बाहरी माप: Difference between revisions

Revision as of 15:54, 13 July 2023

माप सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, एक बाहरी माप या बाहरी माप कुछ अतिरिक्त तकनीकी स्थितियों को संतुष्ट करने वाले विस्तारित वास्तविक संख्याओं में मूल्यों के साथ दिए गए समुच्चय (गणित) के सभी उपसमुच्चय पर परिभाषित एक फलन है। मापने योग्य समुच्चय और गणनीय योगात्मक माप के सिद्धांत के लिए एक अमूर्त आधार प्रदान करने के लिए बाहरी माप के सिद्धांत को पहली बार कॉन्स्टेंटिन कैराथोडोरी द्वारा प्रस्तावित किया गया था।^[1]^[2] बाहरी मापों पर कैराथोडोरी के काम को माप-सैद्धांतिक समुच्चय सिद्धांत में कई अनुप्रयोग मिले (उदाहरण के लिए बाहरी मापों का उपयोग मौलिक कैराथोडोरी के विस्तार प्रमेय के प्रमाण में किया जाता है), और हॉसडॉर्फ द्वारा एक आवश्यक प्रकार से उपयोग किया गया था ताकि एक आयाम-जैसे मीट्रिक अपरिवर्तनीय को परिभाषित किया जा सके जिसे हॉसडॉर्फ़ आयाम कहा जाता है। बाहरी माप सामान्यतः ज्यामितीय माप सिद्धांत के क्षेत्र में उपयोग किए जाते हैं।

माप लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन का सामान्यीकरण हैं, लेकिन $\mathbb {R}$ में अंतराल या $\mathbb {R} ^{3}$ में गेंदों की तुलना में बहुत अधिक अमूर्त और अनियमित समुच्चयों के लिए उपयोगी होते हैं। कोई $\mathbb {R}$ पर एक सामान्यीकृत मापन फलन $\varphi$ को परिभाषित करने की अपेक्षा कर सकता है जो निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करता है:

वास्तविकता के किसी भी अंतराल $[a,b]$ का माप $b-a$ होता हैं।
मापने का फलन $\varphi$ एक गैर-नकारात्मक विस्तारित वास्तविक-मूल्य वाला फलन है जो $\mathbb {R}$ के सभी उपससमुच्चय के लिए परिभाषित हैं।
अनुवाद अपरिवर्तनीयता: किसी भी समुच्चय $A$ और किसी वास्तविक $x$ के लिए, समुच्चय $A$ और $A+x=\{a+x:a\in A\}$ का माप समान हैं।
गणनीय योज्यता: $\mathbb {R}$ के युग्‍मानूसार असंयुक्त उपसमुच्चय के किसी अनुक्रम $(A_{j})$ के लिए हैं।

\varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (A_{i}).

यह पता चला है कि ये आवश्यकताएँ असंगत स्थितियाँ हैं; गैर-मापने योग्य समुच्चय देखें। $X$ के सभी उपसमुच्चय पर एक बाहरी माप के निर्माण का उद्देश्य उपसमुच्चय के एक वर्ग का चयन करना है (जिसे मापने योग्य कहा जा सकता है) ताकि गणनीय योगात्मकता गुण को संतुष्ट किया जा सके।

बाहरी माप

एक समुच्चय $X$ को देखते हुए, मान लीजिए कि $2^{X}$ रिक्त समुच्चय $\varnothing$ सहित, $X$ के सभी उपसमुच्चयों के संग्रह को दर्शाता है। $X$ पर एक बाहरी माप एक समुच्चय फलन है।

\mu :2^{X}\to [0,\infty ]

ऐसा है कि

शून्य रिक्त समुच्चय: $\mu (\varnothing )=0$
गणनीय रूप से उपयोगात्मक: $X$ के स्वेच्छाचारी उपसमुच्चय $A,B_{1},B_{2},\ldots$ के लिए ${\text{if }}A\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}{\text{ तब }}\mu (A)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).$

ध्यान दें कि इस परिभाषा में अनंत योग के बारे में कोई सूक्ष्मता नहीं है। सभी सारांशों को गैर-ऋणात्मक माना जाता है, आंशिक योगों का क्रम केवल बिना किसी सीमा के बढ़ते हुए ही भिन्न हो सकता है। अतः परिभाषा में दिखाई देने वाला अनंत योग हमेशा $[0,\infty ]$ का एक अच्छी तरह से परिभाषित अवयव होता है। यदि, इसके बदले, किसी बाहरी माप को नकारात्मक मान लेने की अनुमति दी जाती है, तो गैर-अभिसरण अनंत योग की संभावना को ध्यान में रखते हुए इसकी परिभाषा को संशोधित करता है।

एक वैकल्पिक और समकक्ष परिभाषा:^[3] कुछ पाठ्यपुस्तकें, जैसे हेल्मोस (1950), इसके बदले $X$ पर एक बाहरी माप को एक फलन $\mu :2^{X}\to [0,\infty ]$ के रूप में परिभाषित करती हैं जैसे कि

शून्य रिक्त समुच्चय: $\mu (\varnothing )=0$
एकदिष्ट: अगर $A$ और $B$ , $A\subseteq B$ के साथ $X$ के उपसमुच्चय हैं, तो $\mu (A)\leq \mu (B)$
$X$ के स्वेच्छाचारी उपसमुच्चय $B_{1},B_{2},\ldots$ के लिए $\mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).$

Proof of equivalence.

Suppose that

\mu

is an outer measure in sense originally given above. If

A

and

B

are subsets of

X

with

A\subseteq B,

then by appealing to the definition with

B_{1}=B

and

B_{j}=\varnothing

for all

j\geq 2,

one finds that

\mu (A)\leq \mu (B).

The third condition in the alternative definition is immediate from the trivial observation that

\cup _{j}B_{j}\subseteq \cup _{j}B_{j}.

Suppose instead that $\mu$ is an outer measure in the alternative definition. Let $A,B_{1},B_{2},\ldots$ be arbitrary subsets of $X,$ and suppose that

A\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}.

One then has

\mu (A)\leq \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}),

with the first inequality following from the second condition in the alternative definition, and the second inequality following from the third condition in the alternative definition. So

\mu

is an outer measure in the sense of the original definition.

बाहरी माप के सापेक्ष समुच्चय की मापनीयता

मान लीजिए कि $X$ बाहरी माप $\mu$ वाला एक समुच्चय है। एक का कहना है कि $X$ का एक उपसमुच्चय $E$ , $\mu$ -मापने योग्य है (कभी-कभी इसे गणितज्ञ कैराथोडोरी के बाद $\mu$ के सापेक्ष कैराथोडोरी-मापने योग्य भी कहा जाता है) यदि और केवल यदि

\mu (A)=\mu (A\cap E)+\mu (A\setminus E)

X

के प्रत्येक उपसमुच्चय

A

के लिए है।

अनौपचारिक रूप से, यह कहता है कि $\mu$ -मापने योग्य उपसमुच्चय वह है जिसका उपयोग बिल्डिंग ब्लॉक के रूप में किया जा सकता है, किसी अन्य उपसमुच्चय को टुकड़ों में तोड़ना (अर्थात्, वह टुकड़ा जो मापने योग्य समुच्चय के अंदर है और वह टुकड़ा जो मापने योग्य समुच्चय के बाहर है)। माप सिद्धांत की प्रेरणा के संदर्भ में, कोई यह अपेक्षा करेगा कि क्षेत्र, उदाहरण के लिए, समतल पर एक बाहरी माप होना चाहिए। तब कोई उम्मीद कर सकता है कि अपेक्षित सिद्धांत का पालन करते हुए समतल के प्रत्येक उपसमूह को "मापन योग्य" माना जाएगा

\operatorname {area} (A\cup B)=\operatorname {area} (A)+\operatorname {area} (B)

जब भी

A

और

B

समतल के असंयुक्त उपसमुच्चय हैं। हालाँकि, सिद्धांत के औपचारिक तार्किक विकास से पता चलता है कि स्थिति अधिक जटिल है। विकल्प के स्वयंसिद्ध का एक औपचारिक निहितार्थ यह है कि बाहरी माप के रूप में क्षेत्र की किसी भी परिभाषा के लिए जिसमें एक विशेष प्रकरण के रूप में एक आयत के क्षेत्र के लिए मानक सूत्र सम्मिलित है, समतल के उपसमुच्चय होने चाहिए जो मापने योग्य होने में विफल होते हैं। विशेष रूप से, उपरोक्त ''अपेक्षित सिद्धांत'' गलत है, बशर्ते कि कोई व्यक्ति पसंद के सिद्धांत को स्वीकार करता है।

बाहरी माप से संबद्ध माप समष्टि

इसे देखने के लिए $\mu$ -मापने योग्यता की उपरोक्त परिभाषा का उपयोग करना स्पष्ट है

अगर $A\subseteq X$ $\mu$ -मापने योग्य है तो इसका पूरक $X\setminus A\subseteq X$ भी $\mu$ -मापने योग्य है।

निम्नलिखित स्थिति को "मापने योग्य उपसमुच्चय पर $\mu$ की गणनीय योगात्मकता'' के रूप में जाना जाता है।

अगर $A_{1},A_{2},\ldots$ $X$ और $A_{i}\cap A_{j}$ के $\mu$ - मापने योग्य उपसमुच्चय हैं, जब भी $i\neq j$ रिक्त होता है, तो एक के पास है $\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}=\sum _{j=1}^{\infty }\mu (A_{j}).$

Proof of countable additivity.

One automatically has the conclusion in the form "

\,\leq \,

" from the definition of outer measure. So it is only necessary to prove the "

\,\geq \,

" inequality. One has

\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}\geq \mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}

for any positive number

N,

due to the second condition in the "alternative definition" of outer measure given above. Suppose (inductively) that

\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N-1}A_{j}{\Big )}=\sum _{j=1}^{N-1}\mu (A_{j})

Applying the above definition of $\mu$ -measurability with $A=A_{1}\cup \cdots \cup A_{N}$ and with $E=A_{N},$ one has

{\begin{aligned}\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}&=\mu \left({\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}\cap A_{N}\right)+\mu \left({\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}\smallsetminus A_{N}\right)\\&=\mu (A_{N})+\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N-1}A_{j}{\Big )}\end{aligned}}

which closes the induction. Going back to the first line of the proof, one then has

\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}\geq \sum _{j=1}^{N}\mu (A_{j})

for any positive integer

N.

One can then send

N

to infinity to get the required "

\,\geq \,

" inequality.

एक समान प्रमाण से पता चलता है कि:

अगर $A_{1},A_{2},\ldots$ $X$ के $\mu$ - मापने योग्य उपसमुच्चय हैं, तो संघ $A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$ और प्रतिच्छेदन $A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$ भी $\mu$ -मापने योग्य है।

यहां दिए गए गुणों को निम्नलिखित शब्दावली द्वारा संक्षेपित किया जा सकता है:

किसी समुच्चय $X,$ पर किसी भी बाहरी माप $\mu$ को देखते हुए, $X$ के सभी $\mu$ -मापने योग्य उपसमुच्चय का संग्रह एक σ-बीजगणित है। इस $\sigma$ -बीजगणित में $\mu$ का प्रतिबंध एक माप है।

इस प्रकार $X$ पर एक माप समष्टि संरचना होती है, जो स्वाभाविक रूप से $X$ पर एक बाहरी माप के विनिर्देश से उत्पन्न होती है। इस माप समष्टि में पूर्णता का अतिरिक्त गुण है, जो निम्नलिखित कथन में निहित है:

प्रत्येक उपसमुच्चय $A\subseteq X$ ऐसा है कि $\mu (A)=0$ $\mu$ -मापने योग्य है।

बाहरी माप की "वैकल्पिक परिभाषा" में दूसरी गुण का उपयोग करके इसे सिद्ध करना सरल है।

बाहरी माप पर प्रतिबंध लगाना और आगे बढ़ना

मान लीजिए $\mu$ समुच्चय $X$ पर एक बाहरी माप है।

पुशफॉरवर्ड

एक और समुच्चय $Y$ और एक मानचित्र $f:X\to Y$ दिया गया है जो $f_{\sharp }\mu :2^{Y}\to [0,\infty ]$ द्वारा परिभाषित करता है

{\big (}f_{\sharp }\mu {\big )}(A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}.

कोई भी परिभाषाओं से सीधे सत्यापित कर सकता है कि $f_{\sharp }\mu$ $Y$ पर एक बाहरी माप है।

प्रतिबंध

होने देना $B$ , $X$ का उपसमुच्चय है। $μ B : 2 X \to[0,\infty]$ को परिभाषित करें

\mu _{B}(A)=\mu (A\cap B).

कोई सीधे परिभाषाओं से जांच सकता है कि $μ B$ $X$ पर एक और बाहरी माप है।

पुशफॉरवर्ड या प्रतिबंध के सापेक्ष समुच्चय की मापनीयता

यदि $X$ का उपसमुच्चय $A$ $μ$ -मापने योग्य है, तो यह $X$ के किसी उपसमुच्चय $B$ के लिए भी $μ B$ -मापने योग्य है।

एक मानचित्र $f : X \to Y$ और $Y$ का एक उपसमुच्चय $A$ दिया गया है, अगर $f -1 (A)$ $μ$ -मापने योग्य है तो $A$ $f # μ$ -मापने योग्य है। अधिक सामान्यतः, $f -1 (A)$ $μ$ -मापने योग्य है यदि और केवल यदि $A$ , $X$ के प्रत्येक उपसमुच्चय $B$ के लिए $f # (μ B)$ -मापने योग्य है।

नियमित बाहरी माप

नियमित बाहरी माप की परिभाषा

एक समुच्चय $X$ को देखते हुए, $X$ पर एक बाहरी माप $μ$ को नियमित कहा जाता है यदि किसी उपसमुच्चय को $μ$ -मापने योग्य समुच्च द्वारा 'बाहर से' अनुमानित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, इसके लिए निम्नलिखित समतुल्य प्रतिबंध में से किसी एक की आवश्यकता होती है:

$X$ के किसी भी उपसमुच्चय $A$ और किसी धनात्मक संख्या $ε$ के लिए, $X$ का एक $μ$ -मापने योग्य उपसमुच्चय $B$ उपस्थित होता है जिसमें $A$ और $μ (B) < μ (A) + ε$ होता है।
$X$ के किसी भी उपसमुच्चय $A$ के लिए, $X$ का एक $μ$ -मापने योग्य उपसमुच्चय $B$ उपस्थित है जिसमें $A$ सम्मिलित है और ऐसा कि $μ (B) = μ (A)$ है।

यह स्वचालित है कि दूसरी स्थिति पहली का तात्पर्य करती है; पहला उपसमुच्चय के न्यूनतम अनुक्रम के प्रतिच्छेदन पर विचार करके दूसरे का तात्पर्य करता है।

बाहरी माप से संबद्ध नियमित बाहरी माप

एक समुच्चय $X$ पर एक बाहरी माप $μ$ दिया गया है, $ν : 2 X \to[0,\infty]$ को परिभाषित करें

\nu (A)=\inf {\Big \{}\mu (B):\mu {\text{-measurable subsets }}B\subset X{\text{ with }}B\supset A{\Big \}}.

तब $ν$ $X$ पर एक नियमित बाहरी माप है जो $X$ के सभी $μ$ -मापने योग्य उपसमुच्चय को $μ$ के समान माप प्रदान करता है। प्रत्येक $μ$ -मापने योग्य उपसमुच्चय भी $ν$ -मापने योग्य है, और परिमित $ν$ -माप का प्रत्येक $ν$ -मापने योग्य उपसमुच्चय भी $μ$ -मापने योग्य है।

तो $ν$ से संबंधित माप क्षेत्र में $μ$ से संबंधित माप स्थान की तुलना में बड़ा σ-बीजगणित हो सकता है। लघुतर σ-बीजगणित के लिए $ν$ और $μ$ के प्रतिबंध समान हैं। बड़े σ-बीजगणित के अवयव जो छोटे σ-बीजगणित में सम्मिलित नहीं हैं, उनमें अनंत $ν$ -माप और परिमित $μ$ -माप होता है।

इस दृष्टिकोण से, $ν$ को $μ$ का विस्तार माना जा सकता है।

बाहरी माप और टोपोलॉजी

मान लीजिए $(X, d)$ एक मीट्रिक माप है और $φ$ $X$ पर एक बाहरी माप है। यदि $φ$ में वह गुण है

\varphi (E\cup F)=\varphi (E)+\varphi (F)

जब कभी भी

d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0,

तब $φ$ को मीट्रिक बाहरी माप कहा जाता है।

प्रमेय: अगर $φ$ $X$ पर एक मीट्रिक बाहरी माप है, तो $X$ का प्रत्येक बोरेल उपसमुच्चय $φ$ -मापने योग्य है। ( $X$ के बोरेल समुच्चय द्वारा उत्पन्न सबसे छोटे $σ$ -बीजगणित के अवयव है।)

बाहरी मापों का निर्माण

किसी समुच्चय पर बाहरी माप बनाने की कई प्रक्रियाएँ हैं। नीचे दिया गया उत्कृष्ट मुनरो संदर्भ दो विशेष रूप से उपयोगी का वर्णन करता है जिन्हें विधि I और विधि II कहा जाता है।

विधि I

मान लीजिए कि $X$ एक समुच्चय है, $C$ , $X$ के उपसमुच्चय का एक वर्ग है जिसमें रिक्त समुच्चय होता है और $p$ , $C$ पर एक गैर-नकारात्मक विस्तारित वास्तविक मूल्य वाला फलन है जो रिक्त समुच्चय पर लुप्त हो जाता है।

प्रमेय: मान लीजिए कि वर्ग $C$ और फलन $p$ ऊपर बताए अनुसार परिभाषित करते हैं

\varphi (E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C{\biggr \}}.

अर्थात्, इन्फ़िमम $C$ के अवयव के सभी अनुक्रमों ${A i}$ पर विस्तारित होता है जो $E$ को आच्छादित करते हैं, इस सम्मेलन के साथ कि यदि ऐसा कोई अनुक्रम उपस्थित नहीं है तो इन्फ़िमम अनंत है। तब $φ$ $X$ पर एक बाहरी माप है।

विधि II

दूसरी तकनीक मीट्रिक समष्टि पर बाहरी मापों के निर्माण के लिए अधिक उपयुक्त है, क्योंकि इससे मीट्रिक बाहरी माप प्राप्त होते हैं। मान लीजिए $(X, d)$ एक मीट्रिक समष्टि है। जैसा कि ऊपर बताया गया है कि $C$ , $X$ के उपसमुच्चय का एक वर्ग है जिसमें रिक्त समुच्चय और $p$ एक गैर-नकारात्मक विस्तारित वास्तविक मूल्यवान फलन है जो $C$ पर है जो रिक्त समुच्चय पर लुप्त हो जाता है। प्रत्येक $δ > 0$ के लिए, मान लीजिए

C_{\delta }=\{A\in C:\operatorname {diam} (A)\leq \delta \}

और

\varphi _{\delta }(E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C_{\delta }{\biggr \}}.

स्पष्ट रुप से, $φ δ \geq φ δ'$ जब $δ \leq δ'$ क्योंकि $δ$ घटने पर न्यूनतम को एक छोटे वर्ग में ले लिया जाता है। इस प्रकार

\lim _{\delta \rightarrow 0}\varphi _{\delta }(E)=\varphi _{0}(E)\in [0,\infty ]

प्रस्तुत है (संभवतः अनंत)।

प्रमेय: $φ 0$ $X$ पर एक मीट्रिक बाहरी माप है।

यह वह निर्माण है जिसका उपयोग मीट्रिक समष्टि के लिए हॉसडॉर्फ़ माप की परिभाषा में किया जाता है।

यह भी देखें

आंतरिक माप

संदर्भ

Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2006). Infinite Dimensional Analysis (3rd ed.). Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag. ISBN 3-540-29586-0.
Carathéodory, C. (1968) [1918]. Vorlesungen über reelle Funktionen (in German) (3rd ed.). Chelsea Publishing. ISBN 978-0828400381.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (2015). Measure theory and fine properties of functions. Revised edition. pp. xiv+299. ISBN 978-1-4822-4238-6. {{cite book}}: |work= ignored (help)
Federer, H. (1996) [1969]. Geometric Measure Theory. Classics in Mathematics (1st ed reprint ed.). Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag. ISBN 978-3540606567.
Halmos, P. (1978) [1950]. Measure theory. Graduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag. ISBN 978-0387900889.
Munroe, M. E. (1953). Introduction to Measure and Integration (1st ed.). Addison Wesley. ISBN 978-1124042978.
Kolmogorov, A. N.; Fomin, S. V. (1970). Introductory Real Analysis. Richard A. Silverman transl. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-61226-0.

बाहरी संबंध

[1] Carathéodory 1968

[2] Aliprantis & Border 2006, pp. S379

[3] The original definition given above follows the widely cited texts of Federer and of Evans and Gariepy. Note that both of these books use non-standard terminology in defining a "measure" to be what is here called an "outer measure."

[1]

[2]

[3]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Mathematical function}}
-{{more footnotes|date=January 2013}}
+[[माप सिद्धांत]] के गणित क्षेत्र में, एक '''बाहरी माप''' या '''बाहरी माप''' कुछ अतिरिक्त तकनीकी स्थितियों को संतुष्ट करने वाले [[विस्तारित वास्तविक रेखा|विस्तारित वास्तविक]] संख्याओं में मूल्यों के साथ दिए गए [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] के सभी उपसमुच्चय पर परिभाषित एक फलन है। [[मापने योग्य सेट|मापने योग्य समुच्चय]] और गणनीय योगात्मक माप के सिद्धांत के लिए एक अमूर्त आधार प्रदान करने के लिए बाहरी माप के सिद्धांत को पहली बार कॉन्स्टेंटिन कैराथोडोरी द्वारा प्रस्तावित किया गया था।<ref>{{harvnb|Carathéodory|1968}}</ref><ref>{{harvnb|Aliprantis|Border|2006|pp=S379}}</ref> बाहरी मापों पर कैराथोडोरी के काम को माप-सैद्धांतिक समुच्चय सिद्धांत में कई अनुप्रयोग मिले (उदाहरण के लिए बाहरी मापों का उपयोग मौलिक कैराथोडोरी के विस्तार प्रमेय के प्रमाण में किया जाता है), और हॉसडॉर्फ द्वारा एक आवश्यक प्रकार से उपयोग किया गया था ताकि एक आयाम-जैसे मीट्रिक अपरिवर्तनीय को परिभाषित किया जा सके जिसे [[फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़|हॉसडॉर्फ़ आयाम]] कहा जाता है। बाहरी माप सामान्यतः [[ज्यामितीय माप सिद्धांत]] के क्षेत्र में उपयोग किए जाते हैं।
-[[माप सिद्धांत]] के गणित क्षेत्र में, एक बाहरी माप या बाहरी माप एक [[फ़ंक्शन (गणित)]] है जो किसी दिए गए [[सेट (गणित)]] के सभी उपसमुच्चय पर परिभाषित होता है, जिसमें कुछ अतिरिक्त तकनीकी स्थितियों को संतुष्ट करने वाली [[विस्तारित वास्तविक रेखा]] में मान होते हैं। [[मापने योग्य सेट]] और सिग्मा योगात्मक उपायों के सिद्धांत के लिए एक अमूर्त आधार प्रदान करने के लिए बाहरी उपायों के सिद्धांत को पहली बार कॉन्स्टेंटिन कैराथोडोरी द्वारा पेश किया गया था।<ref>{{harvnb|Carathéodory|1968}}</ref><ref>{{harvnb|Aliprantis|Border|2006|pp=S379}}</ref> बाहरी मापों पर कैराथोडोरी के काम को माप-सैद्धांतिक सेट सिद्धांत में कई अनुप्रयोग मिले (उदाहरण के लिए बाहरी मापों का उपयोग मौलिक कैराथोडोरी के विस्तार प्रमेय के प्रमाण में किया जाता है), और एक आयाम-जैसे मीट्रिक अपरिवर्तनीय को परिभाषित करने के लिए [[फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़]] द्वारा एक आवश्यक तरीके से उपयोग किया गया था। (गणित) को अब हॉसडॉर्फ आयाम कहा जाता है। बाहरी माप आमतौर पर [[ज्यामितीय माप सिद्धांत]] के क्षेत्र में उपयोग किए जाते हैं।
-माप लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन का सामान्यीकरण हैं, लेकिन अंतराल की तुलना में बहुत अधिक अमूर्त और अनियमित सेटों के लिए उपयोगी होते हैं <math>\mathbb{R}</math> या गेंदों में <math>\mathbb{R}^{3}</math>. कोई सामान्यीकृत मापन फ़ंक्शन को परिभाषित करने की अपेक्षा कर सकता है <math>\varphi</math> पर <math>\mathbb{R}</math> जो निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करता है:
+माप लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन का सामान्यीकरण हैं, लेकिन <math>\mathbb{R}</math> में अंतराल या <math>\mathbb{R}^{3}</math>में गेंदों की तुलना में बहुत अधिक अमूर्त और अनियमित समुच्चयों के लिए उपयोगी होते हैं। कोई <math>\mathbb{R}</math> पर एक सामान्यीकृत मापन फलन <math>\varphi</math> को परिभाषित करने की अपेक्षा कर सकता है जो निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करता है:
-#वास्तविकता का कोई अंतराल <math>[a,b]</math> माप है <math>b-a</math>
+#वास्तविकता के किसी भी अंतराल <math>[a,b]</math> का माप <math>b-a</math> होता हैं।
-# मापने का कार्य <math>\varphi</math> के सभी उपसमूहों के लिए परिभाषित एक गैर-नकारात्मक विस्तारित वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है <math>\mathbb{R}</math>.
+# मापने का फलन <math>\varphi</math> एक गैर-नकारात्मक विस्तारित वास्तविक-मूल्य वाला फलन है जो <math>\mathbb{R}</math> के सभी उपससमुच्चय के लिए परिभाषित हैं।
-# अनुवाद अपरिवर्तनीयता: किसी भी सेट के लिए <math>A</math> और कोई वास्तविक <math>x</math>, सेट <math>A</math> और <math>A+x=\{ a+x: a\in A\}</math> एक ही माप है
+# अनुवाद अपरिवर्तनीयता: किसी भी समुच्चय <math>A</math> और किसी वास्तविक <math>x</math> के लिए, समुच्चय <math>A</math> और <math>A+x=\{ a+x: a\in A\}</math> का माप समान हैं।
-# गणनीय संयोजकता: किसी भी [[अनुक्रम]] के लिए <math>(A_j)</math> जोड़ीवार [[असंयुक्त सेट]] का <math>\mathbb{R}</math>
+# गणनीय योज्यता: <math>\mathbb{R}</math> के युग्‍मानूसार [[असंयुक्त उपसमुच्चय]] के किसी [[अनुक्रम]] <math>(A_j)</math> के लिए हैं।
 ::<math> \varphi\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \varphi(A_i).</math>
-यह पता चला है कि ये आवश्यकताएँ असंगत स्थितियाँ हैं; [[गैर-मापने योग्य सेट]] देखें। के सभी उपसमूहों पर एक बाहरी माप के निर्माण का उद्देश्य <math>X</math> उपसमुच्चय का एक वर्ग (मापने योग्य कहा जाने वाला) इस प्रकार चुनना है ताकि गणनीय योगात्मकता गुण को संतुष्ट किया जा सके।
+यह पता चला है कि ये आवश्यकताएँ असंगत स्थितियाँ हैं; [[गैर-मापने योग्य सेट|गैर-मापने योग्य समुच्चय]] देखें। <math>X</math> के सभी उपसमुच्चय पर एक बाहरी माप के निर्माण का उद्देश्य उपसमुच्चय के एक वर्ग का चयन करना है (जिसे मापने योग्य कहा जा सकता है) ताकि गणनीय योगात्मकता गुण को संतुष्ट किया जा सके।
-==बाहरी उपाय==
+==बाहरी माप==
-एक सेट दिया गया <math>X,</math> होने देना <math>2^X</math> के [[ सत्ता स्थापित ]] को निरूपित करें <math>X,</math> [[खाली सेट]] सहित <math>\varnothing.</math> पर एक बाहरी माप <math>X</math> एक [[फ़ंक्शन सेट करें]] है
+एक समुच्चय <math>X</math> को देखते हुए, मान लीजिए कि <math>2^X</math> रिक्त समुच्चय <math>\varnothing</math> सहित, <math>X</math>के सभी उपसमुच्चयों के संग्रह को दर्शाता है। <math>X</math> पर एक '''बाहरी माप''' एक [[फ़ंक्शन सेट करें|समुच्चय फलन]] है।
 <math display=block>\mu: 2^X \to [0, \infty]</math>
 ऐसा है कि
-* {{em|null empty set}}: <math>\mu(\varnothing) = 0</math>
+* {{em|शून्य रिक्त समुच्चय}}: <math>\mu(\varnothing) = 0</math>
-* {{em|countably subadditive}}: मनमाने उपसमुच्चय के लिए <math>A, B_1, B_2, \ldots</math> का <math>X,</math><math display=block>\text{if } A \subseteq \bigcup_{j=1}^\infty B_j \text{ then } \mu(A) \leq \sum_{j=1}^\infty \mu(B_j).</math>
+* {{em|गणनीय रूप से उपयोगात्मक}}: <math>X</math> के स्वेच्छाचारी उपसमुच्चय <math>A, B_1, B_2, \ldots</math> के लिए                                                                                                                          <math display="block">\text{if } A \subseteq \bigcup_{j=1}^\infty B_j \text{ तब } \mu(A) \leq \sum_{j=1}^\infty \mu(B_j).</math>
-ध्यान दें कि इस परिभाषा में अनंत योग के बारे में कोई सूक्ष्मता नहीं है। चूँकि सभी सारांशों को गैर-ऋणात्मक माना जाता है, आंशिक योगों का क्रम केवल बिना किसी सीमा के बढ़ते हुए ही भिन्न हो सकता है। अतः परिभाषा में दिखाई देने वाला अनंत योग हमेशा एक अच्छी तरह से परिभाषित तत्व होगा <math>[0, \infty].</math> यदि, इसके बजाय, किसी बाहरी माप को नकारात्मक मान लेने की अनुमति दी जाती है, तो गैर-अभिसरण अनंत रकम की संभावना को ध्यान में रखते हुए इसकी परिभाषा को संशोधित करना होगा।
+ध्यान दें कि इस परिभाषा में अनंत योग के बारे में कोई सूक्ष्मता नहीं है। सभी सारांशों को गैर-ऋणात्मक माना जाता है, आंशिक योगों का क्रम केवल बिना किसी सीमा के बढ़ते हुए ही भिन्न हो सकता है। अतः परिभाषा में दिखाई देने वाला अनंत योग हमेशा <math>[0, \infty]</math> का एक अच्छी तरह से परिभाषित अवयव होता है। यदि, इसके बदले, किसी बाहरी माप को नकारात्मक मान लेने की अनुमति दी जाती है, तो गैर-अभिसरण अनंत योग की संभावना को ध्यान में रखते हुए इसकी परिभाषा को संशोधित करता है।
-एक वैकल्पिक और समकक्ष परिभाषा.<ref>The original definition given above follows the widely cited texts of Federer and of Evans and Gariepy. Note that both of these books use non-standard terminology in defining a "measure" to be what is here called an "outer measure."</ref> कुछ पाठ्यपुस्तकें, जैसे हेल्मोस (1950), इसके बजाय एक बाहरी माप को परिभाषित करती हैं <math>X</math> एक समारोह होना <math>\mu: 2^X \to [0, \infty]</math> ऐसा है कि
+'''एक वैकल्पिक और समकक्ष परिभाषा:'''<ref>The original definition given above follows the widely cited texts of Federer and of Evans and Gariepy. Note that both of these books use non-standard terminology in defining a "measure" to be what is here called an "outer measure."</ref> कुछ पाठ्यपुस्तकें, जैसे हेल्मोस (1950), इसके बदले <math>X</math> पर एक बाहरी माप को एक फलन <math>\mu: 2^X \to [0, \infty]</math> के रूप में परिभाषित करती हैं जैसे कि
-* {{em|null empty set}}: <math>\mu(\varnothing) = 0</math>
+* {{em|शून्य रिक्त समुच्चय}}: <math>\mu(\varnothing) = 0</math>
-* {{em|monotone}}: अगर <math>A</math> और <math>B</math> के उपसमुच्चय हैं <math>X</math> साथ <math>A \subseteq B,</math> तब <math>\mu(A) \leq \mu(B)</math>
+* {{em|एकदिष्ट}}: अगर <math>A</math> और <math>B</math>, <math>A \subseteq B</math> के साथ <math>X</math> के उपसमुच्चय हैं, तो <math>\mu(A) \leq \mu(B)</math>
-* मनमाने उपसमुच्चय के लिए <math>B_1, B_2, \ldots</math> का <math>X,</math><math display=block>\mu\left(\bigcup_{j=1}^\infty B_j\right) \leq \sum_{j=1}^\infty \mu(B_j).</math>
+* <math>X</math> के स्वेच्छाचारी उपसमुच्चय <math>B_1, B_2, \ldots</math> के लिए <math display="block">\mu\left(\bigcup_{j=1}^\infty B_j\right) \leq \sum_{j=1}^\infty \mu(B_j).</math>
 {| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
 | '''Proof of equivalence.'''
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 |}
+==बाहरी माप के सापेक्ष समुच्चय की मापनीयता==
+मान लीजिए कि <math>X</math> बाहरी माप <math>\mu</math> वाला एक समुच्चय है। एक का कहना है कि <math>X</math> का एक उपसमुच्चय <math>E</math>, <math>\mu</math>-'''मापने योग्य''' है (कभी-कभी इसे गणितज्ञ कैराथोडोरी के बाद <math>\mu</math> के सापेक्ष '''कैराथोडोरी-मापने योग्य''' भी कहा जाता है) यदि और केवल यदि
+<math display=block>\mu(A) = \mu(A \cap E) + \mu(A \setminus E)</math>
+<math>X</math> के प्रत्येक उपसमुच्चय <math>A</math> के लिए है।
-==बाहरी माप के सापेक्ष सेट की मापनीयता==
+अनौपचारिक रूप से, यह कहता है कि <math>\mu</math>-मापने योग्य उपसमुच्चय वह है जिसका उपयोग बिल्डिंग ब्लॉक के रूप में किया जा सकता है, किसी अन्य उपसमुच्चय को टुकड़ों में तोड़ना (अर्थात्, वह टुकड़ा जो मापने योग्य समुच्चय के अंदर है और वह टुकड़ा जो मापने योग्य समुच्चय के बाहर है)। माप सिद्धांत की प्रेरणा के संदर्भ में, कोई यह अपेक्षा करेगा कि [[क्षेत्र]], उदाहरण के लिए, समतल पर एक बाहरी माप होना चाहिए। तब कोई उम्मीद कर सकता है कि अपेक्षित सिद्धांत का पालन करते हुए समतल के प्रत्येक उपसमूह को "मापन योग्य" माना जाएगा
-होने देना <math>X</math> बाहरी माप के साथ एक सेट बनें <math>\mu.</math> एक कहता है कि एक उपसमुच्चय <math>E</math> का <math>X</math> है<math>\mu</math>-मापने योग्य (कभी-कभी कैराथोडोरी-मापनीय सेट कहा जाता है|कैराथोडोरी-मापनीय के सापेक्ष <math>\mu,</math>[[गणितज्ञ]] कैराथोडोरी के बाद) यदि और केवल यदि
+<math display="block">\operatorname{area}(A \cup B) = \operatorname{area}(A) + \operatorname{area}(B)</math>
-<math display=block>\mu(A) = \mu(A \cap E) + \mu(A \setminus E)</math>
+जब भी <math>A</math> और <math>B</math> समतल के असंयुक्त उपसमुच्चय हैं। हालाँकि, सिद्धांत के औपचारिक तार्किक विकास से पता चलता है कि स्थिति अधिक जटिल है। विकल्प के स्वयंसिद्ध का एक औपचारिक निहितार्थ यह है कि बाहरी माप के रूप में क्षेत्र की किसी भी परिभाषा के लिए जिसमें एक विशेष प्रकरण के रूप में एक आयत के क्षेत्र के लिए मानक सूत्र सम्मिलित है, समतल के उपसमुच्चय होने चाहिए जो मापने योग्य होने में विफल होते हैं। विशेष रूप से, उपरोक्त <nowiki>''अपेक्षित सिद्धांत''</nowiki> गलत है, बशर्ते कि कोई व्यक्ति पसंद के सिद्धांत को स्वीकार करता है।
-प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए <math>A</math> का <math>X.</math>
-अनौपचारिक रूप से, यह कहता है कि ए <math>\mu</math>-मापने योग्य उपसमुच्चय वह है जिसका उपयोग बिल्डिंग ब्लॉक के रूप में किया जा सकता है, जो किसी भी अन्य उपसमुच्चय को टुकड़ों में तोड़ देता है (अर्थात्, वह टुकड़ा जो मापने योग्य सेट के अंदर है और वह टुकड़ा जो मापने योग्य सेट के बाहर है)। माप सिद्धांत की प्रेरणा के संदर्भ में, कोई यह अपेक्षा करेगा कि [[क्षेत्र]], उदाहरण के लिए, समतल पर एक बाहरी माप होना चाहिए। तब कोई उम्मीद कर सकता है कि अपेक्षित सिद्धांत का पालन करते हुए विमान के प्रत्येक उपसमूह को मापने योग्य माना जाएगा
-<math display=block>\operatorname{area}(A \cup B) = \operatorname{area}(A) + \operatorname{area}(B)</math>
-जब कभी भी <math>A</math> और <math>B</math> समतल के असंयुक्त उपसमुच्चय हैं। हालाँकि, सिद्धांत के औपचारिक तार्किक विकास से पता चलता है कि स्थिति अधिक जटिल है। पसंद के स्वयंसिद्ध का एक औपचारिक निहितार्थ यह है कि बाहरी माप के रूप में क्षेत्र की किसी भी परिभाषा के लिए जिसमें एक विशेष मामले के रूप में एक आयत के क्षेत्र के लिए मानक सूत्र शामिल है, विमान के उपसमुच्चय होने चाहिए जो मापने योग्य होने में विफल होते हैं। विशेष रूप से, उपरोक्त अपेक्षित सिद्धांत गलत है, बशर्ते कि कोई व्यक्ति पसंद के सिद्धांत को स्वीकार करे।
-===बाहरी माप से संबद्ध माप स्थान===
+===बाहरी माप से संबद्ध माप समष्टि===
-की उपरोक्त परिभाषा का उपयोग करना सरल है <math>\mu</math>-उसे देखने की मापनीयता
+इसे देखने के लिए <math>\mu</math>-मापने योग्यता की उपरोक्त परिभाषा का उपयोग करना स्पष्ट है
-* अगर <math>A \subseteq X</math> है <math>\mu</math>-मापने योग्य तो इसका [[पूरक (सेट सिद्धांत)]] <math>X \setminus A \subseteq X</math> ई आल्सो <math>\mu</math>-मापने योग्य.
+* अगर <math>A \subseteq X</math> <math>\mu</math>-मापने योग्य है तो इसका [[पूरक (सेट सिद्धांत)|पूरक]] <math>X \setminus A \subseteq X</math> भी <math>\mu</math>-मापने योग्य है।
-निम्नलिखित स्थिति को गणनीय सिग्मा योगात्मकता के रूप में जाना जाता है <math>\mu</math> मापने योग्य उपसमुच्चय पर.
+निम्नलिखित स्थिति को "मापने योग्य उपसमुच्चय पर <math>\mu</math> की गणनीय योगात्मकता<nowiki>''</nowiki> के रूप में जाना जाता है।
-* अगर <math>A_1, A_2, \ldots</math> हैं <math>\mu</math>-के मापने योग्य उपसमुच्चय <math>X</math> और <math>A_i \cap A_j</math> जब भी खाली होता है <math>i \neq j,</math> तो किसी के पास है <math display=block>\mu\Big(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\Big) = \sum_{j=1}^\infty\mu(A_j).</math>
+* अगर <math>A_1, A_2, \ldots</math>  <math>X</math> और <math>A_i \cap A_j</math> के <math>\mu</math>- मापने योग्य उपसमुच्चय हैं, जब भी <math>i \neq j</math> रिक्त होता है, तो एक के पास है<math display="block">\mu\Big(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\Big) = \sum_{j=1}^\infty\mu(A_j).</math>
-{| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
+{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" role="presentation"
 | '''Proof of countable additivity.'''
 |-
-|One automatically has the conclusion in the form "<math>\,\leq\,</math>" from the definition of outer measure. So it is only necessary to prove the "<math>\,\geq\,</math>" inequality. One has <math display=block>\mu\Big(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\Big)\geq\mu\Big(\bigcup_{j=1}^N A_j\Big)</math> for any positive number <math>N,</math> due to the second condition in the "alternative definition" of outer measure given above. Suppose (inductively) that <math display=block>\mu\Big(\bigcup_{j=1}^{N-1} A_j\Big)=\sum_{j=1}^{N-1}\mu(A_j)</math>
+|One automatically has the conclusion in the form "<math>\,\leq\,</math>" from the definition of outer measure. So it is only necessary to prove the "<math>\,\geq\,</math>" inequality. One has <math display="block">\mu\Big(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\Big)\geq\mu\Big(\bigcup_{j=1}^N A_j\Big)</math> for any positive number <math>N,</math> due to the second condition in the "alternative definition" of outer measure given above. Suppose (inductively) that <math display="block">\mu\Big(\bigcup_{j=1}^{N-1} A_j\Big)=\sum_{j=1}^{N-1}\mu(A_j)</math>
-Applying the above definition of <math>\mu</math>-measurability with <math>A = A_1 \cup \cdots \cup A_N</math> and with <math>E = A_N,</math> one has <math display=block>\begin{align}
+Applying the above definition of <math>\mu</math>-measurability with <math>A = A_1 \cup \cdots \cup A_N</math> and with <math>E = A_N,</math> one has <math display="block">\begin{align}
 \mu\Big(\bigcup_{j=1}^N A_j\Big) &= \mu\left(\Big(\bigcup_{j=1}^N A_j\Big)\cap A_N\right) + \mu\left(\Big(\bigcup_{j=1}^N A_j\Big)\smallsetminus A_N\right) \\
 &= \mu(A_N) + \mu\Big(\bigcup_{j=1}^{N-1}A_j\Big)
-\end{align}</math> which closes the induction. Going back to the first line of the proof, one then has <math display=block>\mu\Big(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\Big)\geq\sum_{j=1}^N \mu(A_j)</math> for any positive integer <math>N.</math> One can then send <math>N</math> to infinity to get the required "<math>\,\geq\,</math>" inequality.
+\end{align}</math> which closes the induction. Going back to the first line of the proof, one then has <math display="block">\mu\Big(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\Big)\geq\sum_{j=1}^N \mu(A_j)</math> for any positive integer <math>N.</math> One can then send <math>N</math> to infinity to get the required "<math>\,\geq\,</math>" inequality.
 |}
 एक समान प्रमाण से पता चलता है कि:
-* अगर <math>A_1, A_2, \ldots</math> हैं <math>\mu</math>-के मापने योग्य उपसमुच्चय <math>X,</math> फिर संघ <math>A_1 \cup A_2 \cup \cdots</math> और चौराहा <math>A_1 \cap A_2 \cap \cdots</math> भी हैं <math>\mu</math>-मापने योग्य.
+* अगर <math>A_1, A_2, \ldots</math> <math>X</math> के <math>\mu</math>- मापने योग्य उपसमुच्चय हैं, तो संघ <math>A_1 \cup A_2 \cup \cdots</math> और प्रतिच्छेदन <math>A_1 \cap A_2 \cap \cdots</math> भी <math>\mu</math>-मापने योग्य है।
 यहां दिए गए गुणों को निम्नलिखित शब्दावली द्वारा संक्षेपित किया जा सकता है:
-{{quote|Given any outer measure <math>\mu</math> on a set <math>X,</math> the collection of all <math>\mu</math>-measurable subsets of <math>X</math> is a [[σ-algebra]]. The restriction of <math>\mu</math> to this <math>\sigma</math>-algebra is a measure.}}
+{{quote|किसी समुच्चय  <math>X,</math> पर किसी भी बाहरी माप <math>\mu</math> को देखते हुए, <math>X</math> के सभी <math>\mu</math>-मापने योग्य उपसमुच्चय का संग्रह एक [[σ-बीजगणित]] है। इस <math>\sigma</math>-बीजगणित में <math>\mu</math> का प्रतिबंध एक माप है।}}
-इस प्रकार एक पर माप स्थान संरचना होती है <math>X,</math> किसी बाहरी माप के विनिर्देशन से स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होना <math>X.</math> इस माप स्थान में पूर्ण माप की अतिरिक्त संपत्ति है, जो निम्नलिखित कथन में निहित है:
-* प्रत्येक उपसमुच्चय <math>A \subseteq X</math> ऐसा है कि <math>\mu(A) = 0</math> है <math>\mu</math>-मापने योग्य.
-बाहरी माप की वैकल्पिक परिभाषा में दूसरी संपत्ति का उपयोग करके इसे साबित करना आसान है।
-==बाहरी माप का प्रतिबंध और आगे बढ़ना==
+इस प्रकार <math>X</math> पर एक माप समष्टि संरचना होती है, जो स्वाभाविक रूप से <math>X</math> पर एक बाहरी माप के विनिर्देश से उत्पन्न होती है। इस माप समष्टि में पूर्णता का अतिरिक्त गुण है, जो निम्नलिखित कथन में निहित है:
-होने देना <math>\mu</math> सेट पर एक बाहरी उपाय बनें <math>X </math>.
+* प्रत्येक उपसमुच्चय <math>A \subseteq X</math> ऐसा है कि <math>\mu(A) = 0</math>  <math>\mu</math>-मापने योग्य है।
+बाहरी माप की "वैकल्पिक परिभाषा" में दूसरी गुण का उपयोग करके इसे सिद्ध करना सरल है।
+==बाहरी माप पर प्रतिबंध लगाना और आगे बढ़ना==
+मान लीजिए <math>\mu</math> समुच्चय <math>X </math> पर एक बाहरी माप है।
 ===पुशफॉरवर्ड===
-एक और सेट दिया गया <math>Y</math> और एक नक्शा <math>f:X\to Y </math> परिभाषित करना <math>f_\sharp \mu : 2^Y \to [0, \infty]</math> द्वारा
+एक और समुच्चय <math>Y</math> और एक मानचित्र <math>f:X\to Y </math> दिया गया है जो <math>f_\sharp \mu : 2^Y \to [0, \infty]</math> द्वारा परिभाषित करता है
 :<math>\big(f_\sharp\mu\big)(A)=\mu\big(f^{-1}(A)\big).</math>
-कोई भी इसकी परिभाषाओं से सीधे पुष्टि कर सकता है <math>f_\sharp \mu</math> पर एक बाहरी माप है <math>Y</math>.
+कोई भी परिभाषाओं से सीधे सत्यापित कर सकता है कि <math>f_\sharp \mu</math> <math>Y</math> पर एक बाहरी माप है।
 ===प्रतिबंध===
-होने देना {{mvar|B}} का एक उपसमुच्चय बनें {{mvar|X}}. परिभाषित करना {{math|''μ''<sub>''B''</sub> : 2<sup>''X''</sup>→[0,∞]}} द्वारा
+होने देना {{mvar|B}}, {{mvar|X}} का उपसमुच्चय है। {{math|''μ''<sub>''B''</sub> : 2<sup>''X''</sup>→[0,∞]}} को परिभाषित करें
 :<math>\mu_B(A)=\mu(A\cap B).</math>
-कोई भी सीधे परिभाषाओं से इसकी जांच कर सकता है {{math|''μ''<sub>''B''</sub>}} एक और बाहरी माप है {{mvar|X}}.
+कोई सीधे परिभाषाओं से जांच सकता है कि {{math|''μ''<sub>''B''</sub>}} {{mvar|X}} पर एक और बाहरी माप है।
-===पुशफॉरवर्ड या प्रतिबंध के सापेक्ष सेट की मापनीयता===
+===पुशफॉरवर्ड या प्रतिबंध के सापेक्ष समुच्चय की मापनीयता===
-यदि एक उपसमुच्चय {{mvar|A}} का {{mvar|X}} है {{math|''μ''}}-मापने योग्य, तो यह भी है {{math|''μ''<sub>''B''</sub>}}-किसी भी उपसमुच्चय के लिए मापने योग्य {{mvar|B}} का {{mvar|X}}.
+यदि {{mvar|X}} का उपसमुच्चय {{mvar|A}} {{math|''μ''}}-मापने योग्य है, तो यह {{mvar|X}} के किसी उपसमुच्चय {{mvar|B}} के लिए भी {{math|''μ''<sub>''B''</sub>}}-मापने योग्य है।
-एक नक्शा दिया {{math|''f'' : ''X''→''Y''}} और एक उपसमुच्चय {{mvar|A}} का {{mvar|Y}}, अगर {{math|''f''<sup> −1</sup>(''A'')}} है {{math|''μ''}}-तब मापने योग्य {{mvar|A}} है {{math|''f''<sub>#</sub> ''μ''}}-मापने योग्य. आम तौर पर अधिक, {{math|''f''<sup> −1</sup>(''A'')}} है {{math|''μ''}}-मापने योग्य यदि और केवल यदि {{mvar|A}} है {{math|''f''<sub>#</sub> (''μ''<sub>''B''</sub>)}}-प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए मापने योग्य {{mvar|B}} का {{mvar|X}}.
+एक मानचित्र  {{math|''f'' : ''X''→''Y''}} और {{mvar|Y}} का एक उपसमुच्चय {{mvar|A}} दिया गया है, अगर {{math|''f''<sup> −1</sup>(''A'')}} {{math|''μ''}}-मापने योग्य है तो {{mvar|A}} {{math|''f''<sub>#</sub> ''μ''}}-मापने योग्य है। अधिक सामान्यतः, {{math|''f''<sup> −1</sup>(''A'')}} {{math|''μ''}}-मापने योग्य है यदि और केवल यदि {{mvar|A}}, {{mvar|X}} के प्रत्येक उपसमुच्चय {{mvar|B}} के लिए {{math|''f''<sub>#</sub> (''μ''<sub>''B''</sub>)}}-मापने योग्य है।
-==नियमित बाहरी उपाय==
+==नियमित बाहरी माप==
 ===नियमित बाहरी माप की परिभाषा===
-एक सेट दिया गया {{mvar|X}}, एक बाहरी माप {{math|''μ''}} पर {{mvar|X}} को नियमित कहा जाता है यदि किसी उपसमुच्चय का अनुमान 'बाहर से' लगाया जा सकता है {{math|''μ''}}-मापने योग्य सेट। औपचारिक रूप से, इसके लिए निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से किसी एक की आवश्यकता होती है:
+एक समुच्चय {{mvar|X}} को देखते हुए, {{mvar|X}} पर एक बाहरी माप {{math|''μ''}} को '''नियमित''' कहा जाता है यदि किसी उपसमुच्चय को {{math|''μ''}}-मापने योग्य समुच्च द्वारा 'बाहर से' अनुमानित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, इसके लिए निम्नलिखित समतुल्य प्रतिबंध में से किसी एक की आवश्यकता होती है:
-* किसी भी उपसमुच्चय के लिए {{mvar|A}} का {{mvar|X}} और कोई भी सकारात्मक संख्या {{mvar|ε}}, वहाँ एक मौजूद है {{math|''μ''}}-मापने योग्य उपसमुच्चय {{mvar|B}} का {{mvar|X}} जिसमें है {{mvar|A}} और साथ {{math|''μ''(''B'') < ''μ''(''A'') + ε}}.
+* {{mvar|X}} के किसी भी उपसमुच्चय {{mvar|A}} और किसी धनात्मक संख्या {{mvar|ε}} के लिए, {{mvar|X}} का एक {{math|''μ''}}-मापने योग्य उपसमुच्चय {{mvar|B}} उपस्थित होता है जिसमें {{mvar|A}} और {{math|''μ''(''B'') < ''μ''(''A'') + ε}} होता है।
-* किसी भी उपसमुच्चय के लिए {{mvar|A}} का {{mvar|X}}, वहाँ एक मौजूद है {{math|''μ''}}-मापने योग्य उपसमुच्चय {{mvar|B}} का {{mvar|X}} जिसमें है {{mvar|A}} और ऐसा कि {{math|''μ''(''B'') {{=}} ''μ''(''A'')}}.
+* {{mvar|X}} के किसी भी उपसमुच्चय {{mvar|A}} के लिए, {{mvar|X}} का एक {{math|''μ''}}-मापने योग्य उपसमुच्चय {{mvar|B}} उपस्थित है जिसमें {{mvar|A}} सम्मिलित है और ऐसा कि {{math|''μ''(''B'') {{=}} ''μ''(''A'')}} है।
 यह स्वचालित है कि दूसरी स्थिति पहली का तात्पर्य करती है; पहला उपसमुच्चय के न्यूनतम अनुक्रम के प्रतिच्छेदन पर विचार करके दूसरे का तात्पर्य करता है।
-===किसी बाहरी माप से संबद्ध नियमित बाहरी माप===
+===बाहरी माप से संबद्ध नियमित बाहरी माप===
-एक बाहरी माप दिया गया {{math|''μ''}} एक सेट पर {{mvar|X}}, परिभाषित करना {{math|''ν'' : 2<sup>''X''</sup>→[0,∞]}} द्वारा
+एक समुच्चय {{mvar|X}} पर एक बाहरी माप {{math|''μ''}} दिया गया है, {{math|''ν'' : 2<sup>''X''</sup>→[0,∞]}} को परिभाषित करें
 :<math>\nu(A)=\inf\Big\{\mu(B):\mu\text{-measurable subsets }B\subset X\text{ with }B\supset A\Big\}.</math>
-तब {{math|''ν''}} एक नियमित बाहरी माप है {{mvar|X}} जो समान माप निर्दिष्ट करता है {{math|''μ''}} सेवा में, सभी ग् {{math|''μ''}}-मापनयोग्य उपसमुच्चय {{mvar|X}}. प्रत्येक {{math|''μ''}}-मापने योग्य उपसमुच्चय भी है {{math|''ν''}}-मापने योग्य, और प्रत्येक {{math|''ν''}}-परिमित का मापने योग्य उपसमुच्चय {{math|''ν''}}-माप भी है {{math|''μ''}}-मापने योग्य.
+तब {{math|''ν''}} {{mvar|X}} पर एक नियमित बाहरी माप है जो {{mvar|X}} के सभी {{math|''μ''}}-मापने योग्य उपसमुच्चय को {{math|''μ''}} के समान माप प्रदान करता है। प्रत्येक {{math|''μ''}}-मापने योग्य उपसमुच्चय भी {{math|''ν''}}-मापने योग्य है, और परिमित {{math|''ν''}}-माप का प्रत्येक {{math|''ν''}}-मापने योग्य उपसमुच्चय भी {{math|''μ''}}-मापने योग्य है।
-तो माप क्षेत्र से संबंधित {{math|''ν''}} में संबंधित माप स्थान की तुलना में बड़ा σ-बीजगणित हो सकता है {{math|''μ''}}. के प्रतिबंध {{math|''ν''}} और {{math|''μ''}} छोटे σ-बीजगणित के समान हैं। बड़े σ-बीजगणित के तत्व जो छोटे σ-बीजगणित में शामिल नहीं हैं, अनंत हैं {{math|''ν''}}-माप और परिमित {{math|''μ''}}-उपाय।
+तो {{math|''ν''}} से संबंधित माप क्षेत्र में {{math|''μ''}} से संबंधित माप स्थान की तुलना में बड़ा σ-बीजगणित हो सकता है। लघुतर σ-बीजगणित के लिए {{math|''ν''}} और {{math|''μ''}} के प्रतिबंध समान हैं। बड़े σ-बीजगणित के अवयव जो छोटे σ-बीजगणित में सम्मिलित नहीं हैं, उनमें अनंत {{math|''ν''}}-माप और परिमित {{math|''μ''}}-माप होता है।
-इस नजरिए से, {{math|''ν''}} का विस्तार माना जा सकता है {{math|''μ''}}.
+इस दृष्टिकोण से, {{math|''ν''}} को {{math|''μ''}} का विस्तार माना जा सकता है।
 == बाहरी माप और टोपोलॉजी ==
-कल्पना करना {{math|(X, d)}} एक [[मीट्रिक स्थान]] है और {{math|φ}} एक बाहरी माप पर {{math|X}}. अगर {{math|φ}} के पास वह संपत्ति है
+मान लीजिए {{math|(X, d)}} एक [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक माप]] है और {{math|φ}} {{math|X}} पर एक बाहरी माप है। यदि {{math|φ}} में वह गुण है
 :<math> \varphi(E \cup F) = \varphi(E) + \varphi(F)</math>
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 तब {{math|φ}} को [[मीट्रिक बाहरी माप]] कहा जाता है।
-प्रमेय. अगर {{math|φ}} एक मीट्रिक बाहरी माप है {{math|X}}, फिर प्रत्येक बोरेल उपसमुच्चय {{math|X}} है {{math|φ}}-मापने योग्य. ([[बोरेल बीजगणित]]) {{math|X}} सबसे छोटे के तत्व हैं {{math|σ}}-खुले सेटों द्वारा उत्पन्न बीजगणित।)
+प्रमेय: अगर {{math|φ}} {{math|X}} पर एक मीट्रिक बाहरी माप है, तो {{math|X}} का प्रत्येक बोरेल उपसमुच्चय {{math|φ}}-मापने योग्य है। ({{math|X}} के बोरेल समुच्चय द्वारा उत्पन्न सबसे छोटे {{math|σ}}-बीजगणित के अवयव है।)
 ==बाहरी मापों का निर्माण==
-{{See also|Valuation (measure theory)}}
+{{See also|मूल्यांकन (माप सिद्धांत)}}
-किसी सेट पर बाहरी माप बनाने की कई प्रक्रियाएँ हैं। नीचे दिया गया क्लासिक मुनरो संदर्भ दो विशेष रूप से उपयोगी का वर्णन करता है जिन्हें विधि I और विधि II कहा जाता है।
+किसी समुच्चय पर बाहरी माप बनाने की कई प्रक्रियाएँ हैं। नीचे दिया गया उत्कृष्ट मुनरो संदर्भ दो विशेष रूप से उपयोगी का वर्णन करता है जिन्हें '''विधि I''' और '''विधि II''' कहा जाता है।
 === विधि I ===
-होने देना {{math|X}} एक सेट हो, {{math|C}} के उपसमुच्चय का एक परिवार {{math|X}} जिसमें खाली सेट है और {{math|p}} एक गैर-नकारात्मक विस्तारित वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन {{math|C}} जो खाली सेट पर गायब हो जाता है।
+मान लीजिए कि {{math|X}} एक समुच्चय है, {{math|C}}, {{math|X}} के उपसमुच्चय का एक वर्ग है जिसमें रिक्त समुच्चय होता है और {{math|p}}, {{math|C}} पर एक गैर-नकारात्मक विस्तारित वास्तविक मूल्य वाला फलन है जो रिक्त समुच्चय पर लुप्त हो जाता है।
-प्रमेय. मान लीजिए परिवार {{math|C}} और फ़ंक्शन {{math|p}} उपरोक्तानुसार हैं और परिभाषित करते हैं
+प्रमेय: मान लीजिए कि वर्ग {{math|C}} और फलन {{math|p}} ऊपर बताए अनुसार परिभाषित करते हैं
 :<math> \varphi(E) = \inf \biggl\{ \sum_{i=0}^\infty p(A_i)\,\bigg|\,E\subseteq\bigcup_{i=0}^\infty A_i,\forall i\in\mathbb N , A_i\in C\biggr\}.</math>
-अर्थात्, अनंत सभी अनुक्रमों पर फैला हुआ है {{math|{A<sub>i</sub>} }} के तत्वों का {{math|C}} जो कवर करता है {{math|E}}, इस परंपरा के साथ कि यदि ऐसा कोई अनुक्रम मौजूद नहीं है तो अनंत अनंत है। तब {{math|φ}} एक बाहरी माप है {{math|X}}.
+अर्थात्, इन्फ़िमम {{math|C}} के अवयव के सभी अनुक्रमों {{math|{A<sub>i</sub>} }}पर विस्तारित होता है जो {{math|E}} को आच्छादित करते हैं, इस सम्मेलन के साथ कि यदि ऐसा कोई अनुक्रम उपस्थित नहीं है तो इन्फ़िमम अनंत है। तब {{math|φ}} {{math|X}} पर एक बाहरी माप है।
 === विधि II ===
-दूसरी तकनीक मीट्रिक स्थानों पर बाहरी मापों के निर्माण के लिए अधिक उपयुक्त है, क्योंकि इससे मीट्रिक बाहरी माप प्राप्त होते हैं। कल्पना करना {{math|(X, d)}} एक मीट्रिक स्थान है. ऊपरोक्त अनुसार {{math|C}} के उपसमुच्चय का एक परिवार है {{math|X}} जिसमें खाली सेट है और {{math|p}} एक गैर-नकारात्मक विस्तारित वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन {{math|C}} जो खाली सेट पर गायब हो जाता है। प्रत्येक के लिए {{math|δ > 0}}, होने देना
+दूसरी तकनीक मीट्रिक समष्टि पर बाहरी मापों के निर्माण के लिए अधिक उपयुक्त है, क्योंकि इससे मीट्रिक बाहरी माप प्राप्त होते हैं। मान लीजिए {{math|(X, d)}} एक मीट्रिक समष्टि है। जैसा कि ऊपर बताया गया है कि {{math|C}}, {{math|X}} के उपसमुच्चय का एक वर्ग है जिसमें रिक्त समुच्चय और {{math|p}} एक गैर-नकारात्मक विस्तारित वास्तविक मूल्यवान फलन है जो {{math|C}} पर है जो रिक्त समुच्चय पर लुप्त हो जाता है। प्रत्येक {{math|δ > 0}} के लिए, मान लीजिए
 :<math>C_\delta= \{A \in C: \operatorname{diam}(A) \leq \delta\} </math>
@@ Line 135: / Line 135: @@
 :<math> \varphi_\delta(E) = \inf \biggl\{ \sum_{i=0}^\infty p(A_i)\,\bigg|\,E\subseteq\bigcup_{i=0}^\infty A_i,\forall i\in\mathbb N , A_i\in C_\delta\biggr\}.</math>
-ज़ाहिर तौर से, {{math|φ<sub>δ</sub> ≥ φ<sub>δ'</sub>}} कब {{math|δ ≤ δ'}} चूंकि इन्फ़िमम को एक छोटे वर्ग के रूप में लिया जाता है {{math|δ}} घट जाती है. इस प्रकार
+स्पष्ट रुप से, {{math|φ<sub>δ</sub> ≥ φ<sub>δ'</sub>}} जब {{math|δ ≤ δ'}} क्योंकि {{math|δ}} घटने पर न्यूनतम को एक छोटे वर्ग में ले लिया जाता है। इस प्रकार
 :<math> \lim_{\delta \rightarrow 0} \varphi_\delta(E) = \varphi_0(E) \in [0, \infty]</math>
-मौजूद है (संभवतः अनंत)।
+प्रस्तुत है (संभवतः अनंत)।
-प्रमेय. {{math|φ<sub>0</sub>}} एक मीट्रिक बाहरी माप है {{math|X}}.
+प्रमेय: {{math|φ<sub>0</sub>}} {{math|X}} पर एक मीट्रिक बाहरी माप है।
-यह वह निर्माण है जिसका उपयोग मीट्रिक स्थान के लिए हॉसडॉर्फ़ माप की परिभाषा में किया जाता है।
+यह वह निर्माण है जिसका उपयोग मीट्रिक समष्टि के लिए हॉसडॉर्फ़ माप की परिभाषा में किया जाता है।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 149: / Line 149: @@
 == टिप्पणियाँ ==
 {{reflist}}
 == संदर्भ ==

v t e Measure theory
Basic concepts	Absolute continuity Lebesgue integration L^p spaces Measure Measure space Probability space Measurable space/function
Sets	Almost everywhere Baire set Borel set Carathéodory's criterion Convergence in measure 𝜆-system Essential range infimum/supremum Locally measurable [[Pi-system\| $π$ -system]] σ-algebra Non-measurable set Vitali set Null set Support Transverse measure
Types of Measures	Baire Banach Besov Borel Complex Complete Content (Logarithmically) Convex Discrete Finite Inner (Quasi-) Invariant Locally finite Maximising Metric outer Outer Perfect Pre-measure (Sub-) Probability Projection-valued Radon Random Regular Borel regular Inner regular Outer regular Saturated Set function σ-finite s-finite Signed Singular Spectral Strictly positive Tight Vector
Particular measures	Counting Dirac Euler Gaussian Haar Harmonic Hausdorff Intensity Lebesgue Logarithmic Product Pushforward Spherical measure Tangent Trivial Young
Main results	Carathéodory's extension theorem Convergence theorems Dominated Monotone Vitali Decomposition theorems Hahn Jordan Maharam's Egorov's Fatou's lemma Fubini's Fubini–Tonelli Hölder's inequality Minkowski inequality Radon–Nikodym Riesz–Markov–Kakutani representation theorem
Other results	Disintegration theorem Lifting theory Lebesgue's density theorem Lebesgue differentiation theorem Sard's theorem
Applications & related	Probability theory Real analysis Spectral theory

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