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प्रत्येक [[मीट्रिक स्थान]] स्वाभाविक रूप से एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, और मीट्रिक स्पेस के लिए, [[ सघन स्थान ]] और अनुक्रमिक कॉम्पैक्टनेस की धारणाएं समतुल्य हैं (यदि कोई गणनीय विकल्प के सिद्धांत को मानता है)। हालाँकि, क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल स्पेस | |||
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[[मानक टोपोलॉजी]] के साथ सभी [[वास्तविक संख्या]]ओं का स्थान क्रमिक रूप से संकुचित नहीं होता है; क्रम <math>(s_n)</math> द्वारा दिए गए <math>s_n = n</math> सभी [[प्राकृतिक संख्या]]ओं के लिए<math>n</math>एक अनुक्रम है जिसका कोई अभिसरण अनुवर्ती नहीं है। | [[मानक टोपोलॉजी]] के साथ सभी [[वास्तविक संख्या]]ओं का स्थान क्रमिक रूप से संकुचित नहीं होता है; क्रम <math>(s_n)</math> द्वारा दिए गए <math>s_n = n</math> सभी [[प्राकृतिक संख्या]]ओं के लिए <math>n</math> एक अनुक्रम है जिसका कोई अभिसरण अनुवर्ती नहीं है। | ||
यदि कोई स्थान एक मीट्रिक स्थान है, तो यह क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट है यदि और केवल यदि यह कॉम्पैक्ट स्पेस है।<ref>Willard, 17G, p. 125.</ref> [[ऑर्डर टोपोलॉजी]] के साथ [[पहला बेशुमार क्रमसूचक]] क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल स्पेस का एक उदाहरण है जो कॉम्पैक्ट नहीं है। [[उत्पाद टोपोलॉजी]] का <math>2^{\aleph_0}=\mathfrak c</math> [[बंद इकाई अंतराल|सवृत इकाई अंतराल]] की प्रतियां कॉम्पैक्ट स्पेस का एक उदाहरण है जो क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है।<ref>Steen and Seebach, Example '''105''', pp. 125—126.</ref> | |||
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एक टोपोलॉजिकल स्पेस<math>X</math>यदि प्रत्येक अनंत उपसमुच्चय हो तो सीमा बिंदु संहत कहा जाता है<math>X</math>में एक [[सीमा बिंदु]] है<math>X</math>, और [[गणनीय रूप से सघन स्थान]] यदि प्रत्येक गणनीय | एक टोपोलॉजिकल स्पेस<math>X</math> यदि प्रत्येक अनंत उपसमुच्चय हो तो सीमा बिंदु संहत कहा जाता है <math>X</math> में एक [[सीमा बिंदु]] है <math>X</math>, और [[गणनीय रूप से सघन स्थान]] यदि प्रत्येक गणनीय विवृत आवरण में एक परिमित उपकवर हो। एक मीट्रिक स्पेस में, अनुक्रमिक कॉम्पैक्टनेस, सीमा बिंदु कॉम्पैक्टनेस, गणनीय कॉम्पैक्टनेस और कॉम्पैक्ट स्पेस की धारणाएं सभी समतुल्य हैं (यदि कोई पसंद के सिद्धांत को मानता है)। | ||
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गणित में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस . प्रत्येक मीट्रिक स्थान स्वाभाविक रूप से एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, और मीट्रिक स्पेस के लिए, सघन स्थान और अनुक्रमिक कॉम्पैक्टनेस की धारणाएं समतुल्य हैं (यदि कोई गणनीय विकल्प के सिद्धांत को मानता है)। हालाँकि, क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल स्पेस उपस्थित हैं जो कॉम्पैक्ट नहीं हैं, और कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल स्पेस उपस्थित हैं जो क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट नहीं हैं।
उदाहरण और गुण
मानक टोपोलॉजी के साथ सभी वास्तविक संख्याओं का स्थान क्रमिक रूप से संकुचित नहीं होता है; क्रम द्वारा दिए गए सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए एक अनुक्रम है जिसका कोई अभिसरण अनुवर्ती नहीं है।
यदि कोई स्थान एक मीट्रिक स्थान है, तो यह क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट है यदि और केवल यदि यह कॉम्पैक्ट स्पेस है।[1] ऑर्डर टोपोलॉजी के साथ पहला बेशुमार क्रमसूचक क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल स्पेस का एक उदाहरण है जो कॉम्पैक्ट नहीं है। उत्पाद टोपोलॉजी का सवृत इकाई अंतराल की प्रतियां कॉम्पैक्ट स्पेस का एक उदाहरण है जो क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है।[2]
संबंधित धारणाएँ
एक टोपोलॉजिकल स्पेस यदि प्रत्येक अनंत उपसमुच्चय हो तो सीमा बिंदु संहत कहा जाता है में एक सीमा बिंदु है , और गणनीय रूप से सघन स्थान यदि प्रत्येक गणनीय विवृत आवरण में एक परिमित उपकवर हो। एक मीट्रिक स्पेस में, अनुक्रमिक कॉम्पैक्टनेस, सीमा बिंदु कॉम्पैक्टनेस, गणनीय कॉम्पैक्टनेस और कॉम्पैक्ट स्पेस की धारणाएं सभी समतुल्य हैं (यदि कोई पसंद के सिद्धांत को मानता है)।
अनुक्रमिक स्थान में अनुक्रमिक (हॉसडॉर्फ) स्पेस अनुक्रमिक सघनता गणनीय सघनता के बराबर है।[3]
एक-बिंदु अनुक्रमिक संघनन की भी एक धारणा है - विचार यह है कि सभी गैर-अभिसरण अनुक्रमों को अतिरिक्त बिंदु पर एकत्रित होना चाहिए।[4]
यह भी देखें
- बोलजानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय
- फ़्रेचेट-उरीसोहन स्थान
- मानचित्रों को कवर करने वाला अनुक्रम
- अनुक्रमिक स्थान – Topological space characterized by sequences
टिप्पणियाँ
- ↑ Willard, 17G, p. 125.
- ↑ Steen and Seebach, Example 105, pp. 125—126.
- ↑ Engelking, General Topology, Theorem 3.10.31
K.P. Hart, Jun-iti Nagata, J.E. Vaughan (editors), Encyclopedia of General Topology, Chapter d3 (by P. Simon) - ↑ Brown, Ronald, "Sequentially proper maps and a sequential compactification", J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.
संदर्भ
- Munkres, James (1999). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
- Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
- Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.
