कार्यात्मक निर्धारक

क्रियात्मक विश्लेषण में, गणित की शाखा, कभी-कभी परिमित क्रम के वर्ग आव्यूह के विश्लेषण की धारणा को सामान्य बनाना संभव होता है (एक परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष से स्वयं में रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है) के अनंत-आयामी स्थिति में रैखिक संचालक S सदिश स्पेस V को स्वयं मैप कर रहा है। संगत मात्रा det(S) को S का 'क्रियात्मक विश्लेषण' कहा जाता है।

क्रियात्मक विश्लेषण के लिए कई सूत्र हैं। वे सभी इस तथ्य पर आधारित हैं कि परिमित आव्यूह (गणित) का विश्लेषण आव्यूह के ईजेनवैल्यू ​​​​के उत्पाद के सामान्य है। गणितीय रूप से कठोर परिभाषा ज़ेटा फलन (संचालक) के माध्यम से है,

$\zeta _{S}(a)=\operatorname {tr} \,S^{-a}\,,$

जहां tr ट्रेस वर्ग के लिए है: तब विश्लेषण को परिभाषित किया जाता है

$\det S=e^{-\zeta _{S}'(0)}\,,$

जहां बिंदु s = 0 में जीटा फलन को विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा परिभाषित किया गया है। अन्य संभावित सामान्यीकरण, जिसे अधिकांशतः क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (क्यूएफटी) में फेनमैन पथ अभिन्न औपचारिकता का उपयोग करते समय भौतिकविदों द्वारा उपयोग किया जाता है, क्रियात्मक एकीकरण का उपयोग करता है:

$\det S\propto \left(\int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi ,S\phi \rangle }\right)^{-2}\,.$

यह पथ समाकलन केवल कुछ भिन्न गुणक स्थिरांक तक ही अच्छी तरह से परिभाषित है। इसे कठोर अर्थ देने के लिए इसे किसी अन्य क्रियात्मक विश्लेषण द्वारा विभाजित किया जाना चाहिए, इस प्रकार समस्याग्रस्त 'स्थिरांक' को प्रभावी विधि से निरस्त किया जाना चाहिए।

ये अब, स्पष्ट रूप से, क्रियात्मक विश्लेषण के लिए दो अलग-अलग परिभाषाएँ हैं, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत से आ रही है और वर्णक्रमीय सिद्धांत से आ रही है। प्रत्येक में किसी प्रकार का नियमितीकरण (भौतिकी) सम्मिलित है: भौतिकी में लोकप्रिय परिभाषा में, दो निर्धारकों की तुलना केवल एक दूसरे से की जा सकती है; गणित में जीटा फलन का उपयोग किया जाता था। ऑसगूड, फिलिप्स & सरनाक (1988) ने दिखाया है कि क्यूएफटी औपचारिकता में दो क्रियात्मक निर्धारकों की तुलना करके प्राप्त परिणाम जीटा क्रियात्मक विश्लेषण द्वारा प्राप्त परिणामों से सहमत हैं।

सूत्रों को परिभाषित करना

पथ अभिन्न संस्करण

एक परिमित-आयामी यूक्लिडियन स्थान V पर सकारात्मक स्व-संयुक्त संचालक S के लिए, सूत्र

${\frac {1}{\sqrt {\det S}}}=\int _{V}e^{-\pi \langle x,Sx\rangle }\,dx$

धारण करता है.

समस्या अनंत आयामी फलन स्पेस पर संचालक एस के विश्लेषण को समझने की विधि खोजना है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में पसंदीदा दृष्टिकोण, जिसमें फलन स्पेस में बंद अंतराल पर निरंतर पथ होते हैं, औपचारिक रूप से अभिन्न की गणना करने का प्रयास करना है

$\int _{V}e^{-\pi \langle \phi ,S\phi \rangle }\,{\mathcal {D}}\phi$

जहां V फलन स्पेस है और $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ आंतरिक उत्पाद है और ${\mathcal {D}}\phi$ वीनर माप है। एस पर मूल धारणा यह है कि इसे स्व-संयुक्त होना चाहिए, और इसमें अलग-अलग संचालक स्पेक्ट्रम λ₁, λ₂, λ₃ ... होना चाहिए, जो कि आइगेनफ़ंक्शन f₁, f₂, f₃, ... के संगत सेट के साथ है, जो L² में पूर्ण हैं (उदाहरण के लिए होगा) कॉम्पैक्ट अंतराल Ω पर दूसरे व्युत्पन्न संचालक के लिए स्थिति)। इसका सामान्यतः कारण है कि सभी फलन φ को फलन के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है:

$|\phi \rangle =\sum _{i}c_{i}|f_{i}\rangle \quad {\text{with }}c_{i}=\langle f_{i}|\phi \rangle .$

इसलिए घातांक में आंतरिक उत्पाद को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$\langle \phi |S|\phi \rangle =\sum _{i,j}c_{i}^{*}c_{j}\langle f_{i}|S|f_{j}\rangle =\sum _{i,j}c_{i}^{*}c_{j}\delta _{ij}\lambda _{i}=\sum _{i}|c_{i}|^{2}\lambda _{i}.$

कार्यों के आधार पर f_i, क्रियात्मक एकीकरण सभी आधार कार्यों पर एकीकरण को कम कर देता है। औपचारिक रूप से, यह मानते हुए कि परिमित आयामी स्थिति से हमारा अंतर्ज्ञान अनंत आयामी सेटिंग में चला जाता है, तब माप सामान्य होना चाहिए

${\mathcal {D}}\phi =\prod _{i}{\frac {dc_{i}}{2\pi }}.$

यह क्रियात्मक इंटीग्रल को गाऊसी अभिन्न का उत्पाद बनाता है:

$\int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }=\prod _{i}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dc_{i}}{2\pi }}e^{-\lambda _{i}c_{i}^{2}}.$

तब अभिन्नों का मूल्यांकन, देकर किया जा सकता है

$\int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }=\prod _{i}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi \lambda _{i}}}}}={\frac {N}{\sqrt {\prod _{i}\lambda _{i}}}}$

जहां N अनंत स्थिरांक है जिसे कुछ नियमितीकरण प्रक्रिया द्वारा निपटाने की आवश्यकता है। सभी ईजेनवैल्यू ​​का उत्पाद परिमित-आयामी स्थानों के लिए विश्लेषण के सामान्य है, और हम औपचारिक रूप से इसे हमारे अनंत-आयामी स्थिति में भी परिभाषित करते हैं। इसका परिणाम सूत्र में होता है

$\int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }\propto {\frac {1}{\sqrt {\det S}}}.$

यदि सभी मात्राएँ उचित अर्थ में अभिसरण होती हैं, तो क्रियात्मक विश्लेषण को शास्त्रीय सीमा (वाटसन और व्हिटेकर) के रूप में वर्णित किया जा सकता है। अन्यथा, किसी प्रकार की भिन्न श्रृंखला का प्रदर्शन करना आवश्यक है। क्रियात्मक निर्धारकों की गणना के लिए सबसे लोकप्रिय ज़ेटा फलन नियमितीकरण है। उदाहरण के लिए, यह मिनाक्षीसुंदरम-प्लीजेल ज़ेटा फलन का उपयोग करके रीमैनियन मैनिफोल्ड पर लाप्लास और डिराक ऑपरेटरों के विश्लेषण की गणना करने की अनुमति देता है। अन्यथा, दो निर्धारकों के भागफल पर विचार करना भी संभव है, जिससे अपसारी स्थिरांक निरस्त हो जाते हैं।

ज़ेटा फलन संस्करण

मान लीजिए कि S सुचारू गुणांक वाला अण्डाकार अंतर संचालक है जो कॉम्पैक्ट समर्थन के कार्यों पर सकारात्मक है। अर्थात्, स्थिरांक c > 0 उपस्थित है

$\langle \phi ,S\phi \rangle \geq c\langle \phi ,\phi \rangle$

सभी कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित सुचारू कार्यों के लिए φ। तब S के पास L पर संचालक के लिए स्व-संयुक्त एक्सटेंशन है²निचली सीमा के साथ सी। S के ईजेनवैल्यू ​​को क्रम में व्यवस्थित किया जा सकता है

$0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots ,\qquad \lambda _{n}\to \infty .$

फिर S का जीटा फलन श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया गया है:

$\zeta _{S}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}^{s}}}.$

ज्ञात है कि ζ_S पूरे विमान में मेरोमोर्फिक निरंतरता है। इसके अतिरिक्त, चूँकि कोई अधिक सामान्य स्थितियों में जीटा फलन को परिभाषित कर सकता है, अण्डाकार अंतर संचालक (या स्यूडोडिफरेंशियल संचालक) का जीटा फलन $s=0$. गणितीय शब्दजाल नियमित है

औपचारिक रूप से, इस श्रृंखला को शब्द-दर-अवधि विभेदित करने से पता चलता है

$\zeta _{S}'(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\ln \lambda _{n}}{\lambda _{n}^{s}}},$

और इसलिए यदि क्रियात्मक विश्लेषण अच्छी तरह से परिभाषित है, जिससे इसे इसके द्वारा दिया जाना चाहिए

$\det S=\exp \left(-\zeta _{S}'(0)\right).$

चूँकि ज़ेटा फलन की विश्लेषणात्मक निरंतरता शून्य पर नियमित है, इसलिए इसे विश्लेषण की परिभाषा के रूप में कठोरता से अपनाया जा सकता है।

इस प्रकार का ज़ेटा-नियमित क्रियात्मक विश्लेषण फॉर्म ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)}}}$ के योगों का मूल्यांकन करते समय भी प्रकट होता है . एकीकरण ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\ln(n+a)}$ जिसे लयबद्ध दोलक के लिए विश्लेषण का लघुगणक माना जा सकता है। यह अंतिम मान $-\partial _{s}\zeta _{H}(0,a)$ पूर्णतया सामान्य है , जहाँ $\zeta _{H}(s,a)$ हर्विट्ज़ ज़ेटा फलन है।

व्यावहारिक उदाहरण

A = 0 के साथ अनंत विभव कुँआ।

अनंत क्षमता वेल

हम बॉक्स में कण में क्वांटम यांत्रिकी कण की गति का वर्णन करने वाले निम्नलिखित संचालक के विश्लेषण की गणना करेंगे:

$\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)\qquad (x\in [0,L]),$

जहां A क्षमता की गहराई है और L कुएं की लंबाई है। हम इस विश्लेषण की गणना संचालक को विकर्ण करके और ईजेनवैल्यू ​​​​को गुणा करके करेंगे। जिससे निर्बाध अपसारी स्थिरांक से परेशान न होना पड़े, हम गहराई A वाले संचालक के निर्धारकों और गहराई A = 0 वाले संचालक के बीच भागफल की गणना करेंगे। इस क्षमता के ईजेनवैल्यू ​​​​के सामान्य हैं

$\lambda _{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}+A\qquad (n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}).$

इस का कारण है कि

${\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}=\prod _{n=1}^{+\infty }{\frac {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}+A}{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {L^{2}A}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).$

अब हम त्रिकोणमितीय कार्य के लिए लियोनहार्ड यूलर के अनंत उत्पाद कार्यों के उत्पाद प्रतिनिधित्व का उपयोग कर सकते हैं:

$\sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)$

जिससे अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य के लिए समान सूत्र प्राप्त किया जा सकता है:

$\sinh z=-i\sin iz=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).$

इसे प्रयुक्त करने पर, हम वह पाते हैं

${\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {L^{2}A}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\frac {\sinh L{\sqrt {A}}}{L{\sqrt {A}}}}.$

क्रियात्मक विश्लेषण की गणना करने का दूसरा विधि

एक-आयामी संभावनाओं के लिए, क्रियात्मक विश्लेषण प्रदान करने वाला शॉर्ट-कट उपस्थित है। यह निम्नलिखित अभिव्यक्ति पर विचार पर आधारित है:

${\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)-m\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)-m\right)}}$

जहाँ m सम्मिश्र संख्या स्थिरांक है। यह अभिव्यक्ति m का मेरोमोर्फिक फलन है, जिसमें शून्य होता है जब m संभावित V₁(x) के साथ संचालक के ईजेनमूल्य के सामान्य होता है और पोल जब m संभावित V वाले संचालक का आइगेनवैल्यू है। अब हम फलन ψ^m
₁ और ψ^m
₂ साथ पर विचार करते हैं

$\left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{i}(x)-m\right)\psi _{i}^{m}(x)=0$

सीमा नियमो का पालन करना

$\psi _{i}^{m}(0)=0,\quad \qquad {\frac {d\psi _{i}^{m}}{dx}}(0)=1.$

यदि हम फलन का निर्माण करते हैं

$\Delta (m)={\frac {\psi _{1}^{m}(L)}{\psi _{2}^{m}(L)}},$

जो m का मेरोमोर्फिक फलन भी है, हम देखते हैं कि इसमें पूर्णतया वही ध्रुव और शून्य हैं जो निर्धारकों के भागफल के रूप में हम गणना करने का प्रयास कर रहे हैं: यदि m संचालक नंबर का आइगेनवैल्यू है, तो ψ^m
₁(x) उसका ईजेनफंक्शन होगा, जिसका अर्थ है ψ^m
₁(L) = 0; और हर के लिए अनुरूप रूप से लिउविले के प्रमेय (जटिल विश्लेषण) द्वारा|लिउविले के प्रमेय, समान शून्य और ध्रुवों वाले दो मेरोमोर्फिक फलन दूसरे के समानुपाती होने चाहिए। हमारे स्थिति में, आनुपातिकता स्थिरांक हो जाता है, और हमें मिलता है

${\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)-m\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)-m\right)}}={\frac {\psi _{1}^{m}(L)}{\psi _{2}^{m}(L)}}$

m के सभी मानों के लिए m = 0 के लिए हमें प्राप्त होता है

${\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)\right)}}={\frac {\psi _{1}^{0}(L)}{\psi _{2}^{0}(L)}}.$

अनंत क्षमता का अच्छी तरह से पुनरावलोकन

इस औपचारिकता से पिछले अनुभाग की समस्या को अधिक सरलता से हल किया जा सकता है। फलन ψ⁰
_i(x) का पालन करते हैं

${\begin{aligned}&\left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)\psi _{1}^{0}=0,\qquad \psi _{1}^{0}(0)=0\quad ,\qquad {\frac {d\psi _{1}^{0}}{dx}}(0)=1,\\&-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi _{2}^{0}=0,\qquad \psi _{2}^{0}(0)=0,\qquad {\frac {d\psi _{2}^{0}}{dx}}(0)=1,\end{aligned}}$

निम्नलिखित समाधान दे रहे हैं:

${\begin{aligned}&\psi _{1}^{0}(x)={\frac {1}{\sqrt {A}}}\sinh x{\sqrt {A}},\\&\psi _{2}^{0}(x)=x.\end{aligned}}$

यह अंतिम अभिव्यक्ति देता है

${\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}={\frac {\sinh L{\sqrt {A}}}{L{\sqrt {A}}}}.$

यह भी देखें

• फ्रेडहोम विश्लेषण
• फुजिकावा विधि
• फद्दीव-पोपोव भूत

संदर्भ

• Berline, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operators, ISBN 978-3-540-20062-8
• Branson, Thomas P. (2007), "Q-curvature, spectral invariants, and representation theory", Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 3: Paper 090, 31, arXiv:0709.2471, Bibcode:2007SIGMA...3..090B, doi:10.3842/SIGMA.2007.090, ISSN 1815-0659, MR 2366932, S2CID 14629173
• Branson, Thomas P. (1993), The functional determinant, Lecture Notes Series, vol. 4, Seoul: Seoul National University Research Institute of Mathematics Global Analysis Research Center, MR 1325463
• Hörmander, Lars (1968), "The spectral function of an elliptic operator", Acta Mathematica, 121: 193–218, doi:10.1007/BF02391913, ISSN 0001-5962, MR 0609014
• Osgood, B.; Phillips, R.; Sarnak, Peter (1988), "Extremals of determinants of Laplacians", Journal of Functional Analysis, 80 (1): 148–211, doi:10.1016/0022-1236(88)90070-5, ISSN 0022-1236, MR 0960228
• Ray, D. B.; Singer, I. M. (1971), "R-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds", Advances in Mathematics, 7 (2): 145–210, doi:10.1016/0001-8708(71)90045-4, MR 0295381
• Seeley, R. T. (1967), "Complex powers of an elliptic operator", Singular Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966), Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 288–307, MR 0237943
• Shubin, M. A. (1987), Pseudodifferential operators and spectral theory, Springer Series in Soviet Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13621-7, MR 0883081