अलेक्जेंडर द्वैत: Difference between revisions

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गणित में, अलेक्जेंडर द्वैत, जेम्स वाडेल अलेक्जेंडर II|जे के परिणाम द्वारा शुरू किए गए [[द्वैत सिद्धांत]] को संदर्भित करता है। 1915 में डब्ल्यू अलेक्जेंडर, और बाद में इसे और विकसित किया गया, विशेष रूप से [[पावेल अलेक्जेंड्रोव]] और [[लेव पोंट्रीगिन]] द्वारा। यह यूक्लिडियन अंतरिक्ष, क्षेत्र, या अन्य [[मैनिफोल्ड (गणित)]] में उप-स्थान टोपोलॉजी ''एक्स'' के पूरक के [[समरूपता सिद्धांत]] गुणों पर लागू होता है। इसे स्पैनियर-व्हाइटहेड द्वैत द्वारा सामान्यीकृत किया गया है।
गणित में, '''अलेक्जेंडर द्वैत''' एक [[द्वैत सिद्धांत]] को संदर्भित करता है जिसे 1915 में जे. डब्ल्यू. अलेक्जेंडर द्वारा शुरू किया गया था, और बाद में इसे और विकसित किया गया, विशेष रूप से [[पावेल अलेक्जेंड्रोव]] और [[लेव पोंट्रीगिन]] द्वारा है। इस प्रकार से यह यूक्लिडियन समष्टि, क्षेत्र, या अन्य [[मैनिफोल्ड (गणित)|कई गुना (गणित)]] में उप-समष्टि टोपोलॉजी ''X'' के पूरक के [[समरूपता सिद्धांत]] गुणों पर लागू होता है। इसे स्पैनियर-व्हाइटहेड द्वैत द्वारा सामान्यीकृत किया गया है।


==गोलों के लिए सामान्य कथन==
==गोलों के लिए सामान्य कथन==
होने देना <math>X</math> [[ एन-क्षेत्र | एन-क्षेत्र]] का [[ सघन स्थान |सघन स्थान]] , स्थानीय रूप से अनुबंधित स्पेस उपस्पेस बनें <math>S^n</math> आयाम का n. होने देना <math>S^n\setminus X</math> का पूरक बनें <math>X</math> में <math>S^n</math>. तो अगर <math>\tilde{H}</math> किसी दिए गए [[एबेलियन समूह]] में गुणांक के साथ, कम समरूपता या कम सह-समरूपता का मतलब है, समरूपता है
इस प्रकार से मान लीजिए कि <math>X</math> विमा[[ एन-क्षेत्र | एन-क्षेत्र]] के गोले <math>S^n</math> [[ सघन स्थान |सघन]] स्थानीय रूप से संकुचन योग्य उपसमष्टि है। अतः मान लीजिए <math>S^n\setminus X</math>, <math>S^n</math> में <math>X</math> का पूरक है। फिर यदि <math>\tilde{H}</math> का अर्थ किसी दिए गए [[एबेलियन समूह|एबेलियन समुच्चय]] में गुणांक के साथ कम समरूपता या कम सह-समरूपता है, तो सभी <math>q\ge 0</math> के लिए एक समरूपता


:<math>\tilde{H}_q(S^n\setminus X) \cong \tilde{H}^{n-q-1}(X)</math>
:<math>\tilde{H}_q(S^n\setminus X) \cong \tilde{H}^{n-q-1}(X)</math>
सभी के लिए <math>q\ge 0</math>. ध्यान दें कि यदि हम सेच कोहोमोलॉजी का उपयोग करते हैं, जिसे स्थानीय विकृति विज्ञान से निपटने के लिए डिज़ाइन किया गया है, तो हम परिकल्पना के हिस्से के रूप में स्थानीय संकुचनशीलता को छोड़ सकते हैं।
है। इस प्रकार से ध्यान दें कि यदि हम सेच सह समरूपता का उपयोग करते हैं, जिसे स्थानीय विकृति विज्ञान से निपटने के लिए डिज़ाइन किया गया है, तो हम परिकल्पना के भाग के रूप में स्थानीय संकुचनशीलता को छोड़ सकते हैं।


=== अनुप्रयोग ===
=== अनुप्रयोग ===
यह नॉट (गणित) और [[लिंक (गाँठ सिद्धांत)]] पूरकों की सह-समरूपता की गणना के लिए उपयोगी है <math>S^3</math>. याद रखें कि गाँठ एम्बेडिंग है <math>K\colon S^1 \hookrightarrow S^3</math> और कड़ी गांठों का असंयुक्त संघ है, जैसे [[बोरोमियन रिंग्स]] फिर, यदि हम लिंक/गाँठ को इस प्रकार लिखते हैं <math>L</math>, अपने पास
यह <math>S^3</math> में ग्रांथिल (गणित) और [[लिंक (गाँठ सिद्धांत)|श्रृंखला (ग्रांथिल सिद्धांत)]] पूरकों की सह-समरूपता की गणना के लिए उपयोगी है। इस प्रकार से याद रखें कि एक ग्रांथिल एक अंत: स्थापन <math>K\colon S^1 \hookrightarrow S^3</math> है और श्रृंखला ग्रांथिल का एक असंयुक्त संघ है, जैसे कि [[बोरोमियन रिंग्स|बोरोमियन वलय।]] फिर, यदि हम श्रृंखला/ग्रांथिल को <math>L</math> के रूप में लिखते हैं, तो हमारे निकट
:<math>\tilde{H}_q(S^3\setminus L) \cong \tilde{H}^{3-q-1}(L)</math>,
:<math>\tilde{H}_q(S^3\setminus L) \cong \tilde{H}^{3-q-1}(L)</math>,
कोहोमोलोजी समूहों की गणना के लिए विधि देना। फिर, [[मैसी उत्पाद]]ों का उपयोग करके विभिन्न लिंक के बीच अंतर करना संभव है।<ref>{{Cite journal|last=Massey|first=William S.|author-link=William S. Massey|date=1998-05-01|title=संख्याओं को जोड़ने का उच्च क्रम|url=https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218216598000206|journal=[[Journal of Knot Theory and Its Ramifications]]|volume=7|issue=3|pages=393–414|doi=10.1142/S0218216598000206|issn=0218-2165|archive-url=https://web.archive.org/web/20210202191811/https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/surgery/uicc/massey.pdf|archive-date=2 Feb 2021|via=}}</ref>
होता है, जो सह समरूपता समुच्चयों की गणना के लिए एक विधि देता है। अतः फिर, [[मैसी उत्पाद|मैसी गुणनफलों]] का उपयोग करके विभिन्न श्रृंखला के बीच अंतर करना संभव है।<ref>{{Cite journal|last=Massey|first=William S.|author-link=William S. Massey|date=1998-05-01|title=संख्याओं को जोड़ने का उच्च क्रम|url=https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218216598000206|journal=[[Journal of Knot Theory and Its Ramifications]]|volume=7|issue=3|pages=393–414|doi=10.1142/S0218216598000206|issn=0218-2165|archive-url=https://web.archive.org/web/20210202191811/https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/surgery/uicc/massey.pdf|archive-date=2 Feb 2021|via=}}</ref> इस प्रकार से उदाहरण के लिए, बोरोमियन वलय <math>L</math> के लिए, समरूपता समुच्चय
उदाहरण के लिए, बोरोमियन रिंग्स के लिए <math>L</math>, समरूपता समूह हैं
:<math>\begin{align}
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\tilde{H}_0(S^3 \setminus L)&\cong \tilde{H}^{2}(L) = 0 \\
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\tilde{H}_2(S^3 \setminus L)&\cong \tilde{H}^{0}(L) = \Z^{\oplus 2}\\
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\end{align}</math>
\end{align}</math> हैं।
== निर्माण योग्य ढेरों के लिए अलेक्जेंडर द्वंद्व ==
== निर्माण योग्य ढेरों के लिए अलेक्जेंडर द्वंद्व ==
चिकनी विविधताओं के लिए, अलेक्जेंडर द्वैत एबेलियन समूहों के समूह के लिए वर्डियर द्वैत का औपचारिक परिणाम है। अधिक सटीक रूप से, यदि हम जाने दें <math>X</math> चिकनी विविधता को निरूपित करें और हमने जाने दिया <math>Y \subset X</math> बंद उप-स्थान बनें (जैसे कि चक्र का प्रतिनिधित्व करने वाला उप-स्थान, या उप-समूह) जो समावेशन द्वारा दर्शाया गया हो <math>i\colon Y \hookrightarrow X</math>, और अगर <math>k</math> फ़ील्ड है, तो यदि <math>\mathcal{F} \in \text{Sh}_k(Y)</math> का पूल है <math>k</math>-वेक्टर रिक्त स्थान में हमारे पास निम्नलिखित समरूपता है<ref>{{Cite book|last=Iversen|first= Birger|doi=10.1007/978-3-642-82783-9
सहज विविधताओं के लिए, अलेक्जेंडर द्वैत एबेलियन समुच्चयों के समुच्चय के लिए वर्डियर द्वैत का औपचारिक परिणाम है। इस प्रकार से अधिक यथार्थ रूप से, यदि हम <math>X</math>को एक सहज विविधता को निरूपित करने देते हैं और हम <math>Y \subset X</math> को एक संवृत उप-समष्टि (जैसे कि एक चक्र का प्रतिनिधित्व करने वाला उप-समष्टि, या एक उप-समुच्चय) होने देते हैं, जो समावेशन <math>i\colon Y \hookrightarrow X</math> द्वारा दर्शाया जाता है, और यदि <math>k</math> एक क्षेत्र है, तो यदि <math>\mathcal{F} \in \text{Sh}_k(Y)</math> एक है का सेतु है, <math>k</math>-सदिश रिक्त समष्टि के शीफ में हमारे निकट निम्नलिखित समरूपता<ref>{{Cite book|last=Iversen|first= Birger|doi=10.1007/978-3-642-82783-9
|title=पूलों की सहसंरचना|date=1986|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|isbn=0-387-16389-1|location=Berlin|oclc=13269489}}</ref>{{rp|307}}
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:<math>H^s_c(Y,\mathcal{F})^\vee \cong \operatorname{Ext}_k^{n-s}(i_*\mathcal{F}, \omega_X [n-s])</math>,
:<math>H^s_c(Y,\mathcal{F})^\vee \cong \operatorname{Ext}_k^{n-s}(i_*\mathcal{F}, \omega_X [n-s])</math>,
जहां बाईं ओर कोहोमोलॉजी समूह [[कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित समरूपता]] है। इसका अर्थ क्या है, इसकी बेहतर समझ प्राप्त करने के लिए हम इस कथन को और अधिक विस्तृत कर सकते हैं। सबसे पहले, अगर <math>\mathcal{F} = \underline{k}</math> स्थिर शीफ है और <math>Y</math> सहज उपमान है, तो हमें मिलता है
है जहां बाईं ओर सह समरूपता समुच्चय [[कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित समरूपता|संहत रूप से समर्थित समरूपता]] है। अतः इसका अर्थ क्या है, इसकी ठीक समझ प्राप्त करने के लिए हम इस कथन को और अधिक विस्तृत कर सकते हैं। सबसे पहले, यदि <math>\mathcal{F} = \underline{k}</math> स्थिर शीफ है और <math>Y</math> सहज उप कई गुना है, तो हमें
:<math>\operatorname{Ext}_k^{n - s}(i_*\mathcal{F}, \omega_X [n-r]) \cong H^{n-s}_Y(X,\omega_X)</math>,
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जहां दाईं [[स्थानीय सहसंरचना]] समूह समर्थन के साथ स्थानीय कोहोमोलॉजी है <math>Y</math>. आगे की कटौती के माध्यम से, की समरूपता की पहचान करना संभव है <math>X \setminus Y</math> के सहसंयोजकता के साथ <math>Y</math>. यह बीजगणितीय ज्यामिति में प्रक्षेप्य किस्मों के कोहोलॉजी समूहों की गणना के लिए उपयोगी है, और डिग्री के हाइपरसर्फेस की हॉज संरचना का आधार बनाने के लिए इसका उपयोग किया जाता है। <math>d</math> [[जैकोबियन आदर्श]] का उपयोग करना।
मिलता है जहां दाईं ओर [[स्थानीय सहसंरचना]] समुच्चय <math>Y</math> में समर्थन के साथ स्थानीय सह समरूपता है। इस प्रकार से आगे की कटौती के माध्यम से, <math>X \setminus Y</math> की समरूपता को <math>Y</math> की सहसंबद्धता के साथ पहचानना संभव है। अतः यह बीजगणितीय ज्यामिति में प्रक्षेप्य प्रकारों के सह समरूपता समूहों की गणना के लिए उपयोगी है, और [[जैकोबियन आदर्श]] का उपयोग करके परिमाण <math>d</math> के ऊनविम पृष्ठ की हॉज संरचना का आधार बनाने के लिए इसका उपयोग किया जाता है।


==सिकंदर का 1915 परिणाम==
==सिकंदर का 1915 परिणाम==
अलेक्जेंडर के मूल कार्य का उल्लेख करते हुए, यह माना जाता है कि एक्स [[सरल जटिल]] है।
इस प्रकार से अलेक्जेंडर के मूल कार्य का उल्लेख करते हुए, यह माना जाता है कि X [[सरल जटिल]] है।


अलेक्जेंडर के पास आधुनिक उपकरण बहुत कम थे, और उसका परिणाम केवल बेट्टी संख्याओं के लिए था, जिसमें गुणांक मॉड्यूलो 2 लिया गया था। उदाहरणों से क्या उम्मीद की जानी चाहिए। उदाहरण के लिए 3-गोले में [[क्लिफोर्ड टोरस]] निर्माण से पता चलता है कि [[ठोस टोरस]] का पूरक और ठोस टोरस है; जो दूसरा बंद होने पर खुला रहेगा, लेकिन इससे उसकी समरूपता पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा। प्रत्येक ठोस टोरी समरूप दृष्टिकोण से वृत्त है। यदि हम केवल बेट्टी संख्याएँ लिखें
अतः अलेक्जेंडर के निकट आधुनिक उपकरण बहुत कम थे, और उसका परिणाम मात्र बेट्टी संख्याओं के लिए था, जिसमें गुणांक मॉड्यूलो 2 लिया गया था। उदाहरणों से क्या अपेक्षा की जानी चाहिए। इस प्रकार से उदाहरण के लिए 3-गोले में [[क्लिफोर्ड टोरस]] निर्माण से पता चलता है कि [[ठोस टोरस]] का पूरक और ठोस टोरस है; जो दूसरा संवृत होने पर विवृत रहेगा, परन्तु इससे उसकी समरूपता पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा। प्रत्येक ठोस टोरी समरूप दृष्टिकोण से वृत्त है। यदि हम मात्र वृत्त के बेट्टी संख्या


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एक कठिनाई है, क्योंकि हमें वह नहीं मिल रहा है जिससे हमने शुरुआत की थी। दूसरी ओर, यही प्रक्रिया घटी हुई बेट्टी संख्या पर भी लागू होती है, जिसके लिए प्रारंभिक बेट्टी संख्या को 1 से घटाया जाता है, से शुरू होती है
प्राप्त करने के लिए एक को बाईं ओर स्थानांतरित करें, एक कठिनाई है, क्योंकि हमें वह नहीं मिल रहा है जिससे हमने प्रारम्भ किया था। इस प्रकार से दूसरी ओर, वही प्रक्रिया घटी हुई बेट्टी संख्याओं पर लागू होती है, जिसके लिए प्रारंभिक बेट्टी संख्या को 1 से घटाया जाता है,


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यह पूरक की कम हुई बेट्टी संख्या की भविष्यवाणी करते हुए काम करता है।
यह पूरक की कम हुई बेट्टी संख्या की भविष्यवाणी करते हुए कार्य करता है।


यहां प्रोटोटाइप [[जॉर्डन वक्र प्रमेय]] है, जो [[टोपोलॉजी]] [[रीमैन क्षेत्र]] में वृत्त के पूरक से संबंधित है। यह भी यही कहानी बताता है. हमारे पास ईमानदार बेट्टी नंबर हैं
इस प्रकार से यहां प्रोटोटाइप [[जॉर्डन वक्र प्रमेय]] है, जो [[टोपोलॉजी]] [[रीमैन क्षेत्र]] में वृत्त के पूरक से संबंधित है। यह भी यही कहानी बताता है। अतः हमारे निकट वृत्त की ईमानदार बेट्टी संख्याएँ


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वृत्त का, और इसलिए
हैं, और इसलिए


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बायीं ओर शिफ्ट होने से. यह जॉर्डन प्रमेय के कथनों से कुछ अलग देता है, जो यह है कि दो घटक हैं, प्रत्येक संकुचन योग्य (यहां जो उपयोग किया जाता है उसके बारे में सटीक होने के लिए स्कोनफ्लीज़ प्रमेय)अर्थात् ईमानदार बेट्टी संख्याओं में सही उत्तर है
को बाईं ओर परिवर्तित कर देते हैं। इस प्रकार से यह जॉर्डन प्रमेय के कथन से कुछ अलग देता है, जो यह है कि दो घटक हैं, प्रत्येक अनुबंध योग्य (स्कोनफ्लाइज़ प्रमेय, यहाँ क्या उपयोग किया गया है इसके विषय में यथार्थ होने के लिए) है। अर्थात्, ईमानदार बेट्टी संख्याओं में उचित उत्तर


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एक बार फिर, यह कम हुई बेट्टी संख्याएँ हैं जो काम करती हैं। उन्हीं से हम शुरुआत करते हैं
एक बार फिर, यह कम हुई बेट्टी संख्याएँ हैं जो कार्य करती हैं। अतः उनके साथ, हम


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के साथ ख़त्म करना
से प्रारंभ करके


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:1, 0, 0 पर समाप्त करते हैं।


इसलिए, इन दो उदाहरणों से, अलेक्जेंडर के सूत्रीकरण का अनुमान लगाया जा सकता है: बेट्टी संख्या में कमी <math>\tilde{b}_i</math> द्वारा पूरकों में संबंधित हैं
इसलिए, इन दो उदाहरणों से, अलेक्जेंडर के सूत्रीकरण का अनुमान लगाया जा सकता है: घटी हुई बेट्टी संख्या <math>\tilde{b}_i</math>,


:<math>\tilde{b}_i \to \tilde{b}_{n-i-1}</math>.
:<math>\tilde{b}_i \to \tilde{b}_{n-i-1}</math> द्वारा पूरकों में संबंधित हैं।


==संदर्भ==
==संदर्भ==

Revision as of 22:35, 13 July 2023

गणित में, अलेक्जेंडर द्वैत एक द्वैत सिद्धांत को संदर्भित करता है जिसे 1915 में जे. डब्ल्यू. अलेक्जेंडर द्वारा शुरू किया गया था, और बाद में इसे और विकसित किया गया, विशेष रूप से पावेल अलेक्जेंड्रोव और लेव पोंट्रीगिन द्वारा है। इस प्रकार से यह यूक्लिडियन समष्टि, क्षेत्र, या अन्य कई गुना (गणित) में उप-समष्टि टोपोलॉजी X के पूरक के समरूपता सिद्धांत गुणों पर लागू होता है। इसे स्पैनियर-व्हाइटहेड द्वैत द्वारा सामान्यीकृत किया गया है।

गोलों के लिए सामान्य कथन

इस प्रकार से मान लीजिए कि विमा एन-क्षेत्र के गोले सघन स्थानीय रूप से संकुचन योग्य उपसमष्टि है। अतः मान लीजिए , में का पूरक है। फिर यदि का अर्थ किसी दिए गए एबेलियन समुच्चय में गुणांक के साथ कम समरूपता या कम सह-समरूपता है, तो सभी के लिए एक समरूपता

है। इस प्रकार से ध्यान दें कि यदि हम सेच सह समरूपता का उपयोग करते हैं, जिसे स्थानीय विकृति विज्ञान से निपटने के लिए डिज़ाइन किया गया है, तो हम परिकल्पना के भाग के रूप में स्थानीय संकुचनशीलता को छोड़ सकते हैं।

अनुप्रयोग

यह में ग्रांथिल (गणित) और श्रृंखला (ग्रांथिल सिद्धांत) पूरकों की सह-समरूपता की गणना के लिए उपयोगी है। इस प्रकार से याद रखें कि एक ग्रांथिल एक अंत: स्थापन है और श्रृंखला ग्रांथिल का एक असंयुक्त संघ है, जैसे कि बोरोमियन वलय। फिर, यदि हम श्रृंखला/ग्रांथिल को के रूप में लिखते हैं, तो हमारे निकट

,

होता है, जो सह समरूपता समुच्चयों की गणना के लिए एक विधि देता है। अतः फिर, मैसी गुणनफलों का उपयोग करके विभिन्न श्रृंखला के बीच अंतर करना संभव है।[1] इस प्रकार से उदाहरण के लिए, बोरोमियन वलय के लिए, समरूपता समुच्चय

हैं।

निर्माण योग्य ढेरों के लिए अलेक्जेंडर द्वंद्व

सहज विविधताओं के लिए, अलेक्जेंडर द्वैत एबेलियन समुच्चयों के समुच्चय के लिए वर्डियर द्वैत का औपचारिक परिणाम है। इस प्रकार से अधिक यथार्थ रूप से, यदि हम को एक सहज विविधता को निरूपित करने देते हैं और हम को एक संवृत उप-समष्टि (जैसे कि एक चक्र का प्रतिनिधित्व करने वाला उप-समष्टि, या एक उप-समुच्चय) होने देते हैं, जो समावेशन द्वारा दर्शाया जाता है, और यदि एक क्षेत्र है, तो यदि एक है का सेतु है, -सदिश रिक्त समष्टि के शीफ में हमारे निकट निम्नलिखित समरूपता[2]: 307 

,

है जहां बाईं ओर सह समरूपता समुच्चय संहत रूप से समर्थित समरूपता है। अतः इसका अर्थ क्या है, इसकी ठीक समझ प्राप्त करने के लिए हम इस कथन को और अधिक विस्तृत कर सकते हैं। सबसे पहले, यदि स्थिर शीफ है और सहज उप कई गुना है, तो हमें

,

मिलता है जहां दाईं ओर स्थानीय सहसंरचना समुच्चय में समर्थन के साथ स्थानीय सह समरूपता है। इस प्रकार से आगे की कटौती के माध्यम से, की समरूपता को की सहसंबद्धता के साथ पहचानना संभव है। अतः यह बीजगणितीय ज्यामिति में प्रक्षेप्य प्रकारों के सह समरूपता समूहों की गणना के लिए उपयोगी है, और जैकोबियन आदर्श का उपयोग करके परिमाण के ऊनविम पृष्ठ की हॉज संरचना का आधार बनाने के लिए इसका उपयोग किया जाता है।

सिकंदर का 1915 परिणाम

इस प्रकार से अलेक्जेंडर के मूल कार्य का उल्लेख करते हुए, यह माना जाता है कि X सरल जटिल है।

अतः अलेक्जेंडर के निकट आधुनिक उपकरण बहुत कम थे, और उसका परिणाम मात्र बेट्टी संख्याओं के लिए था, जिसमें गुणांक मॉड्यूलो 2 लिया गया था। उदाहरणों से क्या अपेक्षा की जानी चाहिए। इस प्रकार से उदाहरण के लिए 3-गोले में क्लिफोर्ड टोरस निर्माण से पता चलता है कि ठोस टोरस का पूरक और ठोस टोरस है; जो दूसरा संवृत होने पर विवृत रहेगा, परन्तु इससे उसकी समरूपता पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा। प्रत्येक ठोस टोरी समरूप दृष्टिकोण से वृत्त है। यदि हम मात्र वृत्त के बेट्टी संख्या

1, 1, 0, 0

को लिखते हैं ( तक, क्योंकि हम 3-गोले में हैं), फिर

0, 0, 1, 1

के रूप में व्युत्क्रमित करें और फिर

0, 1, 1, 0

प्राप्त करने के लिए एक को बाईं ओर स्थानांतरित करें, एक कठिनाई है, क्योंकि हमें वह नहीं मिल रहा है जिससे हमने प्रारम्भ किया था। इस प्रकार से दूसरी ओर, वही प्रक्रिया घटी हुई बेट्टी संख्याओं पर लागू होती है, जिसके लिए प्रारंभिक बेट्टी संख्या को 1 से घटाया जाता है,

0, 1, 0, 0

से प्रारम्भ होता है और

0, 1, 0, 0

से

0, 0, 1, 0

देता है।

यह पूरक की कम हुई बेट्टी संख्या की भविष्यवाणी करते हुए कार्य करता है।

इस प्रकार से यहां प्रोटोटाइप जॉर्डन वक्र प्रमेय है, जो टोपोलॉजी रीमैन क्षेत्र में वृत्त के पूरक से संबंधित है। यह भी यही कहानी बताता है। अतः हमारे निकट वृत्त की ईमानदार बेट्टी संख्याएँ

1, 1, 0

हैं, और इसलिए

0, 1, 1

को व्युत्क्रमित करते हैं, और

1, 1, 0

को बाईं ओर परिवर्तित कर देते हैं। इस प्रकार से यह जॉर्डन प्रमेय के कथन से कुछ अलग देता है, जो यह है कि दो घटक हैं, प्रत्येक अनुबंध योग्य (स्कोनफ्लाइज़ प्रमेय, यहाँ क्या उपयोग किया गया है इसके विषय में यथार्थ होने के लिए) है। अर्थात्, ईमानदार बेट्टी संख्याओं में उचित उत्तर

2, 0, 0 है।

एक बार फिर, यह कम हुई बेट्टी संख्याएँ हैं जो कार्य करती हैं। अतः उनके साथ, हम

0, 1, 0

से प्रारंभ करके

1, 0, 0 पर समाप्त करते हैं।

इसलिए, इन दो उदाहरणों से, अलेक्जेंडर के सूत्रीकरण का अनुमान लगाया जा सकता है: घटी हुई बेट्टी संख्या ,

द्वारा पूरकों में संबंधित हैं।

संदर्भ

  1. Massey, William S. (1998-05-01). "संख्याओं को जोड़ने का उच्च क्रम" (PDF). Journal of Knot Theory and Its Ramifications. 7 (3): 393–414. doi:10.1142/S0218216598000206. ISSN 0218-2165. Archived from the original on 2 Feb 2021.
  2. Iversen, Birger (1986). पूलों की सहसंरचना. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-82783-9. ISBN 0-387-16389-1. OCLC 13269489.

अग्रिम पठन