टेलीग्राफ प्रक्रिया: Difference between revisions

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संभाव्यता सिद्धांत में, टेलीग्राफ प्रक्रिया एक [[ स्मृतिहीनता ]] निरंतर-समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जो दो अलग-अलग मान दिखाती है। यह [[फटने का शोर]] (जिसे पॉपकॉर्न शोर या रैंडम टेलीग्राफ सिग्नल भी कहा जाता है) को मॉडल करता है। यदि दो संभावित मान जो एक यादृच्छिक चर ले सकते हैं '' हैं<math>c_1</math>और<math>c_2</math>, तो प्रक्रिया को निम्नलिखित [[मास्टर समीकरण]]ों द्वारा वर्णित किया जा सकता है:
संभाव्यता सिद्धांत में, '''टेलीग्राफ प्रक्रिया''' एक स्मृतिहीन सतत-समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जो दो अलग-अलग मान दिखाती है। यह बर्स्ट नॉइज़ को मॉडल करता है (जिसे पॉपकॉर्न नॉइज़ या यादृच्छिक टेलीग्राफ संकेत भी कहा जाता है)यदि दो संभावित मान जो एक यादृच्छिक चर ले सकते हैं वे ''<math>c_1</math>''और ''<math>c_2</math>''हैं, तो प्रक्रिया को निम्नलिखित मास्टर समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है:


:<math>\partial_t P(c_1, t|x, t_0)=-\lambda_1 P(c_1, t|x, t_0)+\lambda_2 P(c_2, t|x, t_0)</math>
:<math>\partial_t P(c_1, t|x, t_0)=-\lambda_1 P(c_1, t|x, t_0)+\lambda_2 P(c_2, t|x, t_0)</math>
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:<math>\partial_t P(c_2, t|x, t_0)=\lambda_1 P(c_1, t|x, t_0)-\lambda_2 P(c_2, t|x, t_0).</math>
:<math>\partial_t P(c_2, t|x, t_0)=\lambda_1 P(c_1, t|x, t_0)-\lambda_2 P(c_2, t|x, t_0).</math>
कहाँ <math>\lambda_1</math> राज्य से जाने के लिए संक्रमण दर है <math>c_1</math> कहना <math>c_2</math> और <math>\lambda_2</math> राज्य से जाने के लिए संक्रमण दर है <math>c_2</math> कहना <math>c_1</math>. इस प्रक्रिया को Kac प्रक्रिया (गणितज्ञ मार्क Kac के नाम पर) के नाम से भी जाना जाता है।<ref name="Kac">{{cite journal | doi = 10.1023/A:1009437108439 | last1 = Bondarenko | first1 = YV | year = 2000 | title = वित्तीय सूचकांकों के विकास के विवरण के लिए संभाव्य मॉडल| journal = Cybernetics and Systems Analysis | volume = 36 | issue = 5| pages = 738–742 | s2cid = 115293176 }}</ref> और द्विभाजित यादृच्छिक प्रक्रिया।<ref>{{cite journal | last1 = Margolin | first1 = G | last2 = Barkai | first2 = E | year = 2006 | title = Nonergodicity of a Time Series Obeying Lévy Statistics | journal = Journal of Statistical Physics | volume = 122 | issue = 1| pages = 137–167 | doi =10.1007/s10955-005-8076-9 |bibcode=2006JSP...122..137M|arxiv = cond-mat/0504454 | s2cid = 53625405 }}</ref>
जहां <math>\lambda_1</math>अवस्था <math>c_1</math>से अवस्था <math>c_2</math> में जाने के लिए संक्रमण दर है और <math>\lambda_2</math>अवस्था <math>c_2</math>से अवस्था <math>c_1</math>में जाने के लिए संक्रमण दर है। इस प्रक्रिया को काक प्रक्रिया (गणितज्ञ मार्क काक के नाम पर),<ref name="Kac">{{cite journal | doi = 10.1023/A:1009437108439 | last1 = Bondarenko | first1 = YV | year = 2000 | title = वित्तीय सूचकांकों के विकास के विवरण के लिए संभाव्य मॉडल| journal = Cybernetics and Systems Analysis | volume = 36 | issue = 5| pages = 738–742 | s2cid = 115293176 }}</ref> और द्विभाजित यादृच्छिक प्रक्रिया के नाम से भी जाना जाता है।<ref>{{cite journal | last1 = Margolin | first1 = G | last2 = Barkai | first2 = E | year = 2006 | title = Nonergodicity of a Time Series Obeying Lévy Statistics | journal = Journal of Statistical Physics | volume = 122 | issue = 1| pages = 137–167 | doi =10.1007/s10955-005-8076-9 |bibcode=2006JSP...122..137M|arxiv = cond-mat/0504454 | s2cid = 53625405 }}</ref>
 
 
==समाधान==
==समाधान==
मास्टर समीकरण को एक वेक्टर का परिचय देकर मैट्रिक्स रूप में कॉम्पैक्ट रूप से लिखा जाता है <math>\mathbf{P}=[P(c_1, t|x, t_0),P(c_2, t|x, t_0)]</math>,
मास्टर समीकरण को एक वेक्टर का परिचय देकर मैट्रिक्स रूप में कॉम्पैक्ट रूप से लिखा जाता है <math>\mathbf{P}=[P(c_1, t|x, t_0),P(c_2, t|x, t_0)]</math>,

Revision as of 07:39, 17 July 2023

संभाव्यता सिद्धांत में, टेलीग्राफ प्रक्रिया एक स्मृतिहीन सतत-समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जो दो अलग-अलग मान दिखाती है। यह बर्स्ट नॉइज़ को मॉडल करता है (जिसे पॉपकॉर्न नॉइज़ या यादृच्छिक टेलीग्राफ संकेत भी कहा जाता है)। यदि दो संभावित मान जो एक यादृच्छिक चर ले सकते हैं वे और हैं, तो प्रक्रिया को निम्नलिखित मास्टर समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

और

जहां अवस्था से अवस्था में जाने के लिए संक्रमण दर है और अवस्था से अवस्था में जाने के लिए संक्रमण दर है। इस प्रक्रिया को काक प्रक्रिया (गणितज्ञ मार्क काक के नाम पर),[1] और द्विभाजित यादृच्छिक प्रक्रिया के नाम से भी जाना जाता है।[2]

समाधान

मास्टर समीकरण को एक वेक्टर का परिचय देकर मैट्रिक्स रूप में कॉम्पैक्ट रूप से लिखा जाता है ,

कहाँ

संक्रमण दर मैट्रिक्स है. औपचारिक समाधान प्रारंभिक स्थिति से निर्मित होता है (जो इसे परिभाषित करता है , राज्य है ) द्वारा

.

ऐसा दिखाया जा सकता है[3]

कहाँ पहचान मैट्रिक्स है और औसत संक्रमण दर है. जैसा , समाधान एक स्थिर वितरण तक पहुंचता है द्वारा दिए गए


गुण

प्रारंभिक अवस्था घातीय क्षय का ज्ञान। इसलिए, कुछ समय के लिए , प्रक्रिया निम्नलिखित स्थिर मानों तक पहुंच जाएगी, जिसे सबस्क्रिप्ट द्वारा दर्शाया गया है:

अर्थ:

विचरण:

कोई सहसंबंध फ़ंक्शन की गणना भी कर सकता है:


आवेदन

इस यादृच्छिक प्रक्रिया को मॉडल निर्माण में व्यापक अनुप्रयोग मिलता है:

यह भी देखें

संदर्भ

  1. 1.0 1.1 Bondarenko, YV (2000). "वित्तीय सूचकांकों के विकास के विवरण के लिए संभाव्य मॉडल". Cybernetics and Systems Analysis. 36 (5): 738–742. doi:10.1023/A:1009437108439. S2CID 115293176.
  2. Margolin, G; Barkai, E (2006). "Nonergodicity of a Time Series Obeying Lévy Statistics". Journal of Statistical Physics. 122 (1): 137–167. arXiv:cond-mat/0504454. Bibcode:2006JSP...122..137M. doi:10.1007/s10955-005-8076-9. S2CID 53625405.
  3. Balakrishnan, V. (2020). Mathematical Physics: Applications and Problems. Springer International Publishing. pp. 474