होलोनोमिक आधार

गणित और गणितीय भौतिकी में, अलग-अलग गुणनफल के लिए एक समन्वय आधार या होलोनोमिक आधार M आधार (रैखिक बीजगणित) सदिश क्षेत्र {e₁, ..., e_n} का एक सम्मुच्चय बहुविध के एक क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु P पर परिभाषित किया गया है

$\mathbf {e} _{\alpha }=\lim _{\delta x^{\alpha }\to 0}{\frac {\delta \mathbf {s} }{\delta x^{\alpha }}},$

जहाँ δs बिंदु P और एक नजदीकी बिंदु के बीच विस्थापन सदिश है। Q जिसका समन्वय पृथक्करण है P है δx^α निर्देशांक वक्र के अनुदिश x^α (अर्थात मैनिफ़ोल्ड पर वक्र P जिसके लिए स्थानीय समन्वय प्रणाली x^α बदलता रहता है और अन्य सभी निर्देशांक स्थिर रहते हैं)।

ऐसे आधार और दिशात्मक व्युत्पन्न ऑपरेटरों के बीच संबंध बनाना संभव है। एक पैरामीटरयुक्त वक्र दिया गया है C द्वारा परिभाषित मैनिफोल्ड पर x^α(λ) स्पर्शरेखा सदिश के साथ u = u^αe_α, जहाँ u^α = dx^α/dλ, और एक फ़ंक्शन f(x^α) के पड़ोस में परिभाषित किया गया है C, का रूपांतर f साथ में C के रूप में लिखा जा सकता है

${\frac {df}{d\lambda }}={\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}=u^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}f.$

चूंकि हमारे पास वह है u = u^αe_α, पहचान अक्सर समन्वय आधार सदिश के बीच की जाती है e_α और आंशिक व्युत्पन्न ऑपरेटर ∂/∂x^α, कार्यों पर कार्य करने वाले ऑपरेटरों के रूप में वैक्टर की व्याख्या के तहत।

आधार के लिए एक स्थानीय शर्त {e₁, ..., e_n} होलोनोमिक होने का मतलब यह है कि सभी पारस्परिक झूठ व्युत्पन्न गायब हो जाते हैं:

$\left[\mathbf {e} _{\alpha },\mathbf {e} _{\beta }\right]={\mathcal {L}}_{\mathbf {e} _{\alpha }}\mathbf {e} _{\beta }=0.$

एक आधार जो होलोनोमिक नहीं है उसे एनहोलोनोमिक कहा जाता है, गैर-होलोनोमिक या गैर-समन्वय आधार।

एक मीट्रिक टेंसर दिया गया है g अनेक गुना पर M, सामान्य तौर पर किसी भी खुले क्षेत्र में लम्बवत समन्वय आधार खोजना संभव नहीं है U का M. एक स्पष्ट अपवाद तब होता है M वास्तविक संख्या निर्देशांक स्थान है Rⁿ के साथ कई गुना माना जाता है g यूक्लिडियन मीट्रिक होना δ_ijeⁱ ⊗ e^j हर बिंदु पर.

यह भी देखें

• जेट बंडल
• टेट्राड औपचारिकता
• घुंघराले कलन

श्रेणी:विभेदक ज्यामिति श्रेणी:गणितीय भौतिकी