लेम्निस्केट: Difference between revisions
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जिन वक्रों को लेम्निस्केट कहा गया है उनमें तीन [[चतुर्थक समतल वक्र]] शामिल हैं: बूथ का | जिन वक्रों को लेम्निस्केट कहा गया है, उनमें तीन [[चतुर्थक समतल वक्र]] शामिल हैं: बूथ का हिप्पोपेड या लेम्निस्केट, बर्नौली का लेम्निस्केट, और [[गेरोनो का लेम्निस्केट]]। लेम्निस्केट्स (और विशेष रूप से हिप्पोपेड) का अध्ययन प्राचीन ग्रीक गणित से मिलता है, लेकिन इस प्रकार के वक्रों के लिए "लेम्निस्केट" शब्द 17वीं शताब्दी के अंत में [[जैकब बर्नौली]] के काम से आया है। | ||
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आकृति-आठ आकार वाले वक्रों के विचार का पता प्रोक्लस से लगाया जा सकता है, जो एक यूनानी [[नियोप्लाटोनिस्ट]] दार्शनिक और गणितज्ञ थे, जो 5वीं शताब्दी ईस्वी में रहते थे। प्रोक्लस ने टोरस के अक्ष के समानांतर एक समतल द्वारा टोरस के अनुप्रस्थ-परिच्छेद पर विचार किया। जैसा कि उन्होंने देखा, अधिकांश ऐसे अनुभागों के लिए अनुप्रस्थ-परिच्छेद में एक या दो दीर्घवृत्त होते हैं; हालाँकि, जब समतल टोरस की आंतरिक सतह पर [[स्पर्शरेखा]] होता है, तो अनुप्रस्थ-परिच्छेद एक आकृति-आठ का आकार ले लेता है, जिसे प्रोक्लस ने घोड़े की बेड़ी (घोड़े के दो पैरों को एक साथ पकड़ने के लिए एक उपकरण) कहा है, या ग्रीक में "हिप्पोपेडे"।<ref>{{LSJ|i(ppope/dh|ἱπποπέδη|shortref}}.</ref> इस वक्र का नाम "लेम्निस्केट ऑफ़ बूथ" 19वीं सदी के गणितज्ञ [[जेम्स बूथ (गणितज्ञ)|जेम्स बूथ]] द्वारा इसके अध्ययन के समय का है।<ref name="lemniscatomy">{{citation | |||
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लेम्निस्केट को एक [[बीजगणितीय वक्र]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो [[चतुर्थक बहुपद]] <math>(x^2 + y^2)^2 - cx^2 - dy^2</math> का शून्य सेट है। जब पैरामीटर ''d'' ऋणात्मक है (या विशेष मामले के लिए शून्य जहां लेम्निस्केट बाहरी स्पर्शरेखा वृत्तों की एक योग बन जाता है)। ''d'' के धनात्मक मानों के लिए इसके स्थान पर बूथ का दीर्घवृत्त प्राप्त होता है। | |||
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1680 में, [[जॉन डोमिनिक कैसिनी]] ने वक्रों के एक परिवार का अध्ययन किया, जिसे अब [[कैसिनी अंडाकार]] कहा जाता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: सभी बिंदुओं का [[लोकस (गणित)]], दो निश्चित बिंदुओं से उनकी दूरी का उत्पाद, वक्रों का [[फोकस (ज्यामिति)]], है निरंतर। बहुत विशेष परिस्थितियों में (जब बिंदुओं के बीच की आधी दूरी स्थिरांक के वर्गमूल के बराबर होती है) यह एक लेम्निस्केट को जन्म देता है। | 1680 में, [[जॉन डोमिनिक कैसिनी]] ने वक्रों के एक परिवार का अध्ययन किया, जिसे अब [[कैसिनी अंडाकार|कैसिनी दीर्घवृत्त]] कहा जाता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: सभी बिंदुओं का [[लोकस (गणित)]], दो निश्चित बिंदुओं से उनकी दूरी का उत्पाद, वक्रों का [[फोकस (ज्यामिति)]], है निरंतर। बहुत विशेष परिस्थितियों में (जब बिंदुओं के बीच की आधी दूरी स्थिरांक के वर्गमूल के बराबर होती है) यह एक लेम्निस्केट को जन्म देता है। | ||
1694 में, [[जोहान बर्नौली]] ने कैसिनी ओवल के लेम्निस्केट मामले का अध्ययन किया, जिसे अब बर्नौली के लेम्निस्केट के रूप में जाना जाता है (ऊपर दिखाया गया है), [[समकालिक वक्र]] की एक समस्या के संबंध में, जिसे पहले [[लाइबनिट्स]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था। दरियाई घोड़े की तरह, यह एक बीजगणितीय वक्र है, जो बहुपद का शून्य सेट है <math>(x^2 + y^2)^2 - a^2 (x^2 - y^2)</math>. बर्नौली के भाई जैकब बर्नौली ने भी उसी वर्ष उसी वक्र का अध्ययन किया और इसे इसका नाम लेम्निस्केट दिया।<ref name="bos">{{citation | 1694 में, [[जोहान बर्नौली]] ने कैसिनी ओवल के लेम्निस्केट मामले का अध्ययन किया, जिसे अब बर्नौली के लेम्निस्केट के रूप में जाना जाता है (ऊपर दिखाया गया है), [[समकालिक वक्र]] की एक समस्या के संबंध में, जिसे पहले [[लाइबनिट्स]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था। दरियाई घोड़े की तरह, यह एक बीजगणितीय वक्र है, जो बहुपद का शून्य सेट है <math>(x^2 + y^2)^2 - a^2 (x^2 - y^2)</math>. बर्नौली के भाई जैकब बर्नौली ने भी उसी वर्ष उसी वक्र का अध्ययन किया और इसे इसका नाम लेम्निस्केट दिया।<ref name="bos">{{citation | ||
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Revision as of 22:55, 8 July 2023
बीजीय ज्यामिति में, लेम्निस्केट कई आकृति-आठ या ∞-आकार के वक्रों में से एक है।[1][2] यह शब्द लैटिन लैमनिस्कैटस से आया है जिसका अर्थ है "रिबन से सजाया गया",[3] ग्रीक λημνίσκος से जिसका अर्थ है "रिबन",[2][4][5][6] या जो वैकल्पिक रूप से ऊन को संदर्भित कर सकता है जिससे रिबन बनाए गए थे।[1]
जिन वक्रों को लेम्निस्केट कहा गया है, उनमें तीन चतुर्थक समतल वक्र शामिल हैं: बूथ का हिप्पोपेड या लेम्निस्केट, बर्नौली का लेम्निस्केट, और गेरोनो का लेम्निस्केट। लेम्निस्केट्स (और विशेष रूप से हिप्पोपेड) का अध्ययन प्राचीन ग्रीक गणित से मिलता है, लेकिन इस प्रकार के वक्रों के लिए "लेम्निस्केट" शब्द 17वीं शताब्दी के अंत में जैकब बर्नौली के काम से आया है।
इतिहास और उदाहरण
बूथ का लेम्निस्केट
आकृति-आठ आकार वाले वक्रों के विचार का पता प्रोक्लस से लगाया जा सकता है, जो एक यूनानी नियोप्लाटोनिस्ट दार्शनिक और गणितज्ञ थे, जो 5वीं शताब्दी ईस्वी में रहते थे। प्रोक्लस ने टोरस के अक्ष के समानांतर एक समतल द्वारा टोरस के अनुप्रस्थ-परिच्छेद पर विचार किया। जैसा कि उन्होंने देखा, अधिकांश ऐसे अनुभागों के लिए अनुप्रस्थ-परिच्छेद में एक या दो दीर्घवृत्त होते हैं; हालाँकि, जब समतल टोरस की आंतरिक सतह पर स्पर्शरेखा होता है, तो अनुप्रस्थ-परिच्छेद एक आकृति-आठ का आकार ले लेता है, जिसे प्रोक्लस ने घोड़े की बेड़ी (घोड़े के दो पैरों को एक साथ पकड़ने के लिए एक उपकरण) कहा है, या ग्रीक में "हिप्पोपेडे"।[7] इस वक्र का नाम "लेम्निस्केट ऑफ़ बूथ" 19वीं सदी के गणितज्ञ जेम्स बूथ द्वारा इसके अध्ययन के समय का है।[1]
लेम्निस्केट को एक बीजगणितीय वक्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो चतुर्थक बहुपद का शून्य सेट है। जब पैरामीटर d ऋणात्मक है (या विशेष मामले के लिए शून्य जहां लेम्निस्केट बाहरी स्पर्शरेखा वृत्तों की एक योग बन जाता है)। d के धनात्मक मानों के लिए इसके स्थान पर बूथ का दीर्घवृत्त प्राप्त होता है।
बर्नौली का लेम्निस्केट
1680 में, जॉन डोमिनिक कैसिनी ने वक्रों के एक परिवार का अध्ययन किया, जिसे अब कैसिनी दीर्घवृत्त कहा जाता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: सभी बिंदुओं का लोकस (गणित), दो निश्चित बिंदुओं से उनकी दूरी का उत्पाद, वक्रों का फोकस (ज्यामिति), है निरंतर। बहुत विशेष परिस्थितियों में (जब बिंदुओं के बीच की आधी दूरी स्थिरांक के वर्गमूल के बराबर होती है) यह एक लेम्निस्केट को जन्म देता है।
1694 में, जोहान बर्नौली ने कैसिनी ओवल के लेम्निस्केट मामले का अध्ययन किया, जिसे अब बर्नौली के लेम्निस्केट के रूप में जाना जाता है (ऊपर दिखाया गया है), समकालिक वक्र की एक समस्या के संबंध में, जिसे पहले लाइबनिट्स द्वारा प्रस्तुत किया गया था। दरियाई घोड़े की तरह, यह एक बीजगणितीय वक्र है, जो बहुपद का शून्य सेट है . बर्नौली के भाई जैकब बर्नौली ने भी उसी वर्ष उसी वक्र का अध्ययन किया और इसे इसका नाम लेम्निस्केट दिया।[8] इसे ज्यामितीय रूप से उन बिंदुओं के स्थान के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जिनकी दो नाभियों से दूरियों का गुणनफल, अंतराफोकल दूरी के आधे के वर्ग के बराबर होता है।[9] यह हिप्पोपेड (लेम्निस्केट ऑफ बूथ) का एक विशेष मामला है , और एक टोरस के अनुप्रस्थ-परिच्छेद के रूप में बनाया जा सकता है जिसके आंतरिक छेद और गोलाकार अनुप्रस्थ-परिच्छेद का व्यास एक दूसरे के समान होता है।[1] लेम्निस्केटिक अण्डाकार कार्य बर्नौली के लेम्निस्केट के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के अनुरूप हैं, और इस लेम्निस्केट की चाप लंबाई का मूल्यांकन करने में गॉस स्थिरांक उत्पन्न होता है।
गेरोनो का लेम्निस्केट
एक अन्य लेम्निस्केट, गेरोनो का लेम्निस्केट या ह्यूजेन्स का लेम्निस्केट, चतुर्थक बहुपद का शून्य सेट है .[11][12] विवियानी का वक्र, एक गोले को सिलेंडर के साथ काटने से बना एक त्रि-आयामी वक्र, इसमें एक आकृति आठ का आकार भी होता है, और इसके समतल प्रक्षेपण के रूप में गेरोनो का लेम्निस्केट होता है।[13]
अन्य
अन्य आकृति-आठ आकार के बीजगणितीय वक्र शामिल हैं
- द डेविल्स कर्व, चतुर्थक समीकरण द्वारा परिभाषित एक वक्र जिसमें एक जुड़े हुए घटक की आकृति-आठ आकृति होती है,[14]
- वाट का वक्र, एक यांत्रिक जुड़ाव द्वारा निर्मित आकृति-आठ के आकार का वक्र। वाट का वक्र डिग्री-छह बहुपद समीकरण का शून्य सेट है और एक विशेष मामले के रूप में बर्नौली का लेम्निस्केट है।
यह भी देखें
- एनालेम्मा, एक वर्ष के दौरान आकाश में सूर्य की दोपहर की स्थिति से पता लगाया गया आकृति-आठ आकार का वक्र
- अनंत चिन्ह
- सामान्यीकृत शंकु के रूप में लेम्निस्केट्स
- लोरेन्ज़ आकर्षित करनेवाला, एक त्रि-आयामी गतिशील प्रणाली जो लेम्निस्केट आकार प्रदर्शित करती है
- बहुपद लेम्निस्केट, एक जटिल बहुपद के निरपेक्ष मान का एक स्तर सेट
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 Schappacher, Norbert (1997), "Some milestones of lemniscatomy", Algebraic Geometry (Ankara, 1995), Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol. 193, New York: Dekker, pp. 257–290, MR 1483331.
- ↑ 2.0 2.1 Erickson, Martin J. (2011), "1.1 Lemniscate", Beautiful Mathematics, MAA Spectrum, Mathematical Association of America, pp. 1–3, ISBN 9780883855768.
- ↑ lemniscatus. Charlton T. Lewis and Charles Short. A Latin Dictionary on Perseus Project.
- ↑ Harper, Douglas. "lemniscus". Online Etymology Dictionary.
- ↑ lemniscus. Charlton T. Lewis and Charles Short. A Latin Dictionary on Perseus Project.
- ↑ λημνίσκος. Liddell, Henry George; Scott, Robert; A Greek–English Lexicon at the Perseus Project.
- ↑ ἱπποπέδη in Liddell and Scott.
- ↑ Bos, H. J. M. (1974), "The lemniscate of Bernoulli", For Dirk Struik, Boston Stud. Philos. Sci., XV, Dordrecht: Reidel, pp. 3–14, ISBN 9789027703934, MR 0774250.
- ↑ Langer, Joel C.; Singer, David A. (2010), "Reflections on the lemniscate of Bernoulli: the forty-eight faces of a mathematical gem", Milan Journal of Mathematics, 78 (2): 643–682, doi:10.1007/s00032-010-0124-5, MR 2781856, S2CID 1448521.
- ↑ Köller, Jürgen. "आठ वक्र". www.mathematische-basteleien.de. Retrieved 2017-11-26.
- ↑ Basset, Alfred Barnard (1901), "The Lemniscate of Gerono", An elementary treatise on cubic and quartic curves, Deighton, Bell, pp. 171–172.
- ↑ Chandrasekhar, S (2003), Newton's Principia for the common reader, Oxford University Press, p. 133, ISBN 9780198526759.
- ↑ Costa, Luisa Rossi; Marchetti, Elena (2005), "Mathematical and Historical Investigation on Domes and Vaults", in Weber, Ralf; Amann, Matthias Albrecht (eds.), Aesthetics and architectural composition : proceedings of the Dresden International Symposium of Architecture 2004, Mammendorf: Pro Literatur, pp. 73–80.
- ↑ Darling, David (2004), "devil's curve", The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes, John Wiley & Sons, pp. 91–92, ISBN 9780471667001.
बाहरी संबंध
- "Lemniscates", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
