व्यापकता के नुकसान के बिना: Difference between revisions
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'''व्यापकता के नुकसान के बिना''' (अधिकांशतः '''डब्ल्यूओएलओजी, व्लॉग''' का संक्षिप्त रूप<ref>{{Cite web|url=https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Without_loss_of_generality|title=व्यापकता के नुकसान के बिना|website=Art of Problem Solving|access-date=2019-10-21}}</ref> या डब्ल्यू.एल.ओ.जी.; '''सामान्यतः बिना किसी नुकसान के''' व्यापकता या '''बिना किसी नुकसान''' के नुकसान के बिना कम सामान्यतः कहा जाता है) गणित में अधिकांशतः | '''व्यापकता के नुकसान के बिना''' (अधिकांशतः '''डब्ल्यूओएलओजी, व्लॉग''' का संक्षिप्त रूप<ref>{{Cite web|url=https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Without_loss_of_generality|title=व्यापकता के नुकसान के बिना|website=Art of Problem Solving|access-date=2019-10-21}}</ref> या डब्ल्यू.एल.ओ.जी.; '''सामान्यतः बिना किसी नुकसान के''' व्यापकता या '''बिना किसी नुकसान''' के नुकसान के बिना कम सामान्यतः कहा जाता है) गणित में अधिकांशतः उपयोग की जाने वाली अभिव्यक्ति है। इस शब्द का उपयोग उस धारणा को इंगित करने के लिए किया जाता है जो किसी विशेष स्थिति में आधार को सीमित करते हुए मनमाने ढंग से चुना जाता है, किन्तु सामान्य रूप से [[गणितीय प्रमाण]] की वैधता को प्रभावित नहीं करता है। अन्य स्थिति पर्याप्त रूप से प्रस्तुत के समान हैं जो उन्हें सिद्ध करते हुए अनिवार्य रूप से ही तर्क का पालन करते हैं।<ref>{{cite book|first1=Gary|last1=Chartrand|author1-link=Gary Chartrand|first2=Albert D.|last2=Polimeni|first3=Ping|last3=Zhang|author3-link=Ping Zhang (graph theorist)|title=Mathematical Proofs / A Transition to Advanced Mathematics|edition=2nd|publisher=Pearson/Addison Wesley|year=2008|isbn=978-0-321-39053-0|pages=80–81}}</ref> परिणाम स्वरुप, बार विशेष स्थिति के लिए सबूत दिया जाता है, यह अन्य सभी स्थितियों में निष्कर्ष सिद्ध करने के लिए इसे अनुकूलित करने के लिए [[तुच्छ (गणित)]] है। | ||
कई परिदृश्यों में, [[समरूपता]] की उपस्थिति से व्यापकता के नुकसान के बिना का उपयोग संभव हो जाता है।<ref>{{cite book | last = Dijkstra | first = Edsger W. | author-link = Edsger W. Dijkstra | editor1-last = Broy | editor1-first = Manfred | editor2-last = Schieder | editor2-first = Birgit | contribution = WLOG, or the misery of the unordered pair (EWD1223) | doi = 10.1007/978-3-642-60858-2_9 | pages = 33–34 | publisher = Springer | series = NATO ASI Series F: Computer and Systems Sciences | title = कार्यक्रम विकास में गणितीय तरीके| url = https://www.cs.utexas.edu/~EWD/ewd12xx/EWD1223.PDF | volume = 158 | year = 1997}}</ref> उदाहरण के लिए, यदि [[वास्तविक संख्या]]ओं के कुछ गुण P(x,y) को x और y में सममित के रूप में जाना जाता है, अर्थात् P(x,y) P(y,x) के समतुल्य है, तो P(x) को सिद्ध करने में ,y) प्रत्येक x और y के लिए मान्य है, कोई भी व्यापकता को खोए बिना यह मान सकता है कि x ≤ y। इस धारणा में व्यापकता का कोई नुकसान नहीं है, क्योंकि बार मामला x ≤ y सामग्री सशर्त | ⇒ P(x,y) | कई परिदृश्यों में, [[समरूपता]] की उपस्थिति से व्यापकता के नुकसान के बिना का उपयोग संभव हो जाता है।<ref>{{cite book | last = Dijkstra | first = Edsger W. | author-link = Edsger W. Dijkstra | editor1-last = Broy | editor1-first = Manfred | editor2-last = Schieder | editor2-first = Birgit | contribution = WLOG, or the misery of the unordered pair (EWD1223) | doi = 10.1007/978-3-642-60858-2_9 | pages = 33–34 | publisher = Springer | series = NATO ASI Series F: Computer and Systems Sciences | title = कार्यक्रम विकास में गणितीय तरीके| url = https://www.cs.utexas.edu/~EWD/ewd12xx/EWD1223.PDF | volume = 158 | year = 1997}}</ref> उदाहरण के लिए, यदि [[वास्तविक संख्या]]ओं के कुछ गुण P(x,y) को x और y में सममित के रूप में जाना जाता है, अर्थात् P(x,y) P(y,x) के समतुल्य है, तो P(x) को सिद्ध करने में ,y) प्रत्येक x और y के लिए मान्य है, कोई भी व्यापकता को खोए बिना यह मान सकता है कि x ≤ y। इस धारणा में व्यापकता का कोई नुकसान नहीं है, क्योंकि बार मामला x ≤ y सामग्री सशर्त | ⇒ P(x,y) सिद्ध हो गया है, अन्य मामला x और y : y ≤ x ⇒ P(y, x), और P की समरूपता से, इसका तात्पर्य P(x, y) से है, जिससे यह पता चलता है कि P (x, y) सभी स्थितियों के लिए लागू होता है। | ||
दूसरी ओर, यदि न तो इस तरह की समरूपता और न ही तुल्यता का कोई अन्य रूप स्थापित किया जा सकता है, तो व्यापकता के नुकसान के बिना का उपयोग गलत है और उदाहरण के तौर पर सबूत के उदाहरण के बराबर हो सकता है - दावे को | दूसरी ओर, यदि न तो इस तरह की समरूपता और न ही तुल्यता का कोई अन्य रूप स्थापित किया जा सकता है, तो व्यापकता के नुकसान के बिना का उपयोग गलत है और उदाहरण के तौर पर सबूत के उदाहरण के बराबर हो सकता है - दावे को सिद्ध करके प्रामाणित सिद्ध करने की तार्किक गिरावट गैर-प्रतिनिधि उदाहरण।<ref>{{Cite web|url=https://www.cut-the-knot.org/m/Algebra/AcyclicInequalityInThreeVariables.shtml|title=तीन चरों में एक चक्रीय असमानता|website=www.cut-the-knot.org|access-date=2019-10-21}}</ref> | ||
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उपरोक्त तर्क काम करता है क्योंकि ठीक उसी तर्क को लागू किया जा सकता है यदि वैकल्पिक धारणा, अर्थात्, पहली वस्तु नीली है, बनाई गई थी, या, इसी तरह, शब्द 'लाल' और 'नीला' शब्दों का स्वतंत्र रूप से आदान-प्रदान किया जा सकता है। प्रमाण का। परिणाम स्वरुप, सामान्यता के नुकसान के बिना का उपयोग इस | उपरोक्त तर्क काम करता है क्योंकि ठीक उसी तर्क को लागू किया जा सकता है यदि वैकल्पिक धारणा, अर्थात्, पहली वस्तु नीली है, बनाई गई थी, या, इसी तरह, शब्द 'लाल' और 'नीला' शब्दों का स्वतंत्र रूप से आदान-प्रदान किया जा सकता है। प्रमाण का। परिणाम स्वरुप, सामान्यता के नुकसान के बिना का उपयोग इस स्थिति में मान्य है। | ||
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Revision as of 10:36, 5 July 2023
व्यापकता के नुकसान के बिना (अधिकांशतः डब्ल्यूओएलओजी, व्लॉग का संक्षिप्त रूप[1] या डब्ल्यू.एल.ओ.जी.; सामान्यतः बिना किसी नुकसान के व्यापकता या बिना किसी नुकसान के नुकसान के बिना कम सामान्यतः कहा जाता है) गणित में अधिकांशतः उपयोग की जाने वाली अभिव्यक्ति है। इस शब्द का उपयोग उस धारणा को इंगित करने के लिए किया जाता है जो किसी विशेष स्थिति में आधार को सीमित करते हुए मनमाने ढंग से चुना जाता है, किन्तु सामान्य रूप से गणितीय प्रमाण की वैधता को प्रभावित नहीं करता है। अन्य स्थिति पर्याप्त रूप से प्रस्तुत के समान हैं जो उन्हें सिद्ध करते हुए अनिवार्य रूप से ही तर्क का पालन करते हैं।[2] परिणाम स्वरुप, बार विशेष स्थिति के लिए सबूत दिया जाता है, यह अन्य सभी स्थितियों में निष्कर्ष सिद्ध करने के लिए इसे अनुकूलित करने के लिए तुच्छ (गणित) है।
कई परिदृश्यों में, समरूपता की उपस्थिति से व्यापकता के नुकसान के बिना का उपयोग संभव हो जाता है।[3] उदाहरण के लिए, यदि वास्तविक संख्याओं के कुछ गुण P(x,y) को x और y में सममित के रूप में जाना जाता है, अर्थात् P(x,y) P(y,x) के समतुल्य है, तो P(x) को सिद्ध करने में ,y) प्रत्येक x और y के लिए मान्य है, कोई भी व्यापकता को खोए बिना यह मान सकता है कि x ≤ y। इस धारणा में व्यापकता का कोई नुकसान नहीं है, क्योंकि बार मामला x ≤ y सामग्री सशर्त | ⇒ P(x,y) सिद्ध हो गया है, अन्य मामला x और y : y ≤ x ⇒ P(y, x), और P की समरूपता से, इसका तात्पर्य P(x, y) से है, जिससे यह पता चलता है कि P (x, y) सभी स्थितियों के लिए लागू होता है।
दूसरी ओर, यदि न तो इस तरह की समरूपता और न ही तुल्यता का कोई अन्य रूप स्थापित किया जा सकता है, तो व्यापकता के नुकसान के बिना का उपयोग गलत है और उदाहरण के तौर पर सबूत के उदाहरण के बराबर हो सकता है - दावे को सिद्ध करके प्रामाणित सिद्ध करने की तार्किक गिरावट गैर-प्रतिनिधि उदाहरण।[4]
उदाहरण
निम्नलिखित प्रमेय पर विचार करें (जो कबूतरबाजी सिद्धांत का मामला है):
यदि तीन वस्तुओं में से प्रत्येक को लाल या नीले रंग से रंगा गया है, तो एक ही रंग की कम से कम दो वस्तुएं होनी चाहिए।
कोई प्रमाण:
व्यापकता खोए बिना मान लें कि पहली वस्तु लाल है। यदि अन्य दो वस्तुओं में से कोई भी लाल है, तो हम समाप्त हो गए; यदि नहीं, तो अन्य दो वस्तुएँ नीली होनी चाहिए और हम अभी भी समाप्त हैं।
उपरोक्त तर्क काम करता है क्योंकि ठीक उसी तर्क को लागू किया जा सकता है यदि वैकल्पिक धारणा, अर्थात्, पहली वस्तु नीली है, बनाई गई थी, या, इसी तरह, शब्द 'लाल' और 'नीला' शब्दों का स्वतंत्र रूप से आदान-प्रदान किया जा सकता है। प्रमाण का। परिणाम स्वरुप, सामान्यता के नुकसान के बिना का उपयोग इस स्थिति में मान्य है।
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ "व्यापकता के नुकसान के बिना". Art of Problem Solving. Retrieved 2019-10-21.
- ↑ Chartrand, Gary; Polimeni, Albert D.; Zhang, Ping (2008). Mathematical Proofs / A Transition to Advanced Mathematics (2nd ed.). Pearson/Addison Wesley. pp. 80–81. ISBN 978-0-321-39053-0.
- ↑ Dijkstra, Edsger W. (1997). "WLOG, or the misery of the unordered pair (EWD1223)". In Broy, Manfred; Schieder, Birgit (eds.). कार्यक्रम विकास में गणितीय तरीके (PDF). NATO ASI Series F: Computer and Systems Sciences. Vol. 158. Springer. pp. 33–34. doi:10.1007/978-3-642-60858-2_9.
- ↑ "तीन चरों में एक चक्रीय असमानता". www.cut-the-knot.org. Retrieved 2019-10-21.
