हॉकी-स्टिक की पहचान

पास्कल का त्रिकोण, पंक्तियाँ 0 से 7 तक। हॉकी स्टिक की पहचान पुष्टि करती है, उदाहरण के लिए: n=6, r=2 के लिए: 1+3+6+10+15=35।

संयुक्त गणित में, हॉकी-स्टिक की पहचान, क्रिसमस स्टॉकिंग पहचान, बूमरैंग की पहचान, फ़र्मेट की पहचान अथवा चू की प्रमेय में कहा गया है कि यदि $n\geq r\geq 0$ पूर्णांक हैं, तो

${\binom {r}{r}}+{\binom {r+1}{r}}+{\binom {r+2}{r}}+\cdots +{\binom {n}{r}}={\binom {n+1}{r+1}}.$

नाम पास्कल के त्रिकोण पर पहचान के चित्रमय प्रतिनिधित्व से उत्पन्न होता है: जब योग में दर्शाए गए जोड़ और योग को प्रमुखता से दर्शाया जाता है, तो प्रकट आकार उन वस्तुओं का स्मरण करवाता है (हाँकी स्टिक, क्रिसमस स्टॉकिंग देखें)।

सूत्रीकरण

सिग्मा संकेतन का उपयोग करते हुए, पहचान बताई गई है-

$\sum _{i=r}^{n}{i \choose r}={n+1 \choose r+1}\qquad {\text{ for }}n,r\in \mathbb {N} ,\quad n\geq r$

अथवा समकक्ष, प्रतिस्थापन $j\to i-r$ द्वारा दर्पण-छवि है:

$\sum _{j=0}^{n-r}{j+r \choose r}=\sum _{j=0}^{n-r}{j+r \choose j}={n+1 \choose n-r}\qquad {\text{ for }}n,r\in \mathbb {N} ,\quad n\geq r.$

प्रमाण

फलन प्रमाण उत्पन्न करना

हमारे निकट है-

$X^{r}+X^{r+1}+\dots +X^{n}={\frac {X^{r}-X^{n+1}}{1-X}}$

मान लीजिए कि $X=1+x$ है और $x^{r}$ के गुणांकों की तुलना करें।

आगमनात्मक और बीजगणितीय प्रमाण

आगमनात्मक और बीजगणितीय प्रमाण दोनों पास्कल की पहचान का उपयोग करते हैं:

${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}.$

आगमनात्मक प्रमाण

यह पहचान $n$ पर गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध की जा सकती है

मूल स्थिति

मान लीजिए कि $n=r$ है

$\sum _{i=r}^{n}{i \choose r}=\sum _{i=r}^{r}{i \choose r}={r \choose r}=1={r+1 \choose r+1}={n+1 \choose r+1}.$

आगमनात्मक चरण

मान लीजिए, कुछ $k\in \mathbb {N} ,k\geqslant r$ के लिए,

$\sum _{i=r}^{k}{i \choose r}={k+1 \choose r+1}$

तब

$\sum _{i=r}^{k+1}{i \choose r}=\left(\sum _{i=r}^{k}{i \choose r}\right)+{k+1 \choose r}={k+1 \choose r+1}+{k+1 \choose r}={k+2 \choose r+1}.$

बीजगणितीय प्रमाण

हम योग की गणना को सरल बनाने के लिए टेलीस्कोपिंग श्रृंखला तर्क का उपयोग करते हैं:

${\begin{aligned}\sum _{t=\color {blue}0}^{n}{\binom {t}{k}}=\sum _{t=\color {blue}k}^{n}{\binom {t}{k}}&=\sum _{t=k}^{n}\left[{\binom {t+1}{k+1}}-{\binom {t}{k+1}}\right]\\&=\sum _{t=\color {green}k}^{\color {green}n}{\binom {\color {green}{t+1}}{k+1}}-\sum _{t=k}^{n}{\binom {t}{k+1}}\\&=\sum _{t=\color {green}{k+1}}^{\color {green}{n+1}}{\binom {\color {green}{t}}{k+1}}-\sum _{t=k}^{n}{\binom {t}{k+1}}\\&={\binom {n+1}{k+1}}-\underbrace {\binom {k}{k+1}} _{0}&&{\text{by telescoping}}\\&={\binom {n+1}{k+1}}.\end{aligned}}$

संयुक्त प्रमाण

प्रमाण 1

कल्पना कीजिए कि हम वितरण कर रहे हैं $n$ अविभाज्य कैंडीज $k$ अलग पहचाने जाने वाले बच्चे. स्टार्स और बार्स (कॉम्बिनेटरिक्स) के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग द्वारा, वहाँ हैं

${\binom {n+k-1}{k-1}}$

ऐसा करने के तरीके. वैकल्पिक रूप से, हम पहले दे सकते हैं $0\leqslant i\leqslant n$ सबसे बड़े बच्चे को कैंडीज इसलिए हम अनिवार्य रूप से दे रहे हैं $n-i$ कैंडीज को $k-1$ बच्चों और फिर से, सितारों और बार और डबल काउंटिंग (प्रूफ़ तकनीक) के साथ, हमारे पास है

${\binom {n+k-1}{k-1}}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n+k-2-i}{k-2}},$

जो लेने से वांछित परिणाम को सरल बनाता है $n'=n+k-2$ और $r=k-2$, और उस पर ध्यान दे रहा हूँ $n'-n=k-2=r$:

${\binom {n'+1}{r+1}}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n'-i}{r}}=\sum _{i=r}^{n'}{\binom {i}{r}}.$

प्रमाण 2

हम आकार की एक समिति बना सकते हैं $k+1$ के एक समूह से $n+1$ लोगों में

${\binom {n+1}{k+1}}$

तौर तरीकों। अब हम संख्याएँ सौंपते हैं $1,2,3,\dots ,n-k+1$ को $n-k+1$ की $n+1$ लोग। इसे हम इसमें विभाजित कर सकते हैं $n-k+1$ असंयुक्त मामले. सामान्य तौर पर, मामले में $x$, $1\leqslant x\leqslant n-k+1$, व्यक्ति $x$ समिति और व्यक्तियों पर है $1,2,3,\dots ,x-1$ समिति में नहीं हैं. इसमें किया जा सकता है

${\binom {n-x+1}{k}}$

तौर तरीकों। अब हम इनके मूल्यों का योग कर सकते हैं $n-k+1$ असंयुक्त मामले, प्राप्त करना

${\binom {n+1}{k+1}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n-1}{k}}+{\binom {n-2}{k}}+\cdots +{\binom {k+1}{k}}+{\binom {k}{k}}.$

यह भी देखें

• पास्कल की पहचान
• पास्कल का त्रिकोण
• लाइबनिज़ त्रिकोण
• वेंडरमोंडे की पहचान

बाहरी संबंध

• On AOPS
• On StackExchange, Mathematics
• Pascal's Ladder on the Dyalog Chat Forum