वितरणशीलता (अनुक्रम सिद्धांत)

आदेश सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, वितरण की सामान्य अवधारणा की विभिन्न धारणाएँ हैं, जो अधिकतम और निम्नतम की रचना क्रम पर लागू होती हैं। इनमें से अधिकांश आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समुच्चयो पर लागू होते हैं जो कम से कम जालक हैं, लेकिन अवधारणा को वास्तव में अर्ध-जालक के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है।

वितरणी जालक

संभवतः वितरण का सबसे सामान्य प्रकार वह है जो जालकों के लिए परिभाषित है, जहां द्विआधारी अधिकतम और निम्नतम की रचना संयोजन ($\vee$) और सम्मेलन ($\wedge$) के पूर्ण संचालन प्रदान करता है। इन दोनों संक्रियाओं की वितरणशीलता उन सभी तत्वों x, y, और z के लिए इस मानदंड को पूरा करने के द्वारा व्यक्त की जाती है जिसकी पहचान

$x\wedge (y\vee z)=(x\wedge y)\vee (x\wedge z)$

हो। यह वितरण नियम 'वितरणी जालकों' के वर्ग को परिभाषित करता है। ध्यान दें कि इस आवश्यकता को यह कहकर परिवर्तित की किया जा सकता है कि द्विआधारी सम्मेलन द्विआधारी संयोजन को संरक्षित करता है। उपरोक्त कथन अपने क्रम-द्वय के समतुल्य होने के लिए जाना जाता है, जहां एक गुण

$x\vee (y\wedge z)=(x\vee y)\wedge (x\vee z)$

ऐसी होता है जिससे इन गुणों में से किसी एक का परिभाषण करने के लिए वितरणशीलता की परिभाषा पर पूरा आधार बनाया जा सकता है। वितरणी जालक के विशिष्ट उदाहरण संपूर्ण अनुक्रम किए गए समुच्चयो, बूलियन बीजगणित और हेटिंग बीजगणित हैं। प्रत्येक परिमित वितरणी जालक समावेशन (बिरखॉफ के प्रतिनिधित्व प्रमेय) द्वारा अनुक्रम किए गए समुच्चयो के जालक के लिए समरूपीय है।

अर्ध जालक के लिए वितरण

सम्मेलन-अर्ध जालक के लिए वितरण की परिभाषा के लिए हैस आरेख।

एक अर्ध जालक एक आंशिक आदेशित सेट है जिसमें दो जालक संचालनों में से केवल एक होता है, जो या तो एक सम्मेलन-अर्ध जालक होता है या एक संयोजन-अर्ध जालक होता है। जब एक ही द्विआधारी संचालन होता है, तो स्पष्ट रूप से वितरणता को मानक तरीके से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। फिर भी, दिए गए आदेश के साथ एकल संचालन के प्रभाव के कारण, वितरणता की निम्नतमलिखित परिभाषा संभव होती है। यदि सभी a, b और x के लिए एक सम्मेलन- अर्ध जालक वितरणीय होता है, तो

यदि a ∧ b ≤ x होता है तो a′ और b' उपस्थित होते हैं जिसके लिए a ≤ a′, b ≤ b' और x = a′ ∧ b' होता है।

वितरणीय संयोजन-अर्ध जालक द्वित्वयापीत रूप से परिभाषित किया जाता है, यदि सभी a, b और x के लिए एक संयोजन-अर्ध जालक वितरणीय होता है, तो

यदि x ≤ a ∨ b होता है तो ऐसे a′ और b′ उपस्थित होते हैं जिसके लिए a' ≤ a, b' ≤ b और x = a' ∨ b' होता है।

किसी भी स्थिति में, a' और b' को अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है। ये परिभाषाएं यहाँ उचित होती हैं क्योंकि किसी भी जालक L के लिए, निम्नतमलिखित विधियाँ सभी एक समान होती हैं

• L सम्मेलन-अर्ध जालक के रूप में वितरणी है
• L संयोजन-अर्ध जालक के रूप में वितरणी है
• L एक वितरणी जालक है।

इस प्रकार कोई भी वितरणी सम्मेलन-अर्ध जालक जिसमें द्विआधारी संयोजन उपस्थित होते हैं, वह एक वितरणी जालक होता है। एक संयोजन-अर्ध जालक वितरणी है यदि इसके आदर्शों के जालक (समावेशन के तहत) वितरणी है।

वितरणशीलता की यह परिभाषा वितरणी अक्षांशों के बारे में कुछ कथनों को वितरणी अर्ध जालक के रूप में सामान्यीकृत करने की अनुमति देती है।

पूर्ण जालकों के लिए वितरण नियम

एक पूर्ण जालक के लिए, विभिन्न उपसमूहों में निम्नतमतम और अधिकतम एक साथ होते हैं और इसलिए असीमित सम्मेलन और संयोजन संचालन उपलब्ध होते हैं। इस प्रकार वितरण की कई विस्तारित धारणाओं का वर्णन किया जा सकता है। उदाहरण के रूप में, असीमित वितरणीय नियम के लिए, सीमित सम्मेलन विभिन्न संयोजनों पर वितरित हो सकते हैं, अर्थात्

$x\wedge \bigvee S=\bigvee \{x\wedge s\mid s\in S\}$

जालक के सभी तत्वों x और सभी उपसमुच्चय S के लिए संभव हो सकता है। इस गुण के साथ पूर्ण जालकों को 'फ़्रेम', 'लोकेल्स' या 'पूर्ण हेटिंग बीजगणित' कहा जाता है। वे निरर्थक सीन विज्ञान और स्टोन द्वैतीयता के संबंध में उत्पन्न होते हैं। यह वितरणी नियम इसके दोहरे कथन

$x\vee \bigwedge S=\bigwedge \{x\vee s\mid s\in S\}$

के समतुल्य नहीं है जो द्वैती फ्रेम या पूर्ण सह-हेटिंग बीजगणित के वर्ग को परिभाषित करता है।

अब एक चरण आगे बढ़ाकर विभिन्न संयोजन सीमित सम्मेलन पर वितरित हो सकते हैं तथा साथ ही उन आदेशों को परिभाषित किया जा सकता है। ऐसी संरचनाओं को पूर्णतः वितरणी जालक कहा जाता है। हालांकि, इसे व्यक्त करने के लिए ऐसी प्रस्तावनाएं आवश्यक होती हैं जो थोड़ी सी तकनीकी होती हैं। एक पूर्ण जालक के तत्वों के एक द्विगुणांकित परिवार {x_j,k | J J में है, K K(j) में है} का विचार करें, और F को ऐसे चयनित फलनो f का सेट बनाएं जो प्रत्येक जाँचक J के लिए j के कुछ जाँचक f(j) K(j) में होता है। यदि सभी ऐसे डेटा के लिए निम्नतमलिखित कथन सत्य होता है तो एक पूर्ण जालक पूर्ण वितरणीय होता है,

$\bigwedge _{j\in J}\bigvee _{k\in K(j)}x_{j,k}=\bigvee _{f\in F}\bigwedge _{j\in J}x_{j,f(j)}$

पूर्ण वितरणीयता फिर से एक स्व-द्वैतीय गुण है, अर्थात् उपरोक्त कथन को द्वैतीय करने से पूर्ण जालक की एक ही श्रेणी प्राप्त होती है। पूरी तरह से वितरणी पूर्ण जालक (संक्षेप में पूरी तरह से वितरणी जालक भी कहा जाता है) वास्तव में अत्यधिक विशेष संरचनाएं हैं। पूरी तरह से वितरणी जालकों पर लेख देखें।

साहित्य

वितरण एक बुनियादी अवधारणा है जिसका वर्णन जालक और क्रम सिद्धांत पर किसी भी पाठ्यपुस्तक में किया जाता है। आदेश सिद्धांत और जालक सिद्धांत पर दिए गए लेखों के लिए प्रदत्त साहित्य को देखें। अधिक विशिष्ट साहित्य में सम्मिलित हैं,

• जी.एन. राने, पूर्णतः वितरणी पूर्ण जालक, अमेरिकन गणितीय समाज का प्रकाशन, 3: 677 - 680, 1952।

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