वितरणशीलता (अनुक्रम सिद्धांत)

आदेश सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, वितरण की सामान्य अवधारणा की विभिन्न धारणाएँ हैं, जो सर्वोच्च और निम्न के गठन पर लागू होती हैं। इनमें से अधिकांश आंशिक रूप से सुव्यवस्थित किए गए सेटों पर लागू होते हैं जो कम से कम जालक होते हैं, लेकिन वास्तविकता में यह अवधारणा अर्ध-जालक के लिए भी यथार्थ रूप से सामान्यीकृत की जा सकती है।

वितरणात्मक जालक

संभवतः वितरण का सबसे सामान्य प्रकार वह है जो जालकों के लिए परिभाषित है, जहां द्विआधारी सर्वोच्च और निम्न का गठन संयोजन ($\vee$) और सम्मेलन ($\wedge$) के पूर्ण संचालन प्रदान करता है। इन दोनों संक्रियाओं की वितरणशीलता को तब यह आवश्यक करके व्यक्त किया जाता है कि पहचान

$x\wedge (y\vee z)=(x\wedge y)\vee (x\wedge z)$

सभी तत्वों x, y, और z के लिए बनी रहे। यह वितरण कानून 'वितरणात्मक जालक' के वर्ग को परिभाषित करता है। ध्यान दें कि इस आवश्यकता को यह कहकर दोबारा दोहराया जा सकता है कि द्विआधारी सम्मेलन द्विआधारी संयोजन को संरक्षित करती है। ऊपर दिए गए कथन को उसके आदेश द्विपक्ष

$x\vee (y\wedge z)=(x\vee y)\wedge (x\vee z)$

के समतुल्य माना जाता है, जिसका एक या अधिकतम गुण जालकों के लिए वितरणता की परिभाषा के लिए पर्याप्त होता है। वितरणात्मक जालक के विशिष्ट उदाहरण संपूर्ण सुव्यवस्थित किए गए सेट, बूलियन बीजगणित और हेटिंग बीजगणित हैं। प्रत्येक परिमित वितरणात्मक जालक सेटों की एक जालक के लिए समरूपता का आदेश देती है, जो समावेशन द्वारा क्रमबद्ध होती है (बिरखॉफ का प्रतिनिधित्व प्रमेय)।

सेमीलैटिस के लिए वितरण

मीट-सेमिलैटिस के लिए वितरण की परिभाषा के लिए हैस आरेख।

एक सेमीलैटिस को आंशिक रूप से दो जालक ऑपरेशनों में से केवल एक के साथ सेट करने का आदेश दिया गया है, या तो एक मीट- या एक जॉइन-सेमिलैटिस। यह देखते हुए कि केवल एक द्विआधारी ऑपरेशन है, वितरण को स्पष्ट रूप से मानक तरीके से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। फिर भी, दिए गए क्रम के साथ एकल ऑपरेशन की अंतःक्रिया के कारण, वितरण की निम्नलिखित परिभाषा संभव रहती है। एक मीट-सेमिलैटिस वितरणात्मक है, यदि सभी ए, बी, और एक्स के लिए:

यदि a ∧ b ≤ x तो a मौजूद है′ और बी′ ऐसा कि a ≤ a′, b ≤ b' और x = a′ ∧ बी' .

डिस्ट्रीब्यूटिव जॉइन-सेमिलैटिस को द्वंद्व (ऑर्डर थ्योरी) द्वारा परिभाषित किया गया है: एक 'जॉइन-सेमिलैटिस' 'डिस्ट्रीब्यूटिव' है, यदि सभी ए, बी और एक्स के लिए:

यदि x ≤ a ∨ b तो a का अस्तित्व है′ और बी′ ऐसा कि ए′ ≤ ए, बी′ ≤ बी और एक्स = ए′ ∨ बी' .

किसी भी स्थिति में, a' और b' को अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है। ये परिभाषाएँ इस तथ्य से उचित हैं कि किसी भी जालक एल को देखते हुए, निम्नलिखित सभी कथन समतुल्य हैं:

• एल मीट-सेमिलैटिस के रूप में वितरणात्मक है
• एल जॉइन-सेमिलैटिस के रूप में वितरणात्मक है
• L एक वितरणात्मक जालक है।

इस प्रकार कोई भी वितरणात्मक मिलन-सेमिलैटिस जिसमें द्विआधारी जोड़ मौजूद होते हैं, एक वितरणात्मक जालक है। एक जॉइन-सेमिलैटिस वितरणात्मक है यदि और केवल यदि इसके आदर्श (आदेश सिद्धांत) (समावेशन के तहत) की जालक वितरणात्मक है। वितरणशीलता की यह परिभाषा वितरणात्मक अक्षांशों के बारे में कुछ कथनों को वितरणात्मक सेमीलैटिस के रूप में सामान्यीकृत करने की अनुमति देती है।

पूर्ण जालकों के लिए वितरण नियम

पूर्णता (आदेश सिद्धांत) जालक के लिए, मनमाने ढंग से उपसमुच्चय में निम्न और सर्वोच्च दोनों होते हैं और इस प्रकार इनफ़िनिटरी मीट और जॉइन ऑपरेशन उपलब्ध होते हैं। इस प्रकार वितरण की कई विस्तारित धारणाओं का वर्णन किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अनंत वितरण कानून के लिए, परिमित मिलन मनमाने ढंग से जुड़ने पर वितरित हो सकता है, यानी।

$x\wedge \bigvee S=\bigvee \{x\wedge s\mid s\in S\}$

जालक के सभी तत्वों x और सभी उपसमुच्चय S के लिए धारण कर सकता है। इस गुण के साथ पूर्ण जालकों को 'फ़्रेम', 'लोकेल' या 'पूर्ण हेटिंग बीजगणित' कहा जाता है। वे निरर्थक टोपोलॉजी और स्टोन द्वंद्व के संबंध में उत्पन्न होते हैं। यह वितरणात्मक कानून इसके दोहरे कथन के समतुल्य नहीं है

$x\vee \bigwedge S=\bigwedge \{x\vee s\mid s\in S\}$

जो दोहरे फ्रेम या पूर्ण सह-हेटिंग बीजगणित के वर्ग को परिभाषित करता है।

अब कोई इससे भी आगे जा सकता है और उन आदेशों को परिभाषित कर सकता है जहां मनमाना जोड़ मनमाने ढंग से मिलने पर वितरित होता है। ऐसी संरचनाओं को पूर्णतः वितरणात्मक जालक कहा जाता है। हालाँकि, इसे व्यक्त करने के लिए ऐसे फॉर्मूलेशन की आवश्यकता होती है जो थोड़े अधिक तकनीकी हों। एक दोहरे अनुक्रमित परिवार पर विचार करें {x_j,k | J में J, K में K(j)} एक पूर्ण जालक के तत्वों का, और F को J के प्रत्येक सूचकांक j के लिए K(j) में कुछ सूचकांक f(j) चुनने के लिए पसंदीदा कार्यों का सेट होने दें। एक पूर्ण जालक 'पूरी तरह से वितरणात्मक' है यदि ऐसे सभी डेटा के लिए निम्नलिखित कथन मान्य है:

$\bigwedge _{j\in J}\bigvee _{k\in K(j)}x_{j,k}=\bigvee _{f\in F}\bigwedge _{j\in J}x_{j,f(j)}$

पूर्ण वितरण फिर से एक स्व-दोहरी संपत्ति है, यानी उपरोक्त कथन को दोहराने से पूर्ण अक्षांशों का एक ही वर्ग प्राप्त होता है। पूरी तरह से वितरणात्मक पूर्ण जालक (संक्षेप में पूरी तरह से वितरणात्मक जालक भी कहा जाता है) वास्तव में अत्यधिक विशेष संरचनाएं हैं। पूरी तरह से वितरणात्मक जालकों पर लेख देखें।

साहित्य

वितरण एक बुनियादी अवधारणा है जिसका वर्णन जालक और क्रम सिद्धांत पर किसी भी पाठ्यपुस्तक में किया जाता है। आदेश सिद्धांत और जालक सिद्धांत पर लेखों के लिए दिया गया साहित्य देखें। अधिक विशिष्ट साहित्य में शामिल हैं:

• जी.एन. राने, कम्प्लीटली डिस्ट्रीब्यूटिव कम्प्लीट लैटिस, प्रोसीडिंग्स ऑफ द अमेरिकन गणितीय सोसायटी, 3: 677 - 680, 1952।

श्रेणी:आदेश सिद्धांत