वियोज्य विस्तार: Difference between revisions

Revision as of 11:07, 12 July 2023

क्षेत्र सिद्धांत (गणित) में, बीजगणित की शाखा, एक बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार $E/F$ यदि प्रत्येक के लिए इसे पृथक्करणीय विस्तार कहा जाता है $\alpha \in E$ , का न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)। $\alpha$ ऊपर $F$ एक [[वियोज्य बहुपद]] है (अर्थात, इसका औपचारिक व्युत्पन्न शून्य बहुपद नहीं है, या समकक्ष रूप से किसी भी विस्तार क्षेत्र में इसकी कोई दोहराई गई जड़ें नहीं हैं)।^[1] एक अत्यधिक सामान्य परिभाषा भी है जो कब क्रियान्वित होती है $E$ आवश्यक रूप से बीजगणितीय नहीं है $F$ . जो विस्तार अलग नहीं किया जा सकता, उसे अविभाज्य कहा जाता है।

विशेषता (बीजगणित) वाले क्षेत्र (गणित) का प्रत्येक बीजगणितीय विस्तार फ़ील्ड शून्य का मामला वियोज्य है, और एक परिमित क्षेत्र का प्रत्येक बीजगणितीय विस्तार वियोज्य है।^[2]

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि गणित में विचार किए जाने वाले अधिकांश विस्तार वियोज्य हैं। फिर भी, पृथक्करण की अवधारणा महत्वपूर्ण है, क्योंकि अविभाज्य विस्तारों का अस्तित्व विशेषता शून्य में सिद्ध कई प्रमेयों को गैर-शून्य विशेषता तक विस्तारित करने में मुख्य बाधा है। उदाहरण के लिए, गैलोज़ सिद्धांत का मौलिक प्रमेय सामान्य विस्तार के बारे में एक प्रमेय है, जो गैर-शून्य विशेषता में तभी सत्य रहता है जब विस्तार को भी अलग करने योग्य माना जाता है।^[3]

विपरीत अवधारणा, विशुद्ध रूप से अविभाज्य विस्तार, स्वाभाविक रूप से भी होती है, क्योंकि प्रत्येक बीजगणितीय विस्तार को अलग करने योग्य विस्तार के विशुद्ध रूप से अविभाज्य विस्तार के रूप में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है। एक बीजगणितीय विस्तार $E/F$ गैर-शून्य विशेषताओं वाले क्षेत्रों का $p$ विशुद्ध रूप से अविभाज्य विस्तार है यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए $\alpha \in E\setminus F$ , का न्यूनतम बहुपद $\alpha$ ऊपर $F$ प्रत्येक तत्व के लिए एक पृथक्करणीय बहुपद या समकक्ष नहीं है $x$ का $E$ , एक धनात्मक पूर्णांक है $k$ ऐसा है कि $x^{p^{k}}\in F$ .^[4]

(विशुद्ध रूप से) अविभाज्य विस्तार का सबसे सरल उदाहरण है $E=\mathbb {F} _{p}(x)\supset F=\mathbb {F} _{p}(x^{p})$ , परिमित क्षेत्र में गुणांक के साथ अनिश्चित x में तर्कसंगत कार्य के क्षेत्र $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /(p)$ . तत्व $x\in E$ न्यूनतम बहुपद है $f(X)=X^{p}-x^{p}\in F[X]$ , रखना $f'\!(X)=0$ और पी-फोल्ड मल्टीपल रूट, जैसे $f(X)=(X-x)^{p}\in E[X]$ . यह घात p का सरल बीजगणितीय विस्तार है $E=F[x]$ , लेकिन गैलोज़ समूह के बाद से यह सामान्य विस्तार नहीं है ${\text{Gal}}(E/F)$ तुच्छ समूह है.

अनौपचारिक चर्चा

एक मनमाना बहुपद $f$ किसी क्षेत्र में गुणांक के साथ $F$ कहा जाता है कि इसकी जड़ें अलग-अलग होती हैं या यदि ऐसा है तो यह वर्ग-मुक्त बहुपद|वर्ग-मुक्त है $deg f$ कुछ विस्तार क्षेत्र में जड़ें $E\supseteq F$ . उदाहरण के लिए, बहुपद $g (X) = X 2 - 1$ बिल्कुल है $deg g = 2$ जटिल तल में जड़ें; अर्थात् $1$ और $-1$ , और इसलिए इसकी जड़ें अलग-अलग होती हैं। दूसरी ओर, बहुपद $h (X) = (X - 2) 2$ , जो एक अचर बहुपद का वर्ग है, उसके अलग-अलग मूल नहीं होते, क्योंकि इसकी घात दो होती है, और $2$ ही इसका मूल होता है |

प्रत्येक बहुपद को उसके गुणांकों के क्षेत्र के बीजगणितीय समापन पर रैखिक कारकों में विभाजित किया जा सकता है। इसलिए, बहुपद के अलग-अलग मूल नहीं होते हैं यदि और केवल यदि यह धनात्मक डिग्री वाले बहुपद के वर्ग से विभाज्य हो सकता है। यह मामला तभी है जब बहुपद और उसके औपचारिक व्युत्पन्न का बहुपद सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एक स्थिरांक नहीं है। इस प्रकार यह परीक्षण करने के लिए कि क्या कोई बहुपद वर्ग-मुक्त है, स्पष्ट रूप से किसी क्षेत्र विस्तार पर विचार करना आवश्यक नहीं है और न ही जड़ों की गणना करना आवश्यक है।

इस संदर्भ में, अघुलनशील बहुपद के मामले में कुछ देखभाल की आवश्यकता होती है। एक प्राथमिकता, ऐसा लग सकता है कि अपरिवर्तनीय बहुपद के लिए वर्ग द्वारा विभाज्य होना असंभव है, जिसमें स्वयं को छोड़कर कोई गैर-स्थिर भाजक नहीं है। चूकि,अपरिवर्तनीयता परिवेश क्षेत्र पर निर्भर करती है, और एक बहुपद अप्रासंगिक हो सकता है $F$ और के कुछ विस्तार पर कम करने योग्य $F$ . इसी प्रकार, एक वर्ग से विभाज्यता परिवेश क्षेत्र पर निर्भर करती है। यदि अघुलनशील बहुपद $f$ ऊपर $F$ कुछ क्षेत्र विस्तार पर एक वर्ग द्वारा विभाज्य है, तो (उपरोक्त चर्चा के अनुसार) का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $f$ और इसका व्युत्पन्न $f'$ स्थिर नहीं है. ध्यान दें कि के गुणांक $f'$ के समान क्षेत्र से संबंधित हैं $f$ , और दो बहुपदों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक परिवेश क्षेत्र से स्वतंत्र है, इसलिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक $f$ और $f'$ में गुणांक है $F$ . तब से $f$ में अपरिवर्तनीय है $F$ , यह सबसे बड़ा सामान्य भाजक आवश्यक रूप से है $f$ अपने आप। क्योंकि की डिग्री $f'$ की डिग्री से बिल्कुल कम है $f$ , यह इस प्रकार है कि का व्युत्पन्न $f$ शून्य है, जिसका अर्थ है कि क्षेत्र के किसी क्षेत्र की विशेषता एक अभाज्य संख्या है $p$ , और $f$ लिखा जा सकता है

f(x)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{pi}.

इस जैसे बहुपद, जिसका औपचारिक व्युत्पन्न शून्य है, को अविभाज्य कहा जाता है। जो बहुपद अविभाज्य नहीं हैं, उन्हें वियोज्य कहा जाता है। एक वियोज्य विस्तार एक ऐसा विस्तार है जो वियोज्य तत्वों द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है, यानी ऐसे तत्व जिनके न्यूनतम बहुपद वियोज्य होता हैं।

विभाज्य और अविभाज्य बहुपद

एक अघुलनशील बहुपद $f$ में $F [X]$ वियोज्य बहुपद है यदि और केवल यदि इसके किसी भी क्षेत्र विस्तार में अलग-अलग जड़ें हों $F$ (अर्थात यदि इसे बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र पर अलग-अलग रैखिक कारकों में विभाजित किया जा सकता है $F)$ .^[5] होने देना $f$ में $F [X]$ एक अपरिवर्तनीय बहुपद बनें और $f'$ इसका औपचारिक व्युत्पन्न फिर अपरिवर्तनीय बहुपद के लिए निम्नलिखित समतुल्य स्थितियाँ हैं $f$ अलग करने योग्य है :

अगर $E$ का विस्तार है $F$ जिसमें $f$ रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है तो इन गुणनखंडों का कोई भी वर्ग विभाजित नहीं होता है $f$ में $E [X]$ (वह है $f$ वर्ग-मुक्त बहुपद है|वर्ग-मुक्त ओवर $E$ ).^[6]
एक विस्तार उपस्थित है $E$ का $F$ ऐसा है कि $f$ है $deg(f)$ जोड़ीवार अलग-अलग जड़ें $E$ .^[6]* अटल $1$ एक बहुपद का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है $f$ और $f'$ .^[7]
औपचारिक व्युत्पन्न $f'$ का $f$ शून्य बहुपद नहीं है.^[8]
या तो की विशेषता $F$ शून्य है, या विशेषता है $p$ , और $f$ रूप का नहीं है $\textstyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{pi}.$

चूँकि एक धनात्मक डिग्री बहुपद का औपचारिक व्युत्पन्न केवल तभी शून्य हो सकता है जब क्षेत्र में अभाज्य विशेषता हो, अप्रासंगिक बहुपद को अलग न करने के लिए, इसके गुणांकों को अभाज्य विशेषता के क्षेत्र में होना चाहिए। अत्यधिक सामान्यतः, अपरिवर्तनीय (गैर-शून्य) बहुपद $f$ में $F [X]$ वियोज्य नहीं है, यदि और केवल यदि की विशेषता $F$ एक (गैर-शून्य) अभाज्य संख्या है $p$ , और $f (X)= g (X p$ ) कुछ अघुलनशील बहुपद के लिए $g$ में $F [X]$ .^[9] इस गुण के बार-बार प्रयोग से यह पता चलता है कि वास्तव में, $f(X)=g(X^{p^{n}})$ एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$ और कुछ अलग करने योग्य अघुलनशील बहुपद $g$ में $F [X]$ (कहाँ $F$ को प्रमुख विशेषता p) माना जाता है।^[10]

यदि फ्रोबेनियस अंतः रूपांतरण $x\mapsto x^{p}$ का $F$ विशेषण नहीं है, तत्व है $a\in F$ जो नहीं है $p$ के तत्व की शक्ति $F$ . इस मामले में, बहुपद $X^{p}-a$ अघुलनशील और अविभाज्य है. इसके विपरीत, यदि कोई अविभाज्य अपरिवर्तनीय (गैर-शून्य) बहुपद उपस्थित है $\textstyle f(X)=\sum a_{i}X^{ip}$ में $F [X]$ , फिर फ्रोबेनियस अंतः रूपांतरण $F$ स्वचालितता नहीं हो सकता, क्योंकि, अन्यथा, हमारे पास होता $a_{i}=b_{i}^{p}$ कुछ के लिए $b_{i}$ , और बहुपद $f$ के रूप में कारक होगा $\textstyle \sum a_{i}X^{ip}=\left(\sum b_{i}X^{i}\right)^{p}.$ ^[11]

अगर $K$ अभाज्य विशेषता p का एक सीमित क्षेत्र है, और यदि $X$ एक अनिश्चित (चर) है, तो तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र समाप्त हो जाता है $K$ , $K (X)$ , आवश्यक रूप से अपूर्ण क्षेत्र और बहुपद है $f (Y)= Y p - X$ अविभाज्य है (Y में इसका औपचारिक व्युत्पन्न 0 है)।^[1]अत्यधिक सामान्यतौर पर, यदि F (गैर-शून्य) प्रमुख विशेषता का कोई क्षेत्र है जिसके लिए फ्रोबेनियस अंतः रूपांतरण एक स्वचलितता नहीं है, तो F के पास एक अविभाज्य बीजगणितीय विस्तार है।^[12]

एक क्षेत्र F पूर्ण क्षेत्र है यदि और केवल तभी जब सभी अपरिवर्तनीय बहुपद वियोज्य हों। यह इस प्रकार है कि $F$ उत्तम है यदि और केवल यदि दोनों में से कोई एक हो $F$ विशेषता शून्य है, या $F$ में (गैर-शून्य) प्रमुख विशेषता है $p$ और फ्रोबेनियस अंतः रूपांतरण $F$ एक स्वचलितता है। इसमें प्रत्येक परिमित क्षेत्र सम्मिलित है।

वियोज्य तत्व और वियोज्य एक्सटेंशन

होने देना $E\supseteq F$ एक फ़ील्ड एक्सटेंशन बनें. तत्व $\alpha \in E$ पर अलग करने योग्य है $F$ यदि यह बीजगणितीय है $F$ , और इसका न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) वियोज्य है (किसी तत्व का न्यूनतम बहुपद आवश्यक रूप से अपरिवर्तनीय है)।

अगर $\alpha ,\beta \in E$ अलग करने योग्य हैं $F$ , तब $\alpha +\beta$ , $\alpha \beta$ और $1/\alpha$ F पर वियोज्य हैं।

इस प्रकार सभी तत्वों का समुच्चय $E$ अलग करने योग्य ओवर $F$ का एक उपक्षेत्र बनता है $E$ , का पृथक्करणीय समापन कहा जाता है $F$ में $E$ .^[13] का पृथक्करणीय समापन $F$ के बीजगणितीय समापन में $F$ को बस अलग करने योग्य समापन कहा जाता है $F$ . बीजगणितीय समापन की तरह, यह एक समरूपता तक अद्वितीय है, और सामान्य तौर पर, यह समरूपता अद्वितीय नहीं है।

एक फ़ील्ड एक्सटेंशन $E\supseteq F$ वियोज्य है, यदि $E$ का पृथक्करणीय समापन है $F$ में $E$ . यही स्थिति है यदि और केवल यदि $E$ से अधिक उत्पन्न होता है $F$ वियोज्य तत्वों द्वारा।

अगर $E\supseteq L\supseteq F$ तो, फ़ील्ड एक्सटेंशन हैं $E$ वियोज्य है $F$ अगर और केवल अगर $E$ वियोज्य है $L$ और $L$ वियोज्य है $F$ .^[14] अगर $E\supseteq F$ एक परिमित विस्तार है (अर्थात $E$ एक है $F$ -परिमित आयाम का सदिश स्थल (वेक्टर स्थान)), तो निम्नलिखित समतुल्य हैं।

$E$ वियोज्य है $F$ .
$E=F(a_{1},\ldots ,a_{r})$ कहाँ $a_{1},\ldots ,a_{r}$ के वियोज्य तत्व हैं $E$ .
$E=F(a)$ कहाँ $a$ का एक अलग करने योग्य तत्व है $E$ .
अगर $K$ का बीजगणितीय समापन है $F$ , तो बिल्कुल हैं $[E:F]$ के क्षेत्र समरूपताएँ $E$ में $K$ जो ठीक करें $F$ .
किसी भी सामान्य विस्तार के लिए $K$ का $F$ जिसमें है $E$ , तो बिल्कुल हैं $[E:F]$ के क्षेत्र समरूपताएँ $E$ में $K$ जो ठीक करें $F$ .

3. और 1. की तुल्यता को आदिम तत्व प्रमेय या आदिम तत्वों पर आर्टिन के प्रमेय के रूप में जाना जाता है। गुण 4. और 5. गैलोज़ सिद्धांत का आधार हैं, और, विशेष रूप से, गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय का।

बीजगणितीय एक्सटेंशन के भीतर अलग करने योग्य एक्सटेंशन

होने देना $E\supseteq F$ विशेषता के क्षेत्रों का बीजगणितीय विस्तार बनें $p$ . का पृथक्करणीय समापन $F$ में $E$ है $S=\{\alpha \in E\mid \alpha {\text{ is separable over }}F\}.$ प्रत्येक तत्व के लिए $x\in E\setminus S$ वहाँ एक धनात्मक पूर्णांक मौजूद है $k$ ऐसा है कि $x^{p^{k}}\in S,$ और इस तरह $E$ का पूर्णतः अविभाज्य विस्तार है $S$ . यह इस प्रकार है कि $S$ अद्वितीय मध्यवर्ती क्षेत्र है जिसे अलग किया जा सकता है $F$ और जिस पर $E$ पूर्णतः अविभाज्य है।^[15] अगर $E\supseteq F$ एक परिमित विस्तार है, इसकी क्षेत्र विस्तार की डिग्री है $[E : F]$ डिग्रियों का गुणनफल है $[S : F]$ और $[E : S]$ . पूर्व, अक्सर निरूपित किया जाता है $[E : F] sep$ , के पृथक्करणीय भाग के रूप में जाना जाता है $[E : F]$ , या के रूप मेंseparable degree का $E / F$ ; उत्तरार्द्ध को डिग्री या 'के अविभाज्य भाग के रूप में जाना जाता हैinseparable degree.^[16] विशेषता शून्य और एक शक्ति में अविभाज्य डिग्री 1 है $p$ विशेषता में $p > 0$ .^[17] दूसरी ओर, एक मनमाना बीजगणितीय विस्तार $E\supseteq F$ मध्यवर्ती विस्तार नहीं हो सकता $K$ वह पूर्णतः अविभाज्य है $F$ और जिस पर $E$ वियोज्य है. हालाँकि, ऐसा मध्यवर्ती विस्तार मौजूद हो सकता है यदि, उदाहरण के लिए, $E\supseteq F$ एक सीमित डिग्री सामान्य विस्तार है (इस मामले में, $K$ गैलोज़ समूह का निश्चित क्षेत्र है $E$ ऊपर $F$ ). मान लीजिए कि ऐसा कोई मध्यवर्ती विस्तार मौजूद है, और $[E : F]$ तो फिर परिमित है $[S : F] = [E : K]$ , कहाँ $S$ का पृथक्करणीय समापन है $F$ में $E$ .^[18] इस समानता के ज्ञात प्रमाण इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि यदि $K\supseteq F$ एक पूर्णतः अविभाज्य विस्तार है, और यदि $f$ एक पृथक्करणीय अघुलनशील बहुपद है $F [X]$ , तब $f$ K[X] में अप्रासंगिक रहता है^[19]). इस समानता का तात्पर्य यह है कि, यदि $[E : F]$ परिमित है, और $U$ बीच का एक मध्यवर्ती क्षेत्र है $F$ और $E$ , तब $[E : F] sep = [E : U] sep \cdot[U : F] sep$ .^[20] वियोज्य समापन $F sep$ एक क्षेत्र का $F$ का पृथक्करणीय समापन है $F$ के बीजगणितीय समापन में $F$ . यह का अधिकतम गैलोज़ विस्तार है $F$ . परिभाषा से, $F$ पूर्ण फ़ील्ड है यदि और केवल यदि इसके पृथक्करणीय और बीजगणितीय समापन मेल खाते हैं।

पारलौकिक विस्तार की पृथक्करण

पारलौकिक विस्तारों के साथ व्यवहार करते समय पृथक्करण संबंधी समस्याएँ उत्पन्न हो सकती हैं। यह आम तौर पर प्रमुख विशेषता के क्षेत्र पर बीजगणितीय ज्यामिति के लिए मामला है, जहां बीजगणितीय विविधता के कार्य क्षेत्र में जमीन के क्षेत्र पर एक पारगमन डिग्री होती है जो विविधता के बीजगणितीय विविधता के आयाम के बराबर होती है।

पारलौकिक विस्तार की पृथक्करणीयता को परिभाषित करने के लिए, इस तथ्य का उपयोग करना स्वाभाविक है कि प्रत्येक क्षेत्र विस्तार विशुद्ध रूप से पारलौकिक विस्तार का बीजगणितीय विस्तार है। इससे निम्नलिखित परिभाषा प्राप्त होती है।

किसी विस्तार का पृथक्करण पारगमन आधार $E\supseteq F$ अतिक्रमण का आधार है $T$ का $E$ ऐसा है कि $E$ का एक अलग करने योग्य बीजगणितीय विस्तार है $F (T)$ . एक परिमित रूप से उत्पन्न फ़ील्ड एक्सटेंशन वियोज्य है यदि और केवल इसमें एक अलग पारगमन आधार है; एक विस्तार जो परिमित रूप से उत्पन्न नहीं होता है उसे वियोज्य कहा जाता है यदि प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न उप-विस्तार में एक अलग पारगमन आधार होता है।^[21] होने देना $E\supseteq F$ किसी क्षेत्र के विशिष्ट घातांक का क्षेत्र विस्तार हो $p$ (वह है $p = 1$ विशेषता शून्य में और, अन्यथा, $p$ विशेषता है). निम्नलिखित गुण समतुल्य हैं:

$E$ का एक पृथक्करणीय विस्तार है $F$ ,
$E^{p}$ और $F$ रैखिक रूप से असंयुक्त हैं $F^{p},$
$F^{1/p}\otimes _{F}E$ अंगूठी कम हो गई है,
$L\otimes _{F}E$ प्रत्येक फ़ील्ड विस्तार के लिए घटाया गया है $L$ का $E$ ,

कहाँ $\otimes _{F}$ फ़ील्ड के टेंसर उत्पाद को दर्शाता है, $F^{p}$ का क्षेत्र है $p$ तत्वों की वां शक्तियाँ $F$ (किसी भी क्षेत्र के लिए $F$ ), और $F^{1/p}$ एडजंक्शन (क्षेत्र सिद्धांत) द्वारा प्राप्त क्षेत्र है $F$ द $p$ इसके सभी तत्वों का मूल (विवरण के लिए वियोज्य बीजगणित देखें)।

विभेदक मानदंड

काहलर डिफरेंशियल की सहायता से पृथक्करण का अध्ययन किया जा सकता है। होने देना $E$ किसी फ़ील्ड का अंतिम रूप से उत्पन्न फ़ील्ड एक्सटेंशन बनें $F$ . दर्शाने $\operatorname {Der} _{F}(E,E)$ $E$ -का वेक्टर स्थान $F$ -की रैखिक व्युत्पत्तियाँ $E$ , किसी के पास

\dim _{E}\operatorname {Der} _{F}(E,E)\geq \operatorname {tr.deg} _{F}E,

और समानता तभी मान्य है जब E को F से अलग किया जा सकता है (यहां tr.deg ट्रान्सेंडेंस डिग्री को दर्शाता है)।

विशेषकर, यदि $E/F$ तो, यह एक बीजगणितीय विस्तार है $\operatorname {Der} _{F}(E,E)=0$ अगर और केवल अगर $E/F$ वियोज्य है.^[22] होने देना $D_{1},\ldots ,D_{m}$ का आधार बनें $\operatorname {Der} _{F}(E,E)$ और $a_{1},\ldots ,a_{m}\in E$ . तब $E$ वियोज्य बीजगणितीय है $F(a_{1},\ldots ,a_{m})$ यदि और केवल यदि मैट्रिक्स $D_{i}(a_{j})$ उलटा है. विशेषकर, जब $m=\operatorname {tr.deg} _{F}E$ , यह मैट्रिक्स उलटा है यदि और केवल यदि $\{a_{1},\ldots ,a_{m}\}$ एक अलग पारगमन आधार है।

↑ ^1.0 ^1.1 Isaacs, p. 281
↑ Isaacs, Theorem 18.11, p. 281
↑ Isaacs, Theorem 18.13, p. 282
↑ Isaacs, p. 298
↑ Isaacs, p. 280
↑ ^6.0 ^6.1 Isaacs, Lemma 18.7, p. 280
↑ Isaacs, Theorem 19.4, p. 295
↑ Isaacs, Corollary 19.5, p. 296
↑ Isaacs, Corollary 19.6, p. 296
↑ Isaacs, Corollary 19.9, p. 298
↑ Isaacs, Theorem 19.7, p. 297
↑ Isaacs, p. 299
↑ Isaacs, Lemma 19.15, p. 300
↑ Isaacs, Corollary 18.12, p. 281 and Corollary 19.17, p. 301
↑ Isaacs, Theorem 19.14, p. 300
↑ Isaacs, p. 302
↑ Lang 2002, Corollary V.6.2
↑ Isaacs, Theorem 19.19, p. 302
↑ Isaacs, Lemma 19.20, p. 302
↑ Isaacs, Corollary 19.21, p. 303
↑ Fried & Jarden (2008) p.38
↑ Fried & Jarden (2008) p.49

संदर्भ

Borel, A. Linear algebraic groups, 2nd ed.
P.M. Cohn (2003). Basic algebra
Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). Field arithmetic. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Vol. 11 (3rd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001.
I. Martin Isaacs (1993). Algebra, a graduate course (1st ed.). Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-19002-2.
Kaplansky, Irving (1972). Fields and rings. Chicago lectures in mathematics (Second ed.). University of Chicago Press. pp. 55–59. ISBN 0-226-42451-0. Zbl 1001.16500.
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Silverman, Joseph (1993). The Arithmetic of Elliptic Curves. Springer. ISBN 0-387-96203-4.

बाहरी संबंध

"separable extension of a field k", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[Isaacs281-1] 1.0 ^1.1 Isaacs, p. 281

[Isaacs18.11p281-2] Isaacs, Theorem 18.11, p. 281

[3] Isaacs, Theorem 18.13, p. 282

[Isaacs298-4] Isaacs, p. 298

[5] Isaacs, p. 280

[IsaacsLem18.7-6] 6.0 ^6.1 Isaacs, Lemma 18.7, p. 280

[7] Isaacs, Theorem 19.4, p. 295

[8] Isaacs, Corollary 19.5, p. 296

[9] Isaacs, Corollary 19.6, p. 296

[10] Isaacs, Corollary 19.9, p. 298

[11] Isaacs, Theorem 19.7, p. 297

[Isaacs299-12] Isaacs, p. 299

[13] Isaacs, Lemma 19.15, p. 300

[14] Isaacs, Corollary 18.12, p. 281 and Corollary 19.17, p. 301

[15] Isaacs, Theorem 19.14, p. 300

[Isaacs302-16] Isaacs, p. 302

[17] Lang 2002, Corollary V.6.2

[18] Isaacs, Theorem 19.19, p. 302

[19] Isaacs, Lemma 19.20, p. 302

[20] Isaacs, Corollary 19.21, p. 303

[FJ38-21] Fried & Jarden (2008) p.38

[FJ49-22] Fried & Jarden (2008) p.49

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-[[क्षेत्र सिद्धांत (गणित)]] में, [[बीजगणित]] की एक शाखा, एक [[बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार]] <math>E/F</math> यदि प्रत्येक के लिए इसे पृथक्करणीय विस्तार कहा जाता है <math>\alpha\in E</math>, का [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]]। <math>\alpha</math> ऊपर {{mvar|F}} एक [[वियोज्य [[बहुपद]]]] है (अर्थात, इसका [[औपचारिक व्युत्पन्न]] शून्य बहुपद नहीं है, या समकक्ष रूप से किसी भी विस्तार क्षेत्र में इसकी कोई दोहराई गई जड़ें नहीं हैं)।<ref name="Isaacs281">Isaacs, p. 281</ref> एक अधिक सामान्य परिभाषा भी है जो कब लागू होती है {{mvar|E}} आवश्यक रूप से बीजगणितीय नहीं है {{mvar|F}}. जो एक्सटेंशन अलग नहीं किया जा सकता, उसे अविभाज्य कहा जाता है।
+[[क्षेत्र सिद्धांत (गणित)]] में, [[बीजगणित]] की शाखा, एक [[बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार]] <math>E/F</math> यदि प्रत्येक के लिए इसे पृथक्करणीय विस्तार कहा जाता है <math>\alpha\in E</math>, का [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]]। <math>\alpha</math> ऊपर {{mvar|F}} एक [[वियोज्य [[बहुपद]]]] है (अर्थात, इसका [[औपचारिक व्युत्पन्न]] शून्य बहुपद नहीं है, या समकक्ष रूप से किसी भी विस्तार क्षेत्र में इसकी कोई दोहराई गई जड़ें नहीं हैं)।<ref name="Isaacs281">Isaacs, p. 281</ref> एक अत्यधिक सामान्य परिभाषा भी है जो कब क्रियान्वित होती है {{mvar|E}} आवश्यक रूप से बीजगणितीय नहीं है {{mvar|F}}. जो विस्तार अलग नहीं किया जा सकता, उसे अविभाज्य कहा जाता है।
-विशेषता (बीजगणित) वाले क्षेत्र (गणित) का प्रत्येक बीजगणितीय विस्तार #फ़ील्ड शून्य का मामला वियोज्य है, और एक [[परिमित क्षेत्र]] का प्रत्येक बीजगणितीय विस्तार वियोज्य है।<ref name="Isaacs18.11p281">Isaacs, Theorem 18.11, p. 281</ref>
+विशेषता (बीजगणित) वाले क्षेत्र (गणित) का प्रत्येक बीजगणितीय विस्तार फ़ील्ड शून्य का मामला वियोज्य है, और एक [[परिमित क्षेत्र]] का प्रत्येक बीजगणितीय विस्तार वियोज्य है।<ref name="Isaacs18.11p281">Isaacs, Theorem 18.11, p. 281</ref>
-इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि गणित में विचार किए जाने वाले अधिकांश एक्सटेंशन वियोज्य हैं। फिर भी, पृथक्करण की अवधारणा महत्वपूर्ण है, क्योंकि अविभाज्य विस्तारों का अस्तित्व विशेषता शून्य में सिद्ध कई प्रमेयों को गैर-शून्य विशेषता तक विस्तारित करने में मुख्य बाधा है। उदाहरण के लिए, [[गैलोज़ सिद्धांत का मौलिक प्रमेय]] [[सामान्य विस्तार]] के बारे में एक प्रमेय है, जो गैर-शून्य विशेषता में तभी सत्य रहता है जब विस्तार को भी अलग करने योग्य माना जाता है।<ref>Isaacs, Theorem 18.13, p. 282</ref>
-विपरीत अवधारणा, एक [[विशुद्ध रूप से अविभाज्य विस्तार]], स्वाभाविक रूप से भी होती है, क्योंकि प्रत्येक बीजगणितीय विस्तार को एक अलग करने योग्य विस्तार के विशुद्ध रूप से अविभाज्य विस्तार के रूप में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है। एक बीजगणितीय विस्तार <math>E/F</math> गैर-शून्य विशेषताओं वाले क्षेत्रों का {{math|''p''}} एक विशुद्ध रूप से अविभाज्य विस्तार है यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए <math>\alpha\in E\setminus F</math>, का न्यूनतम बहुपद <math>\alpha</math> ऊपर {{math|''F''}} प्रत्येक तत्व के लिए एक पृथक्करणीय बहुपद या समकक्ष नहीं है {{math|''x''}} का {{math|''E''}}, एक धनात्मक [[पूर्णांक]] है {{math|''k''}} ऐसा है कि <math>x^{p^k} \in F</math>.<ref name="Isaacs298">Isaacs, p. 298</ref>
+इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि गणित में विचार किए जाने वाले अधिकांश विस्तार वियोज्य हैं। फिर भी, पृथक्करण की अवधारणा महत्वपूर्ण है, क्योंकि अविभाज्य विस्तारों का अस्तित्व विशेषता शून्य में सिद्ध कई प्रमेयों को गैर-शून्य विशेषता तक विस्तारित करने में मुख्य बाधा है। उदाहरण के लिए, [[गैलोज़ सिद्धांत का मौलिक प्रमेय]] [[सामान्य विस्तार]] के बारे में एक प्रमेय है, जो गैर-शून्य विशेषता में तभी सत्य रहता है जब विस्तार को भी अलग करने योग्य माना जाता है।<ref>Isaacs, Theorem 18.13, p. 282</ref>
-(विशुद्ध रूप से) अविभाज्य विस्तार का सबसे सरल उदाहरण है <math>E=\mathbb{F}_p(x) \supset F=\mathbb{F}_p(x^p)</math>, परिमित क्षेत्र में गुणांक के साथ अनिश्चित x में [[तर्कसंगत कार्य]]ों के क्षेत्र <math>\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/(p)</math>. तत्व <math>x\in E</math> न्यूनतम बहुपद है <math>f(X)=X^p -x^p \in F[X]</math>, रखना <math>f'\!(X) = 0</math> और एक पी-फोल्ड मल्टीपल रूट, जैसे <math>f(X)=(X-x)^p\in E[X]</math>. यह घात p का एक सरल बीजगणितीय विस्तार है <math>E = F[x]</math>, लेकिन गैलोज़ समूह के बाद से यह सामान्य विस्तार नहीं है <math>\text{Gal}(E/F)</math> [[तुच्छ समूह]] है.
+विपरीत अवधारणा, [[विशुद्ध रूप से अविभाज्य विस्तार]], स्वाभाविक रूप से भी होती है, क्योंकि प्रत्येक बीजगणितीय विस्तार को अलग करने योग्य विस्तार के विशुद्ध रूप से अविभाज्य विस्तार के रूप में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है। एक बीजगणितीय विस्तार <math>E/F</math> गैर-शून्य विशेषताओं वाले क्षेत्रों का {{math|''p''}} विशुद्ध रूप से अविभाज्य विस्तार है यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए <math>\alpha\in E\setminus F</math>, का न्यूनतम बहुपद <math>\alpha</math> ऊपर {{math|''F''}} प्रत्येक तत्व के लिए एक पृथक्करणीय बहुपद या समकक्ष नहीं है {{math|''x''}} का {{math|''E''}}, एक धनात्मक [[पूर्णांक]] है {{math|''k''}} ऐसा है कि <math>x^{p^k} \in F</math>.<ref name="Isaacs298">Isaacs, p. 298</ref>
+(विशुद्ध रूप से) अविभाज्य विस्तार का सबसे सरल उदाहरण है <math>E=\mathbb{F}_p(x) \supset F=\mathbb{F}_p(x^p)</math>, परिमित क्षेत्र में गुणांक के साथ अनिश्चित x में [[तर्कसंगत कार्य]] के क्षेत्र <math>\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/(p)</math>. तत्व <math>x\in E</math> न्यूनतम बहुपद है <math>f(X)=X^p -x^p \in F[X]</math>, रखना <math>f'\!(X) = 0</math> और पी-फोल्ड मल्टीपल रूट, जैसे <math>f(X)=(X-x)^p\in E[X]</math>. यह घात p का सरल बीजगणितीय विस्तार है <math>E = F[x]</math>, लेकिन गैलोज़ समूह के बाद से यह सामान्य विस्तार नहीं है <math>\text{Gal}(E/F)</math> [[तुच्छ समूह]] है.
 ==अनौपचारिक चर्चा==
-एक मनमाना बहुपद {{math|''f''}} किसी क्षेत्र में गुणांक के साथ {{math|''F''}} कहा जाता है कि इसकी जड़ें अलग-अलग होती हैं या यदि ऐसा है तो यह [[वर्ग-मुक्त बहुपद]]|वर्ग-मुक्त है {{math|deg ''f''}} कुछ [[विस्तार क्षेत्र]] में जड़ें <math>E\supseteq F</math>. उदाहरण के लिए, बहुपद {{math|1=''g''(''X'') = ''X''<sup>&thinsp;2</sup> − 1}} बिल्कुल है {{math|1=deg&thinsp;''g'' = 2}} जटिल तल में जड़ें; अर्थात् {{math|1}} और {{math|−1}}, और इसलिए इसकी जड़ें अलग-अलग होती हैं। दूसरी ओर, बहुपद {{math|1=''h''(''X'') = (''X'' − 2)<sup>2</sup>}}, जो एक अचर बहुपद का वर्ग है, उसके अलग-अलग मूल नहीं होते, क्योंकि इसकी घात दो होती है, और {{math|2}} ही इसका मूल है.
+एक मनमाना बहुपद {{math|''f''}} किसी क्षेत्र में गुणांक के साथ {{math|''F''}} कहा जाता है कि इसकी जड़ें अलग-अलग होती हैं या यदि ऐसा है तो यह [[वर्ग-मुक्त बहुपद]]|वर्ग-मुक्त है {{math|deg ''f''}} कुछ [[विस्तार क्षेत्र]] में जड़ें <math>E\supseteq F</math>. उदाहरण के लिए, बहुपद {{math|1=''g''(''X'') = ''X''<sup>&thinsp;2</sup> − 1}} बिल्कुल है {{math|1=deg&thinsp;''g'' = 2}} जटिल तल में जड़ें; अर्थात् {{math|1}} और {{math|−1}}, और इसलिए इसकी जड़ें अलग-अलग होती हैं। दूसरी ओर, बहुपद {{math|1=''h''(''X'') = (''X'' − 2)<sup>2</sup>}}, जो एक अचर बहुपद का वर्ग है, उसके अलग-अलग मूल नहीं होते, क्योंकि इसकी घात दो होती है, और {{math|2}} ही इसका मूल  होता है |
-प्रत्येक बहुपद को उसके गुणांकों के क्षेत्र के [[बीजगणितीय समापन]] पर रैखिक कारकों में विभाजित किया जा सकता है। इसलिए, बहुपद के अलग-अलग मूल नहीं होते हैं यदि और केवल यदि यह धनात्मक डिग्री वाले बहुपद के वर्ग से विभाज्य हो। यह मामला तभी है जब बहुपद और उसके औपचारिक व्युत्पन्न का बहुपद सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एक स्थिरांक नहीं है। इस प्रकार यह परीक्षण करने के लिए कि क्या कोई बहुपद वर्ग-मुक्त है, स्पष्ट रूप से किसी क्षेत्र विस्तार पर विचार करना आवश्यक नहीं है और न ही जड़ों की गणना करना आवश्यक है।
+प्रत्येक बहुपद को उसके गुणांकों के क्षेत्र के [[बीजगणितीय समापन]] पर रैखिक कारकों में विभाजित किया जा सकता है। इसलिए, बहुपद के अलग-अलग मूल नहीं होते हैं यदि और केवल यदि यह धनात्मक डिग्री वाले बहुपद के वर्ग से विभाज्य हो सकता है। यह मामला तभी है जब बहुपद और उसके औपचारिक व्युत्पन्न का बहुपद सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एक स्थिरांक नहीं है। इस प्रकार यह परीक्षण करने के लिए कि क्या कोई बहुपद वर्ग-मुक्त है, स्पष्ट रूप से किसी क्षेत्र विस्तार पर विचार करना आवश्यक नहीं है और न ही जड़ों की गणना करना आवश्यक है।
-इस संदर्भ में, [[अघुलनशील बहुपद]]ों के मामले में कुछ देखभाल की आवश्यकता होती है। एक प्राथमिकता, ऐसा लग सकता है कि एक अपरिवर्तनीय बहुपद के लिए एक वर्ग द्वारा विभाज्य होना असंभव है, जिसमें स्वयं को छोड़कर कोई गैर-स्थिर भाजक नहीं है। हालाँकि, अपरिवर्तनीयता परिवेश क्षेत्र पर निर्भर करती है, और एक बहुपद अप्रासंगिक हो सकता है {{math|''F''}} और के कुछ विस्तार पर कम करने योग्य {{math|''F''}}. इसी प्रकार, एक वर्ग से विभाज्यता परिवेश क्षेत्र पर निर्भर करती है। यदि एक अघुलनशील बहुपद {{math|''f''}} ऊपर {{math|''F''}} कुछ क्षेत्र विस्तार पर एक वर्ग द्वारा विभाज्य है, तो (उपरोक्त चर्चा के अनुसार) का सबसे बड़ा सामान्य भाजक {{math|''f''}} और इसका व्युत्पन्न {{math|''f''{{′}}}} स्थिर नहीं है. ध्यान दें कि के गुणांक {{math|''f''{{′}}}} के समान क्षेत्र से संबंधित हैं {{math|''f''}}, और दो बहुपदों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक परिवेश क्षेत्र से स्वतंत्र है, इसलिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक {{math|''f''}} और {{math|''f''{{′}}}}में गुणांक है {{math|''F''}}. तब से {{math|''f''}} में अपरिवर्तनीय है {{math|''F''}}, यह सबसे बड़ा सामान्य भाजक आवश्यक रूप से है {{math|''f''}} अपने आप। क्योंकि की डिग्री {{math|''f''{{′}}}} की डिग्री से बिल्कुल कम है {{math|''f''}}, यह इस प्रकार है कि का व्युत्पन्न {{math|''f''}} शून्य है, जिसका अर्थ है कि क्षेत्र के [[किसी क्षेत्र की विशेषता]] एक अभाज्य संख्या है {{math|''p''}}, और {{math|''f''}} लिखा जा सकता है
+इस संदर्भ में, [[अघुलनशील बहुपद]] के मामले में कुछ देखभाल की आवश्यकता होती है। एक प्राथमिकता, ऐसा लग सकता है कि अपरिवर्तनीय बहुपद के लिए वर्ग द्वारा विभाज्य होना असंभव है, जिसमें स्वयं को छोड़कर कोई गैर-स्थिर भाजक नहीं है। चूकि,अपरिवर्तनीयता परिवेश क्षेत्र पर निर्भर करती है, और एक बहुपद अप्रासंगिक हो सकता है {{math|''F''}} और के कुछ विस्तार पर कम करने योग्य {{math|''F''}}. इसी प्रकार, एक वर्ग से विभाज्यता परिवेश क्षेत्र पर निर्भर करती है। यदि अघुलनशील बहुपद {{math|''f''}} ऊपर {{math|''F''}} कुछ क्षेत्र विस्तार पर एक वर्ग द्वारा विभाज्य है, तो (उपरोक्त चर्चा के अनुसार) का सबसे बड़ा सामान्य भाजक {{math|''f''}} और इसका व्युत्पन्न {{math|''f''{{′}}}} स्थिर नहीं है. ध्यान दें कि के गुणांक {{math|''f''{{′}}}} के समान क्षेत्र से संबंधित हैं {{math|''f''}}, और दो बहुपदों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक परिवेश क्षेत्र से स्वतंत्र है, इसलिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक {{math|''f''}} और {{math|''f''{{′}}}}में गुणांक है {{math|''F''}}. तब से {{math|''f''}} में अपरिवर्तनीय है {{math|''F''}}, यह सबसे बड़ा सामान्य भाजक आवश्यक रूप से है {{math|''f''}} अपने आप। क्योंकि की डिग्री {{math|''f''{{′}}}} की डिग्री से बिल्कुल कम है {{math|''f''}}, यह इस प्रकार है कि का व्युत्पन्न {{math|''f''}} शून्य है, जिसका अर्थ है कि क्षेत्र के [[किसी क्षेत्र की विशेषता]] एक अभाज्य संख्या है {{math|''p''}}, और {{math|''f''}} लिखा जा सकता है
 :<math>f(x)= \sum_{i=0}^ka_ix^{pi}.</math>
-इस जैसे बहुपद, जिसका औपचारिक व्युत्पन्न शून्य है, को अविभाज्य कहा जाता है। जो बहुपद अविभाज्य नहीं हैं, उन्हें वियोज्य कहा जाता है। एक वियोज्य विस्तार एक ऐसा विस्तार है जो वियोज्य तत्वों द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है, यानी ऐसे तत्व जिनके न्यूनतम बहुपद वियोज्य हैं।
+इस जैसे बहुपद, जिसका औपचारिक व्युत्पन्न शून्य है, को अविभाज्य कहा जाता है। जो बहुपद अविभाज्य नहीं हैं, उन्हें वियोज्य कहा जाता है। एक वियोज्य विस्तार एक ऐसा विस्तार है जो वियोज्य तत्वों द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है, यानी ऐसे तत्व जिनके न्यूनतम बहुपद वियोज्य होता हैं।
 ==विभाज्य और अविभाज्य बहुपद==
-एक अघुलनशील बहुपद {{math|''f''}} में {{math|''F''[''X'']}} वियोज्य बहुपद है यदि और केवल यदि इसके किसी भी क्षेत्र विस्तार में अलग-अलग जड़ें हों {{math|''F''}} (अर्थात यदि इसे बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर अलग-अलग रैखिक कारकों में विभाजित किया जा सकता है {{math|''F'')}}.<ref>Isaacs, p. 280</ref> होने देना {{math|''f''}} में {{math|''F''[''X'']}} एक अपरिवर्तनीय बहुपद बनें और {{math|''f'' '}} इसका औपचारिक व्युत्पन्न। फिर अपरिवर्तनीय बहुपद के लिए निम्नलिखित समतुल्य स्थितियाँ हैं {{math|''f''}} अलग करने योग्य होना:
+एक अघुलनशील बहुपद {{math|''f''}} में {{math|''F''[''X'']}} वियोज्य बहुपद है यदि और केवल यदि इसके किसी भी क्षेत्र विस्तार में अलग-अलग जड़ें हों {{math|''F''}} (अर्थात यदि इसे बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र पर अलग-अलग रैखिक कारकों में विभाजित किया जा सकता है {{math|''F'')}}.<ref>Isaacs, p. 280</ref> होने देना {{math|''f''}} में {{math|''F''[''X'']}} एक अपरिवर्तनीय बहुपद बनें और {{math|''f'' '}} इसका औपचारिक व्युत्पन्न फिर अपरिवर्तनीय बहुपद के लिए निम्नलिखित समतुल्य स्थितियाँ हैं {{math|''f''}} अलग करने योग्य है :
 * अगर {{math|''E''}} का विस्तार है {{math|''F''}} जिसमें {{math|''f''}} रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है तो इन गुणनखंडों का कोई भी वर्ग विभाजित नहीं होता है {{math|''f''}} में {{math|''E''[''X'']}} (वह है {{math|''f''}} वर्ग-मुक्त बहुपद है|वर्ग-मुक्त ओवर {{math|''E''}}).<ref name=IsaacsLem18.7>Isaacs, Lemma 18.7, p. 280</ref>
-* एक एक्सटेंशन मौजूद है {{math|''E''}} का {{math|''F''}} ऐसा है कि {{math|''f''}} है {{math|deg(''f'')}} जोड़ीवार अलग-अलग जड़ें {{math|''E''}}.<ref name=IsaacsLem18.7/>* अटल {{math|1}} एक बहुपद का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है {{math|''f''}} और {{math|''f'' '}}.<ref>Isaacs, Theorem 19.4, p. 295</ref>
+* एक विस्तार उपस्थित है {{math|''E''}} का {{math|''F''}} ऐसा है कि {{math|''f''}} है {{math|deg(''f'')}} जोड़ीवार अलग-अलग जड़ें {{math|''E''}}.<ref name=IsaacsLem18.7/>* अटल {{math|1}} एक बहुपद का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है {{math|''f''}} और {{math|''f'' '}}.<ref>Isaacs, Theorem 19.4, p. 295</ref>
 * औपचारिक व्युत्पन्न {{math|''f'' '}} का {{math|''f''}} शून्य बहुपद नहीं है.<ref>Isaacs, Corollary 19.5, p. 296</ref>
 * या तो की विशेषता  {{math|''F''}}शून्य है, या विशेषता है {{math|''p''}}, और {{math|''f''}} रूप का नहीं है <math>\textstyle\sum_{i=0}^k a_iX^{pi}.</math>
-चूँकि एक धनात्मक डिग्री बहुपद का औपचारिक व्युत्पन्न केवल तभी शून्य हो सकता है जब क्षेत्र में अभाज्य विशेषता हो, एक अप्रासंगिक बहुपद को अलग न करने के लिए, इसके गुणांकों को अभाज्य विशेषता के क्षेत्र में होना चाहिए। अधिक सामान्यतः, एक अपरिवर्तनीय (गैर-शून्य) बहुपद {{math|''f''}} में {{math|''F''[''X'']}} वियोज्य नहीं है, यदि और केवल यदि की विशेषता {{math|''F''}} एक (गैर-शून्य) अभाज्य संख्या है {{math|''p''}}, और {{math|1=''f''(''X'')=''g''(''X''<sup>''p''</sup>}}) कुछ अघुलनशील बहुपद के लिए {{math|''g''}} में {{math|''F''[''X'']}}.<ref>Isaacs, Corollary 19.6, p. 296</ref> इस गुण के बार-बार प्रयोग से यह पता चलता है कि वास्तव में, <math>f(X)=g(X^{p^n})</math> एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक के लिए {{math|''n''}} और कुछ अलग करने योग्य अघुलनशील बहुपद {{math|''g''}} में {{math|''F''[''X'']}} (कहाँ {{math|''F''}} को प्रमुख विशेषता p) माना जाता है।<ref>Isaacs, Corollary 19.9, p. 298</ref>
+चूँकि एक धनात्मक डिग्री बहुपद का औपचारिक व्युत्पन्न केवल तभी शून्य हो सकता है जब क्षेत्र में अभाज्य विशेषता हो, अप्रासंगिक बहुपद को अलग न करने के लिए, इसके गुणांकों को अभाज्य विशेषता के क्षेत्र में होना चाहिए। अत्यधिक सामान्यतः, अपरिवर्तनीय (गैर-शून्य) बहुपद {{math|''f''}} में {{math|''F''[''X'']}} वियोज्य नहीं है, यदि और केवल यदि की विशेषता {{math|''F''}} एक (गैर-शून्य) अभाज्य संख्या है {{math|''p''}}, और {{math|1=''f''(''X'')=''g''(''X''<sup>''p''</sup>}}) कुछ अघुलनशील बहुपद के लिए {{math|''g''}} में {{math|''F''[''X'']}}.<ref>Isaacs, Corollary 19.6, p. 296</ref> इस गुण के बार-बार प्रयोग से यह पता चलता है कि वास्तव में, <math>f(X)=g(X^{p^n})</math> एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक के लिए {{math|''n''}} और कुछ अलग करने योग्य अघुलनशील बहुपद {{math|''g''}} में {{math|''F''[''X'']}} (कहाँ {{math|''F''}} को प्रमुख विशेषता p) माना जाता है।<ref>Isaacs, Corollary 19.9, p. 298</ref>
-यदि [[फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म]] <math>x\mapsto x^p</math> का {{math|''F''}} विशेषण नहीं है, तत्व है <math>a\in F</math> जो एक नहीं है {{math|''p''}}के एक तत्व की शक्ति {{math|''F''}}. इस मामले में, बहुपद <math>X^p-a</math> अघुलनशील और अविभाज्य है. इसके विपरीत, यदि कोई अविभाज्य अपरिवर्तनीय (गैर-शून्य) बहुपद मौजूद है <math>\textstyle f(X)=\sum a_iX^{ip}</math> में {{math|''F''[''X'']}}, फिर फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म {{math|''F''}} एक [[ स्वचालितता ]] नहीं हो सकता, क्योंकि, अन्यथा, हमारे पास होता <math>a_i=b_i^p</math> कुछ के लिए <math>b_i</math>, और बहुपद {{math|''f''}} के रूप में कारक होगा <math>\textstyle \sum a_iX^{ip}=\left(\sum b_iX^{i}\right)^p.</math><ref>Isaacs, Theorem 19.7, p. 297</ref>
-अगर {{math|''K''}} अभाज्य विशेषता p का एक सीमित क्षेत्र है, और यदि {{math|''X''}} एक [[अनिश्चित (चर)]] है, तो [[तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र]] समाप्त हो जाता है {{math|''K''}}, {{math|''K''(''X'')}}, आवश्यक रूप से [[अपूर्ण क्षेत्र]] और बहुपद है {{math|1=''f''(''Y'')=''Y''<sup>''p''</sup>−''X''}} अविभाज्य है (Y में इसका औपचारिक व्युत्पन्न 0 है)।<ref name="Isaacs281"/>अधिक आम तौर पर, यदि एफ (गैर-शून्य) प्रमुख विशेषता का कोई क्षेत्र है जिसके लिए फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म एक ऑटोमोर्फिज्म नहीं है, तो एफ के पास एक अविभाज्य बीजगणितीय विस्तार है।<ref name="Isaacs299">Isaacs, p. 299</ref>
+यदि [[फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म|फ्रोबेनियस अंतः रूपांतरण]] <math>x\mapsto x^p</math> का {{math|''F''}} विशेषण नहीं है, तत्व है <math>a\in F</math> जो नहीं है {{math|''p''}}के तत्व की शक्ति {{math|''F''}}. इस मामले में, बहुपद <math>X^p-a</math> अघुलनशील और अविभाज्य है. इसके विपरीत, यदि कोई अविभाज्य अपरिवर्तनीय (गैर-शून्य) बहुपद उपस्थित है <math>\textstyle f(X)=\sum a_iX^{ip}</math> में {{math|''F''[''X'']}}, फिर फ्रोबेनियस अंतः रूपांतरण {{math|''F''}} [[ स्वचालितता | स्वचालितता]] नहीं हो सकता, क्योंकि, अन्यथा, हमारे पास होता <math>a_i=b_i^p</math> कुछ के लिए <math>b_i</math>, और बहुपद {{math|''f''}} के रूप में कारक होगा <math>\textstyle \sum a_iX^{ip}=\left(\sum b_iX^{i}\right)^p.</math><ref>Isaacs, Theorem 19.7, p. 297</ref>
-एक फ़ील्ड F पूर्ण फ़ील्ड है यदि और केवल तभी जब सभी अपरिवर्तनीय बहुपद वियोज्य हों। यह इस प्रकार है कि {{math|''F''}} उत्तम है यदि और केवल यदि दोनों में से कोई एक हो {{math|''F''}} विशेषता शून्य है, या {{math|''F''}} में (गैर-शून्य) प्रमुख विशेषता है {{math|''p''}} और फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म {{math|''F''}} एक ऑटोमोर्फिज्म है। इसमें प्रत्येक परिमित क्षेत्र शामिल है।
+अगर {{math|''K''}} अभाज्य विशेषता p का एक सीमित क्षेत्र है, और यदि {{math|''X''}} एक [[अनिश्चित (चर)]] है, तो [[तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र]] समाप्त हो जाता है {{math|''K''}}, {{math|''K''(''X'')}}, आवश्यक रूप से [[अपूर्ण क्षेत्र]] और बहुपद है {{math|1=''f''(''Y'')=''Y''<sup>''p''</sup>−''X''}} अविभाज्य है (Y में इसका औपचारिक व्युत्पन्न 0 है)।<ref name="Isaacs281" />अत्यधिक सामान्यतौर पर, यदि F (गैर-शून्य) प्रमुख विशेषता का कोई क्षेत्र है जिसके लिए फ्रोबेनियस अंतः रूपांतरण  एक स्वचलितता नहीं है, तो F के पास एक अविभाज्य बीजगणितीय विस्तार है।<ref name="Isaacs299">Isaacs, p. 299</ref>
+एक क्षेत्र F पूर्ण क्षेत्र है यदि और केवल तभी जब सभी अपरिवर्तनीय बहुपद वियोज्य हों। यह इस प्रकार है कि {{math|''F''}} उत्तम है यदि और केवल यदि दोनों में से कोई एक हो {{math|''F''}} विशेषता शून्य है, या {{math|''F''}} में (गैर-शून्य) प्रमुख विशेषता है {{math|''p''}} और फ्रोबेनियस अंतः रूपांतरण  {{math|''F''}} एक स्वचलितता है। इसमें प्रत्येक परिमित क्षेत्र सम्मिलित है।
 ==वियोज्य तत्व और वियोज्य एक्सटेंशन==

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अनौपचारिक चर्चा

विभाज्य और अविभाज्य बहुपद

वियोज्य तत्व और वियोज्य एक्सटेंशन

बीजगणितीय एक्सटेंशन के भीतर अलग करने योग्य एक्सटेंशन

पारलौकिक विस्तार की पृथक्करण

विभेदक मानदंड

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