संयोजित संबंध: Difference between revisions

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गणित में, समुच्चय पर किसी संबंध को संयोजित या पूर्ण कहा जाता है यदि यह समुच्चय के तत्वों के सभी अलग-अलग युग्मों को एक या दूसरे दिशा में जोड़ता है (या "तुलना करता है"), जबकि यदि यह तत्वों के सभी युग्मों को जोड़ता है तो इसे दृढ़ता से जुड़ा हुआ कहा जाता है। जैसा कि नीचे शब्दावली अनुभाग में वर्णित है, इन गुणों के लिए शब्दावली एक समान नहीं है। "योग " की इस धारणा को सभी के लिए योग संबंध के साथ अस्पष्ट नहीं किया जाना चाहिए <math>x \in X</math> में एक है <math>y \in X</math> जिससे <math>x \mathrel{R} y</math> ( क्रमशः संबंध देखें)।
गणित में, समुच्चय पर किसी संबंध को संयोजित या पूर्ण कहा जाता है यदि यह समुच्चय के तत्वों के सभी अलग-अलग युग्मों को एक या दूसरे दिशा में जोड़ता है (या "तुलना करता है"), जबकि यदि यह तत्वों के सभी युग्मों को जोड़ता है तो इसे दृढ़ता से संयोजित कहा जाता है। जैसा कि नीचे शब्दावली अनुभाग में वर्णित है, इन गुणों के लिए शब्दावली एक समान नहीं है। "योग " की इस धारणा को सभी के लिए योग संबंध के साथ अस्पष्ट नहीं किया जाना चाहिए <math>x \in X</math> में एक है <math>y \in X</math> जिससे <math>x \mathrel{R} y</math> ( क्रमशः संबंध देखें)।


[[कुल ऑर्डर]] की परिभाषा में कनेक्टिविटी प्रमुखता से दिखाई देती है: कुल (या रैखिक) क्रम एक आंशिक क्रम है जिसमें कोई भी दो तत्व तुलनीय होते हैं; अर्थात् क्रम संबंध जुड़ा हुआ है। इसी प्रकार, पूर्णतः [[आंशिक आदेश]] जो जुड़ा हुआ है वह [[सख्त कुल आदेश|पूर्णतः कुल आदेश]] होता है। एक संबंध कुल आदेश है यदि यह आंशिक आदेश और दृढ़ता से जुड़ा हुआ दोनों होता है। एक संबंध पूर्णतः कुल आदेश है यदि, यह आंशिक आदेश है और अभी जुड़ा हुआ है। एक पूर्णतः योग क्रम को कभी भी मजबूती से नहीं जोड़ा जा सकता (खाली डोमेन को छोड़कर)।
[[कुल ऑर्डर]] की परिभाषा में कनेक्टिविटी प्रमुखता से दिखाई देती है: कुल (या रैखिक) क्रम एक आंशिक क्रम है जिसमें कोई भी दो तत्व तुलनीय होते हैं; अर्थात् क्रम संबंध संयोजित है। इसी प्रकार, पूर्णतः [[आंशिक आदेश]] जो संयोजित है वह [[सख्त कुल आदेश|पूर्णतः कुल आदेश]] होता है। एक संबंध कुल आदेश है यदि यह आंशिक आदेश और दृढ़ता से संयोजित दोनों होता है। एक संबंध पूर्णतः कुल आदेश है यदि, यह आंशिक आदेश है और अभी संयोजित है। एक पूर्णतः योग क्रम को कभी भी मजबूती से नहीं जोड़ा जा सकता (खाली डोमेन को छोड़कर)।


== औपचारिक परिभाषा ==
== औपचारिक परिभाषा ==


एक रिश्ता <math>R</math> एक सेट पर <math>X</math> कहा जाता है{{em|{{visible anchor|connected|Connected relation}}}}जब सभी के लिए <math>x, y \in X,</math>  
एक संबंध समुच्चय पर <math>R</math> को  <math>X</math> को संयोजित तब किया जाता है जब सभी के लिए <math>x, y \in X,</math>  
<math display=block>\text{ if } x \neq y \text{ then } x \mathrel{R} y \quad \text{or} \quad y \mathrel{R} x,</math>
<math display=block>\text{ if } x \neq y \text{ then } x \mathrel{R} y \quad \text{or} \quad y \mathrel{R} x,</math>
या, समकक्ष, जब सभी के लिए <math>x, y \in X,</math>
या, समकक्ष, जब सभी के लिए <math>x, y \in X,</math>
<math display=block>x \mathrel{R} y \quad \text{or} \quad y \mathrel{R} x \quad \text{or} \quad x = y.</math>
<math display=block>x \mathrel{R} y \quad \text{or} \quad y \mathrel{R} x \quad \text{or} \quad x = y.</math>
संपत्ति से एक रिश्ता वो सबके लिए <math>x, y \in X,</math>  
गुण से संबंधित सबके लिए <math>x, y \in X,</math>  
<math display=block>x \mathrel{R} y \quad \text{or} \quad y \mathrel{R} x</math>
<math display=block>x \mathrel{R} y \quad \text{or} \quad y \mathrel{R} x</math>
कहा जाता है{{em|{{visible anchor|strongly connected|Strongly connected relation}}}}.<ref>{{Cite book|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-967959-1|last1=Clapham|first1=Christopher|last2=Nicholson|first2=James|title=गणित का संक्षिप्त ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी|chapter=connected|access-date=2021-04-12|date=2014-09-18|url=http://www.oxfordreference.com/view/10.1093/acref/9780199679591.001.0001/acref-9780199679591-e-598}}</ref><ref>{{Cite book|publisher=Springer|isbn=978-1-4939-3223-8|last=Nievergelt|first=Yves|title=Logic, Mathematics, and Computer Science: Modern Foundations with Practical Applications|date=2015-10-13|page=182|url=https://books.google.com/books?id=AInDCgAAQBAJ&pg=PA182}}</ref><ref>{{Cite book|publisher=Jones & Bartlett Learning|isbn=0-86720-463-X|last=Causey|first=Robert L.|title=तर्क, सेट और पुनरावर्तन|date=1994}}, p. 135</ref>
{{em|{{visible anchor|strongly connected|Strongly connected relation}}}} कहा जाता है। <ref>{{Cite book|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-967959-1|last1=Clapham|first1=Christopher|last2=Nicholson|first2=James|title=गणित का संक्षिप्त ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी|chapter=connected|access-date=2021-04-12|date=2014-09-18|url=http://www.oxfordreference.com/view/10.1093/acref/9780199679591.001.0001/acref-9780199679591-e-598}}</ref><ref>{{Cite book|publisher=Springer|isbn=978-1-4939-3223-8|last=Nievergelt|first=Yves|title=Logic, Mathematics, and Computer Science: Modern Foundations with Practical Applications|date=2015-10-13|page=182|url=https://books.google.com/books?id=AInDCgAAQBAJ&pg=PA182}}</ref><ref>{{Cite book|publisher=Jones & Bartlett Learning|isbn=0-86720-463-X|last=Causey|first=Robert L.|title=तर्क, सेट और पुनरावर्तन|date=1994}}, p. 135</ref>
 
 
=== शब्दावली ===
=== शब्दावली ===


जुड़े हुए संबंध की धारणा का मुख्य उपयोग आदेशों के संदर्भ में है, जहां इसका उपयोग कुल, या रैखिक, आदेशों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। इस संदर्भ में, संपत्ति का अक्सर विशेष रूप से नाम नहीं दिया जाता है। बल्कि, कुल आदेशों को आंशिक आदेशों के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें कोई भी दो तत्व तुलनीय हैं।<ref>
जुड़े हुए संबंध की धारणा का मुख्य उपयोग आदेशों के संदर्भ में है, जहां इसका उपयोग कुल, या रैखिक, आदेशों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। इस संदर्भ में, गुण को अधिकांशतः विशेष रूप से नाम नहीं दिया जाता है। जबकि, कुल आदेशों को आंशिक आदेशों के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें कोई भी दो तत्व तुलनीय होता हैं।<ref>
{{cite book|author=Paul R. Halmos|title=Naive Set Theory|location=Princeton|publisher=Nostrand|year=1968}} Here: Ch.14. Halmos gives the names of reflexivity, anti-symmetry, and transitivity, but not of connectedness.</ref><ref>
{{cite book|author=Paul R. Halmos|title=Naive Set Theory|location=Princeton|publisher=Nostrand|year=1968}} Here: Ch.14. Halmos gives the names of reflexivity, anti-symmetry, and transitivity, but not of connectedness.</ref><ref>
{{cite book|author=Patrick Cousot|chapter=Methods and Logics for Proving Programs|pages=841&ndash;993|isbn=0-444-88074-7|editor=Jan van Leeuwen|title=Formal Models and Semantics|publisher=Elsevier|series=Handbook of Theoretical Computer Science|volume=B|year=1990}} Here: Sect.6.3, p.878</ref>
{{cite book|author=Patrick Cousot|chapter=Methods and Logics for Proving Programs|pages=841&ndash;993|isbn=0-444-88074-7|editor=Jan van Leeuwen|title=Formal Models and Semantics|publisher=Elsevier|series=Handbook of Theoretical Computer Science|volume=B|year=1990}} Here: Sect.6.3, p.878</ref> इस प्रकार, {{em|{{visible anchor|योग |योग relation}}}} का उपयोग सामान्यतः उन संबंधों के लिए किया जाता है जो जुड़े हुए हैं या दृढ़ता से संयोजित होते हैं।<ref name="Aliprantis">{{Cite book|publisher=Springer|isbn=978-3-540-32696-0|last1=Aliprantis|first1=Charalambos D.|last2=Border|first2=Kim C.|title=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|date=2007-05-02}}, p. 6</ref> चूँकि, "कुल संबंध" की इस धारणा को क्रमिक होने की संपत्ति से अलग किया जाना चाहिए, जिसे कुल भी कहा जाता है। इसी तरह, जुड़े हुए संबंधों को कभी-कभी पूर्ण कहा जाता है,<ref>{{Cite book|publisher=Springer|isbn=978-1-4471-2500-6|last=Makinson|first=David|title=कंप्यूटिंग के लिए सेट, तर्क और गणित|date=2012-02-27}}, p. 50</ref> चूँकि, इससे भी उत्पन्न हो सकता है: [[सार्वभौमिक संबंध]] को पूर्ण भी कहा जाता है,<ref>{{Cite book|last1=Whitehead|first1=Alfred North|author-link1=Alfred North Whitehead|last2=Russell|first2=Bertrand|author-link2=Bertrand Russell|url=http://archive.org/details/principiamathema01anwh|title=गणितीय सिद्धांत|date=1910|publisher=Cambridge University Press|year=1910|location=Cambridge|language=English}}</ref> और क्रम सिद्धांत में "पूर्ण" के कई अन्य अर्थ हैं। संयोजित संबंधों को {{em|{{visible anchor|कॉननेक्स|Connex relation}}}} भी कहा जाता है<ref>{{Cite book|publisher=Prentice-Hall|last=Wall|first=Robert E.|title=गणितीय भाषाविज्ञान का परिचय|date=1974}} page 114.</ref><ref>
इस प्रकार, {{em|{{visible anchor|total|Total relation}}}} का उपयोग आम तौर पर उन संबंधों के लिए किया जाता है जो जुड़े हुए हैं या मजबूती से जुड़े हुए हैं।<ref name="Aliprantis">{{Cite book|publisher=Springer|isbn=978-3-540-32696-0|last1=Aliprantis|first1=Charalambos D.|last2=Border|first2=Kim C.|title=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|date=2007-05-02}}, p. 6</ref> हालाँकि, कुल संबंध की इस धारणा को क्रमिक संबंध होने की संपत्ति से अलग किया जाना चाहिए, जिसे कुल भी कहा जाता है। इसी तरह, कभी-कभी जुड़े हुए रिश्ते भी कहलाते हैं {{em|{{visible anchor|complete|Complete relation}}}},<ref>{{Cite book|publisher=Springer|isbn=978-1-4471-2500-6|last=Makinson|first=David|title=कंप्यूटिंग के लिए सेट, तर्क और गणित|date=2012-02-27}}, p. 50</ref> हालाँकि इससे भी भ्रम पैदा हो सकता है: [[सार्वभौमिक संबंध]] को पूर्ण भी कहा जाता है,<ref>{{Cite book|last1=Whitehead|first1=Alfred North|author-link1=Alfred North Whitehead|last2=Russell|first2=Bertrand|author-link2=Bertrand Russell|url=http://archive.org/details/principiamathema01anwh|title=गणितीय सिद्धांत|date=1910|publisher=Cambridge University Press|year=1910|location=Cambridge|language=English}}</ref> और [[पूर्णता ([[आदेश सिद्धांत]])]] के क्रम सिद्धांत में कई अन्य अर्थ हैं।
{{cite web|author=Carl Pollard|url=http://www.ling.ohio-state.edu/~pollard/680/chapters/relations.pdf|title=Relations and Functions|location=Ohio State University|accessdate=2018-05-28}} Page 7.</ref> या संतुष्ट करने के लिए कहा {{Em|trichotomy}}<ref>{{Cite book|publisher=College Publications|isbn=978-1-904987-14-7|last=Kunen|first=Kenneth|title=गणित की नींव|date=2009}} p. 24</ref> (चूँकि [[ट्राइकोटॉमी (गणित)|ट्राइकोटॉमी]] ट्राइकोटॉमी की अधिक सामान्य परिभाषा {{em|तीन विकल्पों }} में से एक में अधिक मजबूत होता है  <math>x \mathrel{R} y, y \mathrel{R} x, x = y</math> अवश्य धारण करना चाहिए)।
जुड़े हुए रिश्ते भी कहलाते हैं {{em|{{visible anchor|connex|Connex relation}}}}<ref>{{Cite book|publisher=Prentice-Hall|last=Wall|first=Robert E.|title=गणितीय भाषाविज्ञान का परिचय|date=1974}} page 114.</ref><ref>
{{cite web|author=Carl Pollard|url=http://www.ling.ohio-state.edu/~pollard/680/chapters/relations.pdf|title=Relations and Functions|location=Ohio State University|accessdate=2018-05-28}} Page 7.</ref> या संतुष्ट करने के लिए कहा {{Em|trichotomy}}<ref>{{Cite book|publisher=College Publications|isbn=978-1-904987-14-7|last=Kunen|first=Kenneth|title=गणित की नींव|date=2009}} p. 24</ref> (हालांकि [[ट्राइकोटॉमी (गणित)]] की अधिक सामान्य परिभाषा उसमें अधिक मजबूत है {{em|exactly one}}तीन विकल्पों में से <math>x \mathrel{R} y, y \mathrel{R} x, x = y</math> अवश्य होल्ड करें)।


जब विचार किए गए संबंध आदेश नहीं हैं, तो जुड़ा होना और मजबूती से जुड़ा होना महत्वपूर्ण रूप से अलग-अलग गुण हैं। वे स्रोत जो दोनों को परिभाषित करते हैं, फिर शब्दों के जोड़े का उपयोग करते हैं जैसे {{em|{{visible anchor|weakly connected|Weakly connected relation}}}} और {{Em|connected}},<ref>{{Cite book|publisher=Princeton University Press|isbn=978-1-4008-6833-9|last=Fishburn|first=Peter C.|title=सामाजिक चयन का सिद्धांत|date=2015-03-08|page=72|url=https://books.google.com/books?id=m2V9BgAAQBAJ&pg=PA72}}</ref> {{Em|complete}} और {{Em|strongly complete}},<ref>{{Cite book|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-10243-8|last=Roberts|first=Fred S.|title=Measurement Theory: Volume 7: With Applications to Decisionmaking, Utility, and the Social Sciences|date=2009-03-12}} page 29</ref> {{Em|total}} और {{Em|complete}},<ref name="Aliprantis" /> {{em|{{visible anchor|semiconnex|Semiconnex relation}}}} और {{em|{{visible anchor|connex|Connex relation}}}},<ref name="Schmidt">{{cite book|last1=Schmidt|first1=Gunther|last2=Ströhlein|first2=Thomas|date=1993|title=Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists|url=https://books.google.com/books?id=ZgarCAAAQBAJ|location=Berlin|publisher=Springer|isbn=978-3-642-77970-1|author-link=Gunther Schmidt }}</ref> या {{em|{{visible anchor|connex|Connex relation}}}} और {{em|{{visible anchor|strictly connex|Strictly connex relation}}}},<ref>{{Cite book|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-642-59830-2|last1=Ganter|first1=Bernhard|last2=Wille|first2=Rudolf|title=Formal Concept Analysis: Mathematical Foundations|date=2012-12-06}} p. 86</ref> जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, क्रमशः जुड़े हुए और दृढ़ता से जुड़े हुए विचारों के लिए वैकल्पिक नाम के रूप में।
जब विचार किए गए संबंध आदेश नहीं हैं, तो जुड़ा होना और मजबूती से जुड़ा होना महत्वपूर्ण रूप से अलग-अलग गुण हैं। वे स्रोत जो दोनों को परिभाषित करते हैं, फिर शब्दों के जोड़े का उपयोग करते हैं जैसे {{em|{{visible anchor|weakly connected|Weakly connected relation}}}} और {{Em|connected}},<ref>{{Cite book|publisher=Princeton University Press|isbn=978-1-4008-6833-9|last=Fishburn|first=Peter C.|title=सामाजिक चयन का सिद्धांत|date=2015-03-08|page=72|url=https://books.google.com/books?id=m2V9BgAAQBAJ&pg=PA72}}</ref> {{Em|complete}} और {{Em|strongly complete}},<ref>{{Cite book|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-10243-8|last=Roberts|first=Fred S.|title=Measurement Theory: Volume 7: With Applications to Decisionmaking, Utility, and the Social Sciences|date=2009-03-12}} page 29</ref> {{Em|total}} और {{Em|complete}},<ref name="Aliprantis" /> {{em|{{visible anchor|semiconnex|Semiconnex relation}}}} और {{em|{{visible anchor|connex|Connex relation}}}},<ref name="Schmidt">{{cite book|last1=Schmidt|first1=Gunther|last2=Ströhlein|first2=Thomas|date=1993|title=Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists|url=https://books.google.com/books?id=ZgarCAAAQBAJ|location=Berlin|publisher=Springer|isbn=978-3-642-77970-1|author-link=Gunther Schmidt }}</ref> या {{em|{{visible anchor|connex|Connex relation}}}} और {{em|{{visible anchor|strictly connex|Strictly connex relation}}}},<ref>{{Cite book|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-642-59830-2|last1=Ganter|first1=Bernhard|last2=Wille|first2=Rudolf|title=Formal Concept Analysis: Mathematical Foundations|date=2012-12-06}} p. 86</ref> जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, क्रमशः जुड़े हुए और दृढ़ता से जुड़े हुए विचारों के लिए वैकल्पिक नाम के रूप में।
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== विशेषताएँ ==
== विशेषताएँ ==


होने देना <math>R</math> एक [[सजातीय संबंध]] हो. निम्नलिखित समतुल्य हैं:<ref name="Schmidt" />* <math>R</math> मजबूती से जुड़ा हुआ है;
होने देना <math>R</math> एक [[सजातीय संबंध]] हो. निम्नलिखित समतुल्य हैं:<ref name="Schmidt" />* <math>R</math> मजबूती से संयोजित है;
* <math>U \subseteq R \cup R^\top</math>;
* <math>U \subseteq R \cup R^\top</math>;
* <math>\overline{R} \subseteq R^\top</math>;
* <math>\overline{R} \subseteq R^\top</math>;
* <math>\overline{R}</math> [[असममित संबंध]] है,
* <math>\overline{R}</math> [[असममित संबंध]] है,
कहाँ <math>U</math> सार्वभौमिक संबंध है और <math>R^\top</math> का [[विपरीत संबंध]] है <math>R.</math>
जहाँ <math>U</math> सार्वभौमिक संबंध है और <math>R^\top</math> का [[विपरीत संबंध]] है <math>R.</math>
 
निम्नलिखित समतुल्य हैं:<ref name="Schmidt" />* <math>R</math> जुड़ा है;
निम्नलिखित समतुल्य हैं:<ref name="Schmidt" />* <math>R</math> जुड़ा है;
* <math>\overline{I} \subseteq R \cup R^\top</math>;
* <math>\overline{I} \subseteq R \cup R^\top</math>;
* <math>\overline{R} \subseteq R^\top \cup I</math>;
* <math>\overline{R} \subseteq R^\top \cup I</math>;
* <math>\overline{R}</math> [[एंटीसिमेट्रिक संबंध]] है,
* <math>\overline{R}</math> [[एंटीसिमेट्रिक संबंध]] है,
कहाँ <math>\overline{I}</math> बाइनरी संबंध#विशेष सजातीय संबंधों का [[पूरक (सेट सिद्धांत)]] है <math>I</math> और <math>R^\top</math> का विपरीत संबंध है <math>R.</math>
कहाँ <math>\overline{I}</math> बाइनरी संबंधविशेष सजातीय संबंधों का [[पूरक (सेट सिद्धांत)|पूरक (समुच्चय सिद्धांत)]] है <math>I</math> और <math>R^\top</math> का विपरीत संबंध है <math>R.</math>
प्रगति का परिचय देते हुए, रसेल ने कनेक्शन के सिद्धांत का आह्वान किया:
प्रगति का परिचय देते हुए, रसेल ने संयोजित  के सिद्धांत का आह्वान किया:
{{blockquote|text=Whenever a series is originally given by a transitive asymmetrical relation, we can express connection by the condition that any two terms of our series are to have the [[serial relation|generating relation]].|author=[[Bertrand Russell]]|title=''[[The  Principles of Mathematics]]'', page 239}}
 
{{blockquote|text=जब भी कोई श्रृंखला मूल रूप से एक सकर्मक असममित संबंध द्वारा दी जाती है, तो हम इस शर्त से संबंध व्यक्त कर सकते हैं कि हमारी श्रृंखला के किन्हीं दो पदों में [[क्रमिक संबंध|उत्पन्न संबंध]] होना चाहिए।|author=[[बर्ट्रेंड रसेल]]|title=''[[गणित के सिद्धांत]]'', पृष्ठ 239}}


== गुण ==
== गुण ==


* {{em|edge}जीई}} संबंध<ref group="note">Defined formally by <math>v E w</math> if a graph edge leads from vertex <math>v</math> to vertex <math>w</math></ref> <math>E</math> एक टूर्नामेंट (ग्राफ़ सिद्धांत) ग्राफ़ का <math>G</math> के सेट पर हमेशा एक जुड़ा हुआ रिश्ता होता है <math>G</math>{{'}}s शीर्ष.
* {{em|किनारों } का }} संबंध<ref group="note">Defined formally by <math>v E w</math> if a graph edge leads from vertex <math>v</math> to vertex <math>w</math></ref> <math>E</math> टूर्नामेंट ग्राफ़ का <math>G</math> के समुच्चय पर सदैव युग्मित हुआ होता है <math>G</math>{{'}}s शीर्ष।
* यदि कोई मजबूती से जुड़ा हुआ संबंध [[सममित संबंध]] है, तो यह सार्वभौमिक संबंध है।
* यदि दृढ़ता से संयोजित [[सममित संबंध]] है, तो यह सार्वभौमिक संबंध है।
* कोई भी रिश्ता मजबूती से तभी जुड़ा होता है, जब वह जुड़ा हुआ और प्रतिवर्ती हो।<ref group="proof">For the {{em|only if}} direction, both properties follow trivially. &mdash; For the {{em|if}} direction: when <math>x \neq y,</math> then <math>x\mathrel{R}y \lor y\mathrel{R}x</math> follows from connectedness; when <math>x = y,</math>  <math>x \mathrel{R} y</math> follows from reflexivity.</ref>
* कोई भी संबंध मजबूती से तभी जुड़ा होता है, जब वह संयोजित और प्रतिवर्ती होता है।<ref group="proof">For the {{em|only if}} direction, both properties follow trivially. &mdash; For the {{em|if}} direction: when <math>x \neq y,</math> then <math>x\mathrel{R}y \lor y\mathrel{R}x</math> follows from connectedness; when <math>x = y,</math>  <math>x \mathrel{R} y</math> follows from reflexivity.</ref>
* सेट पर जुड़ा हुआ रिश्ता <math>X</math> बशर्ते, [[प्रतिसंक्रमणीय]] नहीं हो सकता <math>X</math> कम से कम 4 तत्व हैं।<ref>
* समुच्चय पर युग्मित संबंध होता है, <math>X</math> को , [[प्रतिसंक्रमणीय]] नहीं हो सकता <math>X</math> मे कम से कम 4 तत्व होते हैं।<ref>
{{cite report|arxiv=1806.05036|author=Jochen Burghardt|title=Simple Laws about Nonprominent Properties of Binary Relations|type=Technical Report|date=Jun 2018|bibcode=2018arXiv180605036B}} Lemma 8.2, p.8.</ref> 3-तत्व सेट पर <math>\{ a, b, c \},</math> उदाहरण के लिए, संबंध <math>\{ (a, b), (b, c), (c, a) \}</math> दोनों गुण हैं.
{{cite report|arxiv=1806.05036|author=Jochen Burghardt|title=Simple Laws about Nonprominent Properties of Binary Relations|type=Technical Report|date=Jun 2018|bibcode=2018arXiv180605036B}} Lemma 8.2, p.8.</ref> 3-तत्व समुच्चय पर <math>\{ a, b, c \},</math> उदाहरण के लिए, संबंध <math>\{ (a, b), (b, c), (c, a) \}</math> दोनों गुण होते हैं।
* अगर <math>R</math> पर एक जुड़ा हुआ रिश्ता है <math>X,</math> फिर सभी, या एक को छोड़कर सभी, के तत्व <math>X</math> छवि में हैं (गणित)#के द्विआधारी संबंधों का सामान्यीकरण <math>R.</math><ref group="proof">If <math>x, y \in X \setminus \operatorname{ran}(R),</math> then <math>x \mathrel{R} y</math> and <math>y \mathrel{R} x</math> are impossible, so <math>x = y</math> follows from connectedness.</ref> इसी तरह, सभी, या एक को छोड़कर सभी, के तत्व <math>X</math> के क्षेत्र में हैं <math>R.</math>
* यदि <math>R</math> पर एक संयोजित संबंध है <math>X,</math> फिर सभी, या एक को छोड़कर सभी, तत्व <math>X</math> रेंज के द्विआधारी संबंधों का सामान्यीकरण <math>R.</math><ref group="proof">If <math>x, y \in X \setminus \operatorname{ran}(R),</math> then <math>x \mathrel{R} y</math> and <math>y \mathrel{R} x</math> are impossible, so <math>x = y</math> follows from connectedness.</ref> इसी तरह, ससभी, या एक को छोड़कर सभी, <math>R</math> के तत्व <math>X</math> के क्षेत्र में होते है।
 
 
== टिप्पणियाँ ==
== टिप्पणियाँ ==


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==संदर्भ==
==संदर्भ==



Revision as of 13:37, 5 July 2023

गणित में, समुच्चय पर किसी संबंध को संयोजित या पूर्ण कहा जाता है यदि यह समुच्चय के तत्वों के सभी अलग-अलग युग्मों को एक या दूसरे दिशा में जोड़ता है (या "तुलना करता है"), जबकि यदि यह तत्वों के सभी युग्मों को जोड़ता है तो इसे दृढ़ता से संयोजित कहा जाता है। जैसा कि नीचे शब्दावली अनुभाग में वर्णित है, इन गुणों के लिए शब्दावली एक समान नहीं है। "योग " की इस धारणा को सभी के लिए योग संबंध के साथ अस्पष्ट नहीं किया जाना चाहिए में एक है जिससे ( क्रमशः संबंध देखें)।

कुल ऑर्डर की परिभाषा में कनेक्टिविटी प्रमुखता से दिखाई देती है: कुल (या रैखिक) क्रम एक आंशिक क्रम है जिसमें कोई भी दो तत्व तुलनीय होते हैं; अर्थात् क्रम संबंध संयोजित है। इसी प्रकार, पूर्णतः आंशिक आदेश जो संयोजित है वह पूर्णतः कुल आदेश होता है। एक संबंध कुल आदेश है यदि यह आंशिक आदेश और दृढ़ता से संयोजित दोनों होता है। एक संबंध पूर्णतः कुल आदेश है यदि, यह आंशिक आदेश है और अभी संयोजित है। एक पूर्णतः योग क्रम को कभी भी मजबूती से नहीं जोड़ा जा सकता (खाली डोमेन को छोड़कर)।

औपचारिक परिभाषा

एक संबंध समुच्चय पर को को संयोजित तब किया जाता है जब सभी के लिए

या, समकक्ष, जब सभी के लिए
गुण से संबंधित सबके लिए
strongly connected कहा जाता है। [1][2][3]

शब्दावली

जुड़े हुए संबंध की धारणा का मुख्य उपयोग आदेशों के संदर्भ में है, जहां इसका उपयोग कुल, या रैखिक, आदेशों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। इस संदर्भ में, गुण को अधिकांशतः विशेष रूप से नाम नहीं दिया जाता है। जबकि, कुल आदेशों को आंशिक आदेशों के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें कोई भी दो तत्व तुलनीय होता हैं।[4][5] इस प्रकार, योग का उपयोग सामान्यतः उन संबंधों के लिए किया जाता है जो जुड़े हुए हैं या दृढ़ता से संयोजित होते हैं।[6] चूँकि, "कुल संबंध" की इस धारणा को क्रमिक होने की संपत्ति से अलग किया जाना चाहिए, जिसे कुल भी कहा जाता है। इसी तरह, जुड़े हुए संबंधों को कभी-कभी पूर्ण कहा जाता है,[7] चूँकि, इससे भी उत्पन्न हो सकता है: सार्वभौमिक संबंध को पूर्ण भी कहा जाता है,[8] और क्रम सिद्धांत में "पूर्ण" के कई अन्य अर्थ हैं। संयोजित संबंधों को कॉननेक्स भी कहा जाता है[9][10] या संतुष्ट करने के लिए कहा trichotomy[11] (चूँकि ट्राइकोटॉमी ट्राइकोटॉमी की अधिक सामान्य परिभाषा तीन विकल्पों में से एक में अधिक मजबूत होता है अवश्य धारण करना चाहिए)।

जब विचार किए गए संबंध आदेश नहीं हैं, तो जुड़ा होना और मजबूती से जुड़ा होना महत्वपूर्ण रूप से अलग-अलग गुण हैं। वे स्रोत जो दोनों को परिभाषित करते हैं, फिर शब्दों के जोड़े का उपयोग करते हैं जैसे weakly connected और connected,[12] complete और strongly complete,[13] total और complete,[6] semiconnex और connex,[14] या connex और strictly connex,[15] जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, क्रमशः जुड़े हुए और दृढ़ता से जुड़े हुए विचारों के लिए वैकल्पिक नाम के रूप में।

विशेषताएँ

होने देना एक सजातीय संबंध हो. निम्नलिखित समतुल्य हैं:[14]* मजबूती से संयोजित है;

  • ;
  • ;
  • असममित संबंध है,

जहाँ सार्वभौमिक संबंध है और का विपरीत संबंध है

निम्नलिखित समतुल्य हैं:[14]* जुड़ा है;

कहाँ बाइनरी संबंधविशेष सजातीय संबंधों का पूरक (समुच्चय सिद्धांत) है और का विपरीत संबंध है प्रगति का परिचय देते हुए, रसेल ने संयोजित के सिद्धांत का आह्वान किया:

जब भी कोई श्रृंखला मूल रूप से एक सकर्मक असममित संबंध द्वारा दी जाती है, तो हम इस शर्त से संबंध व्यक्त कर सकते हैं कि हमारी श्रृंखला के किन्हीं दो पदों में उत्पन्न संबंध होना चाहिए।

गुण

  • किनारों } का संबंध[note 1] टूर्नामेंट ग्राफ़ का के समुच्चय पर सदैव युग्मित हुआ होता है 's शीर्ष।
  • यदि दृढ़ता से संयोजित सममित संबंध है, तो यह सार्वभौमिक संबंध है।
  • कोई भी संबंध मजबूती से तभी जुड़ा होता है, जब वह संयोजित और प्रतिवर्ती होता है।[proof 1]
  • समुच्चय पर युग्मित संबंध होता है, को , प्रतिसंक्रमणीय नहीं हो सकता मे कम से कम 4 तत्व होते हैं।[16] 3-तत्व समुच्चय पर उदाहरण के लिए, संबंध दोनों गुण होते हैं।
  • यदि पर एक संयोजित संबंध है फिर सभी, या एक को छोड़कर सभी, तत्व रेंज के द्विआधारी संबंधों का सामान्यीकरण [proof 2] इसी तरह, ससभी, या एक को छोड़कर सभी, के तत्व के क्षेत्र में होते है।

टिप्पणियाँ

  1. Defined formally by if a graph edge leads from vertex to vertex
Proofs
  1. For the only if direction, both properties follow trivially. — For the if direction: when then follows from connectedness; when follows from reflexivity.
  2. If then and are impossible, so follows from connectedness.

संदर्भ

  1. Clapham, Christopher; Nicholson, James (2014-09-18). "connected". गणित का संक्षिप्त ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-967959-1. Retrieved 2021-04-12.
  2. Nievergelt, Yves (2015-10-13). Logic, Mathematics, and Computer Science: Modern Foundations with Practical Applications. Springer. p. 182. ISBN 978-1-4939-3223-8.
  3. Causey, Robert L. (1994). तर्क, सेट और पुनरावर्तन. Jones & Bartlett Learning. ISBN 0-86720-463-X., p. 135
  4. Paul R. Halmos (1968). Naive Set Theory. Princeton: Nostrand. Here: Ch.14. Halmos gives the names of reflexivity, anti-symmetry, and transitivity, but not of connectedness.
  5. Patrick Cousot (1990). "Methods and Logics for Proving Programs". In Jan van Leeuwen (ed.). Formal Models and Semantics. Handbook of Theoretical Computer Science. Vol. B. Elsevier. pp. 841–993. ISBN 0-444-88074-7. Here: Sect.6.3, p.878
  6. 6.0 6.1 Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2007-05-02). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide. Springer. ISBN 978-3-540-32696-0., p. 6
  7. Makinson, David (2012-02-27). कंप्यूटिंग के लिए सेट, तर्क और गणित. Springer. ISBN 978-1-4471-2500-6., p. 50
  8. Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1910). गणितीय सिद्धांत (in English). Cambridge: Cambridge University Press.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
  9. Wall, Robert E. (1974). गणितीय भाषाविज्ञान का परिचय. Prentice-Hall. page 114.
  10. Carl Pollard. "Relations and Functions" (PDF). Ohio State University. Retrieved 2018-05-28. Page 7.
  11. Kunen, Kenneth (2009). गणित की नींव. College Publications. ISBN 978-1-904987-14-7. p. 24
  12. Fishburn, Peter C. (2015-03-08). सामाजिक चयन का सिद्धांत. Princeton University Press. p. 72. ISBN 978-1-4008-6833-9.
  13. Roberts, Fred S. (2009-03-12). Measurement Theory: Volume 7: With Applications to Decisionmaking, Utility, and the Social Sciences. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-10243-8. page 29
  14. 14.0 14.1 14.2 Schmidt, Gunther; Ströhlein, Thomas (1993). Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists. Berlin: Springer. ISBN 978-3-642-77970-1.
  15. Ganter, Bernhard; Wille, Rudolf (2012-12-06). Formal Concept Analysis: Mathematical Foundations. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-59830-2. p. 86
  16. Jochen Burghardt (Jun 2018). Simple Laws about Nonprominent Properties of Binary Relations (Technical Report). arXiv:1806.05036. Bibcode:2018arXiv180605036B. Lemma 8.2, p.8.