फैक्टोरियल के गुणात्मक विभाजन

फैक्टोरियल के गुणात्मक विभाजन अभाज्य संख्या की शक्तियों के उत्पाद के रूप में फैक्टोरियल फ़ंक्शन के मूल्यों की अभिव्यक्ति की गयी हैं। इनका अध्ययन पॉल एर्दो और अन्य लोगों द्वारा किया गया है। इस प्रकार से धनात्मक पूर्णांक का भाज्य घटते पूर्णांक गुणनखंडों का उत्पाद किया जाता है, जिसे बदले में अभाज्य संख्याओं में विभाजित किया जा सकता है। इसका मतलब यह है कि किसी भी फैक्टोरियल को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए,

$$5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=5^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 2^{1}.$$

यदि हम लिखना चाहे तो ${\textstyle 5!}$ ${\textstyle (p_{k})^{b_{k}}}$ प्रपत्र के कारकों के उत्पाद के रूप में , जहां प्रत्येक ${\textstyle p_{k}}$ अभाज्य संख्या है, और गुणनखंडों को घटते क्रम में क्रमबद्ध किया गया है, तो हमारे पास ऐसा करने के तीन विधि इस प्रकार से हैं:

$$5!=2^{1}\cdot 3^{1}\cdot 2^{2}\cdot 5^{1}=3^{1}\cdot 5^{1}\cdot 2^{3}=2^{1}\cdot 2^{1}\cdot 2^{1}\cdot 3^{1}\cdot 5^{1}.$$

इस प्रकार के क्रमबद्ध गुणात्मक विभाजनों की संख्या ${\textstyle n!}$ के साथ बढ़ता है और ${\textstyle n}$, अनुक्रम द्वारा दिया गया है

1, 1, 3, 3, 10, 10, 30, 75, 220, 220, 588, 588, 1568, 3696, 11616, ... (sequence A085288 in the OEIS).

किसी दिए गए फैक्टोरियल के सभी क्रमबद्ध गुणात्मक विभाजनों की लंबाई समान नहीं होती है। उदाहरण के लिए, ${\textstyle 5!}$ के विभाजनों की लंबाई 4, 3 और 5 है। दूसरे शब्दों में, ${\textstyle 5!}$ के विभाजनों में से एक की लंबाई 5 है। ${\textstyle n!}$ के क्रमबद्ध गुणक विभाजनों की संख्या जिनकी लंबाई ${\textstyle n}$ के समान है, ${\textstyle n=4}$ और ${\textstyle n=5}$ के लिए 1 है। और उसके पश्चात वह बढ़ता जाता है

2, 2, 5, 12, 31, 31, 78, 78, 191, 418, 1220, 1220, 3015, ... (sequence A085289 in the OEIS).

इस प्रकार से सभी ${\textstyle n!}$ क्रमबद्ध गुणात्मक विभाजनों पर विचार करें जिसकी लंबाई ${\textstyle n}$ , हो और वह विभाजन ढूंढें जिसका प्रथम कारक अधिक उच्च है। (चूंकि किसी विभाजन में प्रथम कारक उस विभाजन के अंदर सबसे छोटा होता है, इसका मतलब मैक्सिमा और मिनिमा ढूंढना है।) इस कारक को कॉल करें. का मान है ${\textstyle m(n)}$ के लिए 2 है ${\textstyle n=4}$ और ${\textstyle n=5}$, और उसके बाद बढ़ता है

इस प्रकार से ${\textstyle n!}$ के सभी क्रमबद्ध गुणात्मक विभाजनों पर विचार करें जिनकी लंबाई ${\textstyle n}$ है और वह विभाजन ज्ञात कीजिए जिसका प्रथम गुणनखंड अधिक उच्च है। (चूंकि किसी विभाजन में पहला कारक उस विभाजन के अंदर सबसे छोटा है, इसका मतलब है कि सभी मिनीमा का अधिकतम पता लगाना।) इस कारक को ${\textstyle m(n)}$ कहें। ${\textstyle n=4}$ और ${\textstyle n=5}$ के लिए ${\textstyle m(n)}$ का मान 2 है और उसके पश्चात बढ़ता जाता है।

2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7 , 7, 7, 7, ... (sequence A085290 in the OEIS).

इस प्रकार के स्पर्शोन्मुख व्यवहार ${\textstyle m(n)}$ को व्यक्त करना , होने देना

$$\alpha (n)={\frac {\ln m(n)}{\ln n}}.$$

जहाँ ${\textstyle n}$ अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, $\alpha (n)$ सीमित मूल्य, अल्लादी-ग्रिंस्टेड स्थिरांक (गणितज्ञ कृष्णास्वामी अल्लादी और चार्ल्स ग्रिंस्टेड के नाम पर) के समीप पहुंचता है। और अल्लादी-ग्रिंस्टेड स्थिरांक का दशमलव प्रतिनिधित्व प्रारंभ होता है,

<ब्लॉककोट>0.80939402054063913071793188059409131721595399242500030424202871504... (sequence A085291 in the OEIS).स्थिरांक का स्पष्ट मान निश्चित श्रृंखला (गणित) के घातीय फ़ंक्शन के रूप में लिखा जा सकता है। स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है ,

$$\lim _{n\to \infty }\alpha (n)=e^{c-1}\approx 0.80939402,$$

जहाँ ${\textstyle c}$ द्वारा दिया गया है

$$c=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{k}}\ln {\frac {k}{k-1}}\approx 0.78853057.$$

इस राशि को वैकल्पिक रूप ${\textstyle \zeta (n)}$ से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है, लिखना रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के लिए:

$$c=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (n+1)-1}{n}}.$$

इस प्रकार से स्थिरांक ${\textstyle c}$ के लिए यह शृंखला प्रथम की तुलना में अधिक तेजी से अभिसरण होता है। फ़ंक्शन ${\textstyle m(n)}$ ${\textstyle n}$,के विस्तार पर स्थिर है किन्तु मान 6 को छोड़ कर 5 से 7 पर पहुंच जाता है। एर्दो ने सवाल उठाया कि ${\textstyle m(n)}$ के अनुक्रम में कितना उच्च अंतराल है बढ़ सकता है, और निरंतर खिंचाव कितने समय तक हो सकता है।