अत्यधिक मूल्य सिद्धांत

This article is about the statistical theory. For the result in calculus, see extreme value theorem.

चरम मूल्य सिद्धांत का उपयोग 1755 के लिस्बन भूकंप जैसी चरम, दुर्लभ घटनाओं के जोखिम को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

चरम मूल्य सिद्धांत या चरम मूल्य विश्लेषण (ईवीए) सांख्यिकी की शाखा है जो संभाव्यता वितरण के मध्य से चरम विचलन (सांख्यिकी) से निपटती है। यह किसी दिए गए यादृच्छिक चर के दिए गए क्रमबद्ध नमूने (सांख्यिकी) से, उन घटनाओं की संभावना का आकलन करना चाहता है जो पहले देखी गई किसी भी घटना से अधिक चरम हैं। चरम मूल्य विश्लेषण का व्यापक रूप से संरचनात्मक इंजीनियरिंग, वित्त, पृथ्वी विज्ञान, यातायात भविष्यवाणी और इंजीनियरिंग भूविज्ञान जैसे कई विषयों में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, ईवीए का उपयोग जल विज्ञान के क्षेत्र में 100 साल की बाढ़ जैसी असामान्य रूप से बड़ी बाढ़ की घटना की संभावना का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। इसी तरह, ब्रेकवाटर (संरचना) के डिजाइन के लिए, तटीय इंजीनियर 50-वर्षीय लहर का अनुमान लगाएगा और उसके अनुसार संरचना को डिजाइन करेगा।

डेटा विश्लेषण

व्यावहारिक चरम मूल्य विश्लेषण के लिए दो मुख्य दृष्टिकोण मौजूद हैं।

पहली विधि प्रारंभिक चरण के रूप में ब्लॉक मैक्सिमा (मिनीमा) श्रृंखला प्राप्त करने पर निर्भर करती है। कई स्थितियों में वार्षिक मैक्सिमा श्रृंखला (एएमएस) उत्पन्न करते हुए, वार्षिक मैक्सिमा (मिनीमा) निकालना प्रथागत और सुविधाजनक है।

दूसरी विधि, सतत रिकॉर्ड से, किसी भी अवधि के लिए पहुंचे चरम मूल्यों को निकालने पर निर्भर करती है, जिसके दौरान मान निश्चित सीमा से अधिक हो जाते हैं ( निश्चित सीमा से नीचे आते हैं)। इस विधि को आम तौर पर पीक ओवर थ्रेशोल्ड के रूप में जाना जाता है विधि (POT).

एएमएस डेटा के लिए, विश्लेषण आंशिक रूप से फिशर-टिपेट-गेडेन्को प्रमेय के परिणामों पर निर्भर हो सकता है, जिससे फिटिंग के लिए सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण का चयन किया जा सकता है। हालाँकि, व्यवहार में, वितरण की व्यापक श्रेणी के बीच चयन करने के लिए विभिन्न प्रक्रियाएँ लागू की जाती हैं। यहां प्रमेय ही वितरण से सांख्यिकीय स्वतंत्रता यादृच्छिक चर के बहुत बड़े संग्रह के न्यूनतम या अधिकतम के लिए सीमित वितरण से संबंधित है। यह देखते हुए कि वर्ष के भीतर प्रासंगिक यादृच्छिक घटनाओं की संख्या सीमित हो सकती है, यह आश्चर्यजनक नहीं है कि देखे गए एएमएस डेटा के विश्लेषण से अक्सर सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण (जीईवीडी) के अलावा अन्य वितरण का चयन किया जाता है। पीओटी डेटा के लिए, विश्लेषण में दो वितरणों को फिट करना शामिल हो सकता है: समय अवधि में घटनाओं की संख्या के लिए और दूसरा अतिरिक्त के आकार के लिए।

पहले के लिए आम धारणा पॉइसन वितरण है, जिसमें सामान्यीकृत पेरेटो वितरण का उपयोग अधिकता के लिए किया जाता है। शक्ति नियम#अनुभवजन्य डेटा से घातांक का अनुमान लगाना|टेल-फिटिंग पिकैंड्स-बाल्केमा-डी हान प्रमेय पर आधारित हो सकता है। नोवाक "POT विधि" शब्द को उस मामले के लिए सुरक्षित रखता है जहां सीमा गैर-यादृच्छिक है, और इसे उस मामले से अलग करता है जहां कोई यादृच्छिक सीमा से अधिक से निपटता है।

अनुप्रयोग

चरम मूल्य सिद्धांत के अनुप्रयोगों में संभाव्यता वितरण की भविष्यवाणी करना शामिल है:

• अत्यधिक बाढ़; विचित्र तरंगों का आकार
• बवंडर का प्रकोप
• पारिस्थितिक जनसंख्या का अधिकतम आकार
• दवाओं के दुष्प्रभाव (उदाहरण के लिए, ximelagatran)
• बड़े बीमा घाटे की भयावहता
• इक्विटी जोखिम; दिन-प्रतिदिन का बाज़ार जोखिम
• विकास के दौरान उत्परिवर्तनीय घटनाएँ
• बड़े जंगल की आग
• संरचनाओं पर पर्यावरणीय भार
• मनुष्य सबसे तेज गति से 100 मीटर दौड़ने में सक्षम है और अन्य एथलेटिक विषयों में प्रदर्शन
• गड्ढों में जंग लगने के कारण पाइपलाइन में खराबी
• अनियमित आईटी नेटवर्क ट्रैफ़िक, हमलावरों को महत्वपूर्ण डेटा तक पहुँचने से रोकता है
• सड़क सुरक्षा विश्लेषण
• वायरलेस संचार
• महामारी
• न्यूरोबायोलॉजी

इतिहास

चरम मूल्य सिद्धांत के क्षेत्र की शुरुआत लियोनार्ड टिपेट (1902-1985) ने की थी। टिपेट को ब्रिटिश कॉटन इंडस्ट्री रिसर्च एसोसिएशन द्वारा नियुक्त किया गया था, जहां उन्होंने सूती धागे को मजबूत बनाने के लिए काम किया था। अपने अध्ययन में, उन्होंने महसूस किया कि धागे की ताकत उसके सबसे कमजोर तंतुओं की ताकत से नियंत्रित होती है। आर. ए. फिशर की मदद से, टिपेट ने स्वतंत्र चर मानने वाले चरम के वितरण का वर्णन करते हुए तीन स्पर्शोन्मुख सीमाएँ प्राप्त कीं। एमिल जूलियस गम्बेल ने इस सिद्धांत को अपनी 1958 की पुस्तक स्टैटिस्टिक्स ऑफ ्सट्रीम में संहिताबद्ध किया, जिसमें गंबेल वितरण भी शामिल है जो उनके नाम पर है। चरों के बीच मामूली सहसंबंधों की अनुमति देने के लिए इन परिणामों को बढ़ाया जा सकता है, लेकिन शास्त्रीय सिद्धांत विचरण के क्रम के मजबूत सहसंबंधों तक विस्तारित नहीं होता है। विशेष रुचि का सार्वभौमिकता वर्ग लॉग-सहसंबद्ध क्षेत्रों का है, जहां सहसंबंध दूरी के साथ लघुगणकीय रूप से घटते हैं।

विभिन्न सिद्धांत

होने देना $X_{1},\dots ,X_{n}$ संचयी वितरण फ़ंक्शन एफ और लेट के साथ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का अनुक्रम बनें $M_{n}=\max(X_{1},\dots ,X_{n})$ अधिकतम को निरूपित करें।

सिद्धांत रूप में, अधिकतम का सटीक वितरण प्राप्त किया जा सकता है:

${\begin{aligned}\Pr(M_{n}\leq z)&=\Pr(X_{1}\leq z,\dots ,X_{n}\leq z)\\&=\Pr(X_{1}\leq z)\cdots \Pr(X_{n}\leq z)=(F(z))^{n}.\end{aligned}}$

संबंधित सूचक कार्य $I_{n}=I(M_{n}>z)$ सफलता की संभावना वाली बर्नौली प्रक्रिया है $p(z)=1-(F(z))^{n}$ यह परिमाण पर निर्भर करता है $z$ चरम घटना का. भीतर चरम घटनाओं की संख्या $n$ इस प्रकार परीक्षण द्विपद वितरण का अनुसरण करते हैं और जब तक कोई घटना घटित नहीं होती तब तक परीक्षणों की संख्या अपेक्षित मूल्य और उसी क्रम के मानक विचलन के साथ ज्यामितीय वितरण का अनुसरण करती है। $O(1/p(z))$.

व्यवहार में, हमारे पास वितरण कार्य नहीं हो सकता है $F$ लेकिन फिशर-टिपेट-गेडेन्को प्रमेय स्पर्शोन्मुख परिणाम प्रदान करता है। यदि स्थिरांकों का क्रम मौजूद है $a_{n}>0$ और $b_{n}\in \mathbb {R}$ ऐसा है कि

$\Pr\{(M_{n}-b_{n})/a_{n}\leq z\}\rightarrow G(z)$

जैसा $n\rightarrow \infty$ तब

$G(z)\propto \exp \left[-(1+\zeta z)^{-1/\zeta }\right]$

कहाँ $\zeta$ वितरण की पूँछ के आकार पर निर्भर करता है। सामान्यीकृत होने पर, G निम्नलिखित गैर-अपक्षयी वितरण परिवारों में से से संबंधित होता है:

वेइबुल वितरण: $G(z)={\begin{cases}\exp \left\{-\left(-\left({\frac {z-b}{a}}\right)\right)^{\alpha }\right\}&z<b\\1&z\geq b\end{cases}}{\text{ for }}z\in \mathbb {R}$ का वितरण कब $M_{n}$ परिमित ऊपरी सीमा वाली हल्की पूँछ होती है। इसे टाइप 3 के नाम से भी जाना जाता है।

गम्बेल वितरण: $G(z)=\exp \left\{-\exp \left(-\left({\frac {z-b}{a}}\right)\right)\right\}$ का वितरण कब $M_{n}$ घातीय पूंछ है. इसे टाइप 1 के नाम से भी जाना जाता है।

फ़्रेचेट वितरण|फ़्रेचेट कानून: $G(z)={\begin{cases}0&z\leq b\\\exp \left\{-\left({\frac {z-b}{a}}\right)^{-\alpha }\right\}&z>b\end{cases}}$ का वितरण कब $M_{n}$ इसमें भारी-पूंछ वाला वितरण (बहुपद क्षय सहित) है। इसे टाइप 2 के नाम से भी जाना जाता है।

वेइबुल और फ़्रेचेट कानूनों के लिए, $\alpha >0$.

बहुभिन्नरूपी सिद्धांत

से अधिक चर में चरम मूल्य सिद्धांत अतिरिक्त मुद्दों का परिचय देता है जिन्हें संबोधित किया जाना है। समस्या जो उत्पन्न होती है वह यह है कि किसी को यह निर्दिष्ट करना होगा कि चरम घटना क्या है। हालाँकि यह विभिन्न मामले में सीधा है, बहुभिन्नरूपी मामले में ऐसा करने का कोई स्पष्ट तरीका नहीं है। मूलभूत समस्या यह है कि यद्यपि वास्तविक-मूल्यवान संख्याओं के सेट को ऑर्डर करना संभव है, लेकिन वैक्टर के सेट को ऑर्डर करने का कोई प्राकृतिक तरीका नहीं है।

उदाहरण के तौर पर, अविभाज्य मामले में, टिप्पणियों का सेट दिया गया है $x_{i}$ केवल अधिकतम (या न्यूनतम) अवलोकनों को लेकर सबसे चरम घटना का पता लगाना आसान है। हालाँकि, द्विचर मामले में, टिप्पणियों का सेट दिया गया है $(x_{i},y_{i})$, यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि सबसे चरम घटना का पता कैसे लगाया जाए। मान लीजिए कि किसी ने मान माप लिया है $(3,4)$ विशिष्ट समय और मूल्यों पर $(5,2)$ बाद के समय में। इनमें से कौन सी घटना अधिक चरम मानी जाएगी? इस प्रश्न का कोई सार्वभौमिक उत्तर नहीं है।

बहुभिन्नरूपी मामले में और मुद्दा यह है कि सीमित मॉडल विभिन्न मामले की तरह पूरी तरह से निर्धारित नहीं है। यूनीवेरिएट मामले में, मॉडल (सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण) में तीन पैरामीटर होते हैं जिनके मूल्यों की भविष्यवाणी सिद्धांत द्वारा नहीं की जाती है और वितरण को डेटा में फिट करके प्राप्त किया जाना चाहिए। बहुभिन्नरूपी मामले में, मॉडल में न केवल अज्ञात पैरामीटर होते हैं, बल्कि फ़ंक्शन भी होता है जिसका सटीक रूप सिद्धांत द्वारा निर्धारित नहीं होता है। हालाँकि, इस फ़ंक्शन को कुछ बाधाओं का पालन करना होगा। ऐसे अनुमानकर्ताओं को तैयार करना आसान नहीं है जो ऐसी बाधाओं का पालन करते हैं, हालांकि कुछ का निर्माण हाल ही में किया गया है। अनुप्रयोग के उदाहरण के रूप में, द्विचर चरम मूल्य सिद्धांत को समुद्री अनुसंधान में लागू किया गया है।

अस्थिर चरम

गैर-स्थिर समय श्रृंखला के लिए सांख्यिकीय मॉडलिंग 1990 के दशक में विकसित की गई थी। गैर-स्थिर बहुभिन्नरूपी चरम सीमाओं के लिए तरीके हाल ही में पेश किए गए हैं। उत्तरार्द्ध का उपयोग यह ट्रैक करने के लिए किया जा सकता है कि समय के साथ या किसी अन्य सहसंयोजक पर चरम मूल्यों के बीच निर्भरता कैसे बदलती है।

यह भी देखें

• अत्यधिक जोखिम
• चरम मौसम
• फिशर-टिपेट-गेडेन्को प्रमेय
• सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण
• बड़ा विचलन सिद्धांत
• बाह्य
• पेरेटो वितरण
• पिकैंड्स-बाल्केमा-डी हान प्रमेय
• दुर्लभ घटनाएँ
• वेइबुल वितरण
• अतिरेक सिद्धांत (जीवविज्ञान)

संदर्भ

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सॉफ़्टवेयर

• आर में चरम मूल्य सांख्यिकी - आर में चरम मूल्य सांख्यिकी के लिए पैकेज (प्रोग्रामिंग भाषा)
• ्सट्रीमस्टैट्स.jl और ्सट्रीम.jl - जूलिया में ्सट्रीम वैल्यू स्टैटिस्टिक्स (प्रोग्रामिंग भाषा)

बाहरी संबंध

• Extreme Value Theory can save your neck Easy non-mathematical introduction (pdf)
• Source Code for Stationary and Nonstationary Extreme Value Analysis University of California, Irvine
• Steps in Applying Extreme Value Theory to Finance: A Review
• Les valeurs extrêmes des distributions statistiques Full-text access to conferences held by E. J. Gumbel in 1933–34, in French (pdf)