निर्माण योग्य सेट (टोपोलॉजी)

For एक गोडेल रचनात्मक सेट, see निर्माण योग्य ब्रह्मांड.

टोपोलॉजी में, रचनात्मक समुच्चय एक टोपोलॉजिकल स्पेस के सबसमुच्चय का एक वर्ग है जिसमें अपेक्षाकृत सरल संरचना होती है। इनका उपयोग विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति और संबंधित क्षेत्रों में किया जाता है। बीजगणितीय ज्यामिति में शेवेल्ली के प्रमेय के रूप में जाना जाने वाला एक प्रमुख परिणाम दर्शाता है कि एक रचनात्मक समुच्चय की छवि बीजगणितीय प्रकारों (या अधिक सामान्यतः योजना (गणित)) के मैपिंग (अधिक विशेष रूप से समरूपता) के एक महत्वपूर्ण वर्ग के लिए रचनात्मक है।

इसके अतिरिक्त, योजनाओं, समरूपता और शीव्स के "स्थानीय" ज्यामितीय गुणों की एक बड़ी संख्या (स्थानीय रूप से) निर्माण योग्य है।

बीजगणितीय ज्यामिति और इंटरसेक्शन कोहोमोलॉजी में विभिन्न प्रकार के रचनात्मक शीफ की परिभाषा में रचनात्मक समुच्चय भी सम्मिलित होते हैं।

परिभाषाएँ

एक सरल परिभाषा, जो कई स्थितियों में पर्याप्त है, यह है कि एक रचनात्मक समुच्चय स्थानीय रूप से संवृत समुच्चयों का एक सीमित संघ (समुच्चय सिद्धांत) है। (एक समुच्चय स्थानीय रूप से संवृत होता है यदि यह एक विवृत समुच्चय और संवृत समुच्चय का प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) है।)

चूँकि, बड़े स्थानों के साथ उत्तम व्यवहार करने वाली परिभाषाओं के लिए एक संशोधन और दूसरी थोड़ी कमजोर परिभाषा की आवश्यकता होती है:

परिभाषाएँ: टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ के उपसमुच्चय $Z$ को रेट्रोकॉम्पैक्ट कहा जाता है यदि $Z\cap U$ प्रत्येक कॉम्पैक्ट ओपन उपसमुच्चय $U\subset X$ के लिए कॉम्पैक्ट है। $X$ का एक उपसमुच्चय रचनात्मक है यदि यह $U\cap (X-V)$ के उपसमुच्चय का एक सीमित संघ है जहां $U$ और $V$ दोनों $X$ के खुले और रेट्रोकॉम्पैक्ट उपसमुच्चय हैं।

एक उपसमुच्चय $Z\subset X$ स्थानीय रूप से निर्माण योग्य है यदि $X$ का एक कवर (टोपोलॉजी) $(U_{i})_{i\in I}$ है जिसमें खुले उपसमुच्चय सम्मिलित हैं, इस संपत्ति के साथ कि प्रत्येक $Z\cap U_{i}$ $U_{i}$ का एक रचनात्मक उपसमुच्चय है।

समान रूप से टोपोलॉजिकल स्पेस के रचनात्मक उपसमुच्चय $X$ सबसे छोटा संग्रह हैं ${\mathfrak {C}}$ के उपसमुच्चय $X$ इसमें (i) सभी विवृत रेट्रोकॉम्पैक्ट उपसमुच्चय सम्मिलित हैं और (ii) इसमें समुच्चय के सभी पूरक (समुच्चय सिद्धांत) और परिमित संघ (और इसलिए परिमित प्रतिच्छेदन भी) सम्मिलित हैं। दूसरे शब्दों में, रचनात्मक समुच्चय रेट्रोकॉम्पैक्ट ओपन सबसमुच्चय द्वारा उत्पन्न बूलियन बीजगणित हैं।

स्थानीय रूप से नोथेरियन टोपोलॉजिकल स्पेस में, सभी उपसमुच्चय रेट्रोकॉम्पैक्ट हैं, और इसलिए ऐसे स्थानों के लिए ऊपर दी गई सरलीकृत परिभाषा अधिक विस्तृत के बराबर है। बीजगणितीय ज्यामिति (सभी बीजगणितीय विविधता सहित) में सामान्यतः मिलने वाली अधिकांश योजनाएं स्थानीय रूप से नोथेरियन हैं, किन्तु ऐसे महत्वपूर्ण निर्माण हैं जो अधिक सामान्य योजनाओं की ओर ले जाते हैं।

किसी भी (आवश्यक नहीं कि नोथेरियन स्थान) टोपोलॉजिकल स्पेस में, प्रत्येक रचनात्मक समुच्चय में इसके संवृत होने का एक सघन समुच्चय विवृत उपसमुच्चय होता है।

शब्दावली: यहां दी गई परिभाषा एलिमेंट्स डी जियोमेट्री अल्जेब्रिक और शीफ परियोजना के पहले संस्करण में उपयोग की गई है। ईजीए के दूसरे संस्करण में रचनात्मक समुच्चय (उपरोक्त परिभाषा के अनुसार) को वैश्विक रूप से रचनात्मक कहा जाता है जबकि रचनात्मक शब्द उपरोक्त स्थानीय रूप से रचनात्मक कहे जाने वाले के लिए आरक्षित है।

शेवेल्ली का प्रमेय

बीजगणितीय ज्यामिति में रचनात्मक समुच्चयों के महत्व का एक प्रमुख कारण यह है कि (स्थानीय रूप से) रचनात्मक समुच्चय की छवि (गणित) मानचित्रों (या समरूपता) के एक बड़े वर्ग के लिए भी (स्थानीय रूप से) रचनात्मक होती है। मुख्य परिणाम यह है:

शेवेल्ली का प्रमेय- यदि $f:X\to Y$ योजनाओं का एक सीमित रूप से प्रस्तुत रूपवाद है और $Z\subset X$ एक स्थानीय रूप से रचनात्मक उपसमुच्चय है, तो $f(Z)$ भी $Y$ में स्थानीय रूप से निर्माण योग्य है।

विशेष रूप से, बीजगणितीय विविधता की छवि को विविधता की आवश्यकता नहीं है, किन्तु (धारणाओं के तहत) सदैव एक रचनात्मक समुच्चय होता है। उदाहरण के लिए, मानचित्र $\mathbf {A} ^{2}\rightarrow \mathbf {A} ^{2}$ वह भेजता है $(x,y)$ को $(x,xy)$ छवि समुच्चय $\{x\neq 0\}\cup \{x=y=0\}$ है, जो विविधता नहीं है, किन्तु रचनात्मक है।

यदि रचनात्मक समुच्चयों की सरलीकृत परिभाषा (परिभाषा में रेट्रोकॉम्पैक्ट ओपन समुच्चयों को प्रतिबंधित किए बिना) का उपयोग किया गया तो ऊपर बताई गई व्यापकता में शेवेल्ली का प्रमेय विफल हो जाएगा।

रचनात्मक गुण

योजनाओं के समरूपता और योजनाओं पर क्वासिकोहेरेंट शीफ की बड़ी संख्या में स्थानीय गुण स्थानीय रूप से निर्माण योग्य उपसमुच्चय पर लागू होते हैं। ईजीए IV § 9 इसमें बड़ी संख्या में ऐसी गुण सम्मिलित हैं। नीचे कुछ उदाहरण दिए गए हैं (जहां सभी संदर्भ ईजीए IV की ओर संकेत करते हैं):

• यदि $f\colon X\rightarrow S$ योजनाओं का एक सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत रूपवाद है और ${\mathcal {F}}'\rightarrow {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}''$ परिमित रूप से प्रस्तुत कासी-कोहेरेंट ${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल का एक क्रम है, फिर का समुच्चय $s\in S$ जिसके लिए ${\mathcal {F}}'_{s}\rightarrow {\mathcal {F}}_{s}\rightarrow {\mathcal {F}}''_{s}$ सटीक स्थानीय रूप से निर्माण योग्य है। (प्रस्ताव (9.4.4))
• यदि $f\colon X\rightarrow S$ योजनाओं का एक सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत रूपवाद है और ${\mathcal {F}}$ एक सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत कासी-कोहेरेंट ${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल है, फिर का समुच्चय $s\in S$ जिसके लिए ${\mathcal {F}}_{s}$ स्थानीय रूप से मुफ़्त है स्थानीय रूप से निर्माण योग्य है। (प्रस्ताव (9.4.7))
• यदि $f\colon X\rightarrow S$ योजनाओं का एक सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत रूपवाद है और $Z\subset X$ एक स्थानीय रूप से निर्माण योग्य उपसमुच्चय है, फिर का समुच्चय $s\in S$ जिसके लिए $f^{-1}(s)\cap Z$ में संवृत (या विवृत) है $f^{-1}(s)$ स्थानीय रूप से निर्माण योग्य है। (परिणाम (9.5.4))
• मान लीजिए $S$ एक योजना होऔर $f\colon X\rightarrow Y$, $S$-योजनाओं का एक रूप है। समुच्चय पर विचार करें $P\subset S$ का $s\in S$ जिसके लिए प्रेरित रूपवाद $f_{s}\colon X_{s}\rightarrow Y_{s}$ फाइबर का ओवर $s$ कुछ गुण $\mathbf {P}$ है। तब $P$ यदि स्थानीय रूप से निर्माण योग्य है $\mathbf {P}$ निम्नलिखित गुणों में से कोई एक है: विशेषण, उचित, परिमित, विसर्जन, संवृत विसर्जन, विवृत विसर्जन, समरूपता। (प्रस्ताव (9.6.1))
• मान लीजिए $f\colon X\rightarrow S$ योजनाओं का एक परिमित रूप से प्रस्तुत रूपवाद हैं और $P\subset S$ का $s\in S$ समुच्चय पर विचार करें जिसके लिए फाइबर $f^{-1}(s)$ एक गुण $\mathbf {P}$ है। तब $P$ यदि स्थानीय रूप से निर्माण योग्य है $\mathbf {P}$ निम्नलिखित गुणों में से कोई एक है: ज्यामितीय रूप से अपरिवर्तनीय, ज्यामितीय रूप से जुड़ा हुआ, ज्यामितीय रूप से कम किया हुआ। (प्रमेय (9.7.7))
• मान लीजिए $f\colon X\rightarrow S$ योजनाओं का स्थानीय रूप से अंतिम रूप से प्रस्तुत रूपवाद बनें और समुच्चय पर विचार करें $P\subset X$ का $x\in X$ जिसके लिए फाइबर $f^{-1}(f(x))$ एक संपत्ति $\mathbf {P}$ है। तब $P$ यदि स्थानीय रूप से निर्माण योग्य है यदि $\mathbf {P}$ निम्नलिखित गुणों में से कोई एक है: ज्यामितीय रूप से नियमित, ज्यामितीय रूप से सामान्य, ज्यामितीय रूप से कम। (प्रस्ताव (9.9.4))

इन रचनाशीलता परिणामों की एक महत्वपूर्ण भूमिका यह है कि अधिकांश स्थितियों में प्रश्नों में रूपवाद को भी माना जाता है।

सपाट आकारवाद से यह पता चलता है कि विचाराधीन गुण वास्तव में एक विवृत उपसमुच्चय में हैं। ऐसे परिणामों की एक बड़ी संख्या ईजीए IV § 12 में सम्मिलित है।

यह भी देखें

• रचनात्मक टोपोलॉजी
• निर्माण योग्य शीफ

संदर्भ

• Allouche, Jean Paul. Note on the constructible sets of a topological space.
• Andradas, Carlos; Bröcker, Ludwig; Ruiz, Jesús M. (1996). Constructible sets in real geometry. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) --- Results in Mathematics and Related Areas (3). Vol. 33. Berlin: Springer-Verlag. pp. x+270. ISBN 3-540-60451-0. MR 1393194.
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• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1971). Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (in français). Vol. 166 (2nd ed.). Berlin; New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-05113-8.
• Mostowski, A. (1969). Constructible sets with applications. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Amsterdam --- Warsaw: North-Holland Publishing Co. ---- PWN-Polish Scientific Publishers. pp. ix+269. MR 0255390.

बाहरी संबंध

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/04ZC Topological definition of (local) constructibility
• https://stacks.math.columbia.edu/tag/054H Constructibility properties of morphisms of schemes (incl. Chevalley's theorem)