कोबायाशी मीट्रिक: Difference between revisions
(Created page with "गणित और विशेष रूप से जटिल ज्यामिति में, कोबायाशी मीट्रिक एक छद्मम...") |
No edit summary |
||
| Line 1: | Line 1: | ||
गणित और विशेष रूप से [[जटिल ज्यामिति]] में, कोबायाशी मीट्रिक | गणित और विशेष रूप से [[जटिल ज्यामिति]] में, कोबायाशी मीट्रिक छद्ममिति स्थान है जो आंतरिक रूप से किसी भी जटिल विविधता से जुड़ा होता है। इसे 1967 में [[शोजी कोबायाशी]] द्वारा पेश किया गया था। कोबायाशी हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड्स जटिल मैनिफोल्ड्स का महत्वपूर्ण वर्ग है, जिसे इस संपत्ति द्वारा परिभाषित किया गया है कि कोबायाशी [[स्यूडोमेट्रिक स्पेस]] मीट्रिक है। [[ जटिल अनेक गुना ]] ''X'' की कोबायाशी अतिशयोक्ति का तात्पर्य है कि कॉम्प्लेक्स लाइन C से ''X'' तक प्रत्येक [[होलोमोर्फिक मानचित्र]] स्थिर है। | ||
==परिभाषा== | ==परिभाषा== | ||
अवधारणा की उत्पत्ति [[जटिल विश्लेषण]] में श्वार्ज़ के लेम्मा में निहित है। अर्थात्, यदि f जटिल संख्या 'C' में खुली इकाई डिस्क D पर | अवधारणा की उत्पत्ति [[जटिल विश्लेषण]] में श्वार्ज़ के लेम्मा में निहित है। अर्थात्, यदि f जटिल संख्या 'C' में खुली इकाई डिस्क D पर [[होलोमोर्फिक फ़ंक्शन]] है, जैसे कि f(0) = 0 और |f(z)| <1 D में सभी z के लिए, तो व्युत्पन्न f '(0) का निरपेक्ष मान अधिकतम 1 है। अधिक सामान्यतः, D से स्वयं तक किसी भी होलोमोर्फिक मानचित्र f के लिए (जरूरी नहीं कि 0 से 0 भेजा जाए), अधिक जटिल ऊपरी है डी के किसी भी बिंदु पर एफ के व्युत्पन्न के लिए बाध्य है। हालांकि, सीमा में पोंकारे मीट्रिक के संदर्भ में सरल सूत्रीकरण है, जो गौसियन वक्रता -1 ([[अतिशयोक्तिपूर्ण विमान]] के लिए सममितीय) के साथ डी पर रीमैनियन मैनिफोल्ड#जियोडेसिक पूर्णता [[रीमैनियन मीट्रिक]] है ). अर्थात्: डी से स्वयं तक का प्रत्येक होलोमोर्फिक मानचित्र, डी पर पोंकारे मीट्रिक के संबंध में दूरी-घटता हुआ है। | ||
यह जटिल विश्लेषण और नकारात्मक वक्रता की ज्यामिति के बीच | यह जटिल विश्लेषण और नकारात्मक वक्रता की ज्यामिति के बीच मजबूत संबंध की शुरुआत है। किसी भी [[जटिल विश्लेषणात्मक स्थान]] X (उदाहरण के लिए जटिल मैनिफोल्ड) के लिए, 'कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक' d<sub>''X''</sub> इसे X पर सबसे बड़े स्यूडोमेट्रिक के रूप में परिभाषित किया गया है | ||
:<math>d_X(f(x),f(y)) \le \rho(x,y)</math>, | :<math>d_X(f(x),f(y)) \le \rho(x,y)</math>, | ||
यूनिट डिस्क डी से | यूनिट डिस्क डी से ्स तक सभी होलोमोर्फिक मानचित्रों एफ के लिए, जहां <math> \rho(x,y)</math> डी पर पोंकारे मीट्रिक में दूरी को दर्शाता है।<ref>Kobayashi (2005), sections IV.1 and VII.2.</ref> अर्थ में, यह सूत्र सभी जटिल स्थानों पर श्वार्ज़ के लेम्मा को सामान्यीकृत करता है; लेकिन यह इस अर्थ में रिक्त हो सकता है कि कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक डी<sub>''X''</sub> समान रूप से शून्य हो सकता है. उदाहरण के लिए, यह समान रूप से शून्य है जब X जटिल रेखा 'C' है। (ऐसा इसलिए होता है क्योंकि 'सी' में मनमाने ढंग से बड़ी डिस्क होती हैं, होलोमोर्फिक मानचित्रों की छवियां<sub>''a''</sub>: D → 'C' मनमाने ढंग से बड़ी सकारात्मक संख्याओं के लिए f(z) = az द्वारा दिया गया है a.) | ||
यदि कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक डी हो तो | यदि कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक डी हो तो जटिल स्थान ्स को 'कोबायाशी हाइपरबोलिक' कहा जाता है<sub>''X''</sub> मीट्रिक है, जिसका अर्थ है कि d<sub>''X''</sub>(x,y) > 0 सभी x ≠ y के लिए , और अधिक सटीक रूप से कि डी पर कोबायाशी मीट्रिक बिल्कुल पोंकारे मीट्रिक है। सिद्धांत और अधिक दिलचस्प हो जाता है क्योंकि कोबायाशी हाइपरबोलिक मैनिफ़ोल्ड के अधिक उदाहरण मिलते हैं। (कोबायाशी हाइपरबोलिक मैनिफ़ोल्ड क्योंकि इसका भिन्नरूपता समूह इसकी अनुमति देने के लिए बहुत बड़ा है।) | ||
==उदाहरण== | ==उदाहरण== | ||
#जटिल स्थानों का प्रत्येक होलोमोर्फिक मानचित्र f: 'सी' → वाई, फिर डी<sub>''Y''</sub>(p,q) = 0, उस d का उपयोग करते हुए<sub>'''C'''</sub> समान रूप से शून्य है. यह जटिल मैनिफोल्ड्स के कई उदाहरण देता है जिसके लिए कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक समान रूप से शून्य है: [[जटिल प्रक्षेप्य रेखा]] सीपी<sup>1</sup>या अधिक सामान्यतः [[जटिल प्रक्षेप्य स्थान]] सीपी<sup>n</sup>, 'C'−{0} (घातीय फ़ंक्शन 'C' → 'C'−{0} का उपयोग करके), | #जटिल स्थानों का प्रत्येक होलोमोर्फिक मानचित्र f: 'सी' → वाई, फिर डी<sub>''Y''</sub>(p,q) = 0, उस d का उपयोग करते हुए<sub>'''C'''</sub> समान रूप से शून्य है. यह जटिल मैनिफोल्ड्स के कई उदाहरण देता है जिसके लिए कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक समान रूप से शून्य है: [[जटिल प्रक्षेप्य रेखा]] सीपी<sup>1</sup>या अधिक सामान्यतः [[जटिल प्रक्षेप्य स्थान]] सीपी<sup>n</sup>, 'C'−{0} (घातीय फ़ंक्शन 'C' → 'C'−{0} का उपयोग करके), [[अण्डाकार वक्र]], या अधिक सामान्यतः [[जटिल टोरस]]। | ||
#कोबायाशी अतिशयोक्ति को खुले उपसमुच्चय या [[बंद उपसमुच्चय]] जटिल उपस्थानों के मार्ग के तहत संरक्षित किया जाता है। उदाहरण के लिए, यह इस प्रकार है कि 'सी' में कोई भी परिबद्ध [[डोमेन (गणितीय विश्लेषण)]]<sup>n</sup> अतिशयोक्तिपूर्ण है। | #कोबायाशी अतिशयोक्ति को खुले उपसमुच्चय या [[बंद उपसमुच्चय]] जटिल उपस्थानों के मार्ग के तहत संरक्षित किया जाता है। उदाहरण के लिए, यह इस प्रकार है कि 'सी' में कोई भी परिबद्ध [[डोमेन (गणितीय विश्लेषण)]]<sup>n</sup> अतिशयोक्तिपूर्ण है। | ||
# | #जटिल स्थान कोबायाशी अतिशयोक्तिपूर्ण है यदि और केवल तभी जब इसका [[सार्वभौमिक आवरण स्थान]] कोबायाशी अतिशयोक्तिपूर्ण हो।<ref>Kobayashi (2005), Proposition IV.1.6.</ref> यह अतिशयोक्तिपूर्ण जटिल वक्रों के कई उदाहरण देता है, क्योंकि [[एकरूपीकरण प्रमेय|रूपीकरण प्रमेय]] से पता चलता है कि अधिकांश जटिल वक्रों (जिन्हें [[रीमैन सतह]]ें भी कहा जाता है) में डिस्क डी के लिए सार्वभौमिक आवरण समरूपी होता है। विशेष रूप से, [[जीनस (गणित)]] का प्रत्येक कॉम्पैक्ट जटिल वक्र कम से कम 2 अतिशयोक्तिपूर्ण होता है , जैसा कि 'सी' में 2 या अधिक बिंदुओं का पूरक है। | ||
==बुनियादी परिणाम== | ==बुनियादी परिणाम== | ||
कोबायाशी अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान यह अक्सर अतिशयोक्ति का सबसे महत्वपूर्ण परिणाम होता है। उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि 'सी' शून्य से 2 अंक अतिशयोक्तिपूर्ण है, पिकार्ड के प्रमेय का तात्पर्य है कि किसी भी गैर-स्थिर संपूर्ण फ़ंक्शन 'सी' → 'सी' की छवि 'सी' के अधिकतम | कोबायाशी अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान यह अक्सर अतिशयोक्ति का सबसे महत्वपूर्ण परिणाम होता है। उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि 'सी' शून्य से 2 अंक अतिशयोक्तिपूर्ण है, पिकार्ड के प्रमेय का तात्पर्य है कि किसी भी गैर-स्थिर संपूर्ण फ़ंक्शन 'सी' → 'सी' की छवि 'सी' के अधिकतम बिंदु पर छूट जाती है। [[नेवानलिन्ना सिद्धांत]] पिकार्ड के प्रमेय का अधिक मात्रात्मक वंशज है। | ||
'ब्रॉडीज़ प्रमेय' कहता है कि | 'ब्रॉडीज़ प्रमेय' कहता है कि सघन जटिल स्थान<ref>Kobayashi (1998), Theorem 3.6.3.</ref> अनुप्रयोग यह है कि कॉम्पैक्ट जटिल स्थानों के परिवारों के लिए हाइपरबोलिसिटी खुली स्थिति है (यूक्लिडियन टोपोलॉजी में)।<ref>Kobayashi (1998), Theorem 3.11.1,</ref> [[मार्क ली ग्रीन]] ने कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरस के बंद जटिल उप-स्थानों X के लिए हाइपरबोलिकिटी को चिह्नित करने के लिए ब्रॉडी के तर्क का उपयोग किया:<ref>Kobayashi (1998), Theorem 3.7.12.</ref> | ||
यदि | यदि कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड<ref>Kobayashi (2005), section III.2.</ref> आयाम 1 में, इसे [[लार्स अहलफोर्स]]-श्वार्ज़ लेम्मा कहा जाता है। | ||
==ग्रीन-ग्रिफ़िथ-लैंग अनुमान== | ==ग्रीन-ग्रिफ़िथ-लैंग अनुमान== | ||
ऊपर दिए गए परिणाम इस बात का पूरा विवरण देते हैं कि जटिल आयाम 1 में कोबायाशी हाइपरबोलिक कौन से जटिल मैनिफोल्ड हैं। उच्च आयामों में तस्वीर कम स्पष्ट है। | ऊपर दिए गए परिणाम इस बात का पूरा विवरण देते हैं कि जटिल आयाम 1 में कोबायाशी हाइपरबोलिक कौन से जटिल मैनिफोल्ड हैं। उच्च आयामों में तस्वीर कम स्पष्ट है। केंद्रीय खुली समस्या ग्रीन-[[फिलिप ग्रिफिथ्स]]-[[सर्ज लैंग]] अनुमान है: यदि ''्स'' [[सामान्य प्रकार]] की जटिल [[प्रक्षेप्य किस्म]] है, तो बंद बीजीय उपसमुच्चय ''वाई'' होना चाहिए जो ''्स'' के बराबर नहीं है। ' ऐसा कि प्रत्येक अस्थिर होलोमोर्फिक मानचित्र C → ''X'' ''Y'' में मानचित्रित होता है।<ref>Demailly (1997), Conjecture 3.7.</ref> | ||
[[हर्बर्ट क्लेमेंस]] और [[ क्लेयर पड़ोसी ]] ने दिखाया कि n कम से कम 2 के लिए, 'CP' में | [[हर्बर्ट क्लेमेंस]] और [[ क्लेयर पड़ोसी ]] ने दिखाया कि n कम से कम 2 के लिए, 'CP' में बहुत ही सामान्य [[ऊनविम पृष्ठ]] X<sup>n+1</sup>डिग्री d के कम से कम 2n+1 में यह गुण है कि X की प्रत्येक बंद उप-विविधता सामान्य प्रकार की होती है।<ref>Voisin (1996).</ref> (बहुत सामान्य अर्थ यह है कि संपत्ति ऐसे सभी हाइपरसर्फेस के प्रक्षेप्य स्थान के निचले-आयामी बीजगणितीय उपसमुच्चय के [[गणनीय]] संघ के बाहर डिग्री डी के सभी हाइपरसर्फेस के लिए रखती है।) नतीजतन, ग्रीन-ग्रिफिथ्स-लैंग अनुमान का अर्थ यह होगा कि बहुत ही कम से कम 2एन+1 डिग्री की सामान्य हाइपरसरफेस कोबायाशी हाइपरबोलिक है। ध्यान दें कि किसी दिए गए डिग्री के सभी [[सुचारू योजना]] हाइपरसर्फेस के हाइपरबोलिक होने की उम्मीद नहीं की जा सकती है, उदाहरण के लिए क्योंकि कुछ हाइपरसर्फेस में लाइनें ('सीपी' के लिए आइसोमोर्फिक) होती हैं<sup>1</sup>). ऐसे उदाहरण ग्रीन-ग्रिफ़िथ-लैंग अनुमान में उपसमुच्चय Y की आवश्यकता को दर्शाते हैं। | ||
[[जेट (गणित)]] अंतर की तकनीक का उपयोग करते हुए, [[यम-टोंग सिउ]], [[जीन-पियरे डेमेली]] और अन्य द्वारा प्रगति की | [[जेट (गणित)]] अंतर की तकनीक का उपयोग करते हुए, [[यम-टोंग सिउ]], [[जीन-पियरे डेमेली]] और अन्य द्वारा प्रगति की श्रृंखला के लिए धन्यवाद, हाइपरबोलिसिटी पर अनुमान पर्याप्त उच्च डिग्री के हाइपरसर्फेस के लिए जाना जाता है। उदाहरण के लिए, डिवेरियो, मर्कर और रूसो ने दिखाया कि 'सीपी' में सामान्य हाइपरसर्फेस<sup>n+1</sup>डिग्री कम से कम 2<sup>n<sup>5</sup></sup> ग्रीन-ग्रिफिथ्स-लैंग अनुमान को संतुष्ट करता है।<ref>Diverio, Merker and Rousseau (2010).</ref> (सामान्य का अर्थ है कि यह ऐसे सभी हाइपरसर्फेस के प्रक्षेप्य स्थान के निचले-आयामी बीजगणितीय उपसमुच्चय के सीमित संघ के बाहर दी गई डिग्री के सभी हाइपरसर्फेस के लिए लागू होता है।) 2016 में, ब्रोटबेक <ref>Brotbek (2017)</ref> व्रोनस्कियन अंतर समीकरणों के उपयोग के आधार पर, उच्च डिग्री के सामान्य हाइपरसर्फेस की अतिशयोक्ति के लिए कोबायाशी अनुमान का प्रमाण दिया; हां डेंग और डेमेली द्वारा स्पष्ट डिग्री सीमाएं मनमाने आयाम में प्राप्त की गई हैं, उदाहरण के लिए। [(एन)<sup>2n+2</sup>/3] बाद वाले द्वारा।<ref>Demailly (2018)</ref> डिग्री के लिए बेहतर सीमाएं निम्न आयामों में जानी जाती हैं। | ||
[[माइकल मैकक्विलन (गणितज्ञ)]] ने सामान्य प्रकार की प्रत्येक जटिल प्रक्षेप्य सतह के लिए ग्रीन-ग्रिफ़िथ-लैंग अनुमान को सिद्ध किया, जिनकी [[चेर्न संख्या]]एँ संतुष्ट होती हैं<sub>1</sub><sup>2</sup> > सी<sub>2</sub>.<ref>McQuillan (1998).</ref> सामान्य प्रकार की | [[माइकल मैकक्विलन (गणितज्ञ)]] ने सामान्य प्रकार की प्रत्येक जटिल प्रक्षेप्य सतह के लिए ग्रीन-ग्रिफ़िथ-लैंग अनुमान को सिद्ध किया, जिनकी [[चेर्न संख्या]]एँ संतुष्ट होती हैं<sub>1</sub><sup>2</sup> > सी<sub>2</sub>.<ref>McQuillan (1998).</ref> सामान्य प्रकार की मनमानी किस्म X के लिए, डिमेली ने दिखाया कि प्रत्येक होलोमोर्फिक मानचित्र 'C'→<ref>Demailly (2011), Theorem 0.5.</ref> | ||
विपरीत दिशा में, कोबायाशी ने अनुमान लगाया कि कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स के लिए कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक समान रूप से शून्य है। [[K3 सतह]]ों के मामले में यह सच है, इसका उपयोग करते हुए प्रत्येक प्रक्षेप्य K3 सतह अण्डाकार वक्रों के | विपरीत दिशा में, कोबायाशी ने अनुमान लगाया कि कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स के लिए कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक समान रूप से शून्य है। [[K3 सतह]]ों के मामले में यह सच है, इसका उपयोग करते हुए प्रत्येक प्रक्षेप्य K3 सतह अण्डाकार वक्रों के परिवार द्वारा कवर की जाती है।<ref>Voisin (2003), Lemma 1.51.</ref> अधिक आम तौर पर, कैम्पाना ने सटीक अनुमान दिया कि कौन सी जटिल प्रक्षेप्य किस्मों ्स में कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक शून्य के बराबर है। अर्थात्, यह इस अर्थ में ्स के 'विशेष' होने के बराबर होना चाहिए कि ्स के पास सामान्य प्रकार के सकारात्मक-आयामी कक्षा पर कोई तर्कसंगत कंपन नहीं है।<ref>Campana (2004), Conjecture 9.2,</ref> | ||
== [[संख्या सिद्धांत]] के साथ सादृश्य == | |||
==[[संख्या सिद्धांत]] के साथ सादृश्य== | |||
प्रक्षेप्य किस्म X के लिए, होलोमोर्फिक मानचित्र 'C' → X का अध्ययन अध्ययन के साथ कुछ समानता रखता है | प्रक्षेप्य किस्म X के लिए, होलोमोर्फिक मानचित्र 'C' → X का अध्ययन अध्ययन के साथ कुछ समानता रखता है | ||
संख्या सिद्धांत का | संख्या सिद्धांत का केंद्रीय विषय, ्स के [[तर्कसंगत बिंदु]]। इन दोनों विषयों के बीच संबंध पर कई अटकलें हैं। विशेष रूप से, मान लीजिए कि X [[संख्या क्षेत्र]] k पर प्रक्षेप्य किस्म है। 'सी' में के की एम्बेडिंग ठीक करें। तब लैंग ने अनुमान लगाया कि कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड X('C') कोबायाशी अतिशयोक्तिपूर्ण है यदि और केवल यदि यह तर्कसंगत बिंदुओं पर ज्ञात परिणामों के अनुरूप है, विशेष रूप से एबेलियन किस्मों की उप-किस्मों पर फाल्टिंग्स के प्रमेय के साथ। | ||
अधिक सटीक रूप से, मान लीजिए कि X संख्या क्षेत्र k पर सामान्य प्रकार की प्रक्षेप्य किस्म है। मान लें कि 'असाधारण सेट' Y सभी गैर-स्थिर होलोमोर्फिक मानचित्रों 'C' → X की छवियों के मिलन का [[ज़ारिस्की बंद होना]] है। ग्रीन-ग्रिफिथ्स-लैंग अनुमान के अनुसार, Y को X (और, विशेष रूप से, X के बराबर नहीं होना चाहिए)। 'मजबूत लैंग अनुमान' भविष्यवाणी करता है कि Y को k के ऊपर परिभाषित किया गया है और X - Y के पास k के प्रत्येक परिमित विस्तार क्षेत्र F के लिए केवल सीमित रूप से कई F-तर्कसंगत बिंदु हैं।<ref>Lang (1986), Conjecture 5.8.</ref> | |||
उसी भावना में, संख्या क्षेत्र k (या, अधिक सामान्यतः, विशेषता शून्य का सीमित रूप से उत्पन्न क्षेत्र k) पर प्रक्षेप्य विविधता X के लिए, कैम्पाना ने अनुमान लगाया कि X ('C') का कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक समान रूप से शून्य है यदि और केवल यदि<ref>Campana (2004), Conjecture 9.20.</ref> | |||
==वेरिएंट== | == वेरिएंट == | ||
कैराथोडोरी मीट्रिक जटिल मैनिफोल्ड्स पर | कैराथोडोरी मीट्रिक जटिल मैनिफोल्ड्स पर और आंतरिक स्यूडोमेट्रिक है, जो यूनिट डिस्क के बजाय यूनिट डिस्क के होलोमोर्फिक मानचित्रों पर आधारित है। कोबायाशी इनफिनिटसिमल स्यूडोमेट्रिक [[फिन्सलर मीट्रिक]] है जिसका संबद्ध दूरी फ़ंक्शन कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक है जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है।<ref>Kobayashi (1998), Theorem 3.5.31.</ref> कोबायाशी-ईसेनमैन छद्म-आयतन रूप जटिल एन-फोल्ड पर आंतरिक [[माप (गणित)]] है, जो एन-आयामी [[पॉलीडिस्क]] से ्स तक होलोमोर्फिक मानचित्रों पर आधारित है। इसे कोबायाशी छद्ममिति से बेहतर समझा जाता है। विशेष रूप से, सामान्य प्रकार की प्रत्येक प्रक्षेप्य विविधता 'माप-हाइपरबोलिक' है, जिसका अर्थ है कि कोबायाशी-ईसेनमैन छद्म-आयतन रूप निम्न-आयामी बीजगणितीय उपसमुच्चय के बाहर सकारात्मक है।<ref>Kobayashi (1998), section 7.2.</ref> | ||
फ्लैट [[एफ़िन मैनिफ़ोल्ड]] और प्रोजेक्टिव संरचनाओं के साथ-साथ अधिक सामान्य [[ प्रक्षेप्य संबंध ]] और अनुरूप कनेक्शन के लिए एनालॉगस स्यूडोमेट्रिक्स पर विचार किया गया है।<ref>Kobayashi (1977).</ref> | फ्लैट [[एफ़िन मैनिफ़ोल्ड]] और प्रोजेक्टिव संरचनाओं के साथ-साथ अधिक सामान्य [[ प्रक्षेप्य संबंध ]] और अनुरूप कनेक्शन के लिए एनालॉगस स्यूडोमेट्रिक्स पर विचार किया गया है।<ref>Kobayashi (1977).</ref> | ||
Revision as of 17:59, 21 July 2023
गणित और विशेष रूप से जटिल ज्यामिति में, कोबायाशी मीट्रिक छद्ममिति स्थान है जो आंतरिक रूप से किसी भी जटिल विविधता से जुड़ा होता है। इसे 1967 में शोजी कोबायाशी द्वारा पेश किया गया था। कोबायाशी हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड्स जटिल मैनिफोल्ड्स का महत्वपूर्ण वर्ग है, जिसे इस संपत्ति द्वारा परिभाषित किया गया है कि कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक स्पेस मीट्रिक है। जटिल अनेक गुना X की कोबायाशी अतिशयोक्ति का तात्पर्य है कि कॉम्प्लेक्स लाइन C से X तक प्रत्येक होलोमोर्फिक मानचित्र स्थिर है।
परिभाषा
अवधारणा की उत्पत्ति जटिल विश्लेषण में श्वार्ज़ के लेम्मा में निहित है। अर्थात्, यदि f जटिल संख्या 'C' में खुली इकाई डिस्क D पर होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है, जैसे कि f(0) = 0 और |f(z)| <1 D में सभी z के लिए, तो व्युत्पन्न f '(0) का निरपेक्ष मान अधिकतम 1 है। अधिक सामान्यतः, D से स्वयं तक किसी भी होलोमोर्फिक मानचित्र f के लिए (जरूरी नहीं कि 0 से 0 भेजा जाए), अधिक जटिल ऊपरी है डी के किसी भी बिंदु पर एफ के व्युत्पन्न के लिए बाध्य है। हालांकि, सीमा में पोंकारे मीट्रिक के संदर्भ में सरल सूत्रीकरण है, जो गौसियन वक्रता -1 (अतिशयोक्तिपूर्ण विमान के लिए सममितीय) के साथ डी पर रीमैनियन मैनिफोल्ड#जियोडेसिक पूर्णता रीमैनियन मीट्रिक है ). अर्थात्: डी से स्वयं तक का प्रत्येक होलोमोर्फिक मानचित्र, डी पर पोंकारे मीट्रिक के संबंध में दूरी-घटता हुआ है।
यह जटिल विश्लेषण और नकारात्मक वक्रता की ज्यामिति के बीच मजबूत संबंध की शुरुआत है। किसी भी जटिल विश्लेषणात्मक स्थान X (उदाहरण के लिए जटिल मैनिफोल्ड) के लिए, 'कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक' dX इसे X पर सबसे बड़े स्यूडोमेट्रिक के रूप में परिभाषित किया गया है
- ,
यूनिट डिस्क डी से ्स तक सभी होलोमोर्फिक मानचित्रों एफ के लिए, जहां डी पर पोंकारे मीट्रिक में दूरी को दर्शाता है।[1] अर्थ में, यह सूत्र सभी जटिल स्थानों पर श्वार्ज़ के लेम्मा को सामान्यीकृत करता है; लेकिन यह इस अर्थ में रिक्त हो सकता है कि कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक डीX समान रूप से शून्य हो सकता है. उदाहरण के लिए, यह समान रूप से शून्य है जब X जटिल रेखा 'C' है। (ऐसा इसलिए होता है क्योंकि 'सी' में मनमाने ढंग से बड़ी डिस्क होती हैं, होलोमोर्फिक मानचित्रों की छवियांa: D → 'C' मनमाने ढंग से बड़ी सकारात्मक संख्याओं के लिए f(z) = az द्वारा दिया गया है a.)
यदि कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक डी हो तो जटिल स्थान ्स को 'कोबायाशी हाइपरबोलिक' कहा जाता हैX मीट्रिक है, जिसका अर्थ है कि dX(x,y) > 0 सभी x ≠ y के लिए , और अधिक सटीक रूप से कि डी पर कोबायाशी मीट्रिक बिल्कुल पोंकारे मीट्रिक है। सिद्धांत और अधिक दिलचस्प हो जाता है क्योंकि कोबायाशी हाइपरबोलिक मैनिफ़ोल्ड के अधिक उदाहरण मिलते हैं। (कोबायाशी हाइपरबोलिक मैनिफ़ोल्ड क्योंकि इसका भिन्नरूपता समूह इसकी अनुमति देने के लिए बहुत बड़ा है।)
उदाहरण
- जटिल स्थानों का प्रत्येक होलोमोर्फिक मानचित्र f: 'सी' → वाई, फिर डीY(p,q) = 0, उस d का उपयोग करते हुएC समान रूप से शून्य है. यह जटिल मैनिफोल्ड्स के कई उदाहरण देता है जिसके लिए कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक समान रूप से शून्य है: जटिल प्रक्षेप्य रेखा सीपी1या अधिक सामान्यतः जटिल प्रक्षेप्य स्थान सीपीn, 'C'−{0} (घातीय फ़ंक्शन 'C' → 'C'−{0} का उपयोग करके), अण्डाकार वक्र, या अधिक सामान्यतः जटिल टोरस।
- कोबायाशी अतिशयोक्ति को खुले उपसमुच्चय या बंद उपसमुच्चय जटिल उपस्थानों के मार्ग के तहत संरक्षित किया जाता है। उदाहरण के लिए, यह इस प्रकार है कि 'सी' में कोई भी परिबद्ध डोमेन (गणितीय विश्लेषण)n अतिशयोक्तिपूर्ण है।
- जटिल स्थान कोबायाशी अतिशयोक्तिपूर्ण है यदि और केवल तभी जब इसका सार्वभौमिक आवरण स्थान कोबायाशी अतिशयोक्तिपूर्ण हो।[2] यह अतिशयोक्तिपूर्ण जटिल वक्रों के कई उदाहरण देता है, क्योंकि रूपीकरण प्रमेय से पता चलता है कि अधिकांश जटिल वक्रों (जिन्हें रीमैन सतहें भी कहा जाता है) में डिस्क डी के लिए सार्वभौमिक आवरण समरूपी होता है। विशेष रूप से, जीनस (गणित) का प्रत्येक कॉम्पैक्ट जटिल वक्र कम से कम 2 अतिशयोक्तिपूर्ण होता है , जैसा कि 'सी' में 2 या अधिक बिंदुओं का पूरक है।
बुनियादी परिणाम
कोबायाशी अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान यह अक्सर अतिशयोक्ति का सबसे महत्वपूर्ण परिणाम होता है। उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि 'सी' शून्य से 2 अंक अतिशयोक्तिपूर्ण है, पिकार्ड के प्रमेय का तात्पर्य है कि किसी भी गैर-स्थिर संपूर्ण फ़ंक्शन 'सी' → 'सी' की छवि 'सी' के अधिकतम बिंदु पर छूट जाती है। नेवानलिन्ना सिद्धांत पिकार्ड के प्रमेय का अधिक मात्रात्मक वंशज है।
'ब्रॉडीज़ प्रमेय' कहता है कि सघन जटिल स्थान[3] अनुप्रयोग यह है कि कॉम्पैक्ट जटिल स्थानों के परिवारों के लिए हाइपरबोलिसिटी खुली स्थिति है (यूक्लिडियन टोपोलॉजी में)।[4] मार्क ली ग्रीन ने कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरस के बंद जटिल उप-स्थानों X के लिए हाइपरबोलिकिटी को चिह्नित करने के लिए ब्रॉडी के तर्क का उपयोग किया:[5] यदि कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड[6] आयाम 1 में, इसे लार्स अहलफोर्स-श्वार्ज़ लेम्मा कहा जाता है।
ग्रीन-ग्रिफ़िथ-लैंग अनुमान
ऊपर दिए गए परिणाम इस बात का पूरा विवरण देते हैं कि जटिल आयाम 1 में कोबायाशी हाइपरबोलिक कौन से जटिल मैनिफोल्ड हैं। उच्च आयामों में तस्वीर कम स्पष्ट है। केंद्रीय खुली समस्या ग्रीन-फिलिप ग्रिफिथ्स-सर्ज लैंग अनुमान है: यदि ्स सामान्य प्रकार की जटिल प्रक्षेप्य किस्म है, तो बंद बीजीय उपसमुच्चय वाई होना चाहिए जो ्स के बराबर नहीं है। ' ऐसा कि प्रत्येक अस्थिर होलोमोर्फिक मानचित्र C → X Y में मानचित्रित होता है।[7] हर्बर्ट क्लेमेंस और क्लेयर पड़ोसी ने दिखाया कि n कम से कम 2 के लिए, 'CP' में बहुत ही सामान्य ऊनविम पृष्ठ Xn+1डिग्री d के कम से कम 2n+1 में यह गुण है कि X की प्रत्येक बंद उप-विविधता सामान्य प्रकार की होती है।[8] (बहुत सामान्य अर्थ यह है कि संपत्ति ऐसे सभी हाइपरसर्फेस के प्रक्षेप्य स्थान के निचले-आयामी बीजगणितीय उपसमुच्चय के गणनीय संघ के बाहर डिग्री डी के सभी हाइपरसर्फेस के लिए रखती है।) नतीजतन, ग्रीन-ग्रिफिथ्स-लैंग अनुमान का अर्थ यह होगा कि बहुत ही कम से कम 2एन+1 डिग्री की सामान्य हाइपरसरफेस कोबायाशी हाइपरबोलिक है। ध्यान दें कि किसी दिए गए डिग्री के सभी सुचारू योजना हाइपरसर्फेस के हाइपरबोलिक होने की उम्मीद नहीं की जा सकती है, उदाहरण के लिए क्योंकि कुछ हाइपरसर्फेस में लाइनें ('सीपी' के लिए आइसोमोर्फिक) होती हैं1). ऐसे उदाहरण ग्रीन-ग्रिफ़िथ-लैंग अनुमान में उपसमुच्चय Y की आवश्यकता को दर्शाते हैं।
जेट (गणित) अंतर की तकनीक का उपयोग करते हुए, यम-टोंग सिउ, जीन-पियरे डेमेली और अन्य द्वारा प्रगति की श्रृंखला के लिए धन्यवाद, हाइपरबोलिसिटी पर अनुमान पर्याप्त उच्च डिग्री के हाइपरसर्फेस के लिए जाना जाता है। उदाहरण के लिए, डिवेरियो, मर्कर और रूसो ने दिखाया कि 'सीपी' में सामान्य हाइपरसर्फेसn+1डिग्री कम से कम 2n5 ग्रीन-ग्रिफिथ्स-लैंग अनुमान को संतुष्ट करता है।[9] (सामान्य का अर्थ है कि यह ऐसे सभी हाइपरसर्फेस के प्रक्षेप्य स्थान के निचले-आयामी बीजगणितीय उपसमुच्चय के सीमित संघ के बाहर दी गई डिग्री के सभी हाइपरसर्फेस के लिए लागू होता है।) 2016 में, ब्रोटबेक [10] व्रोनस्कियन अंतर समीकरणों के उपयोग के आधार पर, उच्च डिग्री के सामान्य हाइपरसर्फेस की अतिशयोक्ति के लिए कोबायाशी अनुमान का प्रमाण दिया; हां डेंग और डेमेली द्वारा स्पष्ट डिग्री सीमाएं मनमाने आयाम में प्राप्त की गई हैं, उदाहरण के लिए। [(एन)2n+2/3] बाद वाले द्वारा।[11] डिग्री के लिए बेहतर सीमाएं निम्न आयामों में जानी जाती हैं।
माइकल मैकक्विलन (गणितज्ञ) ने सामान्य प्रकार की प्रत्येक जटिल प्रक्षेप्य सतह के लिए ग्रीन-ग्रिफ़िथ-लैंग अनुमान को सिद्ध किया, जिनकी चेर्न संख्याएँ संतुष्ट होती हैं12 > सी2.[12] सामान्य प्रकार की मनमानी किस्म X के लिए, डिमेली ने दिखाया कि प्रत्येक होलोमोर्फिक मानचित्र 'C'→[13] विपरीत दिशा में, कोबायाशी ने अनुमान लगाया कि कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स के लिए कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक समान रूप से शून्य है। K3 सतहों के मामले में यह सच है, इसका उपयोग करते हुए प्रत्येक प्रक्षेप्य K3 सतह अण्डाकार वक्रों के परिवार द्वारा कवर की जाती है।[14] अधिक आम तौर पर, कैम्पाना ने सटीक अनुमान दिया कि कौन सी जटिल प्रक्षेप्य किस्मों ्स में कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक शून्य के बराबर है। अर्थात्, यह इस अर्थ में ्स के 'विशेष' होने के बराबर होना चाहिए कि ्स के पास सामान्य प्रकार के सकारात्मक-आयामी कक्षा पर कोई तर्कसंगत कंपन नहीं है।[15]
संख्या सिद्धांत के साथ सादृश्य
प्रक्षेप्य किस्म X के लिए, होलोमोर्फिक मानचित्र 'C' → X का अध्ययन अध्ययन के साथ कुछ समानता रखता है संख्या सिद्धांत का केंद्रीय विषय, ्स के तर्कसंगत बिंदु। इन दोनों विषयों के बीच संबंध पर कई अटकलें हैं। विशेष रूप से, मान लीजिए कि X संख्या क्षेत्र k पर प्रक्षेप्य किस्म है। 'सी' में के की एम्बेडिंग ठीक करें। तब लैंग ने अनुमान लगाया कि कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड X('C') कोबायाशी अतिशयोक्तिपूर्ण है यदि और केवल यदि यह तर्कसंगत बिंदुओं पर ज्ञात परिणामों के अनुरूप है, विशेष रूप से एबेलियन किस्मों की उप-किस्मों पर फाल्टिंग्स के प्रमेय के साथ।
अधिक सटीक रूप से, मान लीजिए कि X संख्या क्षेत्र k पर सामान्य प्रकार की प्रक्षेप्य किस्म है। मान लें कि 'असाधारण सेट' Y सभी गैर-स्थिर होलोमोर्फिक मानचित्रों 'C' → X की छवियों के मिलन का ज़ारिस्की बंद होना है। ग्रीन-ग्रिफिथ्स-लैंग अनुमान के अनुसार, Y को X (और, विशेष रूप से, X के बराबर नहीं होना चाहिए)। 'मजबूत लैंग अनुमान' भविष्यवाणी करता है कि Y को k के ऊपर परिभाषित किया गया है और X - Y के पास k के प्रत्येक परिमित विस्तार क्षेत्र F के लिए केवल सीमित रूप से कई F-तर्कसंगत बिंदु हैं।[16] उसी भावना में, संख्या क्षेत्र k (या, अधिक सामान्यतः, विशेषता शून्य का सीमित रूप से उत्पन्न क्षेत्र k) पर प्रक्षेप्य विविधता X के लिए, कैम्पाना ने अनुमान लगाया कि X ('C') का कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक समान रूप से शून्य है यदि और केवल यदि[17]
वेरिएंट
कैराथोडोरी मीट्रिक जटिल मैनिफोल्ड्स पर और आंतरिक स्यूडोमेट्रिक है, जो यूनिट डिस्क के बजाय यूनिट डिस्क के होलोमोर्फिक मानचित्रों पर आधारित है। कोबायाशी इनफिनिटसिमल स्यूडोमेट्रिक फिन्सलर मीट्रिक है जिसका संबद्ध दूरी फ़ंक्शन कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक है जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है।[18] कोबायाशी-ईसेनमैन छद्म-आयतन रूप जटिल एन-फोल्ड पर आंतरिक माप (गणित) है, जो एन-आयामी पॉलीडिस्क से ्स तक होलोमोर्फिक मानचित्रों पर आधारित है। इसे कोबायाशी छद्ममिति से बेहतर समझा जाता है। विशेष रूप से, सामान्य प्रकार की प्रत्येक प्रक्षेप्य विविधता 'माप-हाइपरबोलिक' है, जिसका अर्थ है कि कोबायाशी-ईसेनमैन छद्म-आयतन रूप निम्न-आयामी बीजगणितीय उपसमुच्चय के बाहर सकारात्मक है।[19] फ्लैट एफ़िन मैनिफ़ोल्ड और प्रोजेक्टिव संरचनाओं के साथ-साथ अधिक सामान्य प्रक्षेप्य संबंध और अनुरूप कनेक्शन के लिए एनालॉगस स्यूडोमेट्रिक्स पर विचार किया गया है।[20]
टिप्पणियाँ
- ↑ Kobayashi (2005), sections IV.1 and VII.2.
- ↑ Kobayashi (2005), Proposition IV.1.6.
- ↑ Kobayashi (1998), Theorem 3.6.3.
- ↑ Kobayashi (1998), Theorem 3.11.1,
- ↑ Kobayashi (1998), Theorem 3.7.12.
- ↑ Kobayashi (2005), section III.2.
- ↑ Demailly (1997), Conjecture 3.7.
- ↑ Voisin (1996).
- ↑ Diverio, Merker and Rousseau (2010).
- ↑ Brotbek (2017)
- ↑ Demailly (2018)
- ↑ McQuillan (1998).
- ↑ Demailly (2011), Theorem 0.5.
- ↑ Voisin (2003), Lemma 1.51.
- ↑ Campana (2004), Conjecture 9.2,
- ↑ Lang (1986), Conjecture 5.8.
- ↑ Campana (2004), Conjecture 9.20.
- ↑ Kobayashi (1998), Theorem 3.5.31.
- ↑ Kobayashi (1998), section 7.2.
- ↑ Kobayashi (1977).
संदर्भ
- Brotbek, Damian (2017), "On the hyperbolicity of general hypersurfaces", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 126: 1–34, arXiv:1604.00311, doi:10.1007/s10240-017-0090-3, MR 3735863, S2CID 119665113
- Campana, Frédéric (2004), "Orbifolds, special varieties and classification theory" (PDF), Annales de l'Institut Fourier, 54 (3): 499–630, doi:10.5802/aif.2027, MR 2097416
- Demailly, Jean-Pierre (1997), "Algebraic criteria for Kobayashi hyperbolic projective varieties and jet differentials" (PDF), Algebraic Geometry—Santa Cruz 1995, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 62, Part 2, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 285–360, MR 1492539
- Demailly, Jean-Pierre (2011), "Holomorphic Morse inequalities and the Green–Griffiths–Lang conjecture", Pure and Applied Mathematics Quarterly, 7 (4): 1165–1207, arXiv:1011.3636, doi:10.4310/PAMQ.2011.v7.n4.a6, MR 2918158, S2CID 16065414
- Demailly, Jean-Pierre (2018). "Recent results on the Kobayashi and Green-Griffiths-Lang conjectures". arXiv:1801.04765 [math.AG].
- Diverio, Simone; Merker, Joël; Rousseau, Erwan (2010), "Effective algebraic degeneracy", Inventiones Mathematicae, 180 (1): 161–223, arXiv:0811.2346, Bibcode:2010InMat.180..161D, doi:10.1007/s00222-010-0232-4, MR 2593279, S2CID 2530752
- Kobayashi, Shoshichi (1976), "Intrinsic distances, measures and geometric function theory", Bulletin of the American Mathematical Society, 82 (3): 357–416, doi:10.1090/S0002-9904-1976-14018-9, MR 0414940
- Kobayashi, Shoshichi (1977), "Intrinsic distances associated with flat affine or projective structures", Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo, 24: 129–135, MR 0445016
- Kobayashi, Shoshichi (1998), Hyperbolic Complex Spaces, Berlin: Springer Nature, ISBN 3-540-63534-3, MR 1635983
- Kobayashi, Shoshichi (2005) [1970], Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Mappings, Hackensack, NJ: World Scientific, ISBN 981-256-496-9, MR 2194466
- Lang, Serge (1986). "Hyperbolic and Diophantine analysis". Bulletin of the American Mathematical Society. 14 (2): 159–205. doi:10.1090/s0273-0979-1986-15426-1. MR 0828820.
- McQuillan, Michael (1998), "Diophantine approximations and foliations", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 87: 121–174, doi:10.1007/BF02698862, MR 1659270, S2CID 53635826
- Voisin, Claire (1996), "On a conjecture of Clemens on rational curves on hypersurfaces", Journal of Differential Geometry, 44: 200–213, MR 1420353 "A correction", Journal of Differential Geometry, 49: 601–611, 1998, MR 1669712
- Voisin, Claire (2003), "On some problems of Kobayashi and Lang: algebraic approaches" (PDF), Current Developments in Mathematics, Somerville, MA: International Press, pp. 53–125, MR 2132645
