असतत फूरियर श्रृंखला: Difference between revisions

Revision as of 01:18, 12 July 2023

अंकीय संकेत प्रक्रिया में, शब्द असतत फूरियर श्रृंखला (डीएफएस) कोई भी आवधिक असतत-समय संकेत होता है जिसमें हार्मोनिक रूप से संबंधित (अर्थात् फूरियर) असतत वास्तविक साइनसॉइड या असतत सम्मिश्र घातांक सम्मिलित होता हैं, जो एक भारित योग द्वारा संयुक्त होते हैं। एक विशिष्ट उदाहरण व्युत्क्रम असतत फूरियर रूपांतरण (सामान्य) (व्युत्क्रम डीएफटी) होता है।

परिभाषा

डीएफएस का सामान्य रूप निम्न प्रकार होता है:

असतत फूरियर श्रृंखला

{\begin{aligned}x[n]=\sum _{k}X[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad n\in \mathbb {Z} ,\end{aligned}}

(Eq.1)

जो एक मौलिक आवृत्ति $1/N$ के हार्मोनिक्स होता हैं, कुछ सकारात्मक पूर्णांक $N$ के लिए होता है। $k$ की व्यावहारिक सीमा $[0,\ N-1],$ होती है क्योंकि आवधिकता बड़े मूल्यों को अनावश्यक बना देती है। जब $X[k]$ गुणांक a से प्राप्त होते हैं तो $N$ -लंबाई डीएफटी, और का एक कारक $1/N$ डाला जाता है, तो यह उलटा डीएफटी बन जाता है।^[1]^{: p.542 (eq 8.4)} ^[2]^{: p.77 (eq 4.24)} और इस स्थिति में, केवल गुणांकों को ही कभी-कभी असतत फूरियर श्रृंखला के रूप में संदर्भित किया जाता है।^[3]^{: p.85 (eq 15a)}

लंबाई का एक क्रम बनाना एक सामान्य अभ्यास होता है एक $N$ लंबे समय से $x[n]$ इसे विभाजित करके क्रमबद्ध करें $N$ -लंबाई खंड और उन्हें बिंदुवार एक साथ जोड़ना। (देखें DTFT § L=N×I) यह आवधिक योग का एक चक्र उत्पन्न करता है:

x_{_{N}}[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN],\quad n\in \mathbb {Z} .

आवधिकता के कारण, $x_{_{N}}$ को DFS के रूप में दर्शाया जा सकता है $N$ अद्वितीय गुणांक जिन्हें $N$ -लंबाई डीएफटी द्वारा प्राप्त किया जा सकता है .^[1]^{: p 543 (eq 8.9)}^{: pp 557-558} ^[2]^{: p 72 (eq 4.11)}

गुणांक उपयोगी होता हैं क्योंकि वे असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीटीएफटी) के $x[n]$ अनुक्रम के नमूने हैं:

X_{1/T}(f)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi fnT}\ T\ x(nT)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\tfrac {m}{T}}\right),\quad f\in \mathbb {R}

यहाँ, $x(nT)$ एक सतत फलन $x(t)$ के प्रतिरूप का प्रतिनिधित्व करता है, नमूना अंतराल के साथ $T,$ और $X(f)$ का फूरियर रूपांतरण $x(t)$ होता है समानता पॉइसन योग सूत्र का परिणाम होता है। परिभाषाओं के साथ $x[n]\triangleq T\ x(nT)$ और $X_{N}[k]\triangleq X_{1/T}\left({\tfrac {k}{NT}}\right)$ :

X_{N}[k]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\ x[n],\quad k=0,...,N-1

N-आवधिकता के कारण $e^{-i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}$ कर्नेल, योग को इस प्रकार प्रदर्शित किया जा सकता है:

{\begin{aligned}X_{N}[k]&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=0}^{N-1}e^{-i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\ x[n-mN]\right)\\&=\sum _{n=0}^{N-1}e^{-i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\underbrace {\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN]\right)} _{x_{_{N}}[n]}\\&=\operatorname {DFT} \{x_{_{N}}\}.\end{aligned}}

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John R. (1999). "4.2, 8.4". Discrete-time signal processing (2nd ed.). Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2. samples of the Fourier transform of an aperiodic sequence x[n] can be thought of as DFS coefficients of a periodic sequence obtained through summing periodic replicas of x[n]. ... The Fourier series coefficients can be interpreted as a sequence of finite length for k=0,...,(N-1), and zero otherwise, or as a periodic sequence defined for all k.
↑ ^2.0 ^2.1 Prandoni, Paolo; Vetterli, Martin (2008). Signal Processing for Communications (PDF) (1 ed.). Boca Raton,FL: CRC Press. pp. 72, 76. ISBN 978-1-4200-7046-0. Retrieved 4 October 2020. the DFS coefficients for the periodized signal are a discrete set of values for its DTFT
↑ Nuttall, Albert H. (Feb 1981). "Some Windows with Very Good Sidelobe Behavior". IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 29 (1): 84–91. doi:10.1109/TASSP.1981.1163506.

[Oppenheim-1] 1.0 ^1.1 Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John R. (1999). "4.2, 8.4". Discrete-time signal processing (2nd ed.). Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2. samples of the Fourier transform of an aperiodic sequence x[n] can be thought of as DFS coefficients of a periodic sequence obtained through summing periodic replicas of x[n]. ... The Fourier series coefficients can be interpreted as a sequence of finite length for k=0,...,(N-1), and zero otherwise, or as a periodic sequence defined for all k.

[Prandoni-2] 2.0 ^2.1 Prandoni, Paolo; Vetterli, Martin (2008). Signal Processing for Communications (PDF) (1 ed.). Boca Raton,FL: CRC Press. pp. 72, 76. ISBN 978-1-4200-7046-0. Retrieved 4 October 2020. the DFS coefficients for the periodized signal are a discrete set of values for its DTFT

[Nuttall-3] Nuttall, Albert H. (Feb 1981). "Some Windows with Very Good Sidelobe Behavior". IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 29 (1): 84–91. doi:10.1109/TASSP.1981.1163506.

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-[[ अंकीय संकेत प्रक्रिया ]] में, शब्द डिस्क्रीट फूरियर सीरीज़ (डीएफएस) कोई भी आवधिक असतत-समय सिग्नल है जिसमें हार्मोनिक रूप से संबंधित (यानी ''फूरियर'') असतत वास्तविक साइनसॉइड या असतत जटिल घातांक शामिल होते हैं, जो एक भारित योग द्वारा संयुक्त होते हैं। एक विशिष्ट उदाहरण व्युत्क्रम [[असतत फूरियर रूपांतरण (सामान्य)]] (व्युत्क्रम डीएफटी) है।
+[[ अंकीय संकेत प्रक्रिया ]]में, शब्द असतत फूरियर श्रृंखला (डीएफएस) कोई भी आवधिक असतत-समय संकेत होता है जिसमें हार्मोनिक रूप से संबंधित (अर्थात् ''फूरियर'') असतत वास्तविक साइनसॉइड या असतत सम्मिश्र घातांक सम्मिलित होता हैं, जो एक भारित योग द्वारा संयुक्त होते हैं। एक विशिष्ट उदाहरण व्युत्क्रम [[असतत फूरियर रूपांतरण (सामान्य)]] (व्युत्क्रम डीएफटी) होता है।
 ==परिभाषा==
-DFS का सामान्य रूप है:
+डीएफएस का सामान्य रूप निम्न प्रकार होता है:
 {{Equation box 1
 |indent =:
-|title=Discrete Fourier series
+|title=असतत फूरियर श्रृंखला
 |equation = {{NumBlk||<math>
 \begin{align}
@@ Line 16: / Line 16: @@
 |background colour=#F5FFFA}}
-जो एक मौलिक आवृत्ति के हार्मोनिक्स हैं <math>1/N,</math> कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए <math>N.</math> की व्यावहारिक सीमा <math>k,</math> है <math>[0,\ N-1],</math> क्योंकि आवधिकता बड़े मूल्यों को अनावश्यक बना देती है। जब <math>X[k]</math> गुणांक a से प्राप्त होते हैं <math>N</math>-लंबाई डीएफटी, और का एक कारक <math>1/N</math> डाला जाता है, तो यह उलटा डीएफटी बन जाता है।<ref name=Oppenheim/>{{rp|p.542 (eq 8.4)}} <ref name=Prandoni/>{{rp|p.77 (eq 4.24)}} और उस मामले में, केवल गुणांकों को ही कभी-कभी असतत फूरियर श्रृंखला के रूप में संदर्भित किया जाता है।<ref name=Nuttall/>{{rp|p.85 (eq 15a)}}
+जो एक मौलिक आवृत्ति <math>1/N</math> के हार्मोनिक्स होता हैं, कुछ सकारात्मक पूर्णांक <math>N</math> के लिए होता है। <math>k</math> की व्यावहारिक सीमा <math>[0,\ N-1],</math> होती है  क्योंकि आवधिकता बड़े मूल्यों को अनावश्यक बना देती है। जब <math>X[k]</math> गुणांक a से प्राप्त होते हैं तो <math>N</math>-लंबाई डीएफटी, और का एक कारक <math>1/N</math> डाला जाता है, तो यह उलटा डीएफटी बन जाता है।<ref name=Oppenheim/>{{rp|p.542 (eq 8.4)}} <ref name=Prandoni/>{{rp|p.77 (eq 4.24)}} और इस स्थिति  में, केवल गुणांकों को ही कभी-कभी असतत फूरियर श्रृंखला के रूप में संदर्भित किया जाता है।<ref name=Nuttall/>{{rp|p.85 (eq 15a)}}
-लंबाई का एक क्रम बनाना एक सामान्य अभ्यास है <math>N</math> एक लंबे समय से <math>x[n]</math> इसे विभाजित करके क्रमबद्ध करें <math>N</math>-लंबाई खंड और उन्हें बिंदुवार एक साथ जोड़ना। (देखें {{slink|DTFT|L{{=}}N×I}}) यह [[आवधिक योग]] का एक चक्र उत्पन्न करता है:
+लंबाई का एक क्रम बनाना एक सामान्य अभ्यास होता है  एक <math>N</math> लंबे समय से <math>x[n]</math> इसे विभाजित करके क्रमबद्ध करें <math>N</math>-लंबाई खंड और उन्हें बिंदुवार एक साथ जोड़ना। (देखें {{slink|DTFT|L{{=}}N×I}}) यह [[आवधिक योग]] का एक चक्र उत्पन्न करता है:
 :<math>x_{_N}[n]\ \triangleq\ \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[n-mN], \quad n \in \mathbb{Z}.</math>
 आवधिकता के कारण, <math>x_{_N}</math>को DFS के रूप में दर्शाया जा सकता है <math>
 N
-</math> अद्वितीय गुणांक जिन्हें एक द्वारा निकाला जा सकता है <math>
+</math> अद्वितीय गुणांक जिन्हें <math>
 N
-</math>-लंबाई डीएफटी.<ref name="Oppenheim" />{{rp|p 543 (eq 8.9)}}{{rp|pp 557-558}}   <ref name="Prandoni"/>{{rp|p 72 (eq 4.11)}}
+</math>-लंबाई डीएफटी द्वारा प्राप्त किया जा सकता है .<ref name="Oppenheim" />{{rp|p 543 (eq 8.9)}}{{rp|pp 557-558}} <ref name="Prandoni"/>{{rp|p 72 (eq 4.11)}}
-गुणांक उपयोगी हैं क्योंकि वे असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीटीएफटी) के नमूने हैं <math>x[n]</math> अनुक्रम:
+गुणांक उपयोगी होता हैं क्योंकि वे असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीटीएफटी) के  <math>x[n]</math> अनुक्रम के नमूने हैं:
 :<math>X_{1/T}(f) \triangleq \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-i 2\pi f nT}\ T\ x(nT) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} X\left(f - \tfrac{m}{T}\right), \quad f \in \mathbb{R}
 </math>
-यहाँ, <math>x(nT)</math> एक सतत फलन के नमूने का प्रतिनिधित्व करता है <math>x(t),</math> के नमूना अंतराल के साथ <math>T,</math> और <math>X(f)</math> का फूरियर रूपांतरण है <math>x(t).</math> समानता [[पॉइसन योग सूत्र]] का परिणाम है। परिभाषाओं के साथ  <math>x[n] \triangleq T\ x(nT)</math> और <math>X_N[k] \triangleq X_{1/T}\left(\tfrac{k}{NT}\right)</math>:
+यहाँ, <math>x(nT)</math> एक सतत फलन <math>x(t)</math>के प्रतिरूप का प्रतिनिधित्व करता है,  नमूना अंतराल के साथ <math>T,</math> और <math>X(f)</math> का फूरियर रूपांतरण <math>x(t)</math> होता है  समानता [[पॉइसन योग सूत्र]] का परिणाम होता है। परिभाषाओं के साथ <math>x[n] \triangleq T\ x(nT)</math> और <math>X_N[k] \triangleq X_{1/T}\left(\tfrac{k}{NT}\right)</math>:
 :<math>X_N[k]  = \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-i 2\pi \tfrac{k}{N} n}\ x[n], \quad k = 0,...,N-1</math>
-की एन-आवधिकता के कारण <math>e^{-i 2\pi \tfrac{k}{N} n}</math> कर्नेल, योग को इस प्रकार मोड़ा जा सकता है:
+N-आवधिकता के कारण <math>e^{-i 2\pi \tfrac{k}{N} n}</math> कर्नेल, योग को इस प्रकार प्रदर्शित किया जा सकता है:
 :<math>

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