लांबिक फलन: Difference between revisions

Revision as of 21:44, 8 July 2023

गणित में, ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस कार्य स्थान से संबंधित होते हैं जो सदिश स्थल होता है जो द्विरेखीय रूप से सुसज्जित होता है। जब फ़ंक्शन स्पेस में फ़ंक्शन के डोमेन के रूप में अंतराल (गणित) होता है, तो बिलिनियर फॉर्म अंतराल पर कार्यों के उत्पाद का अभिन्न अंग हो सकता है:

\langle f,g\rangle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx.

कार्य $f$ और $g$ जब यह इंटीग्रल शून्य होता है, तो द्विरेखीय रूप#रिफ्लेक्सिविटी और ऑर्थोगोनैलिटी होते हैं। $\langle f,\,g\rangle =0$ जब कभी भी $f\neq g$ . परिमित-आयामी स्थान में वैक्टर के आधार (रैखिक बीजगणित) के साथ, ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन फ़ंक्शन स्थान के लिए अनंत आधार बना सकते हैं। वैचारिक रूप से, उपरोक्त इंटीग्रल वेक्टर डॉट उत्पाद के समतुल्य है; यदि उनका डॉट-उत्पाद शून्य है तो दो वेक्टर परस्पर स्वतंत्र (ऑर्थोगोनल) होते हैं।

कल्पना करना $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ गैर-शून्य L2-मानदंड|L के ऑर्थोगोनल कार्यों का क्रम है²-मानदंड ${\textstyle \left\|f_{n}\right\|_{2}={\sqrt {\langle f_{n},f_{n}\rangle }}=\left(\int f_{n}^{2}\ dx\right)^{\frac {1}{2}}}$ . यह क्रम इस प्रकार है $\left\{f_{n}/\left\|f_{n}\right\|_{2}\right\}$ एल के कार्यों का है²-सामान्य एक, लम्बवत अनुक्रम बनाता है। परिभाषित एल होना²-मानदंड, इंटीग्रल को परिबद्ध किया जाना चाहिए, जो फ़ंक्शंस को वर्ग-अभिन्न होने तक सीमित करता है।

त्रिकोणमितीय फलन

ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस के कई सेट अनुमानित फ़ंक्शंस के लिए मानक आधार बन गए हैं। उदाहरण के लिए, साइन कार्य करता है sin nx और sin mx अंतराल पर ऑर्थोगोनल हैं $x\in (-\pi ,\pi )$ कब $m\neq n$ और n और m धनात्मक पूर्णांक हैं। तब के लिए

2\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)=\cos \left(\left(m-n\right)x\right)-\cos \left(\left(m+n\right)x\right),

और दो ज्या फलनों के गुणनफल का समाकलन लुप्त हो जाता है।^[1] कोसाइन फ़ंक्शंस के साथ, इन ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस को फूरियर श्रृंखला के साथ अंतराल पर दिए गए फ़ंक्शन को अनुमानित करने के लिए त्रिकोणमितीय बहुपद में इकट्ठा किया जा सकता है।

बहुपद

यदि कोई एकपदी अनुक्रम से प्रारंभ करता है $\left\{1,x,x^{2},\dots \right\}$ अंतराल पर $[-1,1]$ और ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को लागू करता है, फिर लीजेंड्रे बहुपद प्राप्त होता है। ऑर्थोगोनल बहुपदों का अन्य संग्रह संबंधित लीजेंड्रे बहुपद हैं।

ऑर्थोगोनल बहुपदों के अध्ययन में वजन कार्य शामिल होते हैं $w(x)$ जिन्हें द्विरेखीय रूप में डाला गया है:

\langle f,g\rangle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx.

लैगुएरे बहुपद के लिए $(0,\infty )$ वज़न फ़ंक्शन है $w(x)=e^{-x}$ .

भौतिक विज्ञानी और संभाव्यता सिद्धांतकार दोनों हर्माइट बहुपद का उपयोग करते हैं $(-\infty ,\infty )$ , जहां वजन फ़ंक्शन है $w(x)=e^{-x^{2}}$ या $w(x)=e^{-x^{2}/2}$ .

चेबीशेव बहुपदों को परिभाषित किया गया है $[-1,1]$ और वज़न का उपयोग करें ${\textstyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ या ${\textstyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$ .

ज़र्निक बहुपद को यूनिट डिस्क पर परिभाषित किया गया है और इसमें रेडियल और कोणीय दोनों भागों की ऑर्थोगोनलिटी है।

बाइनरी-वैल्यू फ़ंक्शंस

वाल्श समारोह और उसकी तरंगिका ्स अलग-अलग श्रेणियों के साथ ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस के उदाहरण हैं।

तर्कसंगत कार्य

x=0.01 और 100 के बीच क्रम n=0,1,2,3 और 4 के चेबीशेव तर्कसंगत कार्यों का प्लॉट।

लीजेंड्रे और चेबीशेव बहुपद अंतराल के लिए ऑर्थोगोनल परिवार प्रदान करते हैं [−1, 1] जबकि कभी-कभी ऑर्थोगोनल परिवारों की आवश्यकता होती है [0, ∞). इस मामले में तर्क लाने के लिए पहले केली ट्रांसफॉर्म#रियल होमोग्राफी को लागू करना सुविधाजनक है [−1, 1]. इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप तर्कसंगत फ़ंक्शन ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन के परिवार बनते हैं जिन्हें लीजेंड्रे तर्कसंगत फ़ंक्शन और चेबीशेव तर्कसंगत फ़ंक्शन कहा जाता है।

विभेदक समीकरणों में

सीमा स्थितियों के साथ रैखिक अंतर समीकरणों के समाधानों को अक्सर ऑर्थोगोनल समाधान कार्यों (a.k.a. eigenfunctions) के भारित योग के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला बनती है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Antoni Zygmund (1935) Trigonometrical Series, page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw

George B. Arfken & Hans J. Weber (2005) Mathematical Methods for Physicists, 6th edition, chapter 10: Sturm-Liouville Theory — Orthogonal Functions, Academic Press.
Price, Justin J. (1975). "Topics in orthogonal functions". American Mathematical Monthly. 82: 594–609. doi:10.2307/2319690.
Giovanni Sansone (translated by Ainsley H. Diamond) (1959) Orthogonal Functions, Interscience Publishers.

बाहरी संबंध

Orthogonal Functions, on MathWorld.

[1] Antoni Zygmund (1935) Trigonometrical Series, page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw

[1]

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-गणित में, ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस एक [[कार्य स्थान]] से संबंधित होते हैं जो एक [[ सदिश स्थल ]] होता है जो [[ द्विरेखीय रूप ]] से सुसज्जित होता है। जब फ़ंक्शन स्पेस में फ़ंक्शन के डोमेन के रूप में एक [[अंतराल (गणित)]] होता है, तो बिलिनियर फॉर्म अंतराल पर कार्यों के उत्पाद का [[अभिन्न]] अंग हो सकता है:
+गणित में, ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस [[कार्य स्थान]] से संबंधित होते हैं जो [[ सदिश स्थल ]] होता है जो [[ द्विरेखीय रूप ]] से सुसज्जित होता है। जब फ़ंक्शन स्पेस में फ़ंक्शन के डोमेन के रूप में [[अंतराल (गणित)]] होता है, तो बिलिनियर फॉर्म अंतराल पर कार्यों के उत्पाद का [[अभिन्न]] अंग हो सकता है:
 :<math> \langle f,g\rangle = \int \overline{f(x)}g(x)\,dx  .</math>
-कार्य <math>f</math> और <math>g</math> जब यह इंटीग्रल शून्य होता है, तो द्विरेखीय रूप#रिफ्लेक्सिविटी और ऑर्थोगोनैलिटी होते हैं। <math>\langle f, \, g \rangle = 0</math> जब कभी भी <math>f \neq g</math>. परिमित-आयामी स्थान में वैक्टर के [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के साथ, ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन फ़ंक्शन स्थान के लिए अनंत आधार बना सकते हैं। वैचारिक रूप से, उपरोक्त इंटीग्रल एक वेक्टर [[डॉट उत्पाद]] के समतुल्य है; यदि उनका डॉट-उत्पाद शून्य है तो दो वेक्टर परस्पर स्वतंत्र (ऑर्थोगोनल) होते हैं।
+कार्य <math>f</math> और <math>g</math> जब यह इंटीग्रल शून्य होता है, तो द्विरेखीय रूप#रिफ्लेक्सिविटी और ऑर्थोगोनैलिटी होते हैं। <math>\langle f, \, g \rangle = 0</math> जब कभी भी <math>f \neq g</math>. परिमित-आयामी स्थान में वैक्टर के [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के साथ, ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन फ़ंक्शन स्थान के लिए अनंत आधार बना सकते हैं। वैचारिक रूप से, उपरोक्त इंटीग्रल वेक्टर [[डॉट उत्पाद]] के समतुल्य है; यदि उनका डॉट-उत्पाद शून्य है तो दो वेक्टर परस्पर स्वतंत्र (ऑर्थोगोनल) होते हैं।
-कल्पना करना <math> \{ f_0, f_1, \ldots\}</math> गैर-शून्य L2-मानदंड|L के ऑर्थोगोनल कार्यों का एक क्रम है<sup>2</sup>-मानदंड <math display="inline"> \left\| f_n \right\| _2 = \sqrt{\langle f_n, f_n \rangle} = \left(\int f_n ^2 \ dx \right) ^\frac{1}{2} </math>. यह क्रम इस प्रकार है <math>\left\{ f_n / \left\| f_n \right\| _2 \right\}</math> एल के कार्यों का है<sup>2</sup>-सामान्य एक, एक [[लम्बवत अनुक्रम]] बनाता है। एक परिभाषित एल होना<sup>2</sup>-मानदंड, इंटीग्रल को परिबद्ध किया जाना चाहिए, जो फ़ंक्शंस को वर्ग-अभिन्न होने तक सीमित करता है।
+कल्पना करना <math> \{ f_0, f_1, \ldots\}</math> गैर-शून्य L2-मानदंड|L के ऑर्थोगोनल कार्यों का क्रम है<sup>2</sup>-मानदंड <math display="inline"> \left\| f_n \right\| _2 = \sqrt{\langle f_n, f_n \rangle} = \left(\int f_n ^2 \ dx \right) ^\frac{1}{2} </math>. यह क्रम इस प्रकार है <math>\left\{ f_n / \left\| f_n \right\| _2 \right\}</math> एल के कार्यों का है<sup>2</sup>-सामान्य एक, [[लम्बवत अनुक्रम]] बनाता है। परिभाषित एल होना<sup>2</sup>-मानदंड, इंटीग्रल को परिबद्ध किया जाना चाहिए, जो फ़ंक्शंस को वर्ग-अभिन्न होने तक सीमित करता है।
 ==त्रिकोणमितीय फलन==
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 ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस के कई सेट अनुमानित फ़ंक्शंस के लिए मानक आधार बन गए हैं। उदाहरण के लिए, साइन कार्य करता है {{nowrap|sin ''nx''}} और {{nowrap|sin ''mx''}} अंतराल पर ऑर्थोगोनल हैं <math>x \in (-\pi, \pi)</math> कब <math>m \neq n</math> और n और m धनात्मक पूर्णांक हैं। तब के लिए
 :<math>2 \sin \left(mx\right) \sin \left(nx\right) = \cos \left(\left(m - n\right)x\right) - \cos\left(\left(m+n\right) x\right), </math>
-और दो ज्या फलनों के गुणनफल का समाकलन लुप्त हो जाता है।<ref>[[Antoni Zygmund]] (1935) ''[[Trigonometric Series|Trigonometrical Series]]'', page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw</ref> कोसाइन फ़ंक्शंस के साथ, इन ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस को फूरियर श्रृंखला के साथ अंतराल पर दिए गए फ़ंक्शन को अनुमानित करने के लिए एक [[त्रिकोणमितीय बहुपद]] में इकट्ठा किया जा सकता है।
+और दो ज्या फलनों के गुणनफल का समाकलन लुप्त हो जाता है।<ref>[[Antoni Zygmund]] (1935) ''[[Trigonometric Series|Trigonometrical Series]]'', page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw</ref> कोसाइन फ़ंक्शंस के साथ, इन ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस को फूरियर श्रृंखला के साथ अंतराल पर दिए गए फ़ंक्शन को अनुमानित करने के लिए [[त्रिकोणमितीय बहुपद]] में इकट्ठा किया जा सकता है।
 ==बहुपद==
 {{main article|Orthogonal polynomials}}
-यदि कोई [[एकपद]]ी अनुक्रम से प्रारंभ करता है <math> \left\{1, x, x^2, \dots\right\} </math> अंतराल पर <math>[-1,1]</math> और ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को लागू करता है, फिर लीजेंड्रे बहुपद प्राप्त होता है। ऑर्थोगोनल बहुपदों का एक अन्य संग्रह संबंधित लीजेंड्रे बहुपद हैं।
+यदि कोई [[एकपद]]ी अनुक्रम से प्रारंभ करता है <math> \left\{1, x, x^2, \dots\right\} </math> अंतराल पर <math>[-1,1]</math> और ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को लागू करता है, फिर लीजेंड्रे बहुपद प्राप्त होता है। ऑर्थोगोनल बहुपदों का अन्य संग्रह संबंधित लीजेंड्रे बहुपद हैं।
 ऑर्थोगोनल बहुपदों के अध्ययन में वजन कार्य शामिल होते हैं <math>w(x)</math> जिन्हें द्विरेखीय रूप में डाला गया है:
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 * {{cite journal|author=Price, Justin J.|authorlink=Justin Jesse Price|title=Topics in orthogonal functions|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=82|year=1975|pages=594–609|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/topics-in-orthogonal-functions|doi=10.2307/2319690}}
 * [[Giovanni Sansone]]  (translated by Ainsley H. Diamond) (1959) ''Orthogonal Functions'', [[Interscience Publishers]].
 == बाहरी संबंध ==
 * [http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalFunctions.html Orthogonal Functions], on MathWorld.

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