हिरज़ेब्रुच सतह

गणित में, हिरज़ेब्रुच सतह प्रक्षेप्य रेखा के ऊपर एक निर्णयिक सतह होती है। इनका अध्ययन फ्रेडरिक हिरज़ेब्रुच (1951) द्वारा किया गया था।

परिभाषा

हिरज़ेब्रुच सतह $\Sigma _{n}$ $\mathbb {P} ^{1}$-बंडल है, जिसे प्रोजेक्टिव बंडल कहा जाता है, जो शीफ़ से जुड़े $\mathbb {P} ^{1}$ से अधिक है

$${\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n).$$

यहां नोटेशन का अर्थ है: ${\mathcal {O}}(n)$ सेरे ट्विस्ट शीफ की n-वें टेंसर शक्ति है ${\mathcal {O}}(1)$, संबंधित कार्टियर विभाजक एक बिंदु के साथ उलटा शीफ या लाइन बंडल सतह $\Sigma _{0}$ P¹ × P¹ के लिए समरूपी है, और $\Sigma _{1}$ एक बिंदु पर उड़ाए गए P² के लिए समरूपी है, इसलिए न्यूनतम नहीं है।

जीआईटी भागफल

हिरज़ेब्रुच सतह के निर्माण की एक विधि जीआईटी भागफल का उपयोग करना है

$$\Sigma _{n}=(\mathbb {C} ^{2}-\{0\})\times (\mathbb {C} ^{2}-\{0\})/(\mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*})$$

जहां $\mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*}$ की क्रिया दी गई है

$$(\lambda ,\mu )\cdot (l_{0},l_{1},t_{0},t_{1})=(\lambda l_{0},\lambda l_{1},\mu t_{0},\lambda ^{-n}\mu t_{1})$$

इस क्रिया की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है कि पहले दो कारकों पर $\lambda$ की क्रिया $\mathbb {P} ^{1}$ को परिभाषित करने वाले $\mathbb {C} ^{*}$ पर $\mathbb {C} ^{2}-\{0\}$ की क्रिया से आती है, और दूसरी क्रिया $\mathbb {P} ^{1}$ पर लाइन बंडलों के प्रत्यक्ष योग के निर्माण और उनके प्रक्षेपीकरण का एक संयोजन है। प्रत्यक्ष योग ${\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)$ के लिए इसे भागफल विविधता द्वारा दिया जा सकता है

$${\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)=(\mathbb {C} ^{2}-\{0\})\times \mathbb {C} ^{2}/\mathbb {C} ^{*}$$

जहां $\mathbb {C} ^{*}$की क्रिया दी गई है

$$\lambda \cdot (l_{0},l_{1},t_{0},t_{1})=(\lambda l_{0},\lambda l_{1},\lambda ^{a}t_{0},\lambda ^{0}t_{1}=t_{1})$$

फिर, प्रक्षेपीकरण $\mathbb {P} ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))$ एक अन्य $\mathbb {C} ^{*}$-एक्शन  द्वारा एक तुल्यता वर्ग $[l_{0},l_{1},t_{0},t_{1}]\in {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)$ भेजकर दिया जाता है।

$$\mu \cdot [l_{0},l_{1},t_{0},t_{1}]=[l_{0},l_{1},\mu t_{0},\mu t_{1}]$$

इन दोनों क्रियाओं को मिलाने से मूल भागफल ऊपर आ जाता है।

संक्रमण मानचित्र

इस $\mathbb {P} ^{1}$-बंडल को बनाने का एक विधि ट्रांज़िशन फलन का उपयोग करना है। चूँकि एफ़िन सदिश बंडल आवश्यक रूप से सामान्य हैं, $U_{0},U_{1}$ द्वारा परिभाषित $\mathbb {P} ^{1}$ के चार्ट $x_{i}\neq 0$ पर बंडल का स्थानीय मॉडल है

$$U_{i}\times \mathbb {P} ^{1}$$

फिर, संक्रमण मानचित्र, ${\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)$ के संक्रमण मानचित्रों से प्रेरित होकर मानचित्र देते हैं

$$U_{0}\times \mathbb {P} ^{1}|_{U_{1}}\to U_{1}\times \mathbb {P} ^{1}|_{U_{0}}$$

भेजना

$$(X_{0},[y_{0}:y_{1}])\mapsto (X_{1},[y_{0}:x_{0}^{n}y_{1}])$$

जहाँ $X_{i}$ $U_{i}$ एफ़िन समन्वय फलन प्रारंभ है

गुण

प्रक्षेप्य रैंक 2 बंडल P¹ के ऊपर

ध्यान दें कि ग्रोथेंडिक के प्रमेय के अनुसार, किसी भी सदिश बंडल $E$ के लिए $\mathbb {P} ^{1}$ पर संख्याएं $a,b\in \mathbb {Z}$ हैं जैसे कि

$$E\cong {\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b).$$

चूंकि प्रक्षेप्य बंडल को एक लाइन बंडल द्वारा टेंसरिंग के तहत अपरिवर्तनीय है, $E={\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b)$ से जुड़ी निर्णयिक सतह हिरज़ेब्रुक सतह $\Sigma _{b-a}$ है क्योंकि इस बंडल को ${\mathcal {O}}(-a)$ द्वारा टेंसर किया जा सकता है।

हिरज़ेब्रुच सतहों की समरूपताएँ

विशेष रूप से, उपरोक्त अवलोकन बीच में एक समरूपता देता है $\Sigma _{n}$ और $\Sigma _{-n}$ चूँकि समरूपता सदिश बंडल है

$${\mathcal {O}}(n)\otimes ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))\cong {\mathcal {O}}(n)\oplus {\mathcal {O}}$$

संबंधित सममित बीजगणित का विश्लेषण

याद रखें कि प्रोजेक्टिव बंडलों का निर्माण सापेक्ष परियोजना का उपयोग करके किया जा सकता है, जो कि बीजगणित के श्रेणीबद्ध शीफ से बनता है

$$\bigoplus _{i=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{i}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))$$

पहले कुछ सममित मॉड्यूल विशेष हैं क्योंकि इसमें एक गैर-सामान्य एंटी-सममित $\operatorname {Alt} ^{2}$-मॉड्यूल ${\mathcal {O}}\otimes {\mathcal {O}}(-n)$ है। इन अनेक को तालिका में संक्षेपित किया गया है

$${\begin{aligned}\operatorname {Sym} ^{0}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&={\mathcal {O}}\\\operatorname {Sym} ^{1}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&={\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)\\\operatorname {Sym} ^{2}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&={\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-2n)\end{aligned}}$$

$i>2$ के लिए सममित शीव्स दिए गए हैं

$${\begin{aligned}\operatorname {Sym} ^{k}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&=\bigoplus _{i=0}^{k}{\mathcal {O}}^{\otimes (n-i)}\otimes {\mathcal {O}}(-in)\\&\cong {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(-kn)\end{aligned}}$$

प्रतिच्छेदन सिद्धांत

n > 0 के लिए हिरज़ेब्रुक सतहों पर एक विशेष तर्कसंगत वक्र C होता है: सतह O(−n) का प्रक्षेप्य बंडल है और वक्र C शून्य खंड है। इस वक्र में स्व-प्रतिच्छेदन संख्या −n है, और यह ऋणात्मक स्व-प्रतिच्छेदन संख्या वाला एकमात्र अपरिवर्तनीय वक्र है। शून्य स्व-प्रतिच्छेदन संख्या वाले एकमात्र अघुलनशील वक्र हिरज़ेब्रुक सतह के फाइबर हैं (P¹ पर फाइबर बंडल के रूप में माना जाता है)। पिकार्ड समूह वक्र सी और फाइबर में से एक द्वारा उत्पन्न होता है, और इन जनरेटर में प्रतिच्छेदन आव्यूह होता है

$${\begin{bmatrix}0&1\\1&-n\end{bmatrix}},$$

इसलिए द्विरेखीय रूप दो आयामी एक-मॉड्यूलर है, और यह सम या विषम है, यह इस पर निर्भर करता है कि n सम है या विषम हिरज़ेब्रुक सतह Σ_n (n > 1)को विशेष वक्र C पर एक बिंदु पर उड़ाया जाता है, यह Σ_n+1 के समरूपी है जो विशेष वक्र पर नहीं एक बिंदु पर उड़ाया जाता है।

यह भी देखें

• प्रक्षेप्य बंडल

संदर्भ

• Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 4, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
• Beauville, Arnaud (1996), Complex algebraic surfaces, London Mathematical Society Student Texts, vol. 34 (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-49510-3, MR1406314
• Hirzebruch, Friedrich (1951), "Über eine Klasse von einfachzusammenhängenden komplexen Mannigfaltigkeiten", Mathematische Annalen, 124: 77–86, doi:10.1007/BF01343552, hdl:21.11116/0000-0004-3A56-B, ISSN 0025-5831, MR 0045384, S2CID 122844063

बाहरी संबंध

• Manifold Atlas
• https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002-c10.pdf
• https://mathoverflow.net/q/122952