समर्थन (माप सिद्धांत)

गणित में, एक माप $\mu$ के समर्थन (कभी-कभी टोपोलॉजिकल समर्थन या स्पेक्ट्रम) का अर्थ होता है कि यह माप अंतरिक्ष $X$ में "निवास करता है"। यह निर्धारित किया जाता है कि यह सबसे बड़ा (बंद) उपसमूह है जिसके लिए प्रत्येक बिंदु के प्रत्येक खुले आस-पासी का माप धनात्मक होता है।

प्रेरणा

एक (गैर-नकारात्मक) माप $\mu$ एक मापनीय अंतरिक्ष $(X,\Sigma )$ पर वास्तव में एक फ़ंक्शन $\mu :\Sigma \to [0,+\infty ]$ होता है। इसलिए, सामान्य रूप से समर्थन की मान्यता के दृष्टिकोण से, माप $\mu$ का समर्थन $\Sigma$ का उपसमूह होता है:

$$\operatorname {supp} (\mu ):={\overline {A\in \Sigma ,\vert ,\mu (A)\neq 0}}$$

, जहां अद्यावधिक चिह्न समूह आवरण को दर्शाता है। हालांकि, यह परिभाषा कुछ हद तक असंतुष्टिप्रद है: हम आवरण की धारणा का उपयोग करते हैं, लेकिन हमारे पास $\Sigma$ पर भी एक टोपोलॉजी नहीं है। हमारी वास्तविक आवश्यकता है कि हम जानें कि अंतरिक्ष $X$ में माप $\mu$ कहां गैर-शून्य होता है। दो उदाहरणों पर विचार करें: लेबेस्ग माप $\lambda$ वास्तविक रेखा $\mathbb {R}$ पर है। स्पष्ट है कि $\lambda$ पूरी वास्तविक रेखा पर "निवास करता है"।

1. एक बिना आवश्यकता के दिराक माप $\delta _{p}$ वहाँ किसी बिंदु $p\in \mathbb {R}$ पर होता है। फिर भी, बौद्धिकता सुझाव देती है कि माप $\delta _{p}$ केवल बिंदु $p$ पर "निवास करता है" और कहीं और नहीं।.

इन दो उदाहरणों के प्रकाश में, हम अगले भाग में दी गई परिभाषाओं के पक्ष में निम्नलिखित उम्मीदवार परिभाषाओं को अस्वीकार कर सकते हैं: हम $\mu$ शून्य होने वाले बिंदुओं को हटा सकते हैं, और समर्थन को शेष भाग $X\setminus {x\in X\mid \mu ({x})=0}$ ले सकते हैं। यह दिराक माप $\delta _{p}$ के लिए काम कर सकता है, लेकिन यह निश्चित रूप से लेबेस्ग माप $\lambda$ के लिए काम नहीं करेगा: क्योंकि किसी एकल संख्या का लेबेस्ग माप शून्य होता है, इस परिभाषा से हमें खाली समर्थन $\lambda$ मिल जाएगा।. मापों की सख्त धनात्मकता की अवधारणा के साथ तुलना करके, हम समर्थन को उन सभी बिंदुओं का सेट ले सकते हैं जिनके पास धनात्मक माप वाले एक आस-पासी होता है:

$$\{x\in X\mid \exists N_{x}{\text{ open}}{\text{ such that }}(x\in N_{x}{\text{ and }}\mu (N_{x})>0)\}$$

(या इसका आवरण)। यह भी बहुत ही सरल होता है: सभी बिंदुओं के लिए $N_{x}=X$ लेते हुए, इससे शून्य माप के अलावा हर माप का समर्थन पूरी $X$ बन जाएगा हालाँकि, स्थानीय सख्त सकारात्मकता का विचार एक व्यावहारिक परिभाषा से बहुत दूर नहीं है।

परिभाषा

यदि $(X,T)$ एक टोपोलॉजिकल समूह हो, तो $B(T)$ $X$ पर बोरेल σ-संघ का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात् $X$ पर सभी खुले समूह $U\in T$ को शामिल करने वाले सबसे छोटा σ-संघ है। $\mu$ $(X,B(T))$ पर एक माप हो। तब $\mu$ का समर्थन (या स्पेक्ट्रम) निम्न रूप में परिभाषित होता है:

$$\operatorname {supp} (\mu ):={x\in X\mid \forall N_{x}\in T\colon (x\in N_{x}\Rightarrow \mu (N_{x})>0)}.$$

कुछ लेखक इस सेट का आवरण लेने को प्राथमिकता देते हैं। हालांकि, यह आवश्यक नहीं है: नीचे "गुण" देखें।

समर्थन की एक समकक्ष परिभाषा उन सभी $C\in B(T)$ के रूप में है (समावेश के संबंध में) जहां प्रत्येक खुले समूह जो $C$ के गैर-खाली छेद के साथ संबंध रखता है, उसका माप धनात्मक होता है। अर्थात् यह सबसे बड़ा $C$ है जिसके लिए यह प्राथमिकता होती है:

$$(\forall U\in T)(U\cap C\neq \varnothing \implies \mu (U\cap C)>0).$$

हस्ताक्षरित और जटिल उपाय

इस परिभाषा को धनात्मक और आवेशित मापों के लिए विस्तारित किया जा सकता है। समझें कि $\mu :\Sigma \to [-\infty ,+\infty ]$ एक आवेशित माप है। हान विभाजन का सिद्धांत का उपयोग करके इसे निम्न रूप में लिखें:

$$\mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}$$

, यहां $\mu ^{\pm }$ दोनों गैर-नकारात्मक माप हैं। तब $\mu$ का समर्थन निम्न रूप में परिभाषित होता है:

$$\operatorname {supp} (\mu ):=\operatorname {supp} (\mu ^{+})\cup \operatorname {supp} (\mu ^{-})$$

. इसी तरह, यदि $\mu :\Sigma \to \mathbb {C}$ एक संयुक्त माप है, तो $\mu$ का समर्थन उसके वास्तविक और काल्पनिक भागों के समर्थनों का संयोजन होता है।

गुण

$\operatorname {supp} (\mu _{1}+\mu _{2})=\operatorname {supp} (\mu _{1})\cup \operatorname {supp} (\mu _{2})$ का सत्य होता है।

यदि $\mu$ $X$ पर एक माप है और यह सख्त धनात्मक है, तो $\operatorname {supp} (\mu )=X$ होता है। यदि $\mu$ सख्त धनात्मक है और $x\in X$ विशेष नहीं है, तो कोई भी खुला पड़ोस का विस्तार (जो कि एक खुला सेट होता है) धनात्मक माप होता है; इसलिए, $x\in \operatorname {supp} (\mu )$ होता है, इसलिए $\operatorname {supp} (\mu )=X$ होता है। पुनः, यदि $\operatorname {supp} (\mu )=X$ है, तो हर गैर-खाली खुला सेट (जो कि इसके आंतरिक सेट के एक बिंदु का खुला पड़ोस होता है, जो समर्थन का एक बिंदु भी है) धनात्मक माप होता है; इसलिए, $\mu$ सख्त धनात्मक होता है। माप का समर्थन $X$ में बंद होता है, क्योंकि इसका पूरक माप 0 के खुले सेटों का संयोग होता है।

सामान्यतः एक शून्य माप का समर्थन खाली हो सकता है: नीचे दिए गए उदाहरणों को देखें। हालांकि, यदि $X$ एक हाउसडॉरफ समूह है और $\mu$ एक रैडॉन माप है, तो समर्थन के बाहर एक बोरेल सेट $A$ का माप शून्य होता है।

$$A\subseteq X\setminus \operatorname {supp} (\mu )\implies \mu (A)=0.$$

यदि $A$ खुला है, तो यह बात सत्य है, लेकिन सामान्यतः यह सत्य नहीं है: अगर कोई ऐसा बिंदु $x\in \operatorname {supp} (\mu )$ मौजूद है जिसके लिए $\mu ({x})=0$ होता है (उदाहरण के लिए, लेबेस्ग माप), तो यह सत्य नहीं होता है। इसलिए, समर्थन के बाहर "समान्य रूप से अंशिक" ढंग से कार्य करने की आवश्यकता नहीं होती है: किसी भी मापयोगी संख्या $f:X\to \mathbb {R}$ या $\mathbb {C} ,$ के लिए,

$$\int _{X}f(x),\mathrm {d} \mu (x)=\int _{\operatorname {supp} (\mu )}f(x),\mathrm {d} \mu (x).$$

माप का समर्थन और हिलबर्ट स्थान पर स्व-संयुक्त रूप में एक स्व-प्रतिबिम्बी रैखिक ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम का अवधारणा गहरायी से संबंधित होती है। वास्तव में, यदि $\mu$ एक पंक्ति पर एक नियमित बोरेल माप है, तो गुणन ऑपरेटर $(Af)(x)=xf(x)$ अपने प्राकृतिक डोमेन पर स्व-संयुक्त है

$$D(A)={f\in L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu )\mid xf(x)\in L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu )}$$

और इसका स्पेक्ट्रम सीधे-सीधे पहचान-सीमा के साथ मेल खाता है, जो बिलकुल $\mu$ का समर्थन होता है।

उदाहरण

लेब्सग माप

लेब्सगेग माप के मामले में $\lambda$ असली लाइन पर $\mathbb {R} ,$ एक मनमाना बिंदु पर विचार करें $x\in \mathbb {R} .$ फिर कोई खुला पड़ोस $N_{x}$ का $x$ कुछ खुला अंतराल होना चाहिए (गणित) $(x-\epsilon ,x+\epsilon )$ कुछ के लिए $\epsilon >0.$ इस अंतराल में लेब्सेग माप है $2\epsilon >0,$ इसलिए $\lambda (N_{x})\geq 2\epsilon >0.$ तब से $x\in \mathbb {R}$ मनमाना था, $\operatorname {supp} (\lambda )=\mathbb {R} .$

डिराक माप

डिराक माप के मामले में $\delta _{p},$ होने देना $x\in \mathbb {R}$ और दो मामलों पर विचार करें:

1. अगर $x=p,$ फिर हर खुला पड़ोस $N_{x}$ का $x$ रोकना $p,$ इसलिए $\delta _{p}(N_{x})=1>0.$
2. दूसरी ओर, यदि $x\neq p,$ तब वहां एक पर्याप्त छोटी खुली गेंद मौजूद होती है $B$ आस-पास $x$ जिसमें शामिल नहीं है $p,$ इसलिए $\delta _{p}(B)=0.$

हम यह निष्कर्ष निकालते हैं $\operatorname {supp} (\delta _{p})$ सिंगलटन (गणित) सेट का समापन है $\{p\},$ जो है $\{p\}$ अपने आप।

वास्तव में, एक उपाय $\mu$ वास्तविक रेखा पर एक डिराक माप है $\delta _{p}$ कुछ बिंदु के लिए $p$ यदि और केवल यदि का समर्थन $\mu$ सिंगलटन सेट है $\{p\}.$ नतीजतन, वास्तविक रेखा पर डिराक माप शून्य विचरण वाला अद्वितीय माप है (बशर्ते कि माप में बिल्कुल भी विचरण हो)।

एक समान वितरण

उपाय पर विचार करें $\mu$ असली लाइन पर $\mathbb {R}$ द्वारा परिभाषित

$$\mu (A):=\lambda (A\cap (0,1))$$

यानी खुले अंतराल पर एक समान वितरण (निरंतर)। $(0,1).$ डिराक माप उदाहरण के समान तर्क यह दर्शाता है $\operatorname {supp} (\mu )=[0,1].$ ध्यान दें कि सीमा बिंदु 0 और 1 समर्थन में स्थित हैं: 0 (या 1) वाले किसी भी खुले सेट में 0 (या 1) के बारे में एक खुला अंतराल होता है, जिसे प्रतिच्छेद करना चाहिए $(0,1),$ और इसलिए सकारात्मक होना चाहिए $\mu$-उपाय।

एक गैर-तुच्छ उपाय जिसका समर्थन खाली है

खुले अंतरालों द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी के साथ सभी गणनीय अध्यादेशों का स्थान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान है। वह माप (ड्युडोने माप) जो एक असीमित बंद उपसमुच्चय वाले बोरेल सेटों को माप 1 प्रदान करता है और अन्य बोरेल सेटों को 0 प्रदान करता है, एक बोरेल संभाव्यता माप है जिसका समर्थन खाली है।

===एक गैर-तुच्छ माप जिसका समर्थन शून्य === है

एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान पर एक गैर-शून्य माप का समर्थन हमेशा गैर-रिक्त होता है, लेकिन इसमें माप हो सकता है $0.$ इसका एक उदाहरण पहले बेशुमार क्रमसूचक को जोड़कर दिया गया है $\Omega$ पिछले उदाहरण के अनुसार: माप का समर्थन एकल बिंदु है $\Omega ,$ जिसका माप है $0.$

संदर्भ

• Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. (2005). Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel. ISBN 3-7643-2428-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Parthasarathy, K. R. (2005). Probability measures on metric spaces. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. p. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X. MR2169627 (See chapter 2, section 2.)
• Teschl, Gerald (2009). Mathematical methods in Quantum Mechanics with applications to Schrödinger Operators. AMS.(See chapter 3, section 2)