अल्ट्राफ़िल्टर: Difference between revisions

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{{About|the mathematical concept in [[order theory]]|ultrafilters on [[Set (mathematics)|sets]] specifically|Ultrafilter (set theory)|the physical device|ultrafiltration}}
{{About|[[अनुक्रम सिद्धांत]] में गणितीय अवधारणा|[[समूह (गणित)|समूह]] पर विशेष रूप से अल्ट्राफिल्टर|अल्ट्राफिल्टर (समूह सिद्धांत)|भौतिक उपकरण|अल्ट्राफिल्ट्रेशन}}
[[File:Filter vs ultrafilter_210div.svg|thumb|210 के [[भाजक]] का हैस आरेख, संबंध द्वारा क्रमबद्ध भाजक है, [[ऊपरी सेट]] ↑14 गहरे हरे रंग के साथ। यह है एक {{em|principal filter}}, लेकिन नहीं {{em|ultrafilter}}, क्योंकि इसे हल्के हरे रंग के तत्वों को शामिल करके बड़े गैर-तुच्छ फिल्टर ↑2 तक बढ़ाया जा सकता है। चूँकि ↑2 को और आगे नहीं बढ़ाया जा सकता, यह एक अल्ट्राफिल्टर है।]]ऑर्डर सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, किसी दिए गए आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट (या पॉसेट) पर एक अल्ट्राफिल्टर <math>P</math> का एक निश्चित उपसमुच्चय है <math>P,</math> अर्थात् एक [[अधिकतम तत्व]] [[फ़िल्टर (गणित)]]। <math>P;</math> अर्थात्, एक [[उचित फ़िल्टर]] चालू <math>P</math> इसे एक बड़े उचित फ़िल्टर तक बढ़ाया नहीं जा सकता <math>P.</math>
[[File:Filter vs ultrafilter_210div.svg|thumb|210 के [[भाजक]] का हैस आरेख, संबंध द्वारा क्रमबद्ध भाजक है, [[ऊपरी सेट|ऊपरी समूह]] ↑14 गहरे हरे रंग के साथ। यह है एक {{em|principal filter}}, लेकिन नहीं {{em|ultrafilter}}, क्योंकि इसे हल्के हरे रंग के तत्वों को शामिल करके बड़े गैर-तुच्छ फिल्टर ↑2 तक बढ़ाया जा सकता है। चूँकि ↑2 को और आगे नहीं बढ़ाया जा सकता, यह एक अल्ट्राफिल्टर है।]]अनुक्रम सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, किसी दिए गए आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समूह (या पोसमूह) पर एक अल्ट्राफिल्टर <math>P</math> का एक निश्चित उपसमुच्चय है <math>P,</math> अर्थात् <math>P;</math>, एक [[उचित फ़िल्टर|उचित फिल्टर]] <math>P</math> इसे एक बड़े उचित फिल्टर तक बढ़ाया नहीं जा सकता <math>P.</math>
अगर <math>X</math> एक मनमाना समुच्चय है, इसकी शक्ति समुच्चय है <math>\wp(X),</math> सेट समावेशन द्वारा आदेशित, हमेशा एक [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] होता है और इसलिए एक पॉसेट, और अल्ट्राफिल्टर होता है <math>\wp(X)</math> आमतौर पर कहा जाता है {{em|[[Ultrafilter (set theory)|ultrafilter on the set]]}} <math>X</math>.<ref name="notation warning" group="note">If <math>X</math> happens to be partially ordered, too, particular care is needed to understand from the context whether an (ultra)filter on <math>\wp(X)</math> or an (ultra)filter just on <math>X</math> is meant; both kinds of (ultra)filters are quite different. Some authors{{cn|date=July 2016}} use "(ultra)filter ''of'' a partial ordered set" vs. "''on'' an arbitrary set"; i.e. they write "(ultra)filter on <math>X</math>" to abbreviate "(ultra)filter of <math>\wp(X)</math>".<!---guessed from a sentence in section "Types and existence of ultrafilters" which is now commented-out---></ref> सेट पर एक अल्ट्राफ़िल्टर <math>X</math> पर एक परिमित योगात्मक [[माप (गणित)]] के रूप में माना जा सकता है <math>X</math>. इस दृष्टि से, प्रत्येक उपसमुच्चय <math>X</math> या तो [[लगभग हर जगह]] माना जाता है (माप 1 है) या लगभग कुछ भी नहीं (माप 0 है), यह इस पर निर्भर करता है कि यह दिए गए अल्ट्राफिल्टर से संबंधित है या नहीं।{{cn|date=July 2016}}
यदि <math>X</math> एक मनमाना समुच्चय है, इसकी ऊर्जा समुच्चय है <math>\wp(X),</math> समूह समावेशन द्वारा अनुक्रमित, हमेशा एक [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] होता है और इसलिए एक पोसमूह, और अल्ट्राफिल्टर होता है <math>\wp(X)</math> सामान्यतः कहा जाता है <math>X</math>.<ref name="notation warning" group="note">If <math>X</math> happens to be partially ordered, too, particular care is needed to understand from the context whether an (ultra)filter on <math>\wp(X)</math> or an (ultra)filter just on <math>X</math> is meant; both kinds of (ultra)filters are quite different. Some authors{{cn|date=July 2016}} use "(ultra)filter ''of'' a partial ordered set" vs. "''on'' an arbitrary set"; i.e. they write "(ultra)filter on <math>X</math>" to abbreviate "(ultra)filter of <math>\wp(X)</math>".<!---guessed from a sentence in section "Types and existence of ultrafilters" which is now commented-out---></ref> समूह पर एक अल्ट्राफिल्टर <math>X</math> एक परिमित योगात्मक [[माप (गणित)]] के रूप में माना जा सकता है <math>X</math>. इस दृष्टि से, प्रत्येक उपसमुच्चय <math>X</math> या तो [[लगभग हर जगह|लगभग संपूर्ण]] माना जाता है (माप 1 है) या लगभग कुछ भी नहीं (माप 0 है), यह इस पर निर्भर करता है कि यह दिए गए अल्ट्राफिल्टर से संबंधित है या नहीं है।ka


सेट थ्योरी, [[ मॉडल सिद्धांत ]], [[टोपोलॉजी]] में अल्ट्राफिल्टर के कई अनुप्रयोग हैं<ref name="Davey.Priestley.1990">{{cite book|first1= B. A.|last1= Davey|first2= H. A.|last2= Priestley|title= लैटिस और ऑर्डर का परिचय|title-link= लैटिस और ऑर्डर का परिचय|publisher= Cambridge University Press|year= 1990|series= Cambridge Mathematical Textbooks}}</ref>{{rp|186}} और कॉम्बिनेटरिक्स।<ref>{{Cite journal|last=Goldbring|first=Isaac|date=2021|others=Marta Maggioni, Sophia Jahns|title=कॉम्बिनेटरिक्स में अल्ट्राफिल्टर विधियाँ|url=http://publications.mfo.de/handle/mfo/3870|journal=Snapshots of Modern Mathematics from Oberwolfach |language=en|doi=10.14760/SNAP-2021-006-EN}}</ref>
समूह सिद्धांत, [[ मॉडल सिद्धांत |नमूना सिद्धांत]], [[टोपोलॉजी|सांस्थिति]] में अल्ट्राफिल्टर के कई अनुप्रयोग होते है।<ref name="Davey.Priestley.1990">{{cite book|first1= B. A.|last1= Davey|first2= H. A.|last2= Priestley|title= लैटिस और ऑर्डर का परिचय|title-link= लैटिस और ऑर्डर का परिचय|publisher= Cambridge University Press|year= 1990|series= Cambridge Mathematical Textbooks}}</ref>{{rp|186}}<ref>{{Cite journal|last=Goldbring|first=Isaac|date=2021|others=Marta Maggioni, Sophia Jahns|title=कॉम्बिनेटरिक्स में अल्ट्राफिल्टर विधियाँ|url=http://publications.mfo.de/handle/mfo/3870|journal=Snapshots of Modern Mathematics from Oberwolfach |language=en|doi=10.14760/SNAP-2021-006-EN}}</ref>
==आंशिक अनुक्रम पर अल्ट्राफिल्टर==


अनुक्रम सिद्धांत में, एक अल्ट्राफिल्टर आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समूह का एक [[सबसेट|पोसमूह]] होता है। इसका तात्पर्य यह होता है कि कोई भी फिल्टर जिसमें उचित रूप से अल्ट्राफिल्टर होता है, वह पूरे पोसमूह के बराबर होता है।


==आंशिक ऑर्डर पर अल्ट्राफ़िल्टर==
औपचारिक रूप से, यदि <math>P</math> एक समूह है, जिसे आंशिक रूप से अनुक्रम किया गया है <math>\,\leq\,</math> तब
 
* उपसमुच्चय <math>F \subseteq P</math> फिल्टर कहा जाता है <math>P</math> यदि
ऑर्डर सिद्धांत में, एक अल्ट्राफिल्टर आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट का एक [[सबसेट]] है जो सभी उचित फिल्टर के बीच अधिकतम तत्व है। इसका तात्पर्य यह है कि कोई भी फ़िल्टर जिसमें उचित रूप से अल्ट्राफ़िल्टर होता है, उसे पूरे पोसेट के बराबर होना चाहिए।
 
औपचारिक रूप से, यदि <math>P</math> एक सेट है, जिसे आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया है <math>\,\leq\,</math> तब
* उपसमुच्चय <math>F \subseteq P</math> फ़िल्टर ऑन कहा जाता है <math>P</math> अगर
** <math>F</math> गैर-रिक्त है,
** <math>F</math> गैर-रिक्त है,
** हरएक के लिए <math>x, y \in F,</math> वहां कुछ तत्व मौजूद है <math>z \in F</math> ऐसा है कि <math>z \leq x</math> और <math>z \leq y,</math> और
** हर एक के लिए <math>x, y \in F,</math> वहां कुछ तत्व उपस्थित है <math>z \in F</math> ऐसा है कि <math>z \leq x</math> और <math>z \leq y,</math> और
** हरएक के लिए <math>x \in F</math> और <math>y \in P,</math> <math>x \leq y</math> इसका आशय है <math>y</math> में है <math>F</math> बहुत;
** हर एक के लिए <math>x \in F</math> और <math>y \in P,</math> <math>x \leq y</math> इसका आशय <math>y</math> में <math>F</math> है
* एक उचित उपसमुच्चय <math>U</math> का <math>P</math> इसे अल्ट्राफिल्टर ऑन कहा जाता है <math>P</math> अगर
* एक उचित उपसमुच्चय <math>U</math> का <math>P</math> इसे अल्ट्राफिल्टर कहा जाता है <math>P</math> यदि
** <math>U</math> एक फ़िल्टर चालू है <math>P,</math> और
** <math>U</math> एक फिल्टर है <math>P,</math> और
** कोई उचित फ़िल्टर नहीं है <math>F</math> पर <math>P</math> वह उचित रूप से विस्तारित होता है <math>U</math> (अर्थात, ऐसा कि <math>U</math> का एक उचित उपसमुच्चय है <math>F</math>).
** कोई उचित फिल्टर नहीं होता है <math>F</math> पर <math>P</math> वह उचित रूप से विस्तारित होता है <math>U</math> (अर्थात, <math>U</math> का एक उचित उपसमुच्चय है <math>F</math>)
 
==={{vanchor|Types and existence of ultrafilters|Types}}===
 
प्रत्येक अल्ट्राफ़िल्टर बिल्कुल दो श्रेणियों में से एक में आता है: प्रमुख या मुफ़्त। एक प्रिंसिपल (या स्थिर, या तुच्छ) अल्ट्राफिल्टर एक फिल्टर है जिसमें कम से कम तत्व होते हैं। नतीजतन, प्रमुख अल्ट्राफिल्टर फॉर्म के होते हैं <math>F_a = \{x : a \leq x\}</math> कुछ (लेकिन सभी नहीं) तत्वों के लिए <math>a</math> दिए गए पोसेट का. इस मामले में <math>a</math> कहा जाता है {{em|principal element}}अल्ट्राफ़िल्टर का। कोई भी अल्ट्राफिल्टर जो प्रिंसिपल नहीं है उसे फ्री (या गैर-प्रिंसिपल) अल्ट्राफिल्टर कहा जाता है।


पॉवरसेट पर अल्ट्राफिल्टर के लिए <math>\wp(X),</math> एक प्रमुख अल्ट्राफिल्टर में सभी उपसमूह शामिल होते हैं <math>X</math> जिसमें एक दिया गया तत्व शामिल है <math>x \in X.</math> प्रत्येक अल्ट्राफ़िल्टर चालू <math>\wp(X)</math> वह भी एक [[प्रमुख फ़िल्टर]] इसी रूप का है।<ref name="Davey.Priestley.1990"/>{{rp|187}} इसलिए, एक अल्ट्राफिल्टर <math>U</math> पर <math>\wp(X)</math> प्रमुख है यदि और केवल यदि इसमें एक परिमित समुच्चय हो।<ref group="note">To see the "if" direction: If <math>\left\{x_1, \ldots, x_n\right\} \in U,</math> then <math>\left\{x_1\right\} \in U, \text{ or } \ldots \text{ or } \left\{x_n\right\} \in U,</math> by the characterization Nr.7 from [[Ultrafilter (set theory)#Characterizations]]. That is, some <math>\left\{x_i\right\}</math> is the principal element of <math>U.</math></ref> अगर <math>X</math> अनंत है, एक अल्ट्राफ़िल्टर <math>U</math> पर <math>\wp(X)</math> इसलिए यह गैर-प्रमुख है यदि और केवल यदि इसमें सह-परिमित उपसमुच्चय का फ़्रेचेट फ़िल्टर शामिल है <math>X.</math><ref group="note"><math>U</math> is non-principal if and only if it contains no finite set, that is, (by Nr.3 of the [[#Special case: ultrafilter on the powerset of a set|above]] characterization theorem) if and only if it contains every cofinite set, that is, every member of the Fréchet filter.</ref>{{cn|date=July 2016}} अगर <math>X</math> परिमित है, प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर प्रमुख है।<ref name="Davey.Priestley.1990"/>{{rp|187}}
==={{vanchor|अल्ट्राफिल्टर के प्रकार और अस्तित्व|प्रकार}}===
अगर <math>X</math> अनंत है तो फ़्रेचेट फ़िल्टर पावर सेट पर अल्ट्राफ़िल्टर नहीं है <math>X</math> लेकिन यह परिमित-कोफिनिट बीजगणित पर एक अल्ट्राफिल्टर है <math>X.</math> बूलियन बीजगणित पर प्रत्येक फ़िल्टर (या अधिक सामान्यतः, परिमित प्रतिच्छेदन गुण वाला कोई भी उपसमुच्चय) एक अल्ट्राफिल्टर ([[अल्ट्राफिल्टर लेम्मा]] देखें) में समाहित होता है और इसलिए मुक्त अल्ट्राफिल्टर मौजूद होते हैं, लेकिन प्रमाणों में फॉर्म में [[पसंद का सिद्धांत]] (एसी) शामिल होता है ज़ोर्न की लेम्मा का। दूसरी ओर, यह कथन कि प्रत्येक फिल्टर एक अल्ट्राफिल्टर में समाहित है, इसका अर्थ एसी नहीं है। वास्तव में, यह [[बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय]] (बीपीआईटी) के समतुल्य है, जो ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत (जेडएफ) के सिद्धांतों और पसंद के सिद्धांत (जेडएफसी) द्वारा संवर्धित जेडएफ सिद्धांत के बीच एक प्रसिद्ध मध्यवर्ती बिंदु है। सामान्य तौर पर, पसंद के सिद्धांत से जुड़े प्रमाण मुक्त अल्ट्राफिल्टर के स्पष्ट उदाहरण नहीं देते हैं, हालांकि ZFC के कुछ मॉडलों में स्पष्ट उदाहरण मिलना संभव है; उदाहरण के लिए, कर्ट गोडेल|गोडेल ने दिखाया कि यह रचनात्मक ब्रह्मांड में किया जा सकता है जहां कोई स्पष्ट वैश्विक विकल्प फ़ंक्शन लिख सकता है।  <!---commented out: "almost all" is vague in absence of a measure, "all UFs principal on finite sets" has been said above---Nonetheless, almost all ultrafilters on the powerset of an infinite set are free. By contrast, every ultrafilter of a finite poset (or {{em|on}} a finite set) is principal, since any finite filter has a least element.---> ZF में पसंद के सिद्धांत के बिना, यह संभव है कि प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर प्रमुख हो।<ref name="Halbeisen2012">{{cite book|first= L. J.|last= Halbeisen|title= कॉम्बिनेटोरियल सेट थ्योरी|publisher= Springer|year= 2012|series= Springer Monographs in Mathematics}}</ref>


प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर बिल्कुल दो श्रेणियों में से एक में आता है: प्रमुख या मुक्त। एक प्रिंसिपल (या स्थिर, या तुच्छ) अल्ट्राफिल्टर एक फिल्टर है जिसमें कम से कम तत्व होते है। नतीजतन, प्रमुख अल्ट्राफिल्टर फॉर्म के होते है <math>F_a = \{x : a \leq x\}</math> कुछ (लेकिन सभी नहीं) तत्वों के लिए <math>a</math> दिए गए पोसमूह का. इस मामले में <math>a</math> कहा जाता है {{em|principal element}}अल्ट्राफिल्टर का। कोई भी अल्ट्राफिल्टर जो प्रिंसिपल नहीं है उसे फ्री (या गैर-प्रिंसिपल) अल्ट्राफिल्टर कहा जाता है।


==बूलियन बीजगणित पर अल्ट्राफ़िल्टर==
पॉवरसमूह पर अल्ट्राफिल्टर के लिए <math>\wp(X),</math> एक प्रमुख अल्ट्राफिल्टर में सभी उपसमूह शामिल होते है <math>X</math> जिसमें एक दिया गया तत्व शामिल है <math>x \in X.</math> प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर चालू <math>\wp(X)</math> वह भी एक [[प्रमुख फ़िल्टर|प्रमुख फिल्टर]] इसी रूप का है।<ref name="Davey.Priestley.1990"/>{{rp|187}} इसलिए, एक अल्ट्राफिल्टर <math>U</math> पर <math>\wp(X)</math> प्रमुख है यदि और केवल यदि इसमें एक परिमित समुच्चय हो।<ref group="note">To see the "if" direction: If <math>\left\{x_1, \ldots, x_n\right\} \in U,</math> then <math>\left\{x_1\right\} \in U, \text{ or } \ldots \text{ or } \left\{x_n\right\} \in U,</math> by the characterization Nr.7 from [[Ultrafilter (set theory)#Characterizations]]. That is, some <math>\left\{x_i\right\}</math> is the principal element of <math>U.</math></ref> यदि <math>X</math> अनंत है, एक अल्ट्राफिल्टर <math>U</math> पर <math>\wp(X)</math> इसलिए यह गैर-प्रमुख है यदि और केवल यदि इसमें सह-परिमित उपसमुच्चय का फ़्रेचेट फिल्टर शामिल है <math>X.</math><ref group="note"><math>U</math> is non-principal if and only if it contains no finite set, that is, (by Nr.3 of the [[#Special case: ultrafilter on the powerset of a set|above]] characterization theorem) if and only if it contains every cofinite set, that is, every member of the Fréchet filter.</ref> यदि <math>X</math> परिमित है, प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर प्रमुख है।<ref name="Davey.Priestley.1990"/>{{rp|187}}
यदि <math>X</math> अनंत है तो फ़्रेचेट फिल्टर पावर समूह पर अल्ट्राफिल्टर नहीं है <math>X</math> लेकिन यह परिमित-कोफिनिट बीजगणित पर एक अल्ट्राफिल्टर है <math>X.</math> बूलियन बीजगणित पर प्रत्येक फिल्टर (या अधिक सामान्यतः, परिमित प्रतिच्छेदन गुण वाला कोई भी उपसमुच्चय) एक अल्ट्राफिल्टर ([[अल्ट्राफिल्टर लेम्मा]] देखें) में समाहित होता है और इसलिए मुक्त अल्ट्राफिल्टर उपस्थित होते है, लेकिन प्रमाणों में फॉर्म में [[पसंद का सिद्धांत]] (एसी) शामिल होता है ज़ोर्न की लेम्मा का। दूसरी ओर, यह कथन कि प्रत्येक फिल्टर एक अल्ट्राफिल्टर में समाहित है, इसका अर्थ एसी नहीं है। वास्तव में, यह [[बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय]] (बीपीआईटी) के समतुल्य है, जो ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समूह सिद्धांत (जेडएफ) के सिद्धांतों और पसंद के सिद्धांत (जेडएफसी) द्वारा संवर्धित जेडएफ सिद्धांत के बीच एक प्रसिद्ध मध्यवर्ती बिंदु है। सामान्यतः, पसंद के सिद्धांत से जुड़े प्रमाण मुक्त अल्ट्राफिल्टर के स्पष्ट उदाहरण नहीं देते है, हालांकि ZFC के कुछ नमूनाों में स्पष्ट उदाहरण मिलना संभव है; उदाहरण के लिए, कर्ट गोडेल|गोडेल ने दिखाया कि यह रचनात्मक ब्रह्मांड में किया जा सकता है जहां कोई स्पष्ट वैश्विक विकल्प फ़ंक्शन लिख सकता है। ZF में पसंद के सिद्धांत के बिना, यह संभव है कि प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर प्रमुख हो।<ref name="Halbeisen2012">{{cite book|first= L. J.|last= Halbeisen|title= कॉम्बिनेटोरियल सेट थ्योरी|publisher= Springer|year= 2012|series= Springer Monographs in Mathematics}}</ref>
==बूलियन बीजगणित पर अल्ट्राफिल्टर==


अवधारणा का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला तब होता है जब माना गया पोसेट एक बूलियन बीजगणित (संरचना) है। इस मामले में, अल्ट्राफिल्टर को प्रत्येक तत्व के लिए युक्त करके चित्रित किया जाता है <math>a</math> बूलियन बीजगणित का, बिल्कुल तत्वों में से एक <math>a</math> और <math>\lnot a</math> (बाद वाला बूलियन बीजगणित#नॉनमोनोटोन नियम है <math>a</math>):
अवधारणा का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला तब होता है जब माना गया पोसमूह एक बूलियन बीजगणित (संरचना) है। इस मामले में, अल्ट्राफिल्टर को प्रत्येक तत्व के लिए युक्त करके चित्रित किया जाता है <math>a</math> बूलियन बीजगणित का, बिल्कुल तत्वों में से एक <math>a</math> और <math>\lnot a</math> (बाद वाला बूलियन बीजगणित#नॉनमोनोटोन नियम है <math>a</math>):


अगर <math>P</math> एक बूलियन बीजगणित है और <math>F</math> एक उचित फ़िल्टर चालू है <math>P,</math> तब निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:
यदि <math>P</math> एक बूलियन बीजगणित है और <math>F</math> एक उचित फिल्टर चालू है <math>P,</math> तब निम्नलिखित कथन समतुल्य है:
# <math>F</math> एक अल्ट्राफिल्टर चालू है <math>P,</math>
# <math>F</math> एक अल्ट्राफिल्टर चालू है <math>P,</math>
# <math>F</math> एक [[प्राइम फ़िल्टर]] चालू है <math>P,</math>
# <math>F</math> एक [[प्राइम फ़िल्टर|प्राइम फिल्टर]] चालू है <math>P,</math>
# प्रत्येक के लिए <math>a \in P,</math> दोनों में से एक <math>a \in F</math> या (<math>\lnot a</math>) <math>\in F.</math><ref name="Davey.Priestley.1990"/>{{rp|186}}
# प्रत्येक के लिए <math>a \in P,</math> दोनों में से एक <math>a \in F</math> या (<math>\lnot a</math>) <math>\in F.</math><ref name="Davey.Priestley.1990"/>{{rp|186}}
1. और 2. समतुल्य होने का प्रमाण भी दिया गया है (ब्यूरिस, संकप्पनवर, 2012, परिणाम 3.13, पृष्ठ 133)।<ref name="Burris.Sankappanavar.2012">{{cite book|url= http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/UALG/univ-algebra2012.pdf|isbn=978-0-9880552-0-9|first1= Stanley N.|last1= Burris|first2= H. P.|last2= Sankappanavar|title=सार्वभौमिक बीजगणित में एक पाठ्यक्रम|year=2012 }}</ref>
1. और 2. समतुल्य होने का प्रमाण भी दिया गया है (ब्यूरिस, संकप्पनवर, 2012, परिणाम 3.13, पृष्ठ 133)।<ref name="Burris.Sankappanavar.2012">{{cite book|url= http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/UALG/univ-algebra2012.pdf|isbn=978-0-9880552-0-9|first1= Stanley N.|last1= Burris|first2= H. P.|last2= Sankappanavar|title=सार्वभौमिक बीजगणित में एक पाठ्यक्रम|year=2012 }}</ref>
इसके अलावा, बूलियन बीजगणित पर अल्ट्राफिल्टर बूलियन बीजगणित (संरचना)#आदर्श और फिल्टर और बूलियन बीजगणित (संरचना)#समरूपता और समरूपता से 2-तत्व बूलियन बीजगणित {सही, गलत} से संबंधित हो सकते हैं (जिन्हें 2-मूल्यवान आकारिकी के रूप में भी जाना जाता है) ) निम्नलिखित नुसार:
इसके अलावा, बूलियन बीजगणित पर अल्ट्राफिल्टर बूलियन बीजगणित (संरचना)#आदर्श और फिल्टर और बूलियन बीजगणित (संरचना)#समरूपता और समरूपता से 2-तत्व बूलियन बीजगणित {सही, गलत} से संबंधित हो सकते है (जिन्हें 2-मूल्यवान आकारिकी के रूप में भी जाना जाता है) ) निम्नलिखित नुसार:
* बूलियन बीजगणित की एक समरूपता को {सत्य, असत्य} पर देखते हुए, सत्य की व्युत्क्रम छवि एक अल्ट्राफिल्टर है, और असत्य की व्युत्क्रम छवि एक अधिकतम आदर्श है।
* बूलियन बीजगणित की एक समरूपता को {सत्य, असत्य} पर देखते हुए, सत्य की व्युत्क्रम छवि एक अल्ट्राफिल्टर है, और असत्य की व्युत्क्रम छवि एक अधिकतम आदर्श है।
* बूलियन बीजगणित के अधिकतम आदर्श को देखते हुए, इसका पूरक एक अल्ट्राफिल्टर है, और अधिकतम आदर्श को गलत पर ले जाने के लिए {सही, गलत} पर एक अद्वितीय समरूपता है।
* बूलियन बीजगणित के अधिकतम आदर्श को देखते हुए, इसका पूरक एक अल्ट्राफिल्टर है, और अधिकतम आदर्श को गलत पर ले जाने के लिए {सही, गलत} पर एक अद्वितीय समरूपता है।
* बूलियन बीजगणित पर एक अल्ट्राफिल्टर दिया गया है, इसका पूरक एक अधिकतम आदर्श है, और अल्ट्राफिल्टर को सत्य पर ले जाने के लिए {सही, गलत} पर एक अद्वितीय समरूपता है।{{cn|date=July 2016}}
* बूलियन बीजगणित पर एक अल्ट्राफिल्टर दिया गया है, इसका पूरक एक अधिकतम आदर्श है, और अल्ट्राफिल्टर को सत्य पर ले जाने के लिए {सही, गलत} पर एक अद्वितीय समरूपता है।
 
==सेट के पावर सेट पर अल्ट्राफ़िल्टर==
{{Main|Ultrafilter (set theory)}}
 
एक मनमाना सेट दिया गया <math>X,</math> इसका पावर सेट <math>\wp(X),</math> सेट समावेशन द्वारा क्रमबद्ध, हमेशा एक बूलियन बीजगणित होता है; इसलिए उपरोक्त अनुभाग के परिणाम {{em|[[#Special case: Boolean algebra|Special case: Boolean algebra]]}} आवेदन करना। एक (अल्ट्रा)फ़िल्टर चालू <math>\wp(X)</math> इसे अक्सर केवल (अल्ट्रा)फ़िल्टर ऑन कहा जाता है <math>X</math>.<ref name="notation warning" group=note/>उपरोक्त औपचारिक परिभाषाओं को पावरसेट मामले में निम्नानुसार विशिष्ट किया जा सकता है:


एक मनमाना सेट दिया गया <math>X,</math> एक अल्ट्राफिल्टर चालू <math>\wp(X)</math> एक सेट है <math>U</math> के उपसमुच्चय से मिलकर बना है <math>X</math> ऐसा है कि:
==समूह के पावर समूह पर अल्ट्राफिल्टर==
#खाली सेट इसका एक तत्व नहीं है <math>U.</math>
{{Main|अल्ट्राफिल्टर (समूह सिद्धांत)}}
#अगर <math>A</math> और <math>B</math> के उपसमुच्चय हैं <math>X,</math> सेट <math>A</math> का एक उपसमुच्चय है <math>B,</math> और <math>A</math> का एक तत्व है <math>U,</math> तब <math>B</math> का भी एक तत्व है <math>U.</math>
#अगर <math>A</math> और <math>B</math> के तत्व हैं <math>U,</math> तो फिर [[ प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) ]] भी ऐसा ही है <math>A</math> और <math>B.</math>
#अगर <math>A</math> का एक उपसमुच्चय है <math>X,</math> तो कोई<ref name="exclusive or" group="note">Properties 1 and 3 imply that <math>A</math> and <math>X \setminus A</math> cannot {{em|both}} be elements of <math>U.</math></ref> <math>A</math> या इसका सापेक्ष पूरक <math>X \setminus A</math> का एक तत्व है <math>U.</math>
पावर सेट पर अल्ट्राफिल्टर को देखने का दूसरा तरीका <math>\wp(X)</math> इस प्रकार है: किसी दिए गए अल्ट्राफिल्टर के लिए <math>U</math> किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करें <math>m</math> पर <math>\wp(X)</math> व्यवस्थित करके <math>m(A) = 1</math> अगर <math>A</math> का एक तत्व है <math>U</math> और <math>m(A) = 0</math> अन्यथा। ऐसे फ़ंक्शन को 2-मूल्यवान रूपवाद कहा जाता है। तब <math>m</math> परिमित रूप से योगात्मक है, और इसलिए a {{em|[[Content (measure theory)|content]]}} पर <math>\wp(X),</math> और के तत्वों की प्रत्येक संपत्ति <math>X</math> या तो लगभग हर जगह सच है या लगभग हर जगह झूठ। हालाँकि, <math>m</math> आमतौर पर नहीं है {{em|countably additive}}, और इसलिए सामान्य अर्थ में माप (गणित) को परिभाषित नहीं करता है।


एक फिल्टर के लिए <math>F</math> कोई कह सकता है कि यह कोई अल्ट्राफ़िल्टर नहीं है <math>m(A) = 1</math> अगर <math>A \in F</math> और <math>m(A) = 0</math> अगर <math>X \setminus A \in F,</math> छोड़कर <math>m</math> अन्यत्र अपरिभाषित.<ref>{{Cite web |title=अल्ट्राफिल्टर पर नोट्स|url=https://math.berkeley.edu/~kruckman/ultrafilters.pdf}}</ref>
एक मनमाना समूह दिया गया <math>X,</math> इसका पावर समूह <math>\wp(X),</math> समूह समावेशन द्वारा क्रमबद्ध, हमेशा एक बूलियन बीजगणित होता है; इसलिए उपरोक्त अनुभाग के परिणाम आवेदन करना। एक (अल्ट्रा)फिल्टर चालू <math>\wp(X)</math> इसे अक्सर केवल (अल्ट्रा)फिल्टर ऑन कहा जाता है <math>X</math>.<ref name="notation warning" group=note/>उपरोक्त औपचारिक परिभाषाओं को पावरसमूह मामले में निम्नानुसार विशिष्ट किया जा सकता है:


एक मनमाना समूह दिया गया <math>X,</math> एक अल्ट्राफिल्टर चालू <math>\wp(X)</math> एक समूह है <math>U</math> के उपसमुच्चय से मिलकर बना है <math>X</math> ऐसा है कि:
#खाली समूह इसका एक तत्व नहीं है <math>U.</math>
#यदि <math>A</math> और <math>B</math> के उपसमुच्चय है <math>X,</math> समूह <math>A</math> का एक उपसमुच्चय है <math>B,</math> और <math>A</math> का एक तत्व है <math>U,</math> तब <math>B</math> का भी एक तत्व है <math>U.</math>
#यदि <math>A</math> और <math>B</math> के तत्व है <math>U,</math> तो फिर [[ प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) |प्रतिच्छेदन (समूह सिद्धांत)]] भी ऐसा ही है <math>A</math> और <math>B.</math>
#यदि <math>A</math> का एक उपसमुच्चय है <math>X,</math> तो कोई<ref name="exclusive or" group="note">Properties 1 and 3 imply that <math>A</math> and <math>X \setminus A</math> cannot {{em|both}} be elements of <math>U.</math></ref> <math>A</math> या इसका सापेक्ष पूरक <math>X \setminus A</math> का एक तत्व है <math>U.</math>
पावर समूह पर अल्ट्राफिल्टर को देखने का दूसरा तरीका <math>\wp(X)</math> इस प्रकार है: किसी दिए गए अल्ट्राफिल्टर के लिए <math>U</math> किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करें <math>m</math> पर <math>\wp(X)</math> व्यवस्थित करके <math>m(A) = 1</math> यदि <math>A</math> का एक तत्व है <math>U</math> और <math>m(A) = 0</math> अन्यथा। ऐसे फ़ंक्शन को 2-मूल्यवान रूपवाद कहा जाता है। तब <math>m</math> परिमित रूप से योगात्मक है, और इसलिए a {{em|[[Content (measure theory)|content]]}} पर <math>\wp(X),</math> और के तत्वों की प्रत्येक संपत्ति <math>X</math> या तो लगभग हर जगह सच है या लगभग हर जगह झूठ। हालाँकि, <math>m</math> सामान्यतः नहीं है {{em|countably additive}}, और इसलिए सामान्य अर्थ में माप (गणित) को परिभाषित नहीं करता है।


एक फिल्टर के लिए <math>F</math> कोई कह सकता है कि यह कोई अल्ट्राफिल्टर नहीं है <math>m(A) = 1</math> यदि <math>A \in F</math> और <math>m(A) = 0</math> यदि <math>X \setminus A \in F,</math> छोड़कर <math>m</math> अन्यत्र अपरिभाषित<ref>{{Cite web |title=अल्ट्राफिल्टर पर नोट्स|url=https://math.berkeley.edu/~kruckman/ultrafilters.pdf}}</ref>
==अनुप्रयोग==
==अनुप्रयोग==


पावर सेट पर अल्ट्राफिल्टर टोपोलॉजी में उपयोगी होते हैं, विशेष रूप से [[ सघन स्थान ]] [[हॉसडॉर्फ़ स्थान]] स्पेस के संबंध में, और [[अल्ट्राप्रोडक्ट]] के निर्माण में मॉडल सिद्धांत में। कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्पेस पर प्रत्येक अल्ट्राफ़िल्टर बिल्कुल एक बिंदु पर एकत्रित होता है। इसी तरह, बूलियन बीजगणित पर अल्ट्राफिल्टर बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय में एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं|स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय। सेट सिद्धांत में अल्ट्राफिल्टर का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि निर्माणशीलता का सिद्धांत [[मापने योग्य कार्डिनल]] के अस्तित्व के साथ असंगत है {{mvar|κ}}. यह सेट सैद्धांतिक ब्रह्मांड मॉड्यूलो ए की अल्ट्रापॉवर लेने से सिद्ध होता है {{mvar|κ}}-पूर्ण, गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर।<ref> Kanamori, The Higher infinite, p. 49.</ref>
पावर समूह पर अल्ट्राफिल्टर सांस्थिति में उपयोगी होते है, विशेष रूप से [[ सघन स्थान |सघन स्थान]] [[हॉसडॉर्फ़ स्थान]] स्पेस के संबंध में, और [[अल्ट्राप्रोडक्ट]] के निर्माण में नमूना सिद्धांत में। कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्पेस पर प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर बिल्कुल एक बिंदु पर एकत्रित होता है। इसी तरह, बूलियन बीजगणित पर अल्ट्राफिल्टर बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय में एक केंद्रीय भूमिका निभाते है|स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय। समूह सिद्धांत में अल्ट्राफिल्टर का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि निर्माणशीलता का सिद्धांत [[मापने योग्य कार्डिनल]] के अस्तित्व के साथ असंगत है {{mvar|κ}}. यह समूह सैद्धांतिक ब्रह्मांड मॉड्यूलो ए की अल्ट्रापॉवर लेने से सिद्ध होता है {{mvar|κ}}-पूर्ण, गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर।<ref> Kanamori, The Higher infinite, p. 49.</ref>
सेट <math>G</math> एक पॉसेट के सभी अल्ट्राफ़िल्टर का <math>P</math> प्राकृतिक तरीके से टोपोलॉजी बनाई जा सकती है, जो वास्तव में उपर्युक्त प्रतिनिधित्व प्रमेय से निकटता से संबंधित है। किसी भी तत्व के लिए <math>a</math> का <math>P</math>, होने देना <math>D_a = \left\{ U \in G : a \in U \right\}.</math> यह तब सर्वाधिक उपयोगी होता है जब <math>P</math> यह फिर से एक बूलियन बीजगणित है, क्योंकि इस स्थिति में सभी का समुच्चय है <math>D_a</math> कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ टोपोलॉजी का आधार है <math>G</math>. विशेषकर, जब किसी पावरसेट पर अल्ट्राफिल्टर पर विचार किया जा रहा हो <math>\wp(S),</math> परिणामी [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] कार्डिनैलिटी के एक अलग स्थान का स्टोन-सेच कॉम्पेक्टिफिकेशन है <math>| S |.</math>
समूह <math>G</math> एक पोसमूह के सभी अल्ट्राफिल्टर का <math>P</math> प्राकृतिक तरीके से सांस्थिति बनाई जा सकती है, जो वास्तव में उपर्युक्त प्रतिनिधित्व प्रमेय से निकटता से संबंधित है। किसी भी तत्व के लिए <math>a</math> का <math>P</math>, होने देना <math>D_a = \left\{ U \in G : a \in U \right\}.</math> यह तब सर्वाधिक उपयोगी होता है जब <math>P</math> यह फिर से एक बूलियन बीजगणित है, क्योंकि इस स्थिति में सभी का समुच्चय है <math>D_a</math> कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ सांस्थिति का आधार है <math>G</math>. विशेषकर, जब किसी पावरसमूह पर अल्ट्राफिल्टर पर विचार किया जा रहा हो <math>\wp(S),</math> परिणामी [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] कार्डिनैलिटी के एक अलग स्थान का स्टोन-सेच कॉम्पेक्टिफिकेशन है <math>| S |.</math>
मॉडल सिद्धांत में अल्ट्राप्रोडक्ट निर्माण एक अनुक्रम से शुरू होने वाले नए मॉडल का उत्पादन करने के लिए अल्ट्राफिल्टर का उपयोग करता है <math>X</math>-अनुक्रमित मॉडल; उदाहरण के लिए, [[सघनता प्रमेय]] को इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है।
नमूना सिद्धांत में अल्ट्राप्रोडक्ट निर्माण एक अनुक्रम से शुरू होने वाले नए नमूना का उत्पादन करने के लिए अल्ट्राफिल्टर का उपयोग करता है <math>X</math>-अनुक्रमित नमूना; उदाहरण के लिए, [[सघनता प्रमेय]] को इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है।
अल्ट्रापॉवर के विशेष मामले में, किसी को संरचनाओं का [[प्राथमिक विस्तार]] मिलता है। उदाहरण के लिए, गैर-मानक विश्लेषण में, हाइपररियल संख्याओं का निर्माण [[वास्तविक संख्या]]ओं के अल्ट्राप्रोडक्ट के रूप में किया जा सकता है, जो प्रवचन के क्षेत्र को वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम तक विस्तारित करता है। इस अनुक्रम स्थान को संबंधित स्थिर अनुक्रम के साथ प्रत्येक वास्तविक की पहचान करके वास्तविकताओं का एक [[सुपरसेट]] माना जाता है। परिचित कार्यों और संबंधों (उदाहरण के लिए, + और <) को वास्तविक से हाइपररियल तक विस्तारित करने के लिए, प्राकृतिक विचार उन्हें बिंदुवार परिभाषित करना है। लेकिन इससे यथार्थ के महत्वपूर्ण तार्किक गुण नष्ट हो जायेंगे; उदाहरण के लिए, बिंदुवार < कुल ऑर्डर नहीं है। इसलिए इसके बजाय फ़ंक्शंस और संबंधों को Ultraproduct#Definition परिभाषित किया गया है <math>U</math>, कहाँ <math>U</math> अनुक्रमों के [[सूचकांक सेट]] पर एक अल्ट्राफ़िल्टर है; Łoś' प्रमेय के अनुसार, यह वास्तविकताओं के सभी गुणों को संरक्षित करता है जिन्हें [[प्रथम-क्रम तर्क]] में बताया जा सकता है। अगर <math>U</math> गैर-प्रमुख है, तो उसके द्वारा प्राप्त विस्तार गैर-तुच्छ है।
अल्ट्रापॉवर के विशेष मामले में, किसी को संरचनाओं का [[प्राथमिक विस्तार]] मिलता है। उदाहरण के लिए, गैर-मानक विश्लेषण में, हाइपररियल संख्याओं का निर्माण [[वास्तविक संख्या]]ओं के अल्ट्राप्रोडक्ट के रूप में किया जा सकता है, जो प्रवचन के क्षेत्र को वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम तक विस्तारित करता है। इस अनुक्रम स्थान को संबंधित स्थिर अनुक्रम के साथ प्रत्येक वास्तविक की पहचान करके वास्तविकताओं का एक [[सुपरसेट|सुपरसमूह]] माना जाता है। परिचित कार्यों और संबंधों (उदाहरण के लिए, + और <) को वास्तविक से हाइपररियल तक विस्तारित करने के लिए, प्राकृतिक विचार उन्हें बिंदुवार परिभाषित करना है। लेकिन इससे यथार्थ के महत्वपूर्ण तार्किक गुण नष्ट हो जायेंगे; उदाहरण के लिए, बिंदुवार < कुल अनुक्रम नहीं है। इसलिए इसके बजाय फ़ंक्शंस और संबंधों को Ultraproduct#Definition परिभाषित किया गया है <math>U</math>, कहाँ <math>U</math> अनुक्रमों के [[सूचकांक सेट|सूचकांक समूह]] पर एक अल्ट्राफिल्टर है; Łoś' प्रमेय के अनुसार, यह वास्तविकताओं के सभी गुणों को संरक्षित करता है जिन्हें [[प्रथम-क्रम तर्क]] में बताया जा सकता है। यदि <math>U</math> गैर-प्रमुख है, तो उसके द्वारा प्राप्त विस्तार गैर-तुच्छ है।


[[ज्यामितीय समूह सिद्धांत]] में, किसी समूह के अल्ट्रालिमिट#एसिम्प्टोटिक शंकु को परिभाषित करने के लिए गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर का उपयोग किया जाता है। यह निर्माण विचार करने के लिए एक कठोर तरीका प्रदान करता है {{em|looking at the group from infinity}}, यह समूह की बड़े पैमाने की ज्यामिति है। एसिम्प्टोटिक शंकु मीट्रिक रिक्त स्थान की [[ Ultralimit ]]्स के विशेष उदाहरण हैं।
[[ज्यामितीय समूह सिद्धांत]] में, किसी समूह के अल्ट्रालिमिट#एसिम्प्टोटिक शंकु को परिभाषित करने के लिए गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर का उपयोग किया जाता है। यह निर्माण विचार करने के लिए एक कठोर तरीका प्रदान करता है {{em|looking at the group from infinity}}, यह समूह की बड़े पैमाने की ज्यामिति है। एसिम्प्टोटिक शंकु मीट्रिक रिक्त स्थान की [[ Ultralimit |Ultralimit]] ्स के विशेष उदाहरण है।


गोडेल का ईश्वर के अस्तित्व का ऑन्टोलॉजिकल प्रमाण एक सिद्धांत के रूप में उपयोग करता है कि सभी सकारात्मक गुणों का सेट एक अल्ट्राफिल्टर है।
गोडेल का ईश्वर के अस्तित्व का ऑन्टोलॉजिकल प्रमाण एक सिद्धांत के रूप में उपयोग करता है कि सभी सकारात्मक गुणों का समूह एक अल्ट्राफिल्टर है।


[[सामाजिक चयन सिद्धांत]] में, गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर का उपयोग असीमित व्यक्तियों की प्राथमिकताओं को एकत्रित करने के लिए एक नियम (जिसे सामाजिक कल्याण फ़ंक्शन कहा जाता है) को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। बहुत से व्यक्तियों के लिए एरो की असंभवता प्रमेय के विपरीत, ऐसा नियम उन शर्तों (गुणों) को संतुष्ट करता है जो एरो प्रस्तावित करता है (उदाहरण के लिए, किरमान और सोंडरमैन, 1972)।<ref>{{Cite journal|last1 = Kirman|first1 = A.|last2 = Sondermann|first2 = D.|title = एरो का प्रमेय, अनेक एजेंट और अदृश्य तानाशाह|journal = Journal of Economic Theory|volume = 5|issue = 2|pages = 267–277|year = 1972|doi = 10.1016/0022-0531(72)90106-8}}</ref> मिहारा (1997,<ref name=mihara97>{{Cite journal|last1 = Mihara|first1 = H. R.|title = एरो की प्रमेय और ट्यूरिंग संगणना|journal = Economic Theory|volume = 10|issue = 2|pages = 257–276|year = 1997|postscript = Reprinted in K. V. Velupillai, S. Zambelli, and S. Kinsella, ed., Computable Economics, International Library of Critical Writings in Economics, Edward Elgar, 2011.|doi = 10.1007/s001990050157|url = http://129.3.20.41/eps/pe/papers/9408/9408001.pdf|url-status = dead|archive-url = https://web.archive.org/web/20110812013901/http://129.3.20.41/eps/pe/papers/9408/9408001.pdf|archive-date = 2011-08-12|citeseerx = 10.1.1.200.520|s2cid = 15398169 }}</ref> 1999)<ref name=mihara99>{{Cite journal|last1 = Mihara|first1 = H. R.|title = एरो का प्रमेय, अनगिनत एजेंट, और अधिक दृश्यमान अदृश्य तानाशाह|journal = [[Journal of Mathematical Economics]]|volume = 32|issue = 3|pages = 267–277|year = 1999|doi = 10.1016/S0304-4068(98)00061-5|url= http://econpapers.repec.org/paper/wpawuwppe/9705001.htm|citeseerx = 10.1.1.199.1970}}</ref> हालाँकि, दिखाता है कि ऐसे नियम सामाजिक वैज्ञानिकों के लिए व्यावहारिक रूप से सीमित रुचि के हैं, क्योंकि वे गैर-एल्गोरिदमिक या गैर-गणना योग्य हैं।
[[सामाजिक चयन सिद्धांत]] में, गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर का उपयोग असीमित व्यक्तियों की प्राथमिकताओं को एकत्रित करने के लिए एक नियम (जिसे सामाजिक कल्याण फ़ंक्शन कहा जाता है) को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। बहुत से व्यक्तियों के लिए एरो की असंभवता प्रमेय के विपरीत, ऐसा नियम उन शर्तों (गुणों) को संतुष्ट करता है जो एरो प्रस्तावित करता है (उदाहरण के लिए, किरमान और सोंडरमैन, 1972)।<ref>{{Cite journal|last1 = Kirman|first1 = A.|last2 = Sondermann|first2 = D.|title = एरो का प्रमेय, अनेक एजेंट और अदृश्य तानाशाह|journal = Journal of Economic Theory|volume = 5|issue = 2|pages = 267–277|year = 1972|doi = 10.1016/0022-0531(72)90106-8}}</ref> मिहारा (1997,<ref name=mihara97>{{Cite journal|last1 = Mihara|first1 = H. R.|title = एरो की प्रमेय और ट्यूरिंग संगणना|journal = Economic Theory|volume = 10|issue = 2|pages = 257–276|year = 1997|postscript = Reprinted in K. V. Velupillai, S. Zambelli, and S. Kinsella, ed., Computable Economics, International Library of Critical Writings in Economics, Edward Elgar, 2011.|doi = 10.1007/s001990050157|url = http://129.3.20.41/eps/pe/papers/9408/9408001.pdf|url-status = dead|archive-url = https://web.archive.org/web/20110812013901/http://129.3.20.41/eps/pe/papers/9408/9408001.pdf|archive-date = 2011-08-12|citeseerx = 10.1.1.200.520|s2cid = 15398169 }}</ref> 1999)<ref name=mihara99>{{Cite journal|last1 = Mihara|first1 = H. R.|title = एरो का प्रमेय, अनगिनत एजेंट, और अधिक दृश्यमान अदृश्य तानाशाह|journal = [[Journal of Mathematical Economics]]|volume = 32|issue = 3|pages = 267–277|year = 1999|doi = 10.1016/S0304-4068(98)00061-5|url= http://econpapers.repec.org/paper/wpawuwppe/9705001.htm|citeseerx = 10.1.1.199.1970}}</ref> हालाँकि, दिखाता है कि ऐसे नियम सामाजिक वैज्ञानिकों के लिए व्यावहारिक रूप से सीमित रुचि के है, क्योंकि वे गैर-एल्गोरिदमिक या गैर-गणना योग्य है।


==यह भी देखें==
==यह भी देखें==

Revision as of 22:55, 8 July 2023

This article is about अनुक्रम सिद्धांत में गणितीय अवधारणा. For समूह पर विशेष रूप से अल्ट्राफिल्टर, see अल्ट्राफिल्टर (समूह सिद्धांत). For भौतिक उपकरण, see अल्ट्राफिल्ट्रेशन.
210 के भाजक का हैस आरेख, संबंध द्वारा क्रमबद्ध भाजक है, ऊपरी समूह ↑14 गहरे हरे रंग के साथ। यह है एक principal filter, लेकिन नहीं ultrafilter, क्योंकि इसे हल्के हरे रंग के तत्वों को शामिल करके बड़े गैर-तुच्छ फिल्टर ↑2 तक बढ़ाया जा सकता है। चूँकि ↑2 को और आगे नहीं बढ़ाया जा सकता, यह एक अल्ट्राफिल्टर है।

अनुक्रम सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, किसी दिए गए आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समूह (या पोसमूह) पर एक अल्ट्राफिल्टर का एक निश्चित उपसमुच्चय है अर्थात् , एक उचित फिल्टर इसे एक बड़े उचित फिल्टर तक बढ़ाया नहीं जा सकता

यदि एक मनमाना समुच्चय है, इसकी ऊर्जा समुच्चय है समूह समावेशन द्वारा अनुक्रमित, हमेशा एक बूलियन बीजगणित (संरचना) होता है और इसलिए एक पोसमूह, और अल्ट्राफिल्टर होता है सामान्यतः कहा जाता है .[note 1] समूह पर एक अल्ट्राफिल्टर एक परिमित योगात्मक माप (गणित) के रूप में माना जा सकता है . इस दृष्टि से, प्रत्येक उपसमुच्चय या तो लगभग संपूर्ण माना जाता है (माप 1 है) या लगभग कुछ भी नहीं (माप 0 है), यह इस पर निर्भर करता है कि यह दिए गए अल्ट्राफिल्टर से संबंधित है या नहीं है।ka

समूह सिद्धांत, नमूना सिद्धांत, सांस्थिति में अल्ट्राफिल्टर के कई अनुप्रयोग होते है।[1]: 186 [2]

आंशिक अनुक्रम पर अल्ट्राफिल्टर

अनुक्रम सिद्धांत में, एक अल्ट्राफिल्टर आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समूह का एक पोसमूह होता है। इसका तात्पर्य यह होता है कि कोई भी फिल्टर जिसमें उचित रूप से अल्ट्राफिल्टर होता है, वह पूरे पोसमूह के बराबर होता है।

औपचारिक रूप से, यदि एक समूह है, जिसे आंशिक रूप से अनुक्रम किया गया है तब

  • उपसमुच्चय फिल्टर कहा जाता है यदि
    • गैर-रिक्त है,
    • हर एक के लिए वहां कुछ तत्व उपस्थित है ऐसा है कि और और
    • हर एक के लिए और इसका आशय में है
  • एक उचित उपसमुच्चय का इसे अल्ट्राफिल्टर कहा जाता है यदि
    • एक फिल्टर है और
    • कोई उचित फिल्टर नहीं होता है पर वह उचित रूप से विस्तारित होता है (अर्थात, का एक उचित उपसमुच्चय है )

अल्ट्राफिल्टर के प्रकार और अस्तित्व

प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर बिल्कुल दो श्रेणियों में से एक में आता है: प्रमुख या मुक्त। एक प्रिंसिपल (या स्थिर, या तुच्छ) अल्ट्राफिल्टर एक फिल्टर है जिसमें कम से कम तत्व होते है। नतीजतन, प्रमुख अल्ट्राफिल्टर फॉर्म के होते है कुछ (लेकिन सभी नहीं) तत्वों के लिए दिए गए पोसमूह का. इस मामले में कहा जाता है principal elementअल्ट्राफिल्टर का। कोई भी अल्ट्राफिल्टर जो प्रिंसिपल नहीं है उसे फ्री (या गैर-प्रिंसिपल) अल्ट्राफिल्टर कहा जाता है।

पॉवरसमूह पर अल्ट्राफिल्टर के लिए एक प्रमुख अल्ट्राफिल्टर में सभी उपसमूह शामिल होते है जिसमें एक दिया गया तत्व शामिल है प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर चालू वह भी एक प्रमुख फिल्टर इसी रूप का है।[1]: 187  इसलिए, एक अल्ट्राफिल्टर पर प्रमुख है यदि और केवल यदि इसमें एक परिमित समुच्चय हो।[note 2] यदि अनंत है, एक अल्ट्राफिल्टर पर इसलिए यह गैर-प्रमुख है यदि और केवल यदि इसमें सह-परिमित उपसमुच्चय का फ़्रेचेट फिल्टर शामिल है [note 3] यदि परिमित है, प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर प्रमुख है।[1]: 187  यदि अनंत है तो फ़्रेचेट फिल्टर पावर समूह पर अल्ट्राफिल्टर नहीं है लेकिन यह परिमित-कोफिनिट बीजगणित पर एक अल्ट्राफिल्टर है बूलियन बीजगणित पर प्रत्येक फिल्टर (या अधिक सामान्यतः, परिमित प्रतिच्छेदन गुण वाला कोई भी उपसमुच्चय) एक अल्ट्राफिल्टर (अल्ट्राफिल्टर लेम्मा देखें) में समाहित होता है और इसलिए मुक्त अल्ट्राफिल्टर उपस्थित होते है, लेकिन प्रमाणों में फॉर्म में पसंद का सिद्धांत (एसी) शामिल होता है ज़ोर्न की लेम्मा का। दूसरी ओर, यह कथन कि प्रत्येक फिल्टर एक अल्ट्राफिल्टर में समाहित है, इसका अर्थ एसी नहीं है। वास्तव में, यह बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय (बीपीआईटी) के समतुल्य है, जो ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समूह सिद्धांत (जेडएफ) के सिद्धांतों और पसंद के सिद्धांत (जेडएफसी) द्वारा संवर्धित जेडएफ सिद्धांत के बीच एक प्रसिद्ध मध्यवर्ती बिंदु है। सामान्यतः, पसंद के सिद्धांत से जुड़े प्रमाण मुक्त अल्ट्राफिल्टर के स्पष्ट उदाहरण नहीं देते है, हालांकि ZFC के कुछ नमूनाों में स्पष्ट उदाहरण मिलना संभव है; उदाहरण के लिए, कर्ट गोडेल|गोडेल ने दिखाया कि यह रचनात्मक ब्रह्मांड में किया जा सकता है जहां कोई स्पष्ट वैश्विक विकल्प फ़ंक्शन लिख सकता है। ZF में पसंद के सिद्धांत के बिना, यह संभव है कि प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर प्रमुख हो।[3]

बूलियन बीजगणित पर अल्ट्राफिल्टर

अवधारणा का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला तब होता है जब माना गया पोसमूह एक बूलियन बीजगणित (संरचना) है। इस मामले में, अल्ट्राफिल्टर को प्रत्येक तत्व के लिए युक्त करके चित्रित किया जाता है बूलियन बीजगणित का, बिल्कुल तत्वों में से एक और (बाद वाला बूलियन बीजगणित#नॉनमोनोटोन नियम है ):

यदि एक बूलियन बीजगणित है और एक उचित फिल्टर चालू है तब निम्नलिखित कथन समतुल्य है:

  1. एक अल्ट्राफिल्टर चालू है
  2. एक प्राइम फिल्टर चालू है
  3. प्रत्येक के लिए दोनों में से एक या () [1]: 186 

1. और 2. समतुल्य होने का प्रमाण भी दिया गया है (ब्यूरिस, संकप्पनवर, 2012, परिणाम 3.13, पृष्ठ 133)।[4] इसके अलावा, बूलियन बीजगणित पर अल्ट्राफिल्टर बूलियन बीजगणित (संरचना)#आदर्श और फिल्टर और बूलियन बीजगणित (संरचना)#समरूपता और समरूपता से 2-तत्व बूलियन बीजगणित {सही, गलत} से संबंधित हो सकते है (जिन्हें 2-मूल्यवान आकारिकी के रूप में भी जाना जाता है) ) निम्नलिखित नुसार:

  • बूलियन बीजगणित की एक समरूपता को {सत्य, असत्य} पर देखते हुए, सत्य की व्युत्क्रम छवि एक अल्ट्राफिल्टर है, और असत्य की व्युत्क्रम छवि एक अधिकतम आदर्श है।
  • बूलियन बीजगणित के अधिकतम आदर्श को देखते हुए, इसका पूरक एक अल्ट्राफिल्टर है, और अधिकतम आदर्श को गलत पर ले जाने के लिए {सही, गलत} पर एक अद्वितीय समरूपता है।
  • बूलियन बीजगणित पर एक अल्ट्राफिल्टर दिया गया है, इसका पूरक एक अधिकतम आदर्श है, और अल्ट्राफिल्टर को सत्य पर ले जाने के लिए {सही, गलत} पर एक अद्वितीय समरूपता है।

समूह के पावर समूह पर अल्ट्राफिल्टर

Main article: अल्ट्राफिल्टर (समूह सिद्धांत)

एक मनमाना समूह दिया गया इसका पावर समूह समूह समावेशन द्वारा क्रमबद्ध, हमेशा एक बूलियन बीजगणित होता है; इसलिए उपरोक्त अनुभाग के परिणाम आवेदन करना। एक (अल्ट्रा)फिल्टर चालू इसे अक्सर केवल (अल्ट्रा)फिल्टर ऑन कहा जाता है .[note 1]उपरोक्त औपचारिक परिभाषाओं को पावरसमूह मामले में निम्नानुसार विशिष्ट किया जा सकता है:

एक मनमाना समूह दिया गया एक अल्ट्राफिल्टर चालू एक समूह है के उपसमुच्चय से मिलकर बना है ऐसा है कि:

  1. खाली समूह इसका एक तत्व नहीं है
  2. यदि और के उपसमुच्चय है समूह का एक उपसमुच्चय है और का एक तत्व है तब का भी एक तत्व है
  3. यदि और के तत्व है तो फिर प्रतिच्छेदन (समूह सिद्धांत) भी ऐसा ही है और
  4. यदि का एक उपसमुच्चय है तो कोई[note 4] या इसका सापेक्ष पूरक का एक तत्व है

पावर समूह पर अल्ट्राफिल्टर को देखने का दूसरा तरीका इस प्रकार है: किसी दिए गए अल्ट्राफिल्टर के लिए किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करें पर व्यवस्थित करके यदि का एक तत्व है और अन्यथा। ऐसे फ़ंक्शन को 2-मूल्यवान रूपवाद कहा जाता है। तब परिमित रूप से योगात्मक है, और इसलिए a content पर और के तत्वों की प्रत्येक संपत्ति या तो लगभग हर जगह सच है या लगभग हर जगह झूठ। हालाँकि, सामान्यतः नहीं है countably additive, और इसलिए सामान्य अर्थ में माप (गणित) को परिभाषित नहीं करता है।

एक फिल्टर के लिए कोई कह सकता है कि यह कोई अल्ट्राफिल्टर नहीं है यदि और यदि छोड़कर अन्यत्र अपरिभाषित[5]

अनुप्रयोग

पावर समूह पर अल्ट्राफिल्टर सांस्थिति में उपयोगी होते है, विशेष रूप से सघन स्थान हॉसडॉर्फ़ स्थान स्पेस के संबंध में, और अल्ट्राप्रोडक्ट के निर्माण में नमूना सिद्धांत में। कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्पेस पर प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर बिल्कुल एक बिंदु पर एकत्रित होता है। इसी तरह, बूलियन बीजगणित पर अल्ट्राफिल्टर बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय में एक केंद्रीय भूमिका निभाते है|स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय। समूह सिद्धांत में अल्ट्राफिल्टर का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि निर्माणशीलता का सिद्धांत मापने योग्य कार्डिनल के अस्तित्व के साथ असंगत है κ. यह समूह सैद्धांतिक ब्रह्मांड मॉड्यूलो ए की अल्ट्रापॉवर लेने से सिद्ध होता है κ-पूर्ण, गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर।[6] समूह एक पोसमूह के सभी अल्ट्राफिल्टर का प्राकृतिक तरीके से सांस्थिति बनाई जा सकती है, जो वास्तव में उपर्युक्त प्रतिनिधित्व प्रमेय से निकटता से संबंधित है। किसी भी तत्व के लिए का , होने देना यह तब सर्वाधिक उपयोगी होता है जब यह फिर से एक बूलियन बीजगणित है, क्योंकि इस स्थिति में सभी का समुच्चय है कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ सांस्थिति का आधार है . विशेषकर, जब किसी पावरसमूह पर अल्ट्राफिल्टर पर विचार किया जा रहा हो परिणामी टोपोलॉजिकल स्पेस कार्डिनैलिटी के एक अलग स्थान का स्टोन-सेच कॉम्पेक्टिफिकेशन है नमूना सिद्धांत में अल्ट्राप्रोडक्ट निर्माण एक अनुक्रम से शुरू होने वाले नए नमूना का उत्पादन करने के लिए अल्ट्राफिल्टर का उपयोग करता है -अनुक्रमित नमूना; उदाहरण के लिए, सघनता प्रमेय को इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है। अल्ट्रापॉवर के विशेष मामले में, किसी को संरचनाओं का प्राथमिक विस्तार मिलता है। उदाहरण के लिए, गैर-मानक विश्लेषण में, हाइपररियल संख्याओं का निर्माण वास्तविक संख्याओं के अल्ट्राप्रोडक्ट के रूप में किया जा सकता है, जो प्रवचन के क्षेत्र को वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम तक विस्तारित करता है। इस अनुक्रम स्थान को संबंधित स्थिर अनुक्रम के साथ प्रत्येक वास्तविक की पहचान करके वास्तविकताओं का एक सुपरसमूह माना जाता है। परिचित कार्यों और संबंधों (उदाहरण के लिए, + और <) को वास्तविक से हाइपररियल तक विस्तारित करने के लिए, प्राकृतिक विचार उन्हें बिंदुवार परिभाषित करना है। लेकिन इससे यथार्थ के महत्वपूर्ण तार्किक गुण नष्ट हो जायेंगे; उदाहरण के लिए, बिंदुवार < कुल अनुक्रम नहीं है। इसलिए इसके बजाय फ़ंक्शंस और संबंधों को Ultraproduct#Definition परिभाषित किया गया है , कहाँ अनुक्रमों के सूचकांक समूह पर एक अल्ट्राफिल्टर है; Łoś' प्रमेय के अनुसार, यह वास्तविकताओं के सभी गुणों को संरक्षित करता है जिन्हें प्रथम-क्रम तर्क में बताया जा सकता है। यदि गैर-प्रमुख है, तो उसके द्वारा प्राप्त विस्तार गैर-तुच्छ है।

ज्यामितीय समूह सिद्धांत में, किसी समूह के अल्ट्रालिमिट#एसिम्प्टोटिक शंकु को परिभाषित करने के लिए गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर का उपयोग किया जाता है। यह निर्माण विचार करने के लिए एक कठोर तरीका प्रदान करता है looking at the group from infinity, यह समूह की बड़े पैमाने की ज्यामिति है। एसिम्प्टोटिक शंकु मीट्रिक रिक्त स्थान की Ultralimit ्स के विशेष उदाहरण है।

गोडेल का ईश्वर के अस्तित्व का ऑन्टोलॉजिकल प्रमाण एक सिद्धांत के रूप में उपयोग करता है कि सभी सकारात्मक गुणों का समूह एक अल्ट्राफिल्टर है।

सामाजिक चयन सिद्धांत में, गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर का उपयोग असीमित व्यक्तियों की प्राथमिकताओं को एकत्रित करने के लिए एक नियम (जिसे सामाजिक कल्याण फ़ंक्शन कहा जाता है) को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। बहुत से व्यक्तियों के लिए एरो की असंभवता प्रमेय के विपरीत, ऐसा नियम उन शर्तों (गुणों) को संतुष्ट करता है जो एरो प्रस्तावित करता है (उदाहरण के लिए, किरमान और सोंडरमैन, 1972)।[7] मिहारा (1997,[8] 1999)[9] हालाँकि, दिखाता है कि ऐसे नियम सामाजिक वैज्ञानिकों के लिए व्यावहारिक रूप से सीमित रुचि के है, क्योंकि वे गैर-एल्गोरिदमिक या गैर-गणना योग्य है।

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. ↑ 1.0 1.1 If happens to be partially ordered, too, particular care is needed to understand from the context whether an (ultra)filter on or an (ultra)filter just on is meant; both kinds of (ultra)filters are quite different. Some authors[citation needed] use "(ultra)filter of a partial ordered set" vs. "on an arbitrary set"; i.e. they write "(ultra)filter on " to abbreviate "(ultra)filter of ".
  2. ↑ To see the "if" direction: If then by the characterization Nr.7 from Ultrafilter (set theory)#Characterizations. That is, some is the principal element of
  3. ↑ is non-principal if and only if it contains no finite set, that is, (by Nr.3 of the above characterization theorem) if and only if it contains every cofinite set, that is, every member of the Fréchet filter.
  4. ↑ Properties 1 and 3 imply that and cannot both be elements of


संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 Davey, B. A.; Priestley, H. A. (1990). लैटिस और ऑर्डर का परिचय. Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press.
  2. ↑ Goldbring, Isaac (2021). Marta Maggioni, Sophia Jahns. "कॉम्बिनेटरिक्स में अल्ट्राफिल्टर विधियाँ". Snapshots of Modern Mathematics from Oberwolfach (in English). doi:10.14760/SNAP-2021-006-EN.
  3. ↑ Halbeisen, L. J. (2012). कॉम्बिनेटोरियल सेट थ्योरी. Springer Monographs in Mathematics. Springer.
  4. ↑ Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P. (2012). सार्वभौमिक बीजगणित में एक पाठ्यक्रम (PDF). ISBN 978-0-9880552-0-9.
  5. ↑ "अल्ट्राफिल्टर पर नोट्स" (PDF).
  6. ↑ Kanamori, The Higher infinite, p. 49.
  7. ↑ Kirman, A.; Sondermann, D. (1972). "एरो का प्रमेय, अनेक एजेंट और अदृश्य तानाशाह". Journal of Economic Theory. 5 (2): 267–277. doi:10.1016/0022-0531(72)90106-8.
  8. ↑ Mihara, H. R. (1997). "एरो की प्रमेय और ट्यूरिंग संगणना" (PDF). Economic Theory. 10 (2): 257–276. CiteSeerX 10.1.1.200.520. doi:10.1007/s001990050157. S2CID 15398169. Archived from the original (PDF) on 2011-08-12Reprinted in K. V. Velupillai, S. Zambelli, and S. Kinsella, ed., Computable Economics, International Library of Critical Writings in Economics, Edward Elgar, 2011.{{cite journal}}: CS1 maint: postscript (link)
  9. ↑ Mihara, H. R. (1999). "एरो का प्रमेय, अनगिनत एजेंट, और अधिक दृश्यमान अदृश्य तानाशाह". Journal of Mathematical Economics. 32 (3): 267–277. CiteSeerX 10.1.1.199.1970. doi:10.1016/S0304-4068(98)00061-5.


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