R}^2</math> में शब्दकोषीय क्रम के साथ, इस सेट की ऊपरी सीमाएं हैं, उदा। <math>(1, 0).</math> इसकी कोई कम से कम ऊपरी सीमा नहीं है। | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
* | * आवश्यक सर्वोच्च और आवश्यक अनंत | ||
* प्रारंभिक और अंतिम वस्तुएं | * प्रारंभिक और अंतिम वस्तुएं | ||
* अधिकतम और न्यूनतम अवयव | * अधिकतम और न्यूनतम अवयव |
Revision as of 20:49, 8 July 2023
गणित में, विशेष रूप से क्रम सिद्धांत में, एक उपसमुच्चय का महत्तम अवयव आंशिक रूप से आदेशित सेट (पॉसेट) का एक अवयव है के हर दूसरे अवयव से बड़ा है . न्यूनतम अवयव शब्द परिभाषित द्वैत (आदेश सिद्धांत) है, अर्थात यह एक अवयव है के हर दूसरे अवयव से छोटा है
परिभाषाएँ
माना एक पूर्व-आदेशित सेट बनें और माना एक अवयव बताया गया कि महत्तम अवयव यदि और अगर यह भी संतुष्ट करता है:
- सभी के लिए
का उपयोग करके के बजाय उपरोक्त परिभाषा में, न्यूनतम अवयव की परिभाषा पाया जाता है। स्पष्ट रूप से, एक अवयव बताया गया कि न्यूनतम अवयव यदि और अगर यह भी संतुष्ट करता है:
- सभी के लिए यदि तब भी आंशिक रूप से आदेशित सेट है अधिकतम एक महत्तम अवयव हो सकता है और इसमें कम से कम एक अवयव हो सकता है। जब भी का एक महत्तम अवयव मौजूद है और अद्वितीय है तो इस अवयव को कहा जाता है महत्तम अवयव . शब्दावली न्यूनतम अवयव इसी तरह परिभाषित किया गया है।
यदि महत्तम अवयव है (न्यूनतम अवयव के रूप में) तो इस अवयव को भी कहा जाता है उच्च (प्रति. निचला) का
ऊपरी/निचली सीमा से संबंध
महानतम अवयव ऊपरी सीमा से निकटता से संबंधित हैं।
माना एक पूर्व-आदेशित सेट बनें और माना एक ऊपरी सीमा के मे एक अवयव है ऐसा है कि तथा सभी के लिए महत्वपूर्ण रूप से, की एक ऊपरी सीमा में है not का अंग होना आवश्यक है यदि फिर का महत्तम अवयव है अगर और केवल अगर की ऊपरी सीमा है में और विशेष रूप से, का कोई भी महत्तम अवयव की ऊपरी सीमा भी है (में ) लेकिन की एक ऊपरी सीमा में का महत्तम अवयव है अगर और केवल अगर यह अंतर्गत आता है प्रति विशेष मामले में जहां की परिभाषा की ऊपरी सीमा है मे बन जाता है: ऐसा अवयव है तथा सभी के लिए जो है पूरी तरह से समान पहले दिए गए सबसे बड़े अवयव की परिभाषा के लिए है। इस प्रकार का महत्तम अवयव है अगर और केवल अगर की ऊपरी सीमा है in है।
यदि की ऊपरी सीमा है मे यह की ऊपरी सीमा नहीं है मे (जो हो सकता है अगर और केवल अगर ) फिर कर सकते हैं not का महत्तम अवयव हो (हालांकि, यह संभव हो सकता है कि कोई अन्य अवयव is का महत्तम अवयव है ). विशेष रूप से इसके लिए संभव है एक साथ not महत्तम अवयव है और वहाँ के लिए कुछ ऊपरी सीमा मौजूद है मे .
यहां तक कि अगर एक सेट में कुछ ऊपरी सीमाएं हैं, तो यह आवश्यक नहीं है कि इसमें महत्तम अवयव हो, जैसा कि नकारात्मक वास्तविक संख्याओं के उदाहरण द्वारा दिखाया गया है। यह उदाहरण यह भी प्रदर्शित करता है कि कम से कम ऊपरी सीमा (इस मामले में संख्या 0) का अस्तित्व किसी महानतम अवयव के अस्तित्व को भी नहीं दर्शाता है।
अधिकतम तत्वों और स्थानीय/पूर्ण अधिकतमों की तुलना
किसी पूर्ववर्ती सेट के सबसेट के सबसे बड़े अवयव को सेट के अधिकतम अवयव के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो ऐसे अवयव हैं जो सेट में किसी भी अन्य अवयव से सख्ती से छोटे नहीं हैं।
माना एक पूर्व-आदेशित सेट बनें और माना एक अवयव कहा जाता हैअधिकतम अवयव का यदि निम्न स्थिति संतुष्ट है:
- जब भी संतुष्ट फिर अनिवार्य रूप से यदि एक आंशिक रूप से आदेशित सेट है का अधिकतम अवयव है अगर और केवल अगर वहाँ करता है not कोई मौजूद है ऐसा है कि तथा का अधिकतम अवयव को उपसमुच्चय के अधिकतम अवयव के रूप में परिभाषित किया गया है एक सेट में अधिकतम अवयव के बिना कई अधिकतम अवयव हो सकते हैं।
ऊपरी सीमा और अधिकतम अवयवों की तरह, सबसे बड़े अवयव मौजूद नहीं हो सकते हैं।
कुल क्रम में अधिकतम अवयव और महत्तम अवयव मेल खाते हैं; और इसे अधिकतम भी कहा जाता है; स्थानीय अधिकतम के साथ भ्रम से बचने के लिए फलन मानों के मामले में इसे पूर्ण अधिकतम भी कहा जाता है।[1] दोहरी शर्तें न्यूनतम और पूर्ण न्यूनतम हैं। साथ में उन्हें चरम मान कहा जाता है। इसी तरह के निष्कर्ष न्यूनतम अवयवों के लिए मान्य हैं।
अधिकतम बनाम अधिकतम अवयवों को अलग करने में तुलनात्मकता की भूमिका
एक महानतम अवयव के बीच सबसे महत्वपूर्ण अंतरों में से एक और एक अधिकतम अवयव एक पूर्व-आदेशित सेट का यह उन अवयवों के साथ करना है जिनकी वे तुलना कर रहे हैं। दो अवयव कहा जाता है तुलनीय यदि या ; वे कहते हैं अतुलनीय अगर वे तुलनीय नहीं हैं। क्योंकि अग्रिम-आदेश प्रतिवर्ती हैं (जिसका मतलब है कि सभी अवयवों के लिए सत्य है ), हर अवयव सदैव अपने से तुलनीय होता है। नतीजतन, अवयवों का एकमात्र जोड़ा जो संभवतः अतुलनीय हो सकता है विशिष्ट जोड़े है। सामान्य तौर पर, हालांकि, पहले से आदिष्ट किए गए सेट (और यहां तक कि निर्देशित सेट आंशिक रूप से आदिष्ट किए गए सेट) में ऐसे अवयव हो सकते हैं जो अतुलनीय हों।
परिभाषा के अनुसार, एक अवयव का महत्तम अवयव है यदि हर एक के लिए ; इसलिए इसकी परिभाषा के अनुसार, का महत्तम अवयव विशेष रूप से तुलनीय होना चाहिए प्रत्येक में अवयव यह अधिकतम अवयवों की आवश्यकता नहीं है। अधिकतम अवयव हैं not में हर अवयव के लिए तुलनीय होना आवश्यक है ऐसा इसलिए है क्योंकि सबसे बड़े अवयव की परिभाषा के विपरीत, अधिकतम अवयव की परिभाषा में एक महत्वपूर्ण शामिल है if कथन के लिए परिभाषित शर्त का अधिकतम अवयव होना के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:
- सभी के लिए IF (इसलिए ऐसे अवयव जो अतुलनीय हैं अनदेखा किया जाता है) फिर
- उदाहरण जहां सभी अवयव अधिकतम हैं लेकिन कोई भी महानतम नहीं है
मान कि युक्त एक सेट है कम से कम दो (अलग) अवयव और एक आंशिक क्रम को परिभाषित करते हैं पर यह घोषित करके अगर और केवल अगर यदि के संबंधित फिर न तो न धारण करता है, जो दर्शाता है कि विशिष्ट (अर्थात् गैर-बराबर) अवयवों के सभी युग्मों में हैं मे तुलनीय। फलस्वरूप, संभवतः महत्तम अवयव नहीं हो सकता (क्योंकि का महत्तम अवयव से विशेष रूप से तुलना करनी होगी प्रत्येक का अवयव लेकिन ऐसा कोई अवयव नहीं है)। हालांकि, प्रत्येक अवयव का अधिकतम अवयव है क्योंकि इसमें ठीक एक अवयव है जो दोनों से तुलनीय है तथा वह अवयव है खुद (जो निश्चित रूप से है ).[note 1] इसके विपरीत, यदि एक पूर्वनिर्धारित सेट एक महानतम अवयव होता है फिर का अधिकतम अवयव होगा और इसके अलावा, सबसे बड़े अवयव के परिणामस्वरूप से तुलनीय होना प्रत्येक का अवयव यदि भी आंशिक रूप से आदेशित है तो यह निष्कर्ष निकालना संभव है है केवल का अधिकतम अवयव हालाँकि, यदि पहले से सेट किया गया है तो विशिष्टता निष्कर्ष की गारंटी नहीं है है not आंशिक रूप से आदेश भी दिया है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए एक गैर-खाली सेट है और एक प्रीआदिष्ट परिभाषित करता है पर यह घोषित करके हमेशा सभी के लिए रखता है निर्देशित सेट पूर्व-आदेशित सेट आंशिक रूप से आदेश दिया जाता है अगर और केवल अगर ठीक एक अवयव है। अवयवों के सभी जोड़े तुलनीय हैं और प्रत्येक का अवयव का महत्तम अवयव है (और इस प्रकार एक अधिकतम अवयव भी)। तो विशेष रूप से अगर तब कम से कम दो अवयव होते हैं एकाधिक है विशिष्ट महानतम अवयव है।
गुण
माना आंशिक रूप से आदेशित सेट बनें और दें * एक सेट अधिक से अधिक हो सकता है एक महत्तम अवयव है।[note 2] इस प्रकार यदि किसी समुच्चय में महत्तम अवयव है तो वह आवश्यक रूप से अद्वितीय है।
- यदि यह अस्तित्व में है, तो इसका महत्तम अवयव की ऊपरी सीमा है उसमें भी निहित है * यदि का महत्तम अवयव है फिर का भी एक चरम अवयव है [note 3] और इसके अलावा, कोई अन्य अधिकतम अवयव के बराबर होगा [note 4]
- इस प्रकार यदि एक सेट कई अधिकतम अवयव हैं तो इसमें महत्तम अवयव नहीं हो सकता है।
- यदि आरोही श्रृंखला की स्थिति, एक सबसेट को संतुष्ट करता है का महत्तम अवयव है अगर, और केवल अगर, इसमें एक अधिकतम अवयव है।[note 5]
- जब का प्रतिबंध प्रति कुल आदेश है ( सबसे ऊपरी तस्वीर में एक उदाहरण है), तो अधिकतम अवयव और महत्तम अवयव मेल खाता है।[note 6] ** हालांकि, जब भी हो, यह कोई जरूरी शर्त नहीं है महत्तम अवयव है, जैसा कि ऊपर कहा गया है, धारणाएं भी मेल खाती हैं।
- यदि अधिकतम अवयव और महत्तम अवयव की धारणा प्रत्येक दो-अवयव उपसमुच्चय पर मेल खाती है का फिर पर कुल आदेश है [note 7]
पर्याप्त स्थितियाँ
- एक परिमित श्रृंखला (आदेश सिद्धांत) में हमेशा महत्तम और सबसे कम अवयव होता है।
ऊपर और नीचे
पूरे आंशिक रूप से आदेशित सेट का सबसे छोटा और महत्तम अवयव एक विशेष भूमिका निभाता है और इसे क्रमशः नीचे (⊥) और शीर्ष (⊤), या शून्य (0) और इकाई (1) भी कहा जाता है। यदि दोनों मौजूद हैं, तो पोसेट को परिबद्ध पोसेट कहा जाता है। 0 और 1 के अंकन का उपयोग अधिमानतः तब किया जाता है जब पोसेट एक पूरक जाली है, और जब कोई भ्रम की संभावना नहीं होती है, यानी जब कोई संख्याओं के आंशिक क्रम के बारे में बात नहीं कर रहा है जिसमें पहले से ही अवयव 0 और 1 नीचे और ऊपर से भिन्न होते हैं। कम से कम और सबसे बड़े अवयवों का अस्तित्व आंशिक क्रम की एक विशेष पूर्णता (आदेश सिद्धांत) है।
आगे की परिचयात्मक जानकारी आदिष्ट थ्योरी पर लेख में पाई जाती है।
उदाहरण
* पूर्णांकों के उपसमुच्चय का समुच्चय में वास्तविक संख्याओं का कोई ऊपरी परिबंध नहीं होता है ।
- माना पर द्वारा दिया जाएगा सेट ऊपरी सीमाएँ हैं तथा लेकिन कम से कम ऊपरी सीमा नहीं, और कोई महत्तम अवयव नहीं (cf. चित्र) है।
- परिमेय संख्याओं में, 2 से कम वर्ग वाले संख्याओं के समुच्चय की ऊपरी सीमा होती है लेकिन कोई महत्तम अवयव नहीं होता है और कोई ऊपरी सीमा नहीं होती है।
- में 1 से कम संख्या के सेट में सबसे कम ऊपरी सीमा होती है, जैसे 1, लेकिन कोई महत्तम अवयव नहीं है।
- में 1 से कम या उसके बराबर संख्याओं के सेट में महत्तम अवयव है, अर्थात। 1, जो इसकी सबसे कम ऊपरी सीमा भी है।
- में उत्पाद क्रम के साथ, जोड़े का सेट साथ कोई ऊपरी सीमा नहीं है।
- में शब्दकोषीय क्रम के साथ, इस सेट की ऊपरी सीमाएं हैं, उदा। इसकी कोई कम से कम ऊपरी सीमा नहीं है।
यह भी देखें
- आवश्यक सर्वोच्च और आवश्यक अनंत
- प्रारंभिक और अंतिम वस्तुएं
- अधिकतम और न्यूनतम अवयव
- श्रेष्ठता को सीमित करें और निम्न को सीमित करें (न्यूनतम सीमा)
- ऊपरी और निचली सीमाएं
टिप्पणियाँ
- ↑ Of course, in this particular example, there exists only one element in that is comparable to which is necessarily itself, so the second condition "and " was redundant.
- ↑ If and are both greatest, then and and hence by antisymmetry.
- ↑ If is the greatest element of and then By antisymmetry, this renders ( and ) impossible.
- ↑ If is a maximal element, then since is greatest, hence since is maximal.
- ↑ Only if: see above. — If: Assume for contradiction that has just one maximal element, but no greatest element. Since is not greatest, some must exist that is incomparable to Hence cannot be maximal, that is, must hold for some The latter must be incomparable to too, since contradicts 's maximality while contradicts the incomparability of and Repeating this argument, an infinite ascending chain can be found (such that each is incomparable to and not maximal). This contradicts the ascending chain condition.
- ↑ Let be a maximal element, for any either or In the second case, the definition of maximal element requires that so it follows that In other words, is a greatest element.
- ↑ If were incomparable, then would have two maximal, but no greatest element, contradicting the coincidence.
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संदर्भ
- ↑ The notion of locality requires the function's domain to be at least a topological space.
- Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002). Introduction to Lattices and Order (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78451-1.