भार्गव फैक्टोरियल: Difference between revisions

Revision as of 11:48, 9 July 2023

गणित में, भार्गव का फैक्टोरियल फलन, या बस भार्गव फैक्टोरियल, साल 1996 में हार्वर्ड विश्वविद्यालय में अपने थीसिस के हिस्से के रूप में फील्ड्स मेडल विजेता गणितज्ञ मंजुल भार्गव द्वारा विकसित फैक्टोरियल फलन का एक निश्चित सामान्यीकरण है। भार्गव फैक्टोरियल में यह गुण है कि अनेक संख्याएं- साधारण फैक्टोरियल से जुड़े सैद्धांतिक परिणाम तब भी सही रहते हैं, जब फैक्टोरियल को भार्गव फैक्टोरियल द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। समुच्चय के एक मनमाना अनंत समुच्चय S का उपयोग करना $\mathbb {Z}$ पूर्णांकों में से, भार्गव ने प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक k के साथ एक धनात्मक पूर्णांक जोड़ा, जिसे उन्होंने k !S द्वारा निरूपित किया‚ इस गुण के साथ कि यदि कोई S = लेता है $\mathbb {Z}$ स्वयं, फिर k से संबद्ध पूर्णांक, अर्थात k !_{$\mathbb {Z}$}, k का सामान्य भाज्य बन जाएगा।^[1]

सामान्यीकरण के लिए प्रेरणा

एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n का भाज्य, जिसे n! द्वारा निरूपित किया जाता है, n से कम या उसके सामान्तर सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है। उदाहरण के लिए, 5! = 5×4×3×2×1 = 120. परंपरा के अनुसार, 0 का मान! इसे 1 के रूप में परिभाषित किया गया है। यह मौलिक तथ्यात्मक फलन संख्या सिद्धांत के अनेक प्रमेयों में प्रमुखता से दिखाई देता है। इनमें से कुछ प्रमेय निम्नलिखित हैं।^[1]

किसी भी धनात्मक पूर्णांक m और n के लिए, (m + n)! m का गुणज है! एन!।
मान लीजिए f(x) एक आदिम पूर्णांक बहुपद है, अर्थात, एक बहुपद जिसमें गुणांक पूर्णांक होते हैं और एक दूसरे के सापेक्ष अभाज्य होते हैं। यदि f(x) की डिग्री k है तब x के पूर्णांक मानों के लिए f(x) के मानों के समूह का सबसे बड़ा सामान्य भाजक k का भाजक है!
मान लीजिए a₀, a₁, a₂, … , a_n कोई भी n + 1 पूर्णांक हो। तब उनके जोड़ीवार अंतर का गुणनफल 0 का गुणज होता है! 1! … एन! होने देना।
मान लीजिए $\mathbb {Z}$ पूर्णांकों का समुच्चय हो और n कोई पूर्णांक हो। फिर पूर्णांकों के वलय से बहुपद फलनों की संख्या $\mathbb {Z}$ भागफल वलय तक $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ द्वारा दिया गया है $\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {n}{\gcd(n,k!)}}$ .

भार्गव ने अपने सामने निम्नलिखित समस्या रखी और धनात्मक उत्तर प्राप्त किया: उपरोक्त प्रमेयों में, क्या कोई पूर्णांकों के समुच्चय को किसी अन्य समुच्चय S (का एक उपसमुच्चय) से प्रतिस्थापित कर सकता है? $\mathbb {Z}$ , या कुछ रिंग (गणित) का एक उपसमूह) और S के आधार पर एक फलन को परिभाषित करता है जो प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के के लिए एक मान निर्दिष्ट करता है, जिसे k!S द्वारा दर्शाया जाता है‚ जैसे कि पहले दिए गए प्रमेय से प्राप्त कथनों को प्रतिस्थापित करके क! k!S द्वारा सत्य रहता है?

सामान्यीकरण

मान लीजिए S पूर्णांकों के समुच्चय Z का एक मनमाना अनंत उपसमुच्चय है।
एक अभाज्य संख्या p चुनें।
एक क्रमबद्ध अनुक्रम का निर्माण करें {a₀, a₁, a₂, … } S से चुनी गई संख्याओं का क्रम इस प्रकार है (ऐसे क्रम को S का p-क्रम कहा जाता है):

a₀ S का कोई मनमाना तत्व है।
a₁ S का कोई मनमाना तत्व इस प्रकार है जैसे कि a₁ − a₀ को विभाजित करने वाली p की उच्चतम शक्ति न्यूनतम है।
a₂ S का कोई भी मनमाना तत्व ऐसा है जैसे कि (a₂ − a₀)(a₂ − a₁) को विभाजित करने वाली p की उच्चतम शक्ति न्यूनतम है।
a₃ एस का कोई भी मनमाना तत्व ऐसा है जैसे (a₃ − a₀)(a₃ − a₁)(a₃ − a₂) को विभाजित करने वाली p की उच्चतम शक्ति न्यूनतम है।
… और इसी तरह।

प्रत्येक अभाज्य संख्या p के लिए S का एक p-क्रम बनाएँ। (किसी दी गई अभाज्य संख्या p के लिए, S का p-क्रम अद्वितीय नहीं है।)
प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक k के लिए, मान लीजिए v_k(S, P) P की उच्चतम घात है जो (a_k − a₀)(a_k − a₁)(a_k − a₂) … (a_k − a_k _{− 1}) को विभाजित करता है। अनुक्रम {v₀(S, p), v₁(S, p), v₂(S, p), v₃(S, p), … } को S का संबद्ध P-अनुक्रम कहा जाता है। यह S के P-ऑर्डरिंग के किसी विशेष विकल्प से स्वतंत्र है। (हम मानते हैं कि v₀(S, p) = 1 सदैव ।)
अनंत समुच्चय S से संबद्ध पूर्णांक k के भाज्य को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $k!_{S}=\prod _{p}v_{k}(S,p)$ , जहां गुणनफल को सभी अभाज्य संख्याओं p पर लिया जाता है।

उदाहरण: अभाज्य संख्याओं के समूह का उपयोग करते हुए गुणनखंड

मान लीजिए S सभी अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है P = {2, 3, 5, 7, 11,… }।

P = 2 चुनें और P का P-ऑर्डर बनाएं।

एक विकल्प चुनें a₀ = 19 से अनेैतिक रूप से P.
a₁ चुनने के लिए₁:

इस प्रकार 2 − a₀ = −17 को विभाजित करने वाली p की उच्चतम घात 20 = 1 है। इसके अतिरिक्त, P में किसी भी a ≠ 2 के लिए, a − a₀ 2 से विभाज्य है। इसलिए, p की उच्चतम घात जो (a₁ − a₀) को विभाजित करती है न्यूनतम है जब a₁ = 2 और न्यूनतम घात 1 है। इस प्रकार a₁ को 2 और v₁(पी, 2) = 1 के रूप में चुना जाता है।

a₂ चुनने के लिए₂:

यह देखा जा सकता है कि P में प्रत्येक तत्व a के लिए, गुणनफल x = (a − a₀)(a − a₁) = (a − 19)(a − 2) से विभाज्य है। इसके अतिरिक्त, जब a = 5, x 2 से विभाज्य है और यह 2 की किसी भी उच्च घात से विभाज्य नहीं है। तब, a₂ 5 के रूप में चुना जा सकता है। हमारे पास v₂(P, 2) = 2 हैं।

a₃ चुनने के लिए:

यह देखा जा सकता है कि P में प्रत्येक तत्व a के लिए, उत्पाद x = (a − a₀)(a − a₁)(a − a₂) = (a − 19)(a − 2)(a − 5) से विभाज्य है 2³ = 8 इसके अलावा‚ जब a = 17, x 8 से विभाज्य है और यह 2 की किसी भी उच्च घात से विभाज्य नहीं है। a₃ = 17 चुनें। इसके अतिरिक्त हमारे पास v₃(P,2) = 8 है।

a₄ चुनने के लिए:

यह देखा जा सकता है कि P में प्रत्येक तत्व a के लिए, गुणनफल x = (a − a₀)(a − a₁)(a − a₂)(a − a₃) = (a − 19)(a − 2)(a − 5)(a − 17) 2⁴ = 16 से विभाज्य है‚ इसके अलावा, जब a = 23, x 16 से विभाज्य है और यह 2 की किसी भी उच्च घात से a₄ = 23 विभाज्य नहीं है। इसके अतिरिक्त हमारे पास v₄(P,2) = 16 भी है।

a₅ चुनने के लिए:

यह देखा जा सकता है कि P में प्रत्येक तत्व a के लिए, गुणनफल x = (a − a₀)(a − a₁)(a − a₂)(a − a₃)(a − a₄) = (a − 19)(a − 2)(a − 5)(a − 17)(a − 23) 2⁷ = 128 सें विभाज्य है‚ इसके अतिरिक्त, जब a = 31, x 128 सें विभाज्य है और यह 2 की किसी भी उच्च घात से विभाज्य नहीं है। a₅ = 31. इसके अतिरिक्त हमारे पास v₅(P,2) = 128 भी है।

प्रक्रिया जारी है. इस प्रकार P का 2-क्रम {19, 2, 5, 17, 23, 31,… } है और संबंधित 2-अनुक्रम {1, 1, 2, 8, 16, 128, … } है, यह मानते हुए कि v₀(P, 2) = 1.

P = 3 के लिए, P का एक संभावित P-क्रम अनुक्रम {2, 3, 7, 5, 13, 17, 19,… } है और P का संबंधित P-अनुक्रम {1, 1, 1, है 3, 3, 9,… }.

P = 5 के लिए, P का एक संभावित P-क्रम अनुक्रम {2, 3, 5, 19, 11, 7, 13,… } है और संबंधित P-अनुक्रम {1, 1, 1, 1, है। 1, 5,…}.

यह दिखाया जा सकता है कि P ≥ 7 के लिए, संबंधित P-अनुक्रम के पहले कुछ तत्व {1, 1, 1, 1, 1, 1,… } हैं।

अभाज्य संख्याओं के समुच्चय से जुड़े पहले कुछ फैक्टोरियल निम्नानुसार प्राप्त किए जाते हैं .

vk(P, p) और k!P के मानों की तालिका

p k	2	3	5	7	11	…	k!_P
0	1	1	1	1	1	…	1×1×1×1×1×… =	1
1	1	1	1	1	1	…	1×1×1×1×1×… =	1
2	2	1	1	1	1	…	2×1×1×1×1×… =	2
3	8	3	1	1	1	…	8×3×1×1×1×… =	24
4	16	3	1	1	1	…	16×3×1×1×1×… =	48
5	128	9	5	1	1	…	128×9×5×1×1×… =	5760
6	256	9	5	1	1	…	256×9×5×1×1×… =	11520

उदाहरण: प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का उपयोग करते हुए गुणनखंड

माना S प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है $\mathbb {Z}$ .

P = 2 के लिए, संबंधित P-अनुक्रम {1, 1, 2, 2, 8, 8, 16, 16, 128, 128, 256, 256,… } है।
P = 3 के लिए, संबंधित P-अनुक्रम {1, 1, 1, 3, 3, 3, 9, 9, 9, 27, 27, 27, 81, 81, 81,… } है।
P = 5 के लिए, संबंधित P-अनुक्रम {1, 1, 1, 1, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 25, 25, 25, 25, 25,… } है।
P = 7 के लिए, संबंधित P-अनुक्रम {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7,… } है।
… और इसी तरह।

इस प्रकार प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करने वाले पहले कुछ फैक्टोरियल हैं

0!_{$\mathbb {Z}$} = 1×1×1×1×1×… = 1.
1!_{$\mathbb {Z}$} = 1×1×1×1×1×… = 1.
2!_{$\mathbb {Z}$} = 2×1×1×1×1×… = 2.
3!_{$\mathbb {Z}$} = 2×3×1×1×1×… = 6.
4!_{$\mathbb {Z}$} = 8×3×1×1×1×… = 24.
5!_{$\mathbb {Z}$} = 8×3×5×1×1×… = 120.
6!_{$\mathbb {Z}$} = 16×9×5×1×1×… = 720.

उदाहरण: कुछ सामान्य अभिव्यक्तियाँ

निम्नलिखित तालिका में S के लिए कुछ विशेष स्थितियोंके लिए k!S सामान्य अभिव्यक्तियाँ सम्मिलित हैं।^[1]

क्र.सं.	समूह एस	k!_S
1	प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय	k!
2	सम पूर्णांकों का समुच्चय	2^k×k!
3	an + b के रूप के पूर्णांकों का समुच्चय	a^k×k!
4	प्रपत्र 2ⁿ के पूर्णांकों का समुच्चय	(2^k − 1)(2^k − 2) … (2^k − 2^{k − 1})
5	कुछ अभाज्य q के लिए qⁿ रूप के पूर्णांकों का समुच्चय	(q^k − 1)(q^k − q) … (q^k − q^k ^{− 1})
6	पूर्णांकों के वर्गों का समुच्चय	(2k)!/2

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Bhargava, Manjul (2000). "The Factorial Function and Generalizations" (PDF). The American Mathematical Monthly. 107 (9): 783–799. CiteSeerX 10.1.1.585.2265. doi:10.2307/2695734. JSTOR 2695734.

[MAA-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Bhargava, Manjul (2000). "The Factorial Function and Generalizations" (PDF). The American Mathematical Monthly. 107 (9): 783–799. CiteSeerX 10.1.1.585.2265. doi:10.2307/2695734. JSTOR 2695734.

[1]

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 मान लीजिए S सभी अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है P = {2, 3, 5, 7, 11,… }।
-:* पी = 2 चुनें और पी का पी-ऑर्डर बनाएं।
+:* P = 2 चुनें और P का P-ऑर्डर बनाएं।
-::* एक विकल्प चुनें<sub>0</sub> = P से अनेैतिक रूप से  19.
+::* एक विकल्प चुनें ''a''<sub>0</sub> = 19 से अनेैतिक रूप से  P.
-::* एक चुनने के लिए<sub>1</sub>:
+::* ''a''<sub>1</sub> चुनने के लिए<sub>1</sub>:
-:::* p की उच्चतम घात जो 2 − a को विभाजित करती है<sub>0</sub> = −17 2 है<sup>0</sup> = 1. इसके अतिरिक्त, पी में किसी भी ए ≠ 2 के लिए, ए - ए<sub>0</sub> 2 से विभाज्य है। इसलिए, p की उच्चतम घात जो (a) को विभाजित करती है<sub>1</sub>− ए<sub>0</sub>) न्यूनतम है जब a<sub>1</sub> = 2 और न्यूनतम शक्ति 1 है। इस प्रकार a<sub>1</sub> 2 और v के रूप में चुना गया है<sub>1</sub>(पी, 2) = 1.
+:::* इस प्रकार 2 − ''a''<sub>0</sub> = −17 को विभाजित करने वाली p की उच्चतम घात 20 = 1 है। इसके अतिरिक्त, P में किसी भी a ≠ 2 के लिए, ''a'' − ''a''<sub>0</sub> 2 से विभाज्य है। इसलिए, p की उच्चतम घात जो (''a''<sub>1</sub> − ''a''<sub>0</sub>) को विभाजित करती है न्यूनतम है जब a<sub>1</sub> = 2 और न्यूनतम घात 1 है। इस प्रकार a<sub>1</sub> को 2 और v<sub>1</sub>(पी, 2) = 1 के रूप में चुना जाता है।
-::* एक चुनने के लिए<sub>2</sub>:
+::* ''a''<sub>2</sub> चुनने के लिए<sub>2</sub>:
-:::* यह देखा जा सकता है कि पी में प्रत्येक तत्व ए के लिए, उत्पाद एक्स = (ए - ए<sub>0</sub>)(ए − ए<sub>1</sub>) = (a − 19)(a − 2) 2 से विभाज्य है। इसके अतिरिक्त, जब a = 5, x 2 से विभाज्य है और यह 2 की किसी भी उच्च घात से विभाज्य नहीं है। तब , a<sub>2</sub> 5 के रूप में चुना जा सकता है। हमारे पास वी है<sub>2</sub>(पी, 2) = 2.
+:::* यह देखा जा सकता है कि P में प्रत्येक तत्व a के लिए, गुणनफल ''x'' = (''a'' − ''a''<sub>0</sub>)(''a'' − ''a''<sub>1</sub>) = (''a'' − 19)(''a'' − 2)  से विभाज्य है। इसके अतिरिक्त, जब a = 5, x 2 से विभाज्य है और यह 2 की किसी भी उच्च घात से विभाज्य नहीं है। तब, a<sub>2</sub> 5 के रूप में चुना जा सकता है। हमारे पास ''v''<sub>2</sub>(''P'', 2) = 2 हैं।
-::* एक चुनने के लिए<sub>3</sub>:
+::* ''a''<sub>3</sub> चुनने के लिए:
-:::* यह देखा जा सकता है कि पी में प्रत्येक तत्व ए के लिए, उत्पाद एक्स = (ए - ए<sub>0</sub>)(ए − ए<sub>1</sub>)(ए − ए<sub>2</sub>) = (a − 19)(a − 2)(a − 5) 2 से विभाज्य है<sup>3</sup> = 8. साथ ही, जब a = 17, x 8 से विभाज्य है और यह 2 की किसी भी उच्च घात से विभाज्य नहीं है। a चुनें<sub>3</sub> = 17. इसके अतिरिक्त हमारे पास v भी है<sub>3</sub>(पी,2) = 8.
+:::* यह देखा जा सकता है कि P में प्रत्येक तत्व a के लिए, उत्पाद ''x'' = (''a'' − ''a''<sub>0</sub>)(''a'' − ''a''<sub>1</sub>)(''a'' − ''a''<sub>2</sub>) = (''a'' − 19)(''a'' − 2)(''a'' − 5) से विभाज्य है 2<sup>3</sup> = 8 इसके अलावा‚ जब  a = 17, x 8 से विभाज्य है और यह 2 की किसी भी उच्च घात से विभाज्य नहीं है। ''a''<sub>3</sub> = 17 चुनें। इसके अतिरिक्त हमारे पास ''v''<sub>3</sub>(''P'',2) = 8 है।
-::* एक चुनने के लिए<sub>4</sub>:
+::* ''a''<sub>4</sub> चुनने के लिए:
-:::* यह देखा जा सकता है कि पी में प्रत्येक तत्व ए के लिए, उत्पाद एक्स = (ए - ए<sub>0</sub>)(ए − ए<sub>1</sub>)(ए − ए<sub>2</sub>)(ए − ए<sub>3</sub>) = (a − 19)(a − 2)(a − 5)(a − 17) 2 से विभाज्य है<sup>4</sup> = 16. साथ ही, जब a = 23, x 16 से विभाज्य है और यह 2 की किसी भी उच्च घात से विभाज्य नहीं है। a चुनें<sub>4</sub> = 23. इसके अतिरिक्त हमारे पास v भी है<sub>4</sub>(पी,2) = 16.
+:::* यह देखा जा सकता है कि P में प्रत्येक तत्व a के लिए, गुणनफल ''x'' = (''a'' − ''a''<sub>0</sub>)(''a'' − ''a''<sub>1</sub>)(''a'' − ''a''<sub>2</sub>)(''a'' − ''a''<sub>3</sub>) = (''a'' − 19)(''a'' − 2)(''a'' − 5)(''a'' − 17)  2<sup>4</sup> = 16 से विभाज्य है‚ इसके अलावा, जब a = 23, x 16 से विभाज्य है और यह 2 की किसी भी उच्च घात से ''a''<sub>4</sub> = 23 विभाज्य नहीं है। इसके अतिरिक्त हमारे पास ''v''<sub>4</sub>(''P'',2) = 16 भी है।
-::* एक चुनने के लिए<sub>5</sub>:
+::* ''a''<sub>5</sub> चुनने के लिए:
-:::* यह देखा जा सकता है कि पी में प्रत्येक तत्व ए के लिए, उत्पाद एक्स = (ए - ए<sub>0</sub>)(ए − ए<sub>1</sub>)(ए − ए<sub>2</sub>)(ए − ए<sub>3</sub>)(ए − ए<sub>4</sub>) = (a − 19)(a − 2)(a − 5)(a − 17)(a − 23) 2 से विभाज्य है<sup>7</sup> = 128. इसके अतिरिक्त, जब a = 31, x विभाज्य 128 है और यह 2 की किसी भी उच्च घात से विभाज्य नहीं है। a चुनें<sub>5</sub> = 31. इसके अतिरिक्त हमारे पास v भी है<sub>5</sub>(पी,2) = 128.
+:::* यह देखा जा सकता है कि P में प्रत्येक तत्व a के लिए, गुणनफल ''x'' = (''a'' − ''a''<sub>0</sub>)(''a'' − ''a''<sub>1</sub>)(''a'' − ''a''<sub>2</sub>)(''a'' − ''a''<sub>3</sub>)(''a'' − ''a''<sub>4</sub>) = (''a'' − 19)(''a'' − 2)(''a'' − 5)(''a'' − 17)(''a'' − 23) 2<sup>7</sup> = 128 सें विभाज्य है‚  इसके अतिरिक्त, जब a = 31, x 128 सें विभाज्य है और यह 2 की किसी भी उच्च घात से विभाज्य नहीं है। ''a''<sub>5</sub> = 31. इसके अतिरिक्त हमारे पास ''v''<sub>5</sub>(''P'',2) = 128 भी है।
-::* प्रक्रिया जारी है. इस प्रकार P का 2-क्रम {19, 2, 5, 17, 23, 31,… } है और संबंधित 2-अनुक्रम {1, 1, 2, 8, 16, 128, … } है, यह मानते हुए कि v<sub>0</sub>(पी, 2) = 1.
+::* प्रक्रिया जारी है. इस प्रकार P का 2-क्रम {19, 2, 5, 17, 23, 31,… } है और संबंधित 2-अनुक्रम {1, 1, 2, 8, 16, 128, … } है, यह मानते हुए कि ''v''<sub>0</sub>(''P'', 2) = 1.
-:* पी = 3 के लिए, पी का एक संभावित पी-क्रम अनुक्रम {2, 3, 7, 5, 13, 17, 19,… } है और पी का संबंधित पी-अनुक्रम {1, 1, 1, है 3, 3, 9,… }.
+:* P = 3 के लिए, P का एक संभावित P-क्रम अनुक्रम {2, 3, 7, 5, 13, 17, 19,… } है और P का संबंधित P-अनुक्रम {1, 1, 1, है 3, 3, 9,… }.
-:* पी = 5 के लिए, पी का एक संभावित पी-क्रम अनुक्रम {2, 3, 5, 19, 11, 7, 13,… } है और संबंधित पी-अनुक्रम {1, 1, 1, 1, है। 1, 5,…}.
+:* P = 5 के लिए, P का एक संभावित P-क्रम अनुक्रम {2, 3, 5, 19, 11, 7, 13,… } है और संबंधित P-अनुक्रम {1, 1, 1, 1, है। 1, 5,…}.
-:* यह दिखाया जा सकता है कि पी ≥ 7 के लिए, संबंधित पी-अनुक्रम के पहले कुछ तत्व {1, 1, 1, 1, 1, 1,… } हैं।
+:* यह दिखाया जा सकता है कि P ≥ 7 के लिए, संबंधित P-अनुक्रम के पहले कुछ तत्व {1, 1, 1, 1, 1, 1,… } हैं।
 अभाज्य संख्याओं के समुच्चय से जुड़े पहले कुछ फैक्टोरियल निम्नानुसार प्राप्त किए जाते हैं .
 <div वर्ग= केंद्र >
-''v'' के मानों की तालिका<sub>''k''</sub>(पी, पी) और के!<sub>''P''</sub>
+vk(P, p) और k!P के मानों की तालिका
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उदाहरण: अभाज्य संख्याओं के समूह का उपयोग करते हुए गुणनखंड

उदाहरण: प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का उपयोग करते हुए गुणनखंड

उदाहरण: कुछ सामान्य अभिव्यक्तियाँ

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