एंटीथेटिक वैरिएबल

सांख्यिकी में, एंटीथेटिक विचर विधि मोंटे कार्लो विधियों में उपयोग की जाने वाली एक प्रसरण समानयन तकनीक है। यह ध्यान में रखते हुए कि अनुकारित संकेत (मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग करके) में त्रुटि में एक से अधिक वर्गमूल अभिसरण हैं, सटीक परिणाम प्राप्त करने के लिए बहुत बड़ी संख्या में प्रतिदर्श पथों की आवश्यकता होती है। एंटीथेटिक विचर विधि अनुकार (सिमुलेशन) परिणामों के प्रसरण को कम करती है।

अंतर्निहित सिद्धांत

एंटीथेटिक विचर तकनीक में प्राप्त प्रत्येक प्रतिदर्श पथ के लिए, इसके एंटीथेटिक पथ को लेने में सम्मिलित होता है - जिसे $\{\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{M}\}$ लेने के लिए एक पथ $\{-\varepsilon _{1},\dots ,-\varepsilon _{M}\}$ दिया जाता है। इस तकनीक का लाभ दोगुना है: यह N पथ उत्पन्न करने के लिए लिए जाने वाले प्रसामान्य प्रतिदर्शों की संख्या को कम करता है, और यह प्रतिदर्श पथों के प्रसरण को कम करता है, जिससे सटीकता में सुधार होता है।

मान लीजिए कि हम आकलन करना चाहेंगे

$\theta =\mathrm {E} (h(X))=\mathrm {E} (Y)\,$

उसके लिए हमने दो प्रतिदर्श तैयार किए हैं

$Y_{1}{\text{ and }}Y_{2}\,$

का एक निष्पक्ष अनुमान ${\theta }$ द्वारा दिया गया है

${\hat {\theta }}={\frac {Y_{1}+Y_{2}}{2}}.$

और

${\text{Var}}({\hat {\theta }})={\frac {{\text{Var}}(Y_{1})+{\text{Var}}(Y_{2})+2{\text{Cov}}(Y_{1},Y_{2})}{4}}$

इसलिए यदि ${\text{Cov}}(Y_{1},Y_{2})$ ऋणात्मक है तो प्रसरण कम हो जाता है।

उदाहरण 1

यदि चर X का नियम [0, 1] के साथ एक समान बंटन का पालन करता है, तो पहला प्रतिदर्श $u_{1},\ldots ,u_{n}$ होगा, जहां, किसी दिए गए i के लिए, $u_{i}$ U(0, 1) से प्राप्त होता है। दूसरा प्रतिदर्श $u'_{1},\ldots ,u'_{n}$ से बनाया गया है, जहां, किसी दिए गए i के लिए: $u'_{i}=1-u_{i}$ | यदि समुच्चय $u_{i}$ [0, 1] के साथ एक समान है, तो $u'_{i}$ भी एक समान है। इसके अलावा, सहप्रसरण ऋणात्मक है, जो प्रारंभिक प्रसरण में लघुकरण की अनुमति देता है।

उदाहरण 2: पूर्णांकीय परिकलन

हम आकलन करना चाहेंगे

$I=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\,\mathrm {d} x.$

सटीक परिणाम $I=\ln 2\approx 0.69314718$ है| इस समाकल को $f(U)$ के प्रत्याशित मान के रूप में देखा जा सकता है, जहां

$f(x)={\frac {1}{1+x}}$

और U एकसमान बंटन [0, 1] का अनुसरण करते हैं।

निम्न तालिका चिरप्रतिष्ठित मोंटे कार्लो आकलन (प्रतिदर्श आकार: 2n, जहां n = 1500) की तुलना एंटीथेटिक विचर आकलन (प्रतिदर्श आकार: n, रूपांतरित प्रतिदर्श 1 - ui के साथ पूर्ण) से करती है:

	आकलन	मानक विचलन
चिरप्रतिष्ठित आकलन	0.69365	0.00255
एंटीथेटिक विचर	0.69399	0.00063

परिणाम का आकलन करने के लिए एंटीथेटिक विचर विधि का उपयोग एक महत्वपूर्ण प्रसरण में लघुकरण दर्शाता है।

यह भी देखें

• नियंत्रित विचर