प्राइमोरियल: Difference between revisions

Revision as of 14:15, 8 July 2023

गणित में, और विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में, प्राइमोरियल, जिसे # द्वारा निरूपित किया जाता है, फ़ैक्टोरियल फलन के समान प्राकृतिक संख्याओं से प्राकृतिक संख्याओं तक फलन (गणित) है, किन्तु धनात्मक पूर्णांकों को क्रमिक रूप से गुणा करने के अतिरिक्त, फलन केवल अभाज्य संख्याओं को गुणा करता है।

हार्वे डबनेर द्वारा लिखा गया प्राइमोरियल नाम, प्राइम्स के साथ सादृश्य बनाता है, ठीक उसी तरह जैसे फैक्टोरियल नाम कारकों से संबंधित है।

अभाज्य संख्याओं की परिभाषा

p n #

के कार्य के रूप में

n

, लघुगणकीय रूप से प्लॉट किया गया।

nवें अभाज्य संख्या $p n$ के लिए मूल $p n #$ को पहले $n$ अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है:^[1]^[2]

p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}

,

जहाँ $p k$ $k$ वाँ अभाज्य संख्या है। उदाहरण के लिए $p 5 #$ पहले 5 अभाज्य संख्याओं के गुणनफल को दर्शाता है:

p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.

प्रथम पाँच मौलिक $p n #$ हैं:

2, 6, 30, 210, 2310, (sequence A002110 in the OEIS).

अनुक्रम में खाली उत्पाद के रूप में $p 0 # = 1$ भी सम्मिलित है। एसिम्प्टोटिकली प्राइमोरियल $p n #$ इसके अनुसार बढ़ते हैं:

p_{n}\#=e^{(1+o(1))n\log n},

जहां $o ( )$ लिटिल ओ अंकन है।^[2]

प्राकृत संख्याओं की परिभाषा

n!

(पीला) के कार्य के रूप में

n

, की तुलना में

n #

(लाल), दोनों को लघुगणकीय रूप से प्लॉट किया गया।

सामान्यतः, धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए, यह मौलिक $n#$ है, उन अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है जो इससे $n$ बड़े नहीं हैं ,^[1]^[3]

n\#=\prod _{p\leq n \atop p{\text{ prime}}}p=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#

,

जहाँ $π (n)$ अभाज्य-गिनती कार्य है (sequence A000720 in the OEIS), जो अभाज्य संख्या ≤ देता है यह इसके $n$ सामान्य है:

n\#={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\ 1\\(n-1)\#\times n&{\text{if }}n{\text{ is prime}}\\(n-1)\#&{\text{if }}n{\text{ is composite}}.\end{cases}}

उदाहरण के लिए, 12# उन अभाज्य संख्याओं के गुणनफल ≤ 12 को दर्शाता है :

12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.

तब से $π (12) = 5$ , इसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:

12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.

$n #$ के पहले 12 मानों पर विचार करें :

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310।

हम इसे समग्र $n$ के लिए देखते हैं प्रत्येक पद $n #$ बस पिछले शब्द की नकल $(n - 1)#$ करता है , जैसा कि परिभाषा में दिया गया है। उपरोक्त उदाहरण में $12# = p 5 # = 11#$ हमारे पास है चूँकि 12 भाज्य संख्या है।

प्राइमोरियल पहले चेबीशेव फलन से संबंधित हैं जो $ϑ (n)$ or $θ (n)$ के अनुसार लिखा गया है:

\ln(n\#)=\vartheta (n).

^[4]

तब से $ϑ (n)$ स्पर्शोन्मुख रूप से दृष्टिकोण $n$ के बड़े मूल्यों $n$ के लिए , प्राइमोरियल्स इसलिए बढ़ते हैं:

n\#=e^{(1+o(1))n}.

सभी ज्ञात अभाज्य संख्याओं को गुणा करने का विचार अभाज्य संख्याओं की अनंतता के कुछ प्रमाणों में होता है, जहाँ इसका उपयोग किसी अन्य अभाज्य संख्या के अस्तित्व को प्राप्त करने के लिए किया जाता है।

विशेषताएँ

माना $p$ और $q$ दो आसन्न अभाज्य संख्याएँ है। किसी भी $n\in \mathbb {N}$ को देखते हुए जहां $p\leq n<q$

n\#=p\#

प्राइमोरियल के लिए, निम्नलिखित सन्निकटन ज्ञात है:^[5]

n\#\leq 4^{n}

.

टिप्पणियाँ:

प्रारंभिक विधि का प्रयोग करते हुए गणितज्ञ डेनिस हैन्सन ने यह $n\#\leq 3^{n}$ दर्शाया था ^[6]
अधिक उन्नत तरीकों का उपयोग करके, रोसेर और स्कोनफेल्ड ने $n\#\leq (2.763)^{n}$ दिखाया था ^[7]
प्रमेय 4, सूत्र 3.14 में रोसेर और स्कोनफेल्ड ने दिखाया $n\geq 563$ , $n\#\geq (2.22)^{n}$ के लिए ^[7]

इसके अतिरिक्त:

\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}=e

n<10^{11}

के लिए मान e ^[8] से छोटे हैं, किन्तु बड़े

n

के लिए फलन के मान सीमा

e

से अधिक हैं और बाद में

e

के चारों ओर अनंत रूप से दोलन करते हैं।

मान लीजिए कि $p_{k}$ $k$ अभाज्य है, तो $p_{k}\#$ में बिल्कुल $2^{k}$ विभाजक हैं। उदाहरण के लिए, $2\#$ में 2 विभाजक हैं, $3\#$ में 4 विभाजक हैं $5\#$ में 8 विभाजक हैं और $97\#$ में पहले से ही विभाजक $2^{25}$ हैं , चूँकि 97 25वाँ अभाज्य है।
एक स्थिरांक की ओर प्राइमोरियल कन्वर्जेंट श्रृंखला के पारस्परिक मूल्यों का योग

\sum _{p\,\in \,\mathbb {P} }{1 \over p\#}={1 \over 2}+{1 \over 6}+{1 \over 30}+\ldots =0{.}7052301717918\ldots

इस संख्या का एंगेल विस्तार अभाज्य संख्याओं के अनुक्रम में परिणत होता है (देखें)। (sequence A064648 in the OEIS))

यूक्लिड के प्रमेय के अनुसार, $p\#+1$ अभाज्य संख्याओं की अनंतता को सिद्ध करने के लिए उपयोग किया जाता है।

अनुप्रयोग और गुण

अंकगणितीय प्रगति में प्राइमोरियल प्राइम की खोज में भूमिका निभाते हैं। उदाहरण के लिए,

2236133941 + 23# का परिणाम अभाज्य में होता है, बार-बार 23# जोड़ने से प्राप्त तेरह अभाज्यों का क्रम प्रारंभ होता है, और इसके साथ समाप्त होता है 5136341251. 23# पंद्रह और सोलह अभाज्य संख्याओं की अंकगणितीय प्रगति में भी सामान्य अंतर है।

प्रत्येक उच्च भाज्य संख्या मौलिकों का गुणनफल है (जैसे 360 (संख्या) = 2 × 6 × 30).^[9] प्राइमोरियल सभी वर्ग-मुक्त पूर्णांक होते हैं, और प्रत्येक में उससे छोटी किसी भी संख्या की तुलना में अधिक विशिष्ट अभाज्य गुणनखंड होते हैं। प्रत्येक मौलिक के लिए $n$ , अंश $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}φ(n)/n$ किसी भी छोटे पूर्णांक से छोटा है, जहां $φ$ यूलर का टोटिएंट फलन है।

किसी भी पूर्ण गुणक फलन को प्राइमोरियल पर उसके मानों द्वारा परिभाषित किया जाता है, क्योंकि इसे प्राइम पर उसके मानों द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे आसन्न मानों के विभाजन द्वारा पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

प्राइमोरियल के अनुरूप बेस सिस्टम (जैसे कि बेस 30, मिश्रित मूलांक#प्राइमोरियल नंबर सिस्टम के साथ भ्रमित न हों) में किसी भी छोटे बेस की तुलना में दोहराए जाने वाले अंशों का अनुपात कम होता है।

प्रत्येक मौलिक विरल योग संख्या है।^[10]

n}

-एक भाज्य संख्या का समायोजक

n

तक और सम्मिलित सभी भाज्य संख्याओं

n

का गुणनफल है .^[11]

n}

-कंपोजिटोरियल के सामान्य है

n

-फैक्टोरियल को प्राइमोरियल से विभाजित किया जाता है

n #

कंपोज़िटोरियल हैं

1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, ... ^[12]

रूप

रीमैन ज़ेटा फलन को से अधिक धनात्मक पूर्णांकों पर व्यक्त किया जा सकता है ^[13] प्राइमोरियल फलन और जॉर्डन के टोटिएंट फलन $J k (n)$ का उपयोग करते है :

\zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots

मौलिक तालिका

$n$	$n #$	$p n$	$p n #$	मौलिक प्राइम?
$n$	$n #$	$p n$	$p n #$	p_n# + 1^[14]	p_n# − 1^[15]
0	1	—	1	Yes	No
1	1	2	2	Yes	No
2	2	3	6	Yes	Yes
3	6	5	30	Yes	Yes
4	6	7	210	Yes	No
5	30	11	2310	Yes	Yes
6	30	13	30030	No	Yes
7	210	17	510510	No	No
8	210	19	9699690	No	No
9	210	23	223092870	No	No
10	210	29	6469693230	No	No
11	2310	31	200560490130	Yes	No
12	2310	37	7420738134810	No	No
13	30030	41	304250263527210	No	Yes
14	30030	43	13082761331670030	No	No
15	30030	47	614889782588491410	No	No
16	30030	53	32589158477190044730	No	No
17	510510	59	1922760350154212639070	No	No
18	510510	61	117288381359406970983270	No	No
19	9699690	67	7858321551080267055879090	No	No
20	9699690	71	557940830126698960967415390	No	No
21	9699690	73	40729680599249024150621323470	No	No
22	9699690	79	3217644767340672907899084554130	No	No
23	223092870	83	267064515689275851355624017992790	No	No
24	223092870	89	23768741896345550770650537601358310	No	Yes
25	223092870	97	2305567963945518424753102147331756070	No	No
26	223092870	101	232862364358497360900063316880507363070	No	No
27	223092870	103	23984823528925228172706521638692258396210	No	No
28	223092870	107	2566376117594999414479597815340071648394470	No	No
29	6469693230	109	279734996817854936178276161872067809674997230	No	No
30	6469693230	113	31610054640417607788145206291543662493274686990	No	No
31	200560490130	127	4014476939333036189094441199026045136645885247730	No	No
32	200560490130	131	525896479052627740771371797072411912900610967452630	No	No
33	200560490130	137	72047817630210000485677936198920432067383702541010310	No	No
34	200560490130	139	10014646650599190067509233131649940057366334653200433090	No	No
35	200560490130	149	1492182350939279320058875736615841068547583863326864530410	No	No
36	200560490130	151	225319534991831177328890236228992001350685163362356544091910	No	No
37	7420738134810	157	35375166993717494840635767087951744212057570647889977422429870	No	No
38	7420738134810	163	5766152219975951659023630035336134306565384015606066319856068810	No	No
39	7420738134810	167	962947420735983927056946215901134429196419130606213075415963491270	No	No
40	7420738134810	173	166589903787325219380851695350896256250980509594874862046961683989710	No	No

यह भी देखें

बोन्से की असमानता
चेबीशेव फलन
मिश्रित मूलांक प्राइमोरियल संख्या प्रणाली
मौलिक प्राइम

↑ ^1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. "Primorial". MathWorld.
↑ ^2.0 ^2.1 (sequence A002110 in the OEIS)
↑ (sequence A034386 in the OEIS)
↑ Weisstein, Eric W. "Chebyshev Functions". MathWorld.
↑ G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4th Edition. Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1.
Theorem 415, p. 341
↑ Hanson, Denis (March 1972). "प्राइम्स के उत्पाद पर". Canadian Mathematical Bulletin. 15 (1): 33–37. doi:10.4153/cmb-1972-007-7. ISSN 0008-4395.
↑ ^7.0 ^7.1 Rosser, J. Barkley; Schoenfeld, Lowell (1962-03-01). "अभाज्य संख्याओं के कुछ कार्यों के लिए अनुमानित सूत्र". Illinois Journal of Mathematics. 6 (1). doi:10.1215/ijm/1255631807. ISSN 0019-2082.
↑ L. Schoenfeld: Sharper bounds for the Chebyshev functions $\theta (x)$ and $\psi (x)$ . II. Math. Comp. Vol. 34, No. 134 (1976) 337–360; p. 359.
Cited in: G. Robin: Estimation de la fonction de Tchebychef $\theta$ sur le $k$ -ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction $\omega (n)$ , nombre de diviseurs premiers de $n$ . Acta Arithm. XLII (1983) 367–389 (PDF 731KB); p. 371
↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A002182 (Highly composite numbers)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
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↑ Wells, David (2011). Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. John Wiley & Sons. p. 29. ISBN 9781118045718. Retrieved 16 March 2016.
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↑ Mező, István (2013). "The Primorial and the Riemann zeta function". The American Mathematical Monthly. 120 (4): 321.
↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A014545 (Primorial plus 1 prime indices)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
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संदर्भ

Dubner, Harvey (1987). "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math. 19: 197–203.
Spencer, Adam "Top 100" Number 59 part 4.

[mathworld-1] 1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. "Primorial". MathWorld.

[OEIS_A002110-2] 2.0 ^2.1 (sequence A002110 in the OEIS)

[OEIS_A034386-3] (sequence A034386 in the OEIS)

[4] Weisstein, Eric W. "Chebyshev Functions". MathWorld.

[5] G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4th Edition. Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1.
Theorem 415, p. 341

[6] Hanson, Denis (March 1972). "प्राइम्स के उत्पाद पर". Canadian Mathematical Bulletin. 15 (1): 33–37. doi:10.4153/cmb-1972-007-7. ISSN 0008-4395.

[RosserSchoenfeld1962-7] 7.0 ^7.1 Rosser, J. Barkley; Schoenfeld, Lowell (1962-03-01). "अभाज्य संख्याओं के कुछ कार्यों के लिए अनुमानित सूत्र". Illinois Journal of Mathematics. 6 (1). doi:10.1215/ijm/1255631807. ISSN 0019-2082.

[8] L. Schoenfeld: Sharper bounds for the Chebyshev functions $\theta (x)$ and $\psi (x)$ . II. Math. Comp. Vol. 34, No. 134 (1976) 337–360; p. 359.
Cited in: G. Robin: Estimation de la fonction de Tchebychef $\theta$ sur le $k$ -ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction $\omega (n)$ , nombre de diviseurs premiers de $n$ . Acta Arithm. XLII (1983) 367–389 (PDF 731KB); p. 371

[9] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A002182 (Highly composite numbers)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[10] Masser, D.W.; Shiu, P. (1986). "विरल कुल संख्या पर". Pacific Journal of Mathematics. 121 (2): 407–426. doi:10.2140/pjm.1986.121.407. ISSN 0030-8730. MR 0819198. Zbl 0538.10006.

[Wells_2011-11] Wells, David (2011). Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. John Wiley & Sons. p. 29. ISBN 9781118045718. Retrieved 16 March 2016.

[12] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A036691 (Compositorial numbers: product of first n composite numbers.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[mezo-13] Mező, István (2013). "The Primorial and the Riemann zeta function". The American Mathematical Monthly. 120 (4): 321.

[14] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A014545 (Primorial plus 1 prime indices)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[15] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A057704 (Primorial - 1 prime indices)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Product of the first prime numbers}}
-{{Distinguish|Primordial (disambiguation){{!}}primordial}}
+{{Distinguish|मौलिक (बहुविकल्पी){{!}}मौलिक}}
 {{wikt|-ial}}
-गणित में, और विशेष रूप से [[संख्या सिद्धांत]] में, प्राइमोरियल, जिसे # द्वारा निरूपित किया जाता है, [[ कारख़ाने का ]] फ़ंक्शन के समान [[प्राकृतिक संख्या]]ओं से प्राकृतिक संख्याओं तक [[फ़ंक्शन (गणित)]] है, लेकिन सकारात्मक पूर्णांकों को क्रमिक रूप से गुणा करने के बजाय, फ़ंक्शन केवल [[अभाज्य संख्या]]ओं को गुणा करता है।
+गणित में, और विशेष रूप से [[संख्या सिद्धांत]] में, प्राइमोरियल, जिसे # द्वारा निरूपित किया जाता है, [[ कारख़ाने का | फ़ैक्टोरियल]] फलन के समान [[प्राकृतिक संख्या]]ओं से प्राकृतिक संख्याओं तक [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] है, किन्तु धनात्मक पूर्णांकों को क्रमिक रूप से गुणा करने के अतिरिक्त, फलन केवल [[अभाज्य संख्या]]ओं को गुणा करता है।
-[[हार्वे डबनेर]] द्वारा गढ़ा गया प्राइमोरियल नाम, ''प्राइम्स'' के साथ सादृश्य बनाता है, ठीक उसी तरह जैसे फैक्टोरियल नाम ''कारकों'' से संबंधित है।
+[[हार्वे डबनेर]] द्वारा लिखा गया प्राइमोरियल नाम, ''प्राइम्स'' के साथ सादृश्य बनाता है, ठीक उसी तरह जैसे फैक्टोरियल नाम ''कारकों'' से संबंधित है।
 == अभाज्य संख्याओं की परिभाषा ==
-[[Image:Primorial pn plot.png|thumb|300px|{{math|''p<sub>n</sub>''#}} के कार्य के रूप में {{math|''n''}}, लघुगणकीय रूप से प्लॉट किया गया।]]के लिए {{mvar|n}}वाँ अभाज्य संख्या {{mvar|p<sub>n</sub>}}, आदिम {{math|''p<sub>n</sub>''#}} को पहले के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है {{mvar|n}} अभाज्य:<ref name="mathworld">{{Mathworld | urlname=Primorial | title=Primorial}}</ref><ref name="OEIS A002110">{{OEIS|id=A002110}}</ref>
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 :<math>p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k</math>,
-कहाँ {{mvar|p<sub>k</sub>}} है {{mvar|k}}वाँ अभाज्य संख्या. उदाहरण के लिए, {{math|''p''<sub>5</sub>#}} पहले 5 अभाज्य संख्याओं के गुणनफल को दर्शाता है:
+जहाँ {{mvar|p<sub>k</sub>}} {{mvar|k}}वाँ अभाज्य संख्या है। उदाहरण के लिए {{math|''p''<sub>5</sub>#}} पहले 5 अभाज्य संख्याओं के गुणनफल को दर्शाता है:
 :<math>p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310.</math>
-प्रथम पाँच आदिम {{math|''p<sub>n</sub>''#}} हैं:
+प्रथम पाँच मौलिक {{math|''p<sub>n</sub>''#}} हैं:
-:[[2 (संख्या)]], [[6 (संख्या)]], [[30 (संख्या)]], [[210 (संख्या)]], [[2310 (संख्या)]] {{OEIS|id=A002110}}.
+:[[2 (संख्या)|2, 6, 30, 210, 2310]], {{OEIS|id=A002110}}.
-क्रम भी शामिल है {{math|''p''<sub>0</sub># {{=}} 1}}[[खाली उत्पाद]] के रूप में। असम्बद्ध रूप से, आदिम {{math|''p<sub>n</sub>''#}}इसके अनुसार बढ़ें:
+अनुक्रम में खाली उत्पाद के रूप में {{math|''p''<sub>0</sub># {{=}} 1}} भी सम्मिलित है। एसिम्प्टोटिकली प्राइमोरियल {{math|''p<sub>n</sub>''#}} इसके अनुसार बढ़ते हैं:
 :<math>p_n\# = e^{(1 + o(1)) n \log n},</math>
-कहाँ {{math|''o''( )}} [[लिटिल ओ अंकन]] है।<ref name="OEIS A002110" />
+जहां {{math|''o''( )}} [[लिटिल ओ अंकन]] है।<ref name="OEIS A002110" />
 == प्राकृत संख्याओं की परिभाषा ==
-[[Image:Primorial n plot.png|thumb|300px|{{math|''n''!}} (पीला) के कार्य के रूप में {{math|''n''}}, की तुलना में {{math|''n''#}}(लाल), दोनों को लघुगणकीय रूप से प्लॉट किया गया।]]सामान्य तौर पर, सकारात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|n}}, यह आदिम है, {{math|''n#''}}, उन अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है जो इससे बड़े नहीं हैं {{mvar|n}}; वह है,<ref name="mathworld" /><ref name="OEIS A034386">{{OEIS|id=A034386}}</ref>
+[[Image:Primorial n plot.png|thumb|300px|{{math|''n''!}} (पीला) के कार्य के रूप में {{math|''n''}}, की तुलना में {{math|''n''#}}(लाल), दोनों को लघुगणकीय रूप से प्लॉट किया गया।]]सामान्यतः, धनात्मक पूर्णांक {{mvar|n}} के लिए, यह मौलिक {{math|''n#''}} है, उन अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है जो इससे {{mvar|n}} बड़े नहीं हैं ,<ref name="mathworld" /><ref name="OEIS A034386">{{OEIS|id=A034386}}</ref>
 :<math>n\# = \prod_{p \le n\atop p \text{ prime}} p = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\# </math>,
-कहाँ {{math|''π''(''n'')}} अभाज्य-गिनती कार्य है {{OEIS|id=A000720}}, जो अभाज्य संख्या ≤ देता है {{mvar|n}}. यह इसके बराबर है:
+जहाँ {{math|''π''(''n'')}} अभाज्य-गिनती कार्य है {{OEIS|id=A000720}}, जो अभाज्य संख्या ≤ देता है यह इसके {{mvar|n}} सामान्य है:
 :<math>n\# =
@@ Line 36: / Line 37: @@
      (n-1)\# & \text{if } n \text{ is composite}.
 \end{cases}</math>
-उदाहरण के लिए, 12# उन अभाज्य संख्याओं के गुणनफल को दर्शाता है ≤ 12:
+उदाहरण के लिए, 12# उन अभाज्य संख्याओं के गुणनफल ≤ 12 को दर्शाता है :
 :<math>12\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310.</math>
@@ Line 42: / Line 43: @@
 :<math>12\# = p_{\pi(12)}\# = p_5\# = 2310.</math>
-के पहले 12 मानों पर विचार करें {{math|''n''#}}:
+{{math|''n''#}} के पहले 12 मानों पर विचार करें :
 :1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310।
-हम इसे समग्र के लिए देखते हैं {{mvar|n}} प्रत्येक पद {{math|''n''#}} बस पिछले शब्द की नकल करता है {{math|(''n'' − 1)#}}, जैसा कि परिभाषा में दिया गया है। उपरोक्त उदाहरण में हमारे पास है {{math|12# {{=}} ''p''<sub>5</sub># {{=}} 11#}} चूँकि 12 भाज्य संख्या है।
+हम इसे समग्र {{mvar|n}} के लिए देखते हैं  प्रत्येक पद {{math|''n''#}} बस पिछले शब्द की नकल {{math|(''n'' − 1)#}} करता है , जैसा कि परिभाषा में दिया गया है। उपरोक्त उदाहरण में {{math|12# {{=}} ''p''<sub>5</sub># {{=}} 11#}} हमारे पास है  चूँकि 12 भाज्य संख्या है।
-प्रिमोरियल पहले लिखे गए [[चेबीशेव समारोह]] से संबंधित हैं {{not a typo|{{math|''{{not a typo|ϑ}}''(''n'')}} or {{math|''θ''(''n'')}}}} के अनुसार:
+प्राइमोरियल पहले [[चेबीशेव समारोह|चेबीशेव]] फलन से संबंधित हैं जो {{not a typo|{{math|''{{not a typo|ϑ}}''(''n'')}} or {{math|''θ''(''n'')}}}} के अनुसार लिखा गया है:
 :<math>\ln (n\#) = \vartheta(n).</math><ref>{{Mathworld | urlname=ChebyshevFunctions | title=Chebyshev Functions}}</ref>
-तब से {{math|''{{not a typo|ϑ}}''(''n'')}} स्पर्शोन्मुख रूप से दृष्टिकोण {{math|''n''}} के बड़े मूल्यों के लिए {{math|''n''}}, प्राइमोरियल्स इसलिए बढ़ते हैं:
+तब से {{math|''{{not a typo|ϑ}}''(''n'')}} स्पर्शोन्मुख रूप से दृष्टिकोण {{math|''n''}} के बड़े मूल्यों {{math|''n''}} के लिए , प्राइमोरियल्स इसलिए बढ़ते हैं:
 :<math>n\# = e^{(1+o(1))n}.</math>
 सभी ज्ञात अभाज्य संख्याओं को गुणा करने का विचार अभाज्य संख्याओं की अनंतता के कुछ प्रमाणों में होता है, जहाँ इसका उपयोग किसी अन्य अभाज्य संख्या के अस्तित्व को प्राप्त करने के लिए किया जाता है।
-== विशेषताएँ ==
+== विशेषताएँ                                                                                                                                                              ==
-* होने देना {{mvar|p}} और {{mvar|q}} दो आसन्न अभाज्य संख्याएँ हों। कोई भी दिया गया <math>n \in \mathbb{N}</math>, कहाँ <math>p\leq n<q</math>:
+* माना {{mvar|p}} और {{mvar|q}} दो आसन्न अभाज्य संख्याएँ है। किसी भी <math>n \in \mathbb{N}</math> को देखते हुए जहां <math>p\leq n<q</math>
 :<math>n\#=p\#</math>
 * प्राइमोरियल के लिए, निम्नलिखित सन्निकटन ज्ञात है:<ref>G. H. Hardy, E. M. Wright: ''An Introduction to the Theory of Numbers''. 4th Edition. Oxford University Press, Oxford 1975. {{ISBN|0-19-853310-1}}.<br />Theorem 415, p.&nbsp;341</ref>
 :<math>n\#\leq 4^n</math>.
 टिप्पणियाँ:
-#प्रारंभिक विधि का प्रयोग करते हुए गणितज्ञ डेनिस हैन्सन ने यह दर्शाया <math>n\#\leq 3^n</math><ref>{{Cite journal |last=Hanson |first=Denis |date=March 1972 |title=प्राइम्स के उत्पाद पर|journal=[[Canadian Mathematical Bulletin]] |volume=15 |issue=1 |pages=33–37 |doi=10.4153/cmb-1972-007-7|doi-access=free |issn=0008-4395}}</ref>
+#प्रारंभिक विधि का प्रयोग करते हुए गणितज्ञ डेनिस हैन्सन ने यह <math>n\#\leq 3^n</math> दर्शाया था <ref>{{Cite journal |last=Hanson |first=Denis |date=March 1972 |title=प्राइम्स के उत्पाद पर|journal=[[Canadian Mathematical Bulletin]] |volume=15 |issue=1 |pages=33–37 |doi=10.4153/cmb-1972-007-7|doi-access=free |issn=0008-4395}}</ref>
-# अधिक उन्नत तरीकों का उपयोग करके, रोसेर और स्कोनफेल्ड ने दिखाया <math>n\#\leq (2.763)^n</math><ref name="RosserSchoenfeld1962">{{Cite journal |last1=Rosser |first1=J. Barkley |last2=Schoenfeld |first2=Lowell |date=1962-03-01 |title=अभाज्य संख्याओं के कुछ कार्यों के लिए अनुमानित सूत्र|journal=Illinois Journal of Mathematics |volume=6 |issue=1 |doi=10.1215/ijm/1255631807 |issn=0019-2082|doi-access=free }}</ref>
+# अधिक उन्नत तरीकों का उपयोग करके, रोसेर और स्कोनफेल्ड ने <math>n\#\leq (2.763)^n</math> दिखाया था <ref name="RosserSchoenfeld1962">{{Cite journal |last1=Rosser |first1=J. Barkley |last2=Schoenfeld |first2=Lowell |date=1962-03-01 |title=अभाज्य संख्याओं के कुछ कार्यों के लिए अनुमानित सूत्र|journal=Illinois Journal of Mathematics |volume=6 |issue=1 |doi=10.1215/ijm/1255631807 |issn=0019-2082|doi-access=free }}</ref>
-# प्रमेय 4, सूत्र 3.14 में रोसेर और स्कोनफेल्ड ने इसे दिखाया <math>n \ge 563</math>, <math>n\#\geq (2.22)^n</math><ref name="RosserSchoenfeld1962"/>
+# प्रमेय 4, सूत्र 3.14 में रोसेर और स्कोनफेल्ड ने दिखाया <math>n \ge 563</math>, <math>n\#\geq (2.22)^n</math> के लिए <ref name="RosserSchoenfeld1962"/>
-* आगे:
+* इसके अतिरिक्त:
 :<math>\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n\#} = e </math>
-:के लिए <math>n<10^{11}</math>, मान e (गणितीय स्थिरांक)| से छोटे हैं{{mvar|e}},<ref>L. Schoenfeld: ''Sharper bounds for the Chebyshev functions <math>\theta(x)</math> and <math>\psi(x)</math>''. II. ''Math. Comp.'' Vol.&nbsp;34, No.&nbsp;134 (1976) 337–360; p.&nbsp;359.<br />Cited in: G. Robin: ''Estimation de la fonction de Tchebychef <math>\theta</math> sur le {{mvar|k}}-ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction <math>\omega(n)</math>, nombre de diviseurs premiers de {{mvar|n}}''. ''Acta Arithm.'' XLII (1983) 367–389 ([http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa42/aa4242.pdf PDF 731KB]); p.&nbsp;371</ref> लेकिन बड़े के लिए {{mvar|n}}, फ़ंक्शन का मान सीमा से अधिक है {{mvar|e}} और चारों ओर अनंत रूप से दोलन करता हूँ {{mvar|e}} बाद में।
+:
+:<math>n<10^{11}</math> के लिए मान e <ref>L. Schoenfeld: ''Sharper bounds for the Chebyshev functions <math>\theta(x)</math> and <math>\psi(x)</math>''. II. ''Math. Comp.'' Vol.&nbsp;34, No.&nbsp;134 (1976) 337–360; p.&nbsp;359.<br />Cited in: G. Robin: ''Estimation de la fonction de Tchebychef <math>\theta</math> sur le {{mvar|k}}-ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction <math>\omega(n)</math>, nombre de diviseurs premiers de {{mvar|n}}''. ''Acta Arithm.'' XLII (1983) 367–389 ([http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa42/aa4242.pdf PDF 731KB]); p.&nbsp;371</ref> से छोटे हैं, किन्तु बड़े {{mvar|n}} के लिए फलन के मान सीमा {{mvar|e}} से अधिक हैं और बाद में {{mvar|e}} के चारों ओर अनंत रूप से दोलन करते हैं।
-* होने देना <math>p_k</math> हो {{mvar|k}}-वाँ अभाज्य, फिर <math>p_k\#</math> बिलकुल है <math>2^k</math> विभाजक. उदाहरण के लिए, <math>2\#</math> 2 भाजक हैं, <math>3\#</math> 4 भाजक हैं, <math>5\#</math> 8 भाजक हैं और <math>97\#</math> पहले से है <math>2^{25}</math> भाजक, क्योंकि 97 25वाँ अभाज्य है।
+*मान लीजिए कि <math>p_k</math> {{mvar|k}} अभाज्य है, तो <math>p_k\#</math> में बिल्कुल <math>2^k</math> विभाजक हैं। उदाहरण के लिए, <math>2\#</math> में 2 विभाजक हैं, <math>3\#</math> में 4 विभाजक हैं <math>5\#</math> में 8 विभाजक हैं और <math>97\#</math> में पहले से ही विभाजक <math>2^{25}</math> हैं , चूँकि 97 25वाँ अभाज्य है।
 * एक स्थिरांक की ओर प्राइमोरियल कन्वर्जेंट श्रृंखला के पारस्परिक मूल्यों का योग
 :<math>\sum_{p\,\in \,\mathbb{P}}  {1 \over p\#} = {1 \over 2} + {1 \over 6} + {1 \over 30} + \ldots = 0{.}7052301717918\ldots</math>
@@ Line 77: / Line 79: @@
 *यूक्लिड के प्रमेय के अनुसार, <math>p\# +1</math> अभाज्य संख्याओं की अनंतता को सिद्ध करने के लिए उपयोग किया जाता है।
-== अनुप्रयोग और गुण ==
+== अनुप्रयोग और गुण                                                                                                                                                                                       ==
 अंकगणितीय प्रगति में प्राइमोरियल प्राइम की खोज में भूमिका निभाते हैं। उदाहरण के लिए,
- {{val|2236133941}} + 23# का परिणाम अभाज्य में होता है, बार-बार 23# जोड़ने से प्राप्त तेरह अभाज्यों का क्रम शुरू होता है, और इसके साथ समाप्त होता है {{val|5136341251}}. 23# पंद्रह और सोलह अभाज्य संख्याओं की अंकगणितीय प्रगति में भी सामान्य अंतर है।
-प्रत्येक उच्च भाज्य संख्या आदिमों का गुणनफल है (जैसे [[360 (संख्या)]] = {{nowrap|2 × 6 × 30}}).<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A002182|name=Highly composite numbers}}</ref>
+{{val|2236133941}} + 23# का परिणाम अभाज्य में होता है, बार-बार 23# जोड़ने से प्राप्त तेरह अभाज्यों का क्रम प्रारंभ होता है, और इसके साथ समाप्त होता है {{val|5136341251}}. 23# पंद्रह और सोलह अभाज्य संख्याओं की अंकगणितीय प्रगति में भी सामान्य अंतर है।
-प्राइमोरियल सभी [[वर्ग-मुक्त पूर्णांक]] होते हैं, और प्रत्येक में उससे छोटी किसी भी संख्या की तुलना में अधिक विशिष्ट अभाज्य गुणनखंड होते हैं। प्रत्येक आदिम के लिए {{mvar|n}}, अंश {{math|{{sfrac|''φ''(''n'')|''n''}}}} किसी भी छोटे पूर्णांक से छोटा है, जहां {{mvar|φ}} [[यूलर का टोटिएंट फ़ंक्शन]] है।
+प्रत्येक उच्च भाज्य संख्या मौलिकों का गुणनफल है (जैसे [[360 (संख्या)]] = {{nowrap|2 × 6 × 30}}).<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A002182|name=Highly composite numbers}}</ref> प्राइमोरियल सभी [[वर्ग-मुक्त पूर्णांक]] होते हैं, और प्रत्येक में उससे छोटी किसी भी संख्या की तुलना में अधिक विशिष्ट अभाज्य गुणनखंड होते हैं। प्रत्येक मौलिक के लिए {{mvar|n}}, अंश {{math|{{sfrac|''φ''(''n'')|''n''}}}} किसी भी छोटे पूर्णांक से छोटा है, जहां {{mvar|φ}} [[यूलर का टोटिएंट फ़ंक्शन|यूलर का टोटिएंट फलन]] है।
 किसी भी पूर्ण गुणक फलन को प्राइमोरियल पर उसके मानों द्वारा परिभाषित किया जाता है, क्योंकि इसे प्राइम पर उसके मानों द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे आसन्न मानों के विभाजन द्वारा पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।
@@ Line 88: / Line 90: @@
 प्राइमोरियल के अनुरूप बेस सिस्टम (जैसे कि बेस 30, मिश्रित मूलांक#प्राइमोरियल नंबर सिस्टम के साथ भ्रमित न हों) में किसी भी छोटे बेस की तुलना में दोहराए जाने वाले अंशों का अनुपात कम होता है।
-प्रत्येक आदिम विरल योग संख्या है।<ref>{{cite journal | last1=Masser | first1=D.W. | author1-link=David Masser | last2=Shiu | first2=P. | title=विरल कुल संख्या पर| journal=Pacific Journal of Mathematics | volume=121 | pages=407–426 | year=1986 | issue=2 | issn=0030-8730 | zbl=0538.10006 | url=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102702441 | mr=819198 | doi=10.2140/pjm.1986.121.407| doi-access=free }}</ref>
+प्रत्येक मौलिक विरल योग संख्या है।<ref>{{cite journal | last1=Masser | first1=D.W. | author1-link=David Masser | last2=Shiu | first2=P. | title=विरल कुल संख्या पर| journal=Pacific Journal of Mathematics | volume=121 | pages=407–426 | year=1986 | issue=2 | issn=0030-8730 | zbl=0538.10006 | url=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102702441 | mr=819198 | doi=10.2140/pjm.1986.121.407| doi-access=free }}</ref>
+:{{mvar|n}|n}}-एक भाज्य संख्या का समायोजक {{mvar|n}} तक और सम्मिलित सभी भाज्य संख्याओं {{mvar|n}} का गुणनफल है .<ref name="Wells 2011">{{cite book|last1=Wells|first1=David|author-link=David G. Wells|title=Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math|date=2011|publisher=John Wiley & Sons|isbn=9781118045718|page=29|url=https://books.google.com/books?id=1MTcYrbTdsUC&q=Compositorial+primorial&pg=PA29|access-date=16 March 2016}}</ref>  {{mvar|n}|n}}-कंपोजिटोरियल के सामान्य है {{mvar|n}}-फैक्टोरियल को प्राइमोरियल से विभाजित किया जाता है {{math|''n''#}} कंपोज़िटोरियल हैं
- {{mvar|n}|n}}-एक भाज्य संख्या का समायोजक {{mvar|n}} तक और सम्मिलित सभी भाज्य संख्याओं का गुणनफल है {{mvar|n}}.<ref name="Wells 2011">{{cite book|last1=Wells|first1=David|author-link=David G. Wells|title=Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math|date=2011|publisher=John Wiley & Sons|isbn=9781118045718|page=29|url=https://books.google.com/books?id=1MTcYrbTdsUC&q=Compositorial+primorial&pg=PA29|access-date=16 March 2016}}</ref>  {{mvar|n}|n}}-कंपोजिटोरियल के बराबर है {{mvar|n}}-फैक्टोरियल को प्राइमोरियल से विभाजित किया जाता है {{math|''n''#}}. कंपोज़िटोरियल हैं
+:1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, ... <ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A036691|name=Compositorial numbers: product of first n composite numbers.}}</ref>
-:[[1 (संख्या)]], [[4 (संख्या)]], [[24 (संख्या)]], [[192 (संख्या)]], 1728, {{val|17280}}, {{val|207360}}, {{val|2903040}}, {{val|43545600}}, {{val|696729600}}, ...<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A036691|name=Compositorial numbers: product of first n composite numbers.}}</ref>
 == रूप ==
-[[रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन]] को से अधिक धनात्मक पूर्णांकों पर व्यक्त किया जा सकता है<ref name=mezo/>प्राइमोरियल फ़ंक्शन और जॉर्डन के टोटिएंट फ़ंक्शन का उपयोग करके {{math|''J<sub>k</sub>''(''n'')}}:
+[[रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन|रीमैन ज़ेटा फलन]] को से अधिक धनात्मक पूर्णांकों पर व्यक्त किया जा सकता है <ref name=mezo/> प्राइमोरियल फलन और जॉर्डन के टोटिएंट फलन {{math|''J<sub>k</sub>''(''n'')}} का उपयोग करते है :
 : <math> \zeta(k)=\frac{2^k}{2^k-1}+\sum_{r=2}^\infty\frac{(p_{r-1}\#)^k}{J_k(p_r\#)},\quad k=2,3,\dots </math>
-== आदिकाल की तालिका ==
+== मौलिक तालिका                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             ==
 {| class="wikitable" style="text-align:right"
@@ Line 108: / Line 109: @@
 ! rowspan="2" | {{mvar|p<sub>n</sub>}}
 ! rowspan="2" | {{math|''p<sub>n</sub>''#}}
-! colspan="2" | [[Primorial prime]]?
+! colspan="2" | [[Primorial prime|मौलिक प्राइम]]?
 |-
 ! ''p<sub>n</sub>''# + 1<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A014545|name=Primorial plus 1 prime indices}}</ref>
@@ Line 402: / Line 403: @@
-== यह भी देखें ==
+== यह भी देखें                                                                                                                                                                         ==
 * बोन्से की असमानता
-* चेबीशेव फ़ंक्शन
+* चेबीशेव फलन
-*मिश्रित मूलांक#प्राइमोरियल संख्या प्रणाली
+*मिश्रित मूलांक प्राइमोरियल संख्या प्रणाली
-* [[आदिम प्रधान]]
+* [[आदिम प्रधान|मौलिक प्राइम]]
-== टिप्पणियाँ ==
+== टिप्पणियाँ                                                                                                                                                                            ==
 {{reflist|refs=
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