फैक्टोरियल के गुणात्मक विभाजन: Difference between revisions

Revision as of 23:05, 7 July 2023

फैक्टोरियल के गुणात्मक विभाजन अभाज्य संख्या की शक्तियों के उत्पाद के रूप में फैक्टोरियल फ़ंक्शन के मूल्यों की अभिव्यक्ति की गयी हैं। इनका अध्ययन पॉल एर्दो और अन्य लोगों द्वारा किया गया है।^[1]^[2]^[3] इस प्रकार से धनात्मक पूर्णांक का भाज्य घटते पूर्णांक गुणनखंडों का उत्पाद किया जाता है, जिसे बदले में अभाज्य संख्याओं में विभाजित किया जा सकता है। इसका मतलब यह है कि किसी भी फैक्टोरियल को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। इस प्रकार से निम्नलिखित उदाहरण दिए गए है,

5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=5^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 2^{1}.

यदि हम लिखना चाहे तो

{\textstyle 5!}

{\textstyle (p_{k})^{b_{k}}}

प्रपत्र के कारकों के उत्पाद के रूप में , जहां प्रत्येक

{\textstyle p_{k}}

अभाज्य संख्या है, और गुणनखंडों को घटते क्रम में क्रमबद्ध किया गया है, तो हमारे पास ऐसा करने के तीन विधि इस प्रकार से हैं:

5!=2^{1}\cdot 3^{1}\cdot 2^{2}\cdot 5^{1}=3^{1}\cdot 5^{1}\cdot 2^{3}=2^{1}\cdot 2^{1}\cdot 2^{1}\cdot 3^{1}\cdot 5^{1}.

इस प्रकार के क्रमबद्ध गुणात्मक विभाजनों की संख्या ${\textstyle n!}$ के साथ बढ़ता है और ${\textstyle n}$ , अनुक्रम द्वारा दिया गया है

1, 1, 3, 3, 10, 10, 30, 75, 220, 220, 588, 588, 1568, 3696, 11616, ... (sequence A085288 in the OEIS).

किसी दिए गए फैक्टोरियल के सभी क्रमबद्ध गुणात्मक विभाजनों की लंबाई समान नहीं होती है। उदाहरण के लिए, ${\textstyle 5!}$ के विभाजनों की लंबाई 4, 3 और 5 है। दूसरे शब्दों में, ${\textstyle 5!}$ के विभाजनों में से एक की लंबाई 5 है। ${\textstyle n!}$ के क्रमबद्ध गुणक विभाजनों की संख्या जिनकी लंबाई ${\textstyle n}$ के समान है, ${\textstyle n=4}$ और ${\textstyle n=5}$ के लिए 1 है। और उसके पश्चात वह बढ़ता जाता है

2, 2, 5, 12, 31, 31, 78, 78, 191, 418, 1220, 1220, 3015, ... (sequence A085289 in the OEIS).

इस प्रकार से ${\textstyle n!}$ के सभी क्रमबद्ध गुणात्मक विभाजनों पर विचार करें जिनकी लंबाई ${\textstyle n}$ है और वह विभाजन ज्ञात कीजिए जिसका प्रथम गुणनखंड अधिक उच्च है। (चूंकि किसी विभाजन में पहला कारक उस विभाजन के अंदर सबसे छोटा है, इसका मतलब है कि सभी मिनीमा का अधिकतम पता लगाना।) इस कारक को ${\textstyle m(n)}$ कहें। ${\textstyle n=4}$ और ${\textstyle n=5}$ के लिए ${\textstyle m(n)}$ का मान 2 है और उसके पश्चात बढ़ता जाता है।

2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7 , 7, 7, 7, ... (sequence A085290 in the OEIS).

इस प्रकार के स्पर्शोन्मुख व्यवहार ${\textstyle m(n)}$ को व्यक्त करना , होने देना

\alpha (n)={\frac {\ln m(n)}{\ln n}}.

जहाँ

{\textstyle n}

अनंत की ओर प्रवृत्त होता है,

\alpha (n)

सीमित मूल्य, अल्लादी-ग्रिंस्टेड स्थिरांक (गणितज्ञ कृष्णास्वामी अल्लादी और चार्ल्स ग्रिंस्टेड के नाम पर) के समीप पहुंचता है। और अल्लादी-ग्रिंस्टेड स्थिरांक का दशमलव प्रतिनिधित्व प्रारंभ होता है,

<ब्लॉककोट>0.80939402054063913071793188059409131721595399242500030424202871504... (sequence A085291 in the OEIS).स्थिरांक का स्पष्ट मान निश्चित श्रृंखला (गणित) के घातीय फ़ंक्शन के रूप में लिखा जा सकता है। स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है ,^[4]

\lim _{n\to \infty }\alpha (n)=e^{c-1}\approx 0.80939402,

जहाँ

{\textstyle c}

द्वारा दिया गया है

c=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{k}}\ln {\frac {k}{k-1}}\approx 0.78853057.

इस राशि को वैकल्पिक रूप

{\textstyle \zeta (n)}

से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है,^[5] लिखना रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के लिए:

c=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (n+1)-1}{n}}.

इस प्रकार से स्थिरांक

{\textstyle c}

के लिए यह शृंखला प्रथम की तुलना में अधिक तेजी से अभिसरण होता है।^[5] फ़ंक्शन

{\textstyle m(n)}

{\textstyle n}

,के विस्तार पर स्थिर है किन्तु मान 6 को छोड़ कर 5 से 7 पर पहुंच जाता है। एर्दो ने सवाल उठाया कि

{\textstyle m(n)}

के अनुक्रम में कितना उच्च अंतराल है बढ़ सकता है, और निरंतर खिंचाव कितने समय तक हो सकता है।^[3]^[6]

संदर्भ

↑ Alladi, Krishnaswami; Grinstead, Charles (1977). "n के अपघटन पर! प्रमुख शक्तियों में". Journal of Number Theory (in English). 9 (4): 452–458. doi:10.1016/0022-314x(77)90006-3.
↑ Finch, Steven R. (2003). गणितीय स्थिरांक. Cambridge University Press. pp. 120–122. ISBN 978-0521818056.
↑ ^3.0 ^3.1 Guy, Richard K. (1994). "Factorial n as the Product of n Large Factors". संख्या सिद्धांत विषयक अनसुलझी समस्याएं. Springer-Verlag. p. 79. ISBN 978-0387208602.
↑ Guy, Richard K.; Selfridge, John L. (October 1998). "फैक्टरिंग फैक्टोरियल एन". The American Mathematical Monthly (in English). 105 (8): 766–767. doi:10.1080/00029890.1998.12004961. ISSN 0002-9890.
↑ ^5.0 ^5.1 Weisstein, Eric. "अभिसरण सुधार". MathWorld (in English). Retrieved 2017-05-03.
↑ Erdős, Paul (1971). "Some problems in number theory". संख्या सिद्धांत में कंप्यूटर. Academic Press. pp. 405–414.

[1] Alladi, Krishnaswami; Grinstead, Charles (1977). "n के अपघटन पर! प्रमुख शक्तियों में". Journal of Number Theory (in English). 9 (4): 452–458. doi:10.1016/0022-314x(77)90006-3.

[2] Finch, Steven R. (2003). गणितीय स्थिरांक. Cambridge University Press. pp. 120–122. ISBN 978-0521818056.

[:5-3] 3.0 ^3.1 Guy, Richard K. (1994). "Factorial n as the Product of n Large Factors". संख्या सिद्धांत विषयक अनसुलझी समस्याएं. Springer-Verlag. p. 79. ISBN 978-0387208602.

[4] Guy, Richard K.; Selfridge, John L. (October 1998). "फैक्टरिंग फैक्टोरियल एन". The American Mathematical Monthly (in English). 105 (8): 766–767. doi:10.1080/00029890.1998.12004961. ISSN 0002-9890.

[:0-5] 5.0 ^5.1 Weisstein, Eric. "अभिसरण सुधार". MathWorld (in English). Retrieved 2017-05-03.

[6] Erdős, Paul (1971). "Some problems in number theory". संख्या सिद्धांत में कंप्यूटर. Academic Press. pp. 405–414.

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-[[ कारख़ाने का | फैक्टोरियल]]  के गुणात्मक विभाजन [[अभाज्य संख्या]] की शक्तियों के उत्पाद के रूप में फैक्टोरियल फ़ंक्शन के मूल्यों की अभिव्यक्ति की गयी  हैं। इनका अध्ययन पॉल एर्दो और अन्य लोगों द्वारा किया गया है।<ref>{{Cite journal|last1=Alladi|first1=Krishnaswami|last2=Grinstead|first2=Charles|authorlink1=Krishnaswami Alladi |title=n के अपघटन पर! प्रमुख शक्तियों में|url=http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0022314X77900063|journal=[[Journal of Number Theory]]|year=1977 |language=en|volume=9|issue=4|pages=452–458|doi=10.1016/0022-314x(77)90006-3}}</ref><ref>{{Cite book|title=गणितीय स्थिरांक|last=Finch|first=Steven R.|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=2003|isbn=978-0521818056|location=|pages=120&ndash;122}}</ref><ref name=":5">{{Cite book|title=संख्या सिद्धांत विषयक अनसुलझी समस्याएं|last=Guy|first=Richard K.|authorlink=Richard K. Guy |publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1994|isbn=978-0387208602|location=|pages=79|chapter=Factorial n as the Product of n Large Factors}}</ref>
+[[ कारख़ाने का | फैक्टोरियल]] के गुणात्मक विभाजन [[अभाज्य संख्या]] की शक्तियों के उत्पाद के रूप में फैक्टोरियल फ़ंक्शन के मूल्यों की अभिव्यक्ति की गयी हैं। इनका अध्ययन पॉल एर्दो और अन्य लोगों द्वारा किया गया है।<ref>{{Cite journal|last1=Alladi|first1=Krishnaswami|last2=Grinstead|first2=Charles|authorlink1=Krishnaswami Alladi |title=n के अपघटन पर! प्रमुख शक्तियों में|url=http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0022314X77900063|journal=[[Journal of Number Theory]]|year=1977 |language=en|volume=9|issue=4|pages=452–458|doi=10.1016/0022-314x(77)90006-3}}</ref><ref>{{Cite book|title=गणितीय स्थिरांक|last=Finch|first=Steven R.|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=2003|isbn=978-0521818056|location=|pages=120&ndash;122}}</ref><ref name=":5">{{Cite book|title=संख्या सिद्धांत विषयक अनसुलझी समस्याएं|last=Guy|first=Richard K.|authorlink=Richard K. Guy |publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1994|isbn=978-0387208602|location=|pages=79|chapter=Factorial n as the Product of n Large Factors}}</ref>
-इस प्रकार से धनात्मक पूर्णांक का भाज्य घटते पूर्णांक गुणनखंडों का  उत्पाद किया जाता  है, जिसे बदले में अभाज्य संख्याओं में विभाजित किया जा सकता है। इसका मतलब यह है कि किसी भी फैक्टोरियल को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है।  इस प्रकार से उदाहरण के लिए,<math display="block">5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 5^1 \cdot 2^2 \cdot 3^1 \cdot 2^1.</math>यदि  हम लिखना चाहे तो  <math display="inline">5!</math> <math display="inline">(p_k)^{b_k}</math> प्रपत्र के  कारकों के उत्पाद के रूप में , जहां प्रत्येक <math display="inline">p_k</math>  अभाज्य संख्या है, और गुणनखंडों को घटते क्रम में क्रमबद्ध किया गया है, तो हमारे पास ऐसा करने के तीन विधि इस प्रकार से हैं:<math display="block">5! = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 2^2 \cdot 5^1 = 3^1 \cdot 5^1 \cdot 2^3 = 2^1 \cdot 2^1 \cdot 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1.</math>
+इस प्रकार से धनात्मक पूर्णांक का भाज्य घटते पूर्णांक गुणनखंडों का उत्पाद किया जाता है, जिसे बदले में अभाज्य संख्याओं में विभाजित किया जा सकता है। इसका मतलब यह है कि किसी भी फैक्टोरियल को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। इस प्रकार से निम्नलिखित उदाहरण दिए गए है,<math display="block">5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 5^1 \cdot 2^2 \cdot 3^1 \cdot 2^1.</math>यदि हम लिखना चाहे तो <math display="inline">5!</math> <math display="inline">(p_k)^{b_k}</math> प्रपत्र के कारकों के उत्पाद के रूप में , जहां प्रत्येक <math display="inline">p_k</math> अभाज्य संख्या है, और गुणनखंडों को घटते क्रम में क्रमबद्ध किया गया है, तो हमारे पास ऐसा करने के तीन विधि इस प्रकार से हैं:<math display="block">5! = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 2^2 \cdot 5^1 = 3^1 \cdot 5^1 \cdot 2^3 = 2^1 \cdot 2^1 \cdot 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1.</math>
-इस प्रकार के  क्रमबद्ध गुणात्मक विभाजनों की संख्या <math display="inline">n!</math> के साथ बढ़ता है  और <math display="inline">n</math>, अनुक्रम द्वारा दिया गया है
+इस प्रकार के क्रमबद्ध गुणात्मक विभाजनों की संख्या <math display="inline">n!</math> के साथ बढ़ता है और <math display="inline">n</math>, अनुक्रम द्वारा दिया गया है
 :1, 1, 3, 3, 10, 10, 30, 75, 220, 220, 588, 588, 1568, 3696, 11616, ... {{OEIS|id=A085288}}.
-किसी दिए गए फैक्टोरियल के सभी क्रमबद्ध गुणात्मक विभाजनों की लंबाई समान नहीं होती है। उदाहरण के लिए, <math display="inline">5!</math> के विभाजनों की लंबाई ''4, 3'' और ''5'' है। दूसरे शब्दों में, <math display="inline">5!</math> के विभाजनों में से एक की लंबाई ''5'' है। <math display="inline">n!</math> के क्रमबद्ध गुणक विभाजनों की संख्या जिनकी लंबाई <math display="inline">n</math> के समान  है, <math display="inline">n = 4</math> और <math display="inline">n = 5</math> के लिए ''1'' है। और उसके पश्चात वह बढ़ता जाता है
+किसी दिए गए फैक्टोरियल के सभी क्रमबद्ध गुणात्मक विभाजनों की लंबाई समान नहीं होती है। उदाहरण के लिए, <math display="inline">5!</math> के विभाजनों की लंबाई ''4, 3'' और ''5'' है। दूसरे शब्दों में, <math display="inline">5!</math> के विभाजनों में से एक की लंबाई ''5'' है। <math display="inline">n!</math> के क्रमबद्ध गुणक विभाजनों की संख्या जिनकी लंबाई <math display="inline">n</math> के समान है, <math display="inline">n = 4</math> और <math display="inline">n = 5</math> के लिए ''1'' है। और उसके पश्चात वह बढ़ता जाता है
 :2, 2, 5, 12, 31, 31, 78, 78, 191, 418, 1220, 1220, 3015, ... {{OEIS|id=A085289}}.
-'''इस प्रकार से  सभी <math display="inline">n!</math> क्रमबद्ध गुणात्मक विभाजनों  पर विचार करें  जिसकी लंबाई <math display="inline">n</math> , हो और वह  विभाजन ढूंढें जिसका प्रथम कारक अधिक उच्च  है। (चूंकि किसी विभाजन में प्रथम  कारक उस विभाजन के अंदर   सबसे छोटा होता है, इसका मतलब [[मैक्सिमा और मिनिमा]] ढूंढना है।) इस कारक को कॉल करें. का मान है <math display="inline">m(n)</math> के लिए 2 है <math display="inline">n = 4</math> और <math display="inline">n = 5</math>, और उसके बाद बढ़ता है'''
+इस प्रकार से <math display="inline">n!</math> के सभी क्रमबद्ध गुणात्मक विभाजनों पर विचार करें जिनकी लंबाई <math display="inline">n</math> है और वह विभाजन ज्ञात कीजिए जिसका प्रथम गुणनखंड अधिक उच्च है। (चूंकि किसी विभाजन में पहला कारक उस विभाजन के अंदर सबसे छोटा है, इसका मतलब है कि सभी मिनीमा का अधिकतम पता लगाना।) इस कारक को <math display="inline">m(n)</math> कहें। <math display="inline">n = 4</math> और <math display="inline">n = 5</math> के लिए <math display="inline">m(n)</math> का मान ''2'' है और उसके पश्चात बढ़ता जाता है।
-इस प्रकार से <math display="inline">n!</math> के सभी क्रमबद्ध गुणात्मक विभाजनों पर विचार करें जिनकी लंबाई <math display="inline">n</math> है और वह विभाजन ज्ञात कीजिए जिसका प्रथम  गुणनखंड अधिक उच्च है। (चूंकि किसी विभाजन में पहला कारक उस विभाजन के अंदर सबसे छोटा है, इसका मतलब है कि सभी मिनीमा का अधिकतम पता लगाना।) इस कारक को  <math display="inline">m(n)</math> कहें। <math display="inline">n = 4</math> और <math display="inline">n = 5</math> के लिए <math display="inline">m(n)</math> का मान ''2'' है और उसके पश्चात  बढ़ता जाता  है।
 :2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7 , 7, 7, 7, ... {{OEIS|id=A085290}}.
-इस प्रकार के स्पर्शोन्मुख व्यवहार <math display="inline">m(n)</math> को व्यक्त करना , होने देना<math display="block">\alpha(n) = \frac{\ln m(n)}{\ln n}.</math>जहाँ  <math display="inline">n</math> अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, <math>\alpha(n)</math>  सीमित मूल्य, अल्लादी-ग्रिंस्टेड स्थिरांक (गणितज्ञ [[ कृष्णसोम जो |कृष्णास्वामी]] अल्लादी और चार्ल्स ग्रिंस्टेड के नाम पर) के समीप  पहुंचता है। और अल्लादी-ग्रिंस्टेड स्थिरांक का [[दशमलव प्रतिनिधित्व]] प्रारंभ  होता है,
+इस प्रकार के स्पर्शोन्मुख व्यवहार <math display="inline">m(n)</math> को व्यक्त करना , होने देना<math display="block">\alpha(n) = \frac{\ln m(n)}{\ln n}.</math>जहाँ <math display="inline">n</math> अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, <math>\alpha(n)</math> सीमित मूल्य, अल्लादी-ग्रिंस्टेड स्थिरांक (गणितज्ञ [[ कृष्णसोम जो |कृष्णास्वामी]] अल्लादी और चार्ल्स ग्रिंस्टेड के नाम पर) के समीप पहुंचता है। और अल्लादी-ग्रिंस्टेड स्थिरांक का [[दशमलव प्रतिनिधित्व]] प्रारंभ होता है,
-'''<ब्लॉककोट>'''0.80939402054063913071793188059409131721595399242500030424202871504... {{OEIS|id=A085291}}.स्थिरांक का स्पष्ट   मान  निश्चित [[श्रृंखला (गणित)]] के घातीय फ़ंक्शन के रूप में लिखा जा सकता है। स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है ,<ref>{{Cite journal |last1=Guy |first1=Richard K. |author-link=Richard K. Guy |last2=Selfridge |first2=John L. |author-link2=John Selfridge |date=October 1998 |title=फैक्टरिंग फैक्टोरियल एन|journal=The American Mathematical Monthly |language=en |volume=105 |issue=8 |pages=766–767 |doi=10.1080/00029890.1998.12004961 |issn=0002-9890}}</ref><math display="block">\lim_{n\to\infty} \alpha(n) = e^{c-1} \approx 0.80939402,</math>
+'''<ब्लॉककोट>'''0.80939402054063913071793188059409131721595399242500030424202871504... {{OEIS|id=A085291}}.स्थिरांक का स्पष्ट मान निश्चित [[श्रृंखला (गणित)]] के घातीय फ़ंक्शन के रूप में लिखा जा सकता है। स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है ,<ref>{{Cite journal |last1=Guy |first1=Richard K. |author-link=Richard K. Guy |last2=Selfridge |first2=John L. |author-link2=John Selfridge |date=October 1998 |title=फैक्टरिंग फैक्टोरियल एन|journal=The American Mathematical Monthly |language=en |volume=105 |issue=8 |pages=766–767 |doi=10.1080/00029890.1998.12004961 |issn=0002-9890}}</ref><math display="block">\lim_{n\to\infty} \alpha(n) = e^{c-1} \approx 0.80939402,</math>
-जहाँ   <math display="inline">c</math> द्वारा दिया गया है<math display="block">c = \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k} \ln \frac{k}{k-1} \approx 0.78853057.</math>इस राशि को वैकल्पिक रूप <math display="inline">\zeta(n)</math> से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है,<ref name=":0">{{Cite web |last=Weisstein |first=Eric |title=अभिसरण सुधार|url=http://mathworld.wolfram.com/ConvergenceImprovement.html |access-date=2017-05-03 |website=[[MathWorld]] |language=en |authorlink=Eric W. Weisstein}}</ref> लिखना  [[रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन]] के लिए:<math display="block">c = \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(n+1)-1}{n}.</math>इस प्रकार से स्थिरांक <math display="inline">c</math> के लिए यह शृंखला  प्रथम  की तुलना में अधिक तेजी से अभिसरण होता है।<ref name=":0" /> फ़ंक्शन  <math display="inline">m(n)</math>  <math display="inline">n</math>,के विस्तार पर स्थिर है किन्तु   मान 6 को छोड़ कर 5 से 7 पर पहुंच जाता है। एर्दो ने सवाल उठाया कि <math display="inline">m(n)</math> के अनुक्रम में कितना उच्च  अंतराल है  बढ़ सकता है, और निरंतर  खिंचाव कितने समय तक हो सकता है।<ref name=":5" /><ref>{{Cite book|title=संख्या सिद्धांत में कंप्यूटर|last=Erdős|first=Paul|authorlink=Paul Erdős |publisher=[[Academic Press]]|year=1971|isbn=|location=|pages=405&ndash;414|chapter=Some problems in number theory}}</ref>
+जहाँ <math display="inline">c</math> द्वारा दिया गया है<math display="block">c = \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k} \ln \frac{k}{k-1} \approx 0.78853057.</math>इस राशि को वैकल्पिक रूप <math display="inline">\zeta(n)</math> से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है,<ref name=":0">{{Cite web |last=Weisstein |first=Eric |title=अभिसरण सुधार|url=http://mathworld.wolfram.com/ConvergenceImprovement.html |access-date=2017-05-03 |website=[[MathWorld]] |language=en |authorlink=Eric W. Weisstein}}</ref> लिखना [[रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन]] के लिए:<math display="block">c = \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(n+1)-1}{n}.</math>इस प्रकार से स्थिरांक <math display="inline">c</math> के लिए यह शृंखला प्रथम की तुलना में अधिक तेजी से अभिसरण होता है।<ref name=":0" /> फ़ंक्शन <math display="inline">m(n)</math> <math display="inline">n</math>,के विस्तार पर स्थिर है किन्तु मान 6 को छोड़ कर 5 से 7 पर पहुंच जाता है। एर्दो ने सवाल उठाया कि <math display="inline">m(n)</math> के अनुक्रम में कितना उच्च अंतराल है बढ़ सकता है, और निरंतर खिंचाव कितने समय तक हो सकता है।<ref name=":5" /><ref>{{Cite book|title=संख्या सिद्धांत में कंप्यूटर|last=Erdős|first=Paul|authorlink=Paul Erdős |publisher=[[Academic Press]]|year=1971|isbn=|location=|pages=405&ndash;414|chapter=Some problems in number theory}}</ref>
 == संदर्भ ==
 <references />[[Category: भाज्य और द्विपद विषय]]

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