मेट्रिजेबल समष्टि

संस्थितिकी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, मातृतीक समष्टि एक सस्थितिक समष्टि है जो मात्रिक समष्टि के लिए होमियोमोर्फिज्म है। अर्थात संस्थितिक समष्टि $(X,\tau )$ यदि कोई मात्रिक (गणित) $d:X\times X\to [0,\infty )$ है जैसा की $d$ द्वारा संयोजित संस्थितिक $\tau$ हैं, तो इसे मातृतीक कहा जाता है। मातृतीक प्रमेय वे प्रमेय हैं जो संस्थितिक समष्टि को मातृतीक होने के लिए पर्याप्त कारण देते हैं।

गुण

मातृतीक समष्टि मात्रिक समष्टि से सभी संस्थितिक गुणों को प्राप्त करते हैं। उदाहरण के लिए, वे हॉसडॉर्फ़ परसंक्षिप्त समष्टि (और इसलिए सामान्य समष्टि और टाइकोनोफ़ समष्टि) और प्रथम-गणनीय समष्टि हैं। यद्यपि की, मात्रिक के कुछ गुण, जैसे पूर्णता, को पहले से में मिला हुआ नहीं कहा जा सकता है। यह मात्रिक से जुड़ी अन्य संरचनाओं के विषय में भी सत्य हैं। उदाहरण के लिए, मातृतीक एकसमान समष्टि में एक मात्रिक समष्टि की तुलना में संकुचन मानचित्रण का अलग समुच्चय हो सकता है जिसके लिए यह होमियोमोर्फिक है।

मातृतीक प्रमेय

उरिसोन्स मातृतीक प्रमेय पहले व्यापक रूप से मान्यता प्राप्त मातृतीक प्रमेयों में से एक था। इसमें कहा गया है कि प्रत्येक हॉसडॉर्फ़ द्वितीय-गणनीय नियमित समष्टि मातृतीक है। इसलिए, उदाहरण के लिए, प्रत्येक सेकंड-गणनीय विविध मातृतीक है। (ऐतिहासिक नोट: यहां दिखाए गए प्रमेय का रूप वास्तव में 1926 में एंड्री निकोलाइविच तिखोनॉफ़ द्वारा सिद्ध किया गया था। 1925 में मरणोपरांत प्रकाशित पेपर में पावेल सैमुइलोविच उरीसोहन ने जो दिखाया था, वह यह था कि प्रत्येक सेकंड-गणनीय सामान्य समष्टि हॉसडॉर्फ समष्टि मातृतीक है)। इसका विलोम मान्य नहीं है: ऐसे मात्रिक समष्टि उपस्थित हैं जो दूसरे गणनीय नहीं हैं, उदाहरण के लिए, असतत मात्रिक से संपन्न अगणनीय समुच्चय हैं। नागाटा-स्मिरनोव मातृतीक प्रमेय, जिसका नीचे वर्णन किया गया है, अधिक विशिष्ट प्रमेय प्रदान करता है जहां विरुद्ध प्रभाव पड़ता है।

कई अन्य मातृतीक प्रमेय उरिसोन्स के प्रमेय के सरल परिणाम के रूप में अनुसरण करते हैं। उदाहरण के लिए, संक्षिप्त समष्टि हॉसडॉर्फ समष्टि मातृतीक है, यदि और केवल यदि यह दूसरी-गणना योग्य है।

उरिसोन्स के प्रमेय को इस प्रकार दोहराया जा सकता है: एक संस्थितिक समष्टि अलग करने योग्य और मातृतीक है यदि और केवल यदि यह नियमित, हॉसडॉर्फ और दूसरा-गणनीय है। नागाटा-स्मिरनोव मातृतीक प्रमेय इसे अवियोज्य स्थिति तक विस्तारित करता है। इसमें कहा गया है कि संस्थितिक समष्टि मातृतीक है यदि और केवल यदि यह नियमित है, हॉसडॉर्फ और इसका σ-आधारभूत रूप से सीमित आधार है। σ-स्थानीय रूप से परिमित आधार एक आधार है जो मुक्त समुच्चयों के अनगिनत स्थानीय रूप से परिमित संग्रहों का संघ है। निकट से संबंधित प्रमेय के लिए बिंग मातृतीक प्रमेय देखते हैं।

अलग-अलग मातृतीक समष्टि को उन समष्टियो के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है जो हिल्बर्ट घन के उप-समष्टि $\lbrack 0,1\rbrack ^{\mathbb {N} }$ के लिए होम्योमॉर्फिक हैं, अर्थात् इकाई अंतराल का गणनीय अनंत गुणन (वास्तविकता से इसकी प्राकृतिक उप-समष्टि संस्थितिकी के साथ), गुणन संस्थितिकी से संपन्न है।

किसी समष्टि को आधारभूत रूप से मातृतीक कहा जाता है यदि आसपास का प्रत्येक बिंदु मातृतीक होता हैं। स्मिरनोव ने सिद्ध किया कि आधारभूत रूप से मातृतीक समष्टि मातृतीक है यदि और केवल यदि वह हॉसडॉर्फ और परसंक्षिप्त है। विशेष रूप से, विविध मातृतीक है यदि और केवल यदि यह परसंक्षिप्त है।

उदाहरण

एकात्मक संचालकों $\mathbb {U} ({\mathcal {H}})$ का समूह वियोज्य हिल्बर्ट समष्टि ${\mathcal {H}}$ पर संपन्न शक्तिशाली संचालक संस्थितिकी के साथ मातृतीक है (प्रस्ताव II.1 देखें)। ).

अमातृतीक रिक्त समष्टि के उदाहरण

असामान्य समष्टि मातृतीक नहीं हो सकते; महत्वपूर्ण उदाहरणों में सम्मलित हैं।

• बीजगणितीय विविधता पर या वृत्त के वर्णक्रम पर ज़ारिस्की संस्थितकी, बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग किया जाता है,
• वास्तविक रेखा से सभी फलन (गणित) का संस्थितिक सदिश समष्टि $\mathbb {R}$ स्वयं के लिए, बिन्दुवत अभिसरण की संस्थितिकी के साथ होता हैं।

निम्न सिमा संस्थितिकी के साथ वास्तविक रेखा मातृतीक नहीं है। सामान्य दूरी फलन इस समष्टि पर मात्रिक नहीं है क्योंकि यह जिस संस्थितिकी को निर्धारित करता है वह सामान्य संस्थितिकी है, वह निम्न सीमा संस्थितिकी नहीं होती हैं। यह समष्टि हॉसडॉर्फ, परसंक्षिप्त और प्रथम गणनीय है।

आधारभूत रूप से मातृतीक परन्तु अमातृतीक

दो मूलों वाली रेखा, जिसे 'बग-आइड रेखा' भी कहा जाता है एक गैर-हॉसडॉर्फ़ बहुरूप है (और इस प्रकार यह मातृतीक नहीं हो सकता)। सभी बहुरूपों की तरह, यह यूक्लिडियन समष्टि के लिए आधारभूत रूप से होमोमोर्फिक है और इस प्रकार आधारभूत रूप से मातृतीक समष्टि (लेकिन अमातृतीक) और आधारभूत रूप से हॉसडॉर्फ समष्टि (परन्तु गैर-हॉसडॉर्फ) है। यह एक T1 आधारभूत नियमित समष्टि लेकिन अर्धनियमित समष्टि नहीं हैं।

लंबी रेखा (संस्थितिकी) आधारभूत रूप से मातृतीक हैं परन्तु अमातृतीक; एक प्रकार से यह बहुत लंबा है।

यह भी देखें

• Apollonian metric – Romanian mathematician and poet
• Bing metrization theorem
• Metrizable topological vector space
• Moore space (topology)
• Nagata–Smirnov metrization theorem
• Uniformizability, एक समान स्थान के लिए होमोमोर्फिक होने की एक टोपोलॉजिकल स्पेस की संपत्ति, या समकक्ष टोपोलॉजी को स्यूडोमेट्रिक स्पेस के एक परिवार द्वारा परिभाषित किया जा रहा है

संदर्भ

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