विषम निरस्तीकरण: Difference between revisions

Revision as of 19:08, 4 July 2023

{\begin{array}{l}\;\;\;{\dfrac {d}{dx}}{\dfrac {1}{x}}\\={\dfrac {d}{d}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\={\dfrac {d\!\!\!\backslash }{d\!\!\!\backslash }}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\=-{\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}

Anomalous cancellation in calculus

विषम रद्दीकरण या आकस्मिक रद्दीकरण विशेष प्रकार की अंकगणितीय प्रक्रियात्मक त्रुटि है जो संख्यात्मक रूप से सही उत्तर देती है। अंश और भाजक में अलग-अलग संख्यात्मक अंकों को रद्द करके अंश (गणित) को कम करने (गणित) का प्रयास किया जाता है। यह वैध संचालन नहीं है, और आम तौर पर सही उत्तर नहीं देता है, लेकिन कुछ दुर्लभ मामलों में परिणाम संख्यात्मक रूप से वही होता है जैसे कि सही प्रक्रिया लागू की गई हो।^[1] अनुगामी शून्यों को रद्द करने या जहाँ सभी अंक समान हैं, के तुच्छ मामलों को अनदेखा कर दिया जाता है।

असंगत रद्दीकरण के उदाहरण जो अभी भी सही परिणाम उत्पन्न करते हैं (ये और उनके व्युत्क्रम आधार 10 में 1 से भिन्न भिन्न और दो अंकों के साथ सभी मामले हैं):

${\frac {19}{95}}={\frac {1\!\!{\not 9}}{\not 95}}={\frac {1}{5}}$
${\frac {16}{64}}={\frac {1\!\!{\not 6}}{\not 64}}={\frac {1}{4}}$
${\frac {26}{65}}={\frac {2\!\!{\not 6}}{\not 65}}={\frac {2}{5}}$
${\frac {49}{98}}={\frac {4\!\!{\not 9}}{\not 98}}={\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}.$ ^[2]

राल्फ पी. बोआस, जूनियर का लेख आधार 10 के अलावा आधार (घातांक) में दो अंकों के मामलों का विश्लेषण करता है, उदाहरण के लिए, 32/13 = 2/1 और इसके व्युत्क्रम आधार 4 में दो अंकों के साथ एकमात्र समाधान हैं।^[2]

अनियमित निरस्तीकरण अधिक अंकों के साथ भी होता है, उदा. 165/462 = 15/42 और अंकों की भिन्न संख्या वाले (98/392 = 8/32)।

प्राथमिक गुण

जब आधार प्रधान होता है, तो दो अंकों का समाधान मौजूद नहीं होता है। यह विरोधाभास द्वारा सिद्ध किया जा सकता है: मान लीजिए कि समाधान मौजूद है। व्यापकता की हानि के बिना, हम कह सकते हैं कि यह समाधान है

{\frac {a||b}{c||a}}={\frac {b}{c}},\ {\rm {base}}\ p,

जहां डबल वर्टिकल लाइन कॉन्टेनेशन (गणित) को इंगित करती है। इस प्रकार, हमारे पास है

{\frac {ap+b}{cp+a}}={\frac {b}{c}}\implies (a-b)cp=b(a-c)

लेकिन $p>a,b,a-c$ , क्योंकि वे आधार में अंक हैं $p$ ; अभी तक $p$ विभाजित $b(a-c)$ , जिसका अर्थ है कि $a=c$ . इसलिए। दाहिनी ओर शून्य है, जिसका अर्थ है कि बाईं ओर भी शून्य होना चाहिए, अर्थात, $a=b$ , समस्या की परिभाषा के अनुसार विरोधाभास। (अगर $a=b$ , गणना हो जाती है ${\frac {a||a}{c||a}}={\frac {a}{c}}\implies {\frac {a||a}{a||a}}={\frac {a}{a}}=1$ , जो बहिष्कृत मामूली मामलों में से है।)

अन्य संपत्ति यह है कि आधार में समाधानों की संख्या $n$ विषम है अगर और केवल अगर $n$ सम वर्ग है। यह उपरोक्त के समान ही सिद्ध किया जा सकता है: मान लीजिए कि हमारे पास समाधान है

{\frac {a||b}{c||a}}={\frac {b}{c}}

फिर, वही हेरफेर करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

{\frac {an+b}{cn+a}}={\frac {b}{c}}\implies (a-b)cn=b(a-c)

लगता है कि $a>b,c$ . फिर ध्यान दें $a,b,c\to a,a-c,a-b$ समीकरण का हल भी है। यह लगभग समाधान के सेट से स्वयं के लिए समावेशन (गणित) स्थापित करता है। लेकिन हम पाने के लिए में स्थानापन्न भी कर सकते हैं $(a-b)^{2}n=b^{2}$ , जिसके पास केवल जब समाधान होता है $n$ वर्ग है। होने देना $n=k^{2}$ . वर्गमूल लेना और पैदावार को पुनर्व्यवस्थित करना $ak=(k+1)b$ . चूंकि का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है $k,(k+1)$ है, हम उसे जानते हैं $a=(k+1)x,b=kx$ . नोट किया कि $a,b<k^{2}$ , इसका सटीक समाधान है $x=1,2,3,\ldots ,k-1$ : यानी, इसमें विषम संख्या में समाधान हैं जब $n=k^{2}$ सम वर्ग है। कथन का विलोम (तर्क) यह देखते हुए सिद्ध किया जा सकता है कि ये सभी समाधान प्रारंभिक आवश्यकताओं को पूरा करते हैं।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Weisstein, Eric W. "Anomalous Cancellation". MathWorld.
↑ ^2.0 ^2.1 Boas, R. P. "Anomalous Cancellation." Ch. 6 in Mathematical Plums (Ed. R. Honsberger). Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 113–129, 1979.

[1] Weisstein, Eric W. "Anomalous Cancellation". MathWorld.

[boas-2] 2.0 ^2.1 Boas, R. P. "Anomalous Cancellation." Ch. 6 in Mathematical Plums (Ed. R. Honsberger). Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 113–129, 1979.

[1]

[2]

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 \\  =  -                        \dfrac{1}{x^2}
 \end{array}</math>}}
-एक विषम रद्दीकरण या आकस्मिक रद्दीकरण एक विशेष प्रकार की [[अंकगणित]]ीय प्रक्रियात्मक त्रुटि है जो संख्यात्मक रूप से सही उत्तर देती है। अंश और [[भाजक]] में अलग-अलग [[संख्यात्मक अंक]]ों को रद्द करके एक [[अंश (गणित)]] को कम करने (गणित) का प्रयास किया जाता है। यह एक वैध संचालन नहीं है, और आम तौर पर सही उत्तर नहीं देता है, लेकिन कुछ दुर्लभ मामलों में परिणाम संख्यात्मक रूप से वही होता है जैसे कि एक सही प्रक्रिया लागू की गई हो।<ref>{{Mathworld|title=Anomalous Cancellation|urlname=AnomalousCancellation}}</ref> अनुगामी शून्यों को रद्द करने या जहाँ सभी अंक समान हैं, के तुच्छ मामलों को अनदेखा कर दिया जाता है।
+विषम रद्दीकरण या आकस्मिक रद्दीकरण विशेष प्रकार की [[अंकगणित]]ीय प्रक्रियात्मक त्रुटि है जो संख्यात्मक रूप से सही उत्तर देती है। अंश और [[भाजक]] में अलग-अलग [[संख्यात्मक अंक]]ों को रद्द करके [[अंश (गणित)]] को कम करने (गणित) का प्रयास किया जाता है। यह वैध संचालन नहीं है, और आम तौर पर सही उत्तर नहीं देता है, लेकिन कुछ दुर्लभ मामलों में परिणाम संख्यात्मक रूप से वही होता है जैसे कि सही प्रक्रिया लागू की गई हो।<ref>{{Mathworld|title=Anomalous Cancellation|urlname=AnomalousCancellation}}</ref> अनुगामी शून्यों को रद्द करने या जहाँ सभी अंक समान हैं, के तुच्छ मामलों को अनदेखा कर दिया जाता है।
 असंगत रद्दीकरण के उदाहरण जो अभी भी सही परिणाम उत्पन्न करते हैं (ये और उनके व्युत्क्रम आधार 10 में 1 से भिन्न भिन्न और दो अंकों के साथ सभी मामले हैं):
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 == प्राथमिक गुण ==
-जब आधार प्रधान होता है, तो दो अंकों का समाधान मौजूद नहीं होता है। यह विरोधाभास द्वारा सिद्ध किया जा सकता है: मान लीजिए कि एक समाधान मौजूद है। व्यापकता की हानि के बिना, हम कह सकते हैं कि यह समाधान है
+जब आधार प्रधान होता है, तो दो अंकों का समाधान मौजूद नहीं होता है। यह विरोधाभास द्वारा सिद्ध किया जा सकता है: मान लीजिए कि समाधान मौजूद है। व्यापकता की हानि के बिना, हम कह सकते हैं कि यह समाधान है
 :<math>\frac{a||b}{c||a}=\frac{b}{c},\ {\rm base}\ p,</math>
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 :<math>\frac{ap+b}{cp+a}=\frac{b}{c}\implies (a-b)cp=b(a-c)</math>
-लेकिन <math>p>a,b,a-c</math>, क्योंकि वे आधार में अंक हैं <math>p</math>; अभी तक <math>p</math> विभाजित <math>b(a-c)</math>, जिसका अर्थ है कि <math>a=c</math>. इसलिए। दाहिनी ओर शून्य है, जिसका अर्थ है कि बाईं ओर भी शून्य होना चाहिए, अर्थात, <math>a=b</math>, समस्या की परिभाषा के अनुसार एक विरोधाभास। (अगर <math>a=b</math>, गणना हो जाती है <math>\frac{a||a}{c||a}=\frac{a}{c} \implies \frac{a||a}{a||a}=\frac{a}{a}=1</math>, जो बहिष्कृत मामूली मामलों में से एक है।)
+लेकिन <math>p>a,b,a-c</math>, क्योंकि वे आधार में अंक हैं <math>p</math>; अभी तक <math>p</math> विभाजित <math>b(a-c)</math>, जिसका अर्थ है कि <math>a=c</math>. इसलिए। दाहिनी ओर शून्य है, जिसका अर्थ है कि बाईं ओर भी शून्य होना चाहिए, अर्थात, <math>a=b</math>, समस्या की परिभाषा के अनुसार विरोधाभास। (अगर <math>a=b</math>, गणना हो जाती है <math>\frac{a||a}{c||a}=\frac{a}{c} \implies \frac{a||a}{a||a}=\frac{a}{a}=1</math>, जो बहिष्कृत मामूली मामलों में से है।)
-एक अन्य संपत्ति यह है कि एक आधार में समाधानों की संख्या <math>n</math> विषम है [[अगर और केवल अगर]] <math>n</math> एक सम वर्ग है। यह उपरोक्त के समान ही सिद्ध किया जा सकता है: मान लीजिए कि हमारे पास एक समाधान है
+अन्य संपत्ति यह है कि आधार में समाधानों की संख्या <math>n</math> विषम है [[अगर और केवल अगर]] <math>n</math> सम वर्ग है। यह उपरोक्त के समान ही सिद्ध किया जा सकता है: मान लीजिए कि हमारे पास समाधान है
 :<math>\frac{a||b}{c||a}=\frac{b}{c}</math>
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 :<math>\frac{an+b}{cn+a}=\frac{b}{c}\implies (a-b)cn=b(a-c)</math>
-लगता है कि <math>a>b,c</math>. फिर ध्यान दें <math>a,b,c\to a,a-c,a-b</math> समीकरण का एक हल भी है। यह लगभग समाधान के सेट से स्वयं के लिए एक समावेशन (गणित) स्थापित करता है। लेकिन हम पाने के लिए में स्थानापन्न भी कर सकते हैं <math>(a-b)^2n=b^2</math>, जिसके पास केवल जब समाधान होता है <math>n</math> एक वर्ग है। होने देना <math>n=k^2</math>. वर्गमूल लेना और पैदावार को पुनर्व्यवस्थित करना <math>ak=(k+1)b</math>. चूंकि का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है <math>k,(k+1)</math> एक है, हम उसे जानते हैं <math>a=(k+1)x,b=kx</math>. नोट किया कि <math>a,b<k^2</math>, इसका सटीक समाधान है <math>x=1,2,3,\ldots,k-1</math>: यानी, इसमें विषम संख्या में समाधान हैं जब <math>n=k^2</math> एक सम वर्ग है। कथन का विलोम (तर्क) यह देखते हुए सिद्ध किया जा सकता है कि ये सभी समाधान प्रारंभिक आवश्यकताओं को पूरा करते हैं।
+लगता है कि <math>a>b,c</math>. फिर ध्यान दें <math>a,b,c\to a,a-c,a-b</math> समीकरण का हल भी है। यह लगभग समाधान के सेट से स्वयं के लिए समावेशन (गणित) स्थापित करता है। लेकिन हम पाने के लिए में स्थानापन्न भी कर सकते हैं <math>(a-b)^2n=b^2</math>, जिसके पास केवल जब समाधान होता है <math>n</math> वर्ग है। होने देना <math>n=k^2</math>. वर्गमूल लेना और पैदावार को पुनर्व्यवस्थित करना <math>ak=(k+1)b</math>. चूंकि का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है <math>k,(k+1)</math> है, हम उसे जानते हैं <math>a=(k+1)x,b=kx</math>. नोट किया कि <math>a,b<k^2</math>, इसका सटीक समाधान है <math>x=1,2,3,\ldots,k-1</math>: यानी, इसमें विषम संख्या में समाधान हैं जब <math>n=k^2</math> सम वर्ग है। कथन का विलोम (तर्क) यह देखते हुए सिद्ध किया जा सकता है कि ये सभी समाधान प्रारंभिक आवश्यकताओं को पूरा करते हैं।
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