सूक्ष्म निरंतरता

गैरमानक विश्लेषण में, शास्त्रीय गणित के भीतर अनुशासन, बिंदु ए पर आंतरिक फ़ंक्शन एफ की सूक्ष्म निरंतरता (या एस-निरंतरता) को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

सभी x के लिए a के अपरिमित रूप से निकट, मान f(x) अपरिमित रूप से f(a) के निकट है।

यहां x f के डोमेन से होकर गुजरता है। सूत्रों में, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

अगर $x\approx a$ तब $f(x)\approx f(a)$.

किसी फ़ंक्शन f पर परिभाषित के लिए $\mathbb {R}$, परिभाषा को हेलो (गणित) के संदर्भ में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: f पर सूक्ष्मनिरंतर है $c\in \mathbb {R}$ अगर और केवल अगर $f(hal(c))\subseteq hal(f(c))$, जहां हाइपररियल संख्या में एफ का प्राकृतिक विस्तार अभी भी एफ दर्शाया गया है। वैकल्पिक रूप से, c पर सूक्ष्म निरंतरता की संपत्ति को संरचना बताकर व्यक्त किया जा सकता है ${\text{st}}\circ f$ c के प्रभामंडल पर स्थिर है, जहां st मानक भाग फ़ंक्शन है।

इतिहास

किसी फ़ंक्शन की निरंतरता की आधुनिक संपत्ति को पहली बार 1817 में बोल्ज़ानो द्वारा परिभाषित किया गया था। हालाँकि, 1860 के दशक में हेइन में इसकी पुनः खोज तक बोल्ज़ानो के काम पर बड़े गणितीय समुदाय का ध्यान नहीं गया था। इस बीच, कॉची की पाठ्यपुस्तक कौर्स डी एनालिसिस ने 1821 में उपरोक्त के अनुसार बहुत छोता का उपयोग करके निरंतरता को परिभाषित किया।

निरंतरता और एकसमान निरंतरता

सूक्ष्म निरंतरता का गुण आमतौर पर वास्तविक फ़ंक्शन f के प्राकृतिक विस्तार f* पर लागू होता है। इस प्रकार, वास्तविक अंतराल I पर परिभाषित f निरंतर है यदि और केवल यदि F* I के प्रत्येक बिंदु पर माइक्रोकंटिन्यूअस है। इस बीच, F I पर समान रूप से निरंतर है यदि और केवल यदि f* प्रत्येक बिंदु (मानक और गैरमानक) पर माइक्रोकंटिन्यूअस है इसके डोमेन I का प्राकृतिक विस्तार I* (देखें डेविस, 1977, पृष्ठ 96)।

उदाहरण 1

वास्तविक कार्य $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ खुले अंतराल पर (0,1) समान रूप से निरंतर नहीं है क्योंकि f का प्राकृतिक विस्तार f* असीम रूप से सूक्ष्म होने में विफल रहता है $a>0$. वास्तव में, ऐसे a के लिए, a और 2a के मान असीम रूप से करीब हैं, लेकिन f* के मान, अर्थात् ${\tfrac {1}{a}}$ और ${\tfrac {1}{2a}}$ असीम रूप से निकट नहीं हैं.

उदाहरण 2

कार्यक्रम $f(x)=x^{2}$ पर $\mathbb {R}$ समान रूप से सतत नहीं है क्योंकि f* अनंत बिंदु पर सूक्ष्म सतत होने में विफल रहता है $H\in \mathbb {R} ^{*}$. अर्थात्, सेटिंग $e={\tfrac {1}{H}}$ और K = H + e, कोई भी आसानी से देख सकता है कि H और K असीम रूप से करीब हैं लेकिन f*(H) और f*(K) असीम रूप से करीब नहीं हैं।

समान अभिसरण

समान अभिसरण इसी तरह हाइपररियल सेटिंग में सरलीकृत परिभाषा को स्वीकार करता है। इस प्रकार, क्रम $f_{n}$ यदि f* के डोमेन में सभी x और सभी अनंत n के लिए समान रूप से f में अभिसरण होता है, $f_{n}^{*}(x)$ असीम रूप से करीब है $f^{*}(x)$.

यह भी देखें

• मानक भाग फ़ंक्शन

ग्रन्थसूची

• Martin Davis (1977) Applied nonstandard analysis. Pure and Applied Mathematics. Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], New York-London-Sydney. xii+181 pp. ISBN 0-471-19897-8
• Gordon, E. I.; Kusraev, A. G.; Kutateladze, S. S.: Infinitesimal analysis. Updated and revised translation of the 2001 Russian original. Translated by Kutateladze. Mathematics and its Applications, 544. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002.