प्राइमोरियल

गणित में, और विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में, प्राइमोरियल, जिसे # द्वारा निरूपित किया जाता है, फ़ैक्टोरियल फलन के समान प्राकृतिक संख्याओं से प्राकृतिक संख्याओं तक फलन (गणित) है, किन्तु धनात्मक पूर्णांकों को क्रमिक रूप से गुणा करने के अतिरिक्त, फलन केवल अभाज्य संख्याओं को गुणा करता है।

हार्वे डबनेर द्वारा लिखा गया प्राइमोरियल नाम, प्राइम्स के साथ सादृश्य बनाता है, ठीक उसी तरह जैसे फैक्टोरियल नाम कारकों से संबंधित है।

अभाज्य संख्याओं की परिभाषा

p_n# के कार्य के रूप में n, लघुगणकीय रूप से प्लॉट किया गया।

nवें अभाज्य संख्या p_n के लिए मूल p_n# को पहले n अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है:

$p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}$,

जहाँ p_k kवाँ अभाज्य संख्या है। उदाहरण के लिए p₅# पहले 5 अभाज्य संख्याओं के गुणनफल को दर्शाता है:

$p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.$

प्रथम पाँच मौलिक p_n# हैं:

2, 6, 30, 210, 2310, (sequence A002110 in the OEIS).

अनुक्रम में खाली उत्पाद के रूप में p₀# = 1 भी सम्मिलित है। एसिम्प्टोटिकली प्राइमोरियल p_n# इसके अनुसार बढ़ते हैं:

$p_{n}\#=e^{(1+o(1))n\log n},$

जहां o( ) लिटिल ओ अंकन है।

प्राकृत संख्याओं की परिभाषा

n! (पीला) के कार्य के रूप में n, की तुलना में n#(लाल), दोनों को लघुगणकीय रूप से प्लॉट किया गया।

सामान्यतः, धनात्मक पूर्णांक n के लिए, यह मौलिक n# है, उन अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है जो इससे n बड़े नहीं हैं ,

$n\#=\prod _{p\leq n \atop p{\text{ prime}}}p=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#$,

जहाँ π(n) अभाज्य-गिनती कार्य है (sequence A000720 in the OEIS), जो अभाज्य संख्या ≤ देता है यह इसके n सामान्य है:

$n\#={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\ 1\\(n-1)\#\times n&{\text{if }}n{\text{ is prime}}\\(n-1)\#&{\text{if }}n{\text{ is composite}}.\end{cases}}$

उदाहरण के लिए, 12# उन अभाज्य संख्याओं के गुणनफल ≤ 12 को दर्शाता है :

$12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.$

तब से π(12) = 5, इसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:

$12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.$

n# के पहले 12 मानों पर विचार करें :

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310।

हम इसे समग्र n के लिए देखते हैं प्रत्येक पद n# बस पिछले शब्द की नकल (n − 1)# करता है , जैसा कि परिभाषा में दिया गया है। उपरोक्त उदाहरण में 12# = p₅# = 11# हमारे पास है चूँकि 12 भाज्य संख्या है।

प्राइमोरियल पहले चेबीशेव फलन से संबंधित हैं जो ϑ(n) or θ(n) के अनुसार लिखा गया है:

$\ln(n\#)=\vartheta (n).$

तब से ϑ(n) स्पर्शोन्मुख रूप से दृष्टिकोण n के बड़े मूल्यों n के लिए , प्राइमोरियल्स इसलिए बढ़ते हैं:

$n\#=e^{(1+o(1))n}.$

सभी ज्ञात अभाज्य संख्याओं को गुणा करने का विचार अभाज्य संख्याओं की अनंतता के कुछ प्रमाणों में होता है, जहाँ इसका उपयोग किसी अन्य अभाज्य संख्या के अस्तित्व को प्राप्त करने के लिए किया जाता है।

विशेषताएँ

• माना p और q दो आसन्न अभाज्य संख्याएँ है। किसी भी $n\in \mathbb {N}$ को देखते हुए जहां $p\leq n<q$

$n\#=p\#$

• प्राइमोरियल के लिए, निम्नलिखित सन्निकटन ज्ञात है:

$n\#\leq 4^{n}$.

टिप्पणियाँ:

1. प्रारंभिक विधि का प्रयोग करते हुए गणितज्ञ डेनिस हैन्सन ने यह $n\#\leq 3^{n}$ दर्शाया था
2. अधिक उन्नत तरीकों का उपयोग करके, रोसेर और स्कोनफेल्ड ने $n\#\leq (2.763)^{n}$ दिखाया था
3. प्रमेय 4, सूत्र 3.14 में रोसेर और स्कोनफेल्ड ने दिखाया $n\geq 563$, $n\#\geq (2.22)^{n}$ के लिए

• इसके अतिरिक्त:

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}=e$

$n<10^{11}$ के लिए मान e से छोटे हैं, किन्तु बड़े n के लिए फलन के मान सीमा e से अधिक हैं और बाद में e के चारों ओर अनंत रूप से दोलन करते हैं।

• मान लीजिए कि $p_{k}$ k अभाज्य है, तो $p_{k}\#$ में बिल्कुल $2^{k}$ विभाजक हैं। उदाहरण के लिए, $2\#$ में 2 विभाजक हैं, $3\#$ में 4 विभाजक हैं $5\#$ में 8 विभाजक हैं और $97\#$ में पहले से ही विभाजक $2^{25}$ हैं , चूँकि 97 25वाँ अभाज्य है।
• एक स्थिरांक की ओर प्राइमोरियल कन्वर्जेंट श्रृंखला के पारस्परिक मूल्यों का योग

$\sum _{p\,\in \,\mathbb {P} }{1 \over p\#}={1 \over 2}+{1 \over 6}+{1 \over 30}+\ldots =0{.}7052301717918\ldots$

इस संख्या का एंगेल विस्तार अभाज्य संख्याओं के अनुक्रम में परिणत होता है (देखें)। (sequence A064648 in the OEIS))

• यूक्लिड के प्रमेय के अनुसार, $p\#+1$ अभाज्य संख्याओं की अनंतता को सिद्ध करने के लिए उपयोग किया जाता है।

अनुप्रयोग और गुण

अंकगणितीय प्रगति में प्राइमोरियल प्राइम की खोज में भूमिका निभाते हैं। उदाहरण के लिए,

2236133941 + 23# का परिणाम अभाज्य में होता है, बार-बार 23# जोड़ने से प्राप्त तेरह अभाज्यों का क्रम प्रारंभ होता है, और इसके साथ समाप्त होता है 5136341251. 23# पंद्रह और सोलह अभाज्य संख्याओं की अंकगणितीय प्रगति में भी सामान्य अंतर है।

प्रत्येक उच्च भाज्य संख्या मौलिकों का गुणनफल है (जैसे 360 (संख्या) = 2 × 6 × 30). प्राइमोरियल सभी वर्ग-मुक्त पूर्णांक होते हैं, और प्रत्येक में उससे छोटी किसी भी संख्या की तुलना में अधिक विशिष्ट अभाज्य गुणनखंड होते हैं। प्रत्येक मौलिक के लिए n, अंश φ(n)/n किसी भी छोटे पूर्णांक से छोटा है, जहां φ यूलर का टोटिएंट फलन है।

किसी भी पूर्ण गुणक फलन को प्राइमोरियल पर उसके मानों द्वारा परिभाषित किया जाता है, क्योंकि इसे प्राइम पर उसके मानों द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे आसन्न मानों के विभाजन द्वारा पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

प्राइमोरियल के अनुरूप बेस सिस्टम (जैसे कि बेस 30, मिश्रित मूलांक#प्राइमोरियल नंबर सिस्टम के साथ भ्रमित न हों) में किसी भी छोटे बेस की तुलना में दोहराए जाने वाले अंशों का अनुपात कम होता है।

प्रत्येक मौलिक विरल योग संख्या है।

n}-एक भाज्य संख्या का समायोजक n तक और सम्मिलित सभी भाज्य संख्याओं n का गुणनफल है . n}-कंपोजिटोरियल के सामान्य है n-फैक्टोरियल को प्राइमोरियल से विभाजित किया जाता है n# कंपोज़िटोरियल हैं

1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, ...

रूप

रीमैन ज़ेटा फलन को से अधिक धनात्मक पूर्णांकों पर व्यक्त किया जा सकता है प्राइमोरियल फलन और जॉर्डन के टोटिएंट फलन J_k(n) का उपयोग करते है :

$\zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots$

मौलिक तालिका

n	n#	pn	pn#	मौलिक प्राइम?
				pn# + 1	pn# − 1
0	1	—	1	Yes	No
1	1	2	2	Yes	No
2	2	3	6	Yes	Yes
3	6	5	30	Yes	Yes
4	6	7	210	Yes	No
5	30	11	2310	Yes	Yes
6	30	13	30030	No	Yes
7	210	17	510510	No	No
8	210	19	9699690	No	No
9	210	23	223092870	No	No
10	210	29	6469693230	No	No
11	2310	31	200560490130	Yes	No
12	2310	37	7420738134810	No	No
13	30030	41	304250263527210	No	Yes
14	30030	43	13082761331670030	No	No
15	30030	47	614889782588491410	No	No
16	30030	53	32589158477190044730	No	No
17	510510	59	1922760350154212639070	No	No
18	510510	61	117288381359406970983270	No	No
19	9699690	67	7858321551080267055879090	No	No
20	9699690	71	557940830126698960967415390	No	No
21	9699690	73	40729680599249024150621323470	No	No
22	9699690	79	3217644767340672907899084554130	No	No
23	223092870	83	267064515689275851355624017992790	No	No
24	223092870	89	23768741896345550770650537601358310	No	Yes
25	223092870	97	2305567963945518424753102147331756070	No	No
26	223092870	101	232862364358497360900063316880507363070	No	No
27	223092870	103	23984823528925228172706521638692258396210	No	No
28	223092870	107	2566376117594999414479597815340071648394470	No	No
29	6469693230	109	279734996817854936178276161872067809674997230	No	No
30	6469693230	113	31610054640417607788145206291543662493274686990	No	No
31	200560490130	127	4014476939333036189094441199026045136645885247730	No	No
32	200560490130	131	525896479052627740771371797072411912900610967452630	No	No
33	200560490130	137	72047817630210000485677936198920432067383702541010310	No	No
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40	7420738134810	173	166589903787325219380851695350896256250980509594874862046961683989710	No	No

यह भी देखें

• बोन्से की असमानता
• चेबीशेव फलन
• मिश्रित मूलांक प्राइमोरियल संख्या प्रणाली
• मौलिक प्राइम

संदर्भ

• Dubner, Harvey (1987). "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math. 19: 197–203.
• Spencer, Adam "Top 100" Number 59 part 4.