जॉनसन वृत्त: Difference between revisions

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''An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle'', Houghton, Mifflin Company, 1929</ref><ref>Roger Arthur Johnson, "A Circle Theorem", ''[[American Mathematical Monthly]]'' 23, 161–162, 1916.</ref><ref>[http://faculty.evansville.edu/ck6/bstud/johnson.html Roger Arthur Johnson (1890–1954)] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140913083359/http://faculty.evansville.edu/ck6/bstud/johnson.html |date=2014-09-13 }}</ref>
''An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle'', Houghton, Mifflin Company, 1929</ref><ref>Roger Arthur Johnson, "A Circle Theorem", ''[[American Mathematical Monthly]]'' 23, 161–162, 1916.</ref><ref>[http://faculty.evansville.edu/ck6/bstud/johnson.html Roger Arthur Johnson (1890–1954)] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140913083359/http://faculty.evansville.edu/ck6/bstud/johnson.html |date=2014-09-13 }}</ref>


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# जॉनसन वृत्तों के केंद्र उसी त्रिज्या r के एक वृत्त पर स्थित हैं, जिस पर जॉनसन वृत्त {{mvar|H}} पर केंद्रित हैं। ये केंद्र जॉनसन त्रिकोण बनाते हैं।
# जॉनसन वृत्तों के केंद्र उसी त्रिज्या r के एक वृत्त पर स्थित हैं, जिस पर जॉनसन वृत्त {{mvar|H}} पर केंद्रित हैं। ये केंद्र '''जॉनसन त्रिकोण''' बनाते हैं।
# त्रिज्या 2r के साथ {{mvar|H}} पर केन्द्रित वृत्त, जिसे प्रतिपूरक वृत्त के रूप में जाना जाता है, जॉनसन वृत्तों में से प्रत्येक के लिए स्पर्शरेखा है। तीन स्पर्शरेखा बिंदु जॉनसन त्रिभुज के शीर्षों के बारे में बिंदु {{mvar|H}} के प्रतिबिंब हैं।
# त्रिज्या 2r के साथ {{mvar|H}} पर केन्द्रित वृत्त, जिसे प्रतिपूरक वृत्त के रूप में जाना जाता है, जॉनसन वृत्तों में से प्रत्येक के लिए स्पर्शरेखा है। तीन स्पर्शरेखा बिंदु जॉनसन त्रिभुज के शीर्षों के बारे में बिंदु {{mvar|H}} के प्रतिबिंब हैं।
# जॉनसन सर्कल और एंटीकॉम्प्लिमेंटरी सर्कल के बीच स्पर्शरेखा के बिंदु एक और त्रिकोण बनाते हैं, जिसे संदर्भ त्रिकोण का एंटीकॉम्प्लिमेंटरी त्रिकोण कहा जाता है। यह जॉनसन त्रिकोण के समान है और एच पर केन्द्रित कारक 2 द्वारा समरूप है, जो उनका सामान्य परिकेन्द्र है।
# जॉनसन वृत्त और एंटीकॉम्प्लिमेंटरी वृत्त के बीच स्पर्शरेखा के बिंदु एक और त्रिकोण बनाते हैं, जिसे संदर्भ त्रिकोण का एंटीकॉम्प्लिमेंटरी त्रिकोण कहा जाता है। यह जॉनसन त्रिकोण के समान है और एच पर केन्द्रित कारक 2 द्वारा समरूप है, जो उनका सामान्य परिकेन्द्र है।
# जॉनसन का प्रमेय: जॉनसन सर्कल के 2-वार प्रतिच्छेदन बिंदु (संदर्भ त्रिकोण △''ABC'' के शीर्ष) जॉनसन सर्कल के समान त्रिज्या ''r'' के एक सर्कल पर स्थित हैं। यह संपत्ति रोमानिया में घोरघे siśeica की 5 लेई सिक्का समस्या के रूप में भी जानी जाती है।
# जॉनसन का प्रमेय: जॉनसन वृत्त के 2-वार प्रतिच्छेदन बिंदु (संदर्भ त्रिकोण △''ABC'' के शीर्ष) जॉनसन वृत्त के समान त्रिज्या ''r'' के एक वृत्त पर स्थित हैं। यह संपत्ति रोमानिया में घोरघे siśeica की '''5 लेई सिक्का समस्या''' के रूप में भी जानी जाती है।
# संदर्भ त्रिभुज वास्तव में जॉनसन त्रिभुज के सर्वांगसम है और −1 के गुणक द्वारा इसके समरूप है।
# संदर्भ त्रिभुज वास्तव में जॉनसन त्रिभुज के सर्वांगसम है और −1 के गुणक द्वारा इसके समरूप है।
# बिंदु {{mvar|H}} संदर्भ त्रिभुज का लंबकेन्द्र और जॉनसन त्रिभुज का परिकेन्द्र है।
# बिंदु {{mvar|H}} संदर्भ त्रिभुज का लंबकेन्द्र और जॉनसन त्रिभुज का परिकेन्द्र है।
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गुण 4 और 5 के लिए, सबसे पहले, देखें कि जॉनसन के तीन में से किन्हीं दो वृत्तों की अदला-बदली एच और उनके 2-वार प्रतिच्छेदन को जोड़ने वाली रेखा में प्रतिबिंब द्वारा होती है (या {{mvar|H}} पर उनके सामान्य स्पर्शरेखा में यदि ये बिंदु मेल खाते हैं), और यह प्रतिबिंब इन वृत्तों पर स्थित प्रतिपूरक त्रिभुज के दो शीर्षों को भी आपस में बदल देता है। इसलिए, 2-वार प्रतिच्छेदन बिंदु, प्रतिपूरक त्रिभुज की एक भुजा का मध्यबिंदु है, और {{mvar|H}} इस भुजा के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित है। अब किसी भी त्रिभुज की भुजाओं के मध्यबिंदु त्रिभुज के बायसेंटर पर केन्द्रित गुणनखंड −½ के साथ एक समरूपता द्वारा उसके शीर्षों की छवियां हैं। एंटीकॉम्प्लिमेंटरी त्रिकोण पर लागू, जो स्वयं जॉनसन त्रिकोण से कारक 2 के साथ एक समरूपता द्वारा प्राप्त किया जाता है, यह समरूपता की संरचना से पता चलता है कि संदर्भ त्रिकोण एक कारक -1 द्वारा जॉनसन त्रिकोण के लिए समरूप है। चूँकि ऐसी समरूपता एक सर्वांगसमता है, इससे गुण 5 मिलता है, और जॉनसन वृत्त प्रमेय भी मिलता है क्योंकि सर्वांगसम त्रिभुजों में समान त्रिज्या के परिबद्ध वृत्त होते हैं।
 
गुण 4 और 5 के लिए, सबसे पहले, देखें कि जॉनसन के तीन में से किन्हीं दो वृत्तों की अंतर्विनिमय {{mvar|H}} और उनके 2-वार प्रतिच्छेदन को जोड़ने वाली रेखा में प्रतिबिंब द्वारा होती है (या {{mvar|H}} पर उनके सामान्य स्पर्शरेखा में यदि ये बिंदु मेल खाते हैं), और यह प्रतिबिंब इन वृत्तों पर स्थित प्रतिपूरक त्रिभुज के दो शीर्षों को भी आपस में बदल देता है। इसलिए, 2-वार प्रतिच्छेदन बिंदु, प्रतिपूरक त्रिभुज की एक भुजा का मध्यबिंदु है, और {{mvar|H}} इस भुजा के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित है। अब किसी भी त्रिभुज की भुजाओं के मध्यबिंदु त्रिभुज के बायसेंटर पर केन्द्रित गुणनखंड −½ के साथ एक समरूपता द्वारा उसके शीर्षों की छवियां हैं। एंटीकॉम्प्लिमेंटरी त्रिकोण पर लागू, जो स्वयं जॉनसन त्रिकोण से कारक 2 के साथ एक समरूपता द्वारा प्राप्त किया जाता है, यह समरूपता की संरचना से पता चलता है कि संदर्भ त्रिकोण एक कारक -1 द्वारा जॉनसन त्रिकोण के लिए समरूप है। चूँकि ऐसी समरूपता एक सर्वांगसमता है, इससे गुण 5 मिलता है, और जॉनसन वृत्त प्रमेय भी मिलता है क्योंकि सर्वांगसम त्रिभुजों में समान त्रिज्या के परिबद्ध वृत्त होते हैं।


संपत्ति 6 ​​के लिए, यह पहले से ही स्थापित किया गया था कि प्रतिपूरक त्रिभुज की भुजाओं के लंबवत समद्विभाजक बिंदु से होकर गुजरते हैं {{mvar|H}}; चूँकि वह भुजा संदर्भ त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर है, ये लंब समद्विभाजक भी संदर्भ त्रिभुज की ऊँचाई (त्रिकोण) हैं।
संपत्ति 6 ​​के लिए, यह पहले से ही स्थापित किया गया था कि प्रतिपूरक त्रिभुज की भुजाओं के लंबवत समद्विभाजक बिंदु से होकर गुजरते हैं {{mvar|H}}; चूँकि वह भुजा संदर्भ त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर है, ये लंब समद्विभाजक भी संदर्भ त्रिभुज की ऊँचाई (त्रिकोण) हैं।


संपत्ति 7 संपत्ति 6 ​​से तुरंत अनुसरण करती है क्योंकि होमोथेटिक केंद्र जिसका कारक -1 है, परिकेन्द्रों के मध्य बिंदु पर स्थित होना चाहिए{{mvar|O}} संदर्भ त्रिकोण और{{mvar|H}} जॉनसन त्रिकोण का; उत्तरार्द्ध संदर्भ त्रिकोण का ऑर्थोसेंटर है, और इसका नौ-बिंदु केंद्र उस मध्य बिंदु के रूप में जाना जाता है। चूंकि [[केंद्रीय समरूपता]] जॉनसन त्रिकोण के संदर्भ त्रिकोण के ऑर्थोसेंटर को भी मैप करती है, इसलिए होमोथेटिक केंद्र जॉनसन त्रिकोण का नौ-बिंदु केंद्र भी है।
संपत्ति 7 संपत्ति 6 ​​से तुरंत अनुसरण करती है क्योंकि होमोथेटिक केंद्र जिसका कारक -1 है, परिकेन्द्रों के मध्य बिंदु पर स्थित होना चाहिए {{mvar|O}} संदर्भ त्रिकोण और{{mvar|H}} जॉनसन त्रिकोण का; उत्तरार्द्ध संदर्भ त्रिकोण का ऑर्थोसेंटर है, और इसका नौ-बिंदु केंद्र उस मध्य बिंदु के रूप में जाना जाता है। चूंकि केंद्रीय समरूपता जॉनसन त्रिकोण के संदर्भ त्रिकोण के ऑर्थोसेंटर को भी मैप करती है, इसलिए होमोथेटिक केंद्र जॉनसन त्रिकोण का नौ-बिंदु केंद्र भी है।


एक साधारण सदिश संगणना का उपयोग करते हुए, जॉनसन सर्किल प्रमेय का एक बीजगणितीय प्रमाण भी है। वेक्टर हैं <math>\vec{u}, \vec{v}, \vec{w},</math> पूरी लंबाई {{mvar|r}}, जैसे कि जॉनसन वृत्त क्रमशः पर केंद्रित हैं <math>H+\vec{u}, H+\vec{v}, H+\vec{w}.</math> फिर 2-वाइज प्रतिच्छेदन बिंदु क्रमशः हैं <math>H+\vec{u}+\vec{v}, H+\vec{u}+\vec{w}, H+\vec{v}+\vec{w}</math>, और बिंदु <math>H+\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}</math> स्पष्ट रूप से दूरी है {{mvar|r}} उन 2-वाइज चौराहों में से किसी के लिए।
एक साधारण सदिश संगणना का उपयोग करते हुए, जॉनसन सर्किल प्रमेय का एक बीजगणितीय प्रमाण भी है। वेक्टर हैं <math>\vec{u}, \vec{v}, \vec{w},</math> पूरी लंबाई {{mvar|r}}, जैसे कि जॉनसन वृत्त क्रमशः पर केंद्रित हैं <math>H+\vec{u}, H+\vec{v}, H+\vec{w}.</math> फिर 2-वाइज प्रतिच्छेदन बिंदु क्रमशः हैं <math>H+\vec{u}+\vec{v}, H+\vec{u}+\vec{w}, H+\vec{v}+\vec{w}</math>, और बिंदु <math>H+\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}</math> स्पष्ट रूप से दूरी है {{mvar|r}} उन 2-वाइज चौराहों में से किसी के लिए।
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==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==
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Revision as of 00:17, 9 July 2023

  जॉनसन वृत्त JA ≅ JB ≅ JC of radius r (intersect at H; pairs intersect at A, B, C)
  वृत्त पासिंग A, B, C (has radius r by Johnson's theorem)
  जॉनसन वृत्त △JAJBJC of △ABC
  परिवृत्त of △JAJBJC (radius r)

ज्यामिति में, जॉनसन वृत्त के एक सेट में समान त्रिज्या आर के तीन वृत्त सम्मिलित होते हैं जो प्रतिच्छेदन के एक सामान्य बिंदु H को साझा करते हैं। ऐसे कॉन्फ़िगरेशन में वृत्त में साधारणतया कुल चार प्रतिच्छेदन होते हैं (वे बिंदु जहां उनमें से कम से कम दो मिलते हैं): सामान्य बिंदु H जिसे वे सभी साझा करते हैं, और वृत्तों के तीन जोड़े में से प्रत्येक के लिए एक और प्रतिच्छेदन (इन्टरसेक्शन) बिंदु (यहां उनके 2-वाइज प्रतिच्छेदन के रूप में संदर्भित किया गया है)। यदि कोई भी दो वृत्त दोलन करते हैं, तो उनमें केवल H एक उभयनिष्ठ बिंदु के रूप में होता है, और तब यह माना जाएगा कि H उनका 2-वाइज प्रतिच्छेदन भी होगा; यदि उन्हें संपाती होना चाहिए तो हम घोषित करते हैं कि उनका 2-वाइज प्रतिच्छेदन बिंदु H के बिल्कुल विपरीत है। तीन 2-वाइज प्रतिच्छेदन बिंदु आकृति के संदर्भ त्रिकोण को परिभाषित करते हैं। इस अवधारणा का नाम रोजर आर्थर जॉनसन के नाम पर रखा गया है।[1][2][3]


गुण

  जॉनसन वृत्त JA ≅ JB ≅ JC of radius r (intersect at H; pairs intersect at A, B, C)
  प्रतिपूरक वृत्त of △ABC (radius 2r); tangent to the Johnson circles at PA, PB, PC
  सामान्य प्रतिच्छेदन के बीच की रेखाएँ, H, and PA, PB, PC
  प्रतिपूरक त्रिभुज △PAPBPC of △ABC
  1. जॉनसन वृत्तों के केंद्र उसी त्रिज्या r के एक वृत्त पर स्थित हैं, जिस पर जॉनसन वृत्त H पर केंद्रित हैं। ये केंद्र जॉनसन त्रिकोण बनाते हैं।
  2. त्रिज्या 2r के साथ H पर केन्द्रित वृत्त, जिसे प्रतिपूरक वृत्त के रूप में जाना जाता है, जॉनसन वृत्तों में से प्रत्येक के लिए स्पर्शरेखा है। तीन स्पर्शरेखा बिंदु जॉनसन त्रिभुज के शीर्षों के बारे में बिंदु H के प्रतिबिंब हैं।
  3. जॉनसन वृत्त और एंटीकॉम्प्लिमेंटरी वृत्त के बीच स्पर्शरेखा के बिंदु एक और त्रिकोण बनाते हैं, जिसे संदर्भ त्रिकोण का एंटीकॉम्प्लिमेंटरी त्रिकोण कहा जाता है। यह जॉनसन त्रिकोण के समान है और एच पर केन्द्रित कारक 2 द्वारा समरूप है, जो उनका सामान्य परिकेन्द्र है।
  4. जॉनसन का प्रमेय: जॉनसन वृत्त के 2-वार प्रतिच्छेदन बिंदु (संदर्भ त्रिकोण △ABC के शीर्ष) जॉनसन वृत्त के समान त्रिज्या r के एक वृत्त पर स्थित हैं। यह संपत्ति रोमानिया में घोरघे siśeica की 5 लेई सिक्का समस्या के रूप में भी जानी जाती है।
  5. संदर्भ त्रिभुज वास्तव में जॉनसन त्रिभुज के सर्वांगसम है और −1 के गुणक द्वारा इसके समरूप है।
  6. बिंदु H संदर्भ त्रिभुज का लंबकेन्द्र और जॉनसन त्रिभुज का परिकेन्द्र है।
  7. जॉनसन त्रिभुज का समरूप केंद्र और संदर्भ त्रिकोण उनका सामान्य नौ-बिंदु केंद्र है।

प्रमाण

परिभाषा से गुण 1 स्पष्ट है। संपत्ति 2 भी स्पष्ट है: त्रिज्या r के किसी भी वृत्त और उस पर किसी भी बिंदु P के लिए, P पर केन्द्रित त्रिज्या 2r का वृत्त, P के विपरीत बिंदु पर वृत्त की स्पर्शरेखा है; यह विशेष रूप से P = H पर लागू होता है, जो प्रतिपूरक वृत्त C देता है। समरूपता के निर्माण में संपत्ति 3 तुरंत अनुसरण करती है; स्पर्शरेखा बिंदुओं के त्रिभुज को प्रतिपूरक त्रिभुज के रूप में जाना जाता है।


गुण 4 और 5 के लिए, सबसे पहले, देखें कि जॉनसन के तीन में से किन्हीं दो वृत्तों की अंतर्विनिमय H और उनके 2-वार प्रतिच्छेदन को जोड़ने वाली रेखा में प्रतिबिंब द्वारा होती है (या H पर उनके सामान्य स्पर्शरेखा में यदि ये बिंदु मेल खाते हैं), और यह प्रतिबिंब इन वृत्तों पर स्थित प्रतिपूरक त्रिभुज के दो शीर्षों को भी आपस में बदल देता है। इसलिए, 2-वार प्रतिच्छेदन बिंदु, प्रतिपूरक त्रिभुज की एक भुजा का मध्यबिंदु है, और H इस भुजा के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित है। अब किसी भी त्रिभुज की भुजाओं के मध्यबिंदु त्रिभुज के बायसेंटर पर केन्द्रित गुणनखंड −½ के साथ एक समरूपता द्वारा उसके शीर्षों की छवियां हैं। एंटीकॉम्प्लिमेंटरी त्रिकोण पर लागू, जो स्वयं जॉनसन त्रिकोण से कारक 2 के साथ एक समरूपता द्वारा प्राप्त किया जाता है, यह समरूपता की संरचना से पता चलता है कि संदर्भ त्रिकोण एक कारक -1 द्वारा जॉनसन त्रिकोण के लिए समरूप है। चूँकि ऐसी समरूपता एक सर्वांगसमता है, इससे गुण 5 मिलता है, और जॉनसन वृत्त प्रमेय भी मिलता है क्योंकि सर्वांगसम त्रिभुजों में समान त्रिज्या के परिबद्ध वृत्त होते हैं।

संपत्ति 6 ​​के लिए, यह पहले से ही स्थापित किया गया था कि प्रतिपूरक त्रिभुज की भुजाओं के लंबवत समद्विभाजक बिंदु से होकर गुजरते हैं H; चूँकि वह भुजा संदर्भ त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर है, ये लंब समद्विभाजक भी संदर्भ त्रिभुज की ऊँचाई (त्रिकोण) हैं।

संपत्ति 7 संपत्ति 6 ​​से तुरंत अनुसरण करती है क्योंकि होमोथेटिक केंद्र जिसका कारक -1 है, परिकेन्द्रों के मध्य बिंदु पर स्थित होना चाहिए O संदर्भ त्रिकोण औरH जॉनसन त्रिकोण का; उत्तरार्द्ध संदर्भ त्रिकोण का ऑर्थोसेंटर है, और इसका नौ-बिंदु केंद्र उस मध्य बिंदु के रूप में जाना जाता है। चूंकि केंद्रीय समरूपता जॉनसन त्रिकोण के संदर्भ त्रिकोण के ऑर्थोसेंटर को भी मैप करती है, इसलिए होमोथेटिक केंद्र जॉनसन त्रिकोण का नौ-बिंदु केंद्र भी है।

एक साधारण सदिश संगणना का उपयोग करते हुए, जॉनसन सर्किल प्रमेय का एक बीजगणितीय प्रमाण भी है। वेक्टर हैं पूरी लंबाई r, जैसे कि जॉनसन वृत्त क्रमशः पर केंद्रित हैं फिर 2-वाइज प्रतिच्छेदन बिंदु क्रमशः हैं , और बिंदु स्पष्ट रूप से दूरी है r उन 2-वाइज चौराहों में से किसी के लिए।

और गुण

तीन जॉन्सन हलकों को संदर्भ त्रिकोण के तीन पक्षों में से प्रत्येक के बारे में संदर्भ त्रिकोण के परिवृत्त के प्रतिबिंब माना जा सकता है। इसके अलावा, संदर्भ त्रिकोण के तीन पक्षों के प्रतिबिंब के तहत, इसका ऑर्थोसेंटर H संदर्भ त्रिभुज के परिवृत्त पर तीन बिंदुओं पर मैप करता है जो परिधि-ऑर्थिक त्रिभुज के शीर्ष बनाते हैं, इसका परिकेन्द्र O जॉनसन त्रिकोण और इसकी यूलर लाइन के शीर्ष पर मैप करता है (रेखा से होकर गुजरती है O, N, H) तीन पंक्तियाँ उत्पन्न करता है जो X(110) पर समवर्ती हैं।

जॉनसन सर्कमोनिक

जॉनसन त्रिकोण और इसका संदर्भ त्रिकोण समान नौ-बिंदु केंद्र, समान यूलर रेखा और समान नौ-बिंदु वृत्त साझा करते हैं। संदर्भ त्रिकोण और इसके जॉनसन त्रिकोण के शीर्ष से बने छह बिंदु जॉनसन सर्कमोनिक पर स्थित हैं जो नौ-बिंदु केंद्र पर केंद्रित है और संदर्भ त्रिकोण का बिंदु X(216) इसके परिप्रेक्ष्य के रूप में है . परिवृत्त और परिवृत्त संदर्भ त्रिभुज का एक चौथा बिंदु, X(110) साझा करते हैं।

अंत में दो दिलचस्प और प्रलेखित सर्कमक्यूबिक्स हैं जो संदर्भ त्रिकोण और इसके जॉनसन त्रिकोण के छह शीर्षों के साथ-साथ परिधि, ऑर्थोसेंटर और नौ-बिंदु केंद्र से होकर गुजरते हैं। पहले को पहले मुसेलमैन क्यूबिक - के026 के रूप में जाना जाता है। यह घन औसत दर्जे के त्रिभुज के छह शीर्षों और जॉनसन त्रिभुज के औसत दर्जे के त्रिकोण से होकर भी गुजरता है। दूसरे क्यूबिक को यूलर सेंट्रल क्यूबिक - K044 के रूप में जाना जाता है। यह घन भी ओर्थिक त्रिभुज के छह शीर्षों और जॉनसन त्रिभुज के ओर्थिक त्रिभुज से होकर गुजरता है।

X(i) बिंदु अंकन त्रिकोण केंद्रों का क्लार्क किम्बरलिंग एनसाइक्लोपीडिया त्रिकोण केंद्रों का वर्गीकरण है।

बाहरी संबंध

  • Weisstein, Eric W. "Johnson Theorem". MathWorld.
  • F. M. Jackson and Weisstein, Eric W. "Johnson Circles". MathWorld.
  • F. M. Jackson and Weisstein, Eric W. "Johnson Triangle". MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. "Johnson Circumconic". MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. "Anticomplementary Triangle". MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. "Circum-Orthic Triangle". MathWorld.
  • Bernard Gibert Circumcubic K026
  • Bernard Gibert Circumcubic K044
  • Clark Kimberling, "Encyclopedia of triangle centers". (Lists some 3000 interesting points associated with any triangle.)


संदर्भ

  1. ↑ Roger Arthur Johnson, Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle, Houghton, Mifflin Company, 1929
  2. ↑ Roger Arthur Johnson, "A Circle Theorem", American Mathematical Monthly 23, 161–162, 1916.
  3. ↑ Roger Arthur Johnson (1890–1954) Archived 2014-09-13 at the Wayback Machine
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