WAVL ट्री: Difference between revisions
(→संचालन) |
|||
| Line 53: | Line 53: | ||
डब्ल्यूएवीएल ट्री में कुंजी {{mvar|k}} के साथ एक आंतरिक बिन्दु को सम्मिलित करने के लिए, ट्री में {{mvar|k}} की खोज की जाती है, जो एक बाह्य बिन्दु पर समाप्त होती है, फिर उस बाह्य बिन्दु को दो बाह्य बच्चों के साथ नए आंतरिक बिन्दु से प्रतिस्थापित किया जाता है, और अंततः ट्री को संतुलित किया जाता है। संतुलनाधीन चरण को शीर्ष से नीचे तक या नीचे से शीर्ष तक किया जा सकता है लेकिन संतुलित करने का नीचे से शीर्ष तक वर्जन एवीएल ट्री के सबसे समीप होता है। | डब्ल्यूएवीएल ट्री में कुंजी {{mvar|k}} के साथ एक आंतरिक बिन्दु को सम्मिलित करने के लिए, ट्री में {{mvar|k}} की खोज की जाती है, जो एक बाह्य बिन्दु पर समाप्त होती है, फिर उस बाह्य बिन्दु को दो बाह्य बच्चों के साथ नए आंतरिक बिन्दु से प्रतिस्थापित किया जाता है, और अंततः ट्री को संतुलित किया जाता है। संतुलनाधीन चरण को शीर्ष से नीचे तक या नीचे से शीर्ष तक किया जा सकता है लेकिन संतुलित करने का नीचे से शीर्ष तक वर्जन एवीएल ट्री के सबसे समीप होता है। | ||
पद -अंतर पर विचार करके नीचे-ऊपर पुनर्संतुलन प्रारंभ होता है एक बिन्दु के बीच प्रारंभ में नया डाला गया बिन्दु और उसके अभिभावक. यदि कोई माता-पिता नहीं है, तो संतुलन बहाल हो जाता है। पहले प्रविष्टि प्रारंभ हुई, पैरेंट और बिन्दु के बीच पद -अंतर 1 या 2,था लेकिन उपट्री के कारण वह अंतर 1 से कम हो गया है बिन्दु पर जड़ें लंबी हो गई हैं। यदि नये पद -अंतर के बीच पैरेंट और बिन्दु 1 है, संतुलन बहाल हो गया है। अन्यथा, यदि भाई-बहन, माता-पिता की दूसरी संतान, के साथ पद -अंतर 1 है माता-पिता, माता-पिता को बढ़ावा दें - वृद्धि करके इसकी पद बढ़ाएं इसके और इसके प्रत्येक चाइल्ड के बीच पद -अंतर और जारी है नए बिन्दु के रूप में पुराने पैरेंट के साथ पुनर्संतुलन करता है। | |||
अंत में, बिन्दु और सिबलिंग के लिए 0 और 2 के पद -अंतर के साथ, एक या पद -अंतर से संबंधित समायोजन के साथ, दो ट्री घूर्णन,संतुलन बहाल कर सकता है. बिन्दु का बीच वाला बच्चा कुंजी वाला होता है बिन्दु और पैरेंट की कुंजियों के बीच यदि उसके लिए पद -अंतर है | |||
चाइल्ड और बिन्दु 2 है, बिन्दु को ट्री और पेरेंट में ऊपर ले जाने के लिए घुमाएँ नीचे, फिर माता-पिता को पदावनत करें - समायोजित करके इसकी पद कम करें इसके चारों ओर पद -अंतर - और संतुलन बहाल हो जाता है। अन्यथा,चाइल्ड को ऊपर और बिन्दु को नीचे ले जाने के लिए घुमाएँ, फिर दोबारा घुमाएँ चाइल्ड को ऊपर और माता-पिता को नीचे ले जाएँ। चाइल्ड को प्रमोट करो, डिमोट करो बिन्दु और पैरेंट, और संतुलन बहाल हो जाता है। | |||
इस प्रकार, कुल मिलाकर, सम्मिलन प्रक्रिया में एक खोज, नए बिन्दु की एक निरंतर संख्या का निर्माण, पद परिवर्तनों की एक लघुगणकीय संख्या और ट्री के घूर्णन की एक निरंतर संख्या सम्मिलित होती है।<ref name="gt" /><ref name="hst15" /> | |||
===विलोपन=== | ===विलोपन=== | ||
डब्ल्यूएवीएल ट्री से आंतरिक बिन्दु | डब्ल्यूएवीएल ट्री से एक आंतरिक बिन्दु को हटाने की प्रक्रिया साधारण बाइनरी सर्च ट्री हटाने से प्रारंभ होती है। एक आंतरिक बिन्दु के लिए जो किसी बाह्य बच्चे के बिना होता है, इसका अर्थ है कि उसे ट्री में उसके उत्तरजीवी का पता लगाना होगा, बिन्दु को उसके उत्तरजीवी के साथ बदलना होगा, और फिर बिन्दु को नए ट्री स्थान से हटाना होगा, जहां उसका बाएं बच्चा आवश्यकतानुसार एक बाह्य बिन्दु होगा। एक आंतरिक बिन्दु को हटाने के लिए जो एक बाह्य बच्चे के साथ होता है, उसे दूसरे बच्चे से प्रतिस्थापित करें। | ||
बाइनरी सर्च ट्री | |||
बिन्दु को उसके | |||
पद -अंतर | पद -अंतर संतुलनाधीन चरण पाठकों में सोचना प्रारंभ करता है जो बिन्दु के बीच पद -अंतर होता है - प्रारंभिक रूप में, हटाए गए बिन्दु को प्रतिस्थापित करने वाला बिन्दु । यदि कोई माता-पिता नहीं है, तो संतुलन संशोधित होता है। हटाने की प्रारंभिक तिथि से पहले, माता-पिता और बिन्दु के बीच पद -अंतर 1 या 2 था, लेकिन इस अंतर को 1 के साथ बढ़ा दिया गया है क्योंकि बिन्दु के द्वारा जड़ी उपट्री को छोटा कर दिया गया है। यदि माता-पिता के पास अब दो बाह्य बच्चे हैं, तो आंतरिक-बिन्दु संपत्ति को उल्लंघन किया जाता है क्योंकि माता-पिता का पद 2 होता है। माता-पिता को अवमानित किया जाना चाहिए, और संतुलनाधीनीकरण जारी रखना चाहिए जहां माता-पिता उन्हीं का बिन्दु है जो अत्यंत छोटे उपट्री के मूल है। | ||
बिन्दु | |||
पद | |||
यदि बिन्दु | यदि बिन्दु का माता-पिता नहीं है, तो संतुलन संशोधित हो जाता है। यदि बिन्दु और माता-पिता के बीच पद -अंतर 1 से 2 तक बढ़ गया है, तो संतुलन संशोधित हो जाता है। अन्यथा, यदि सहोदर, माता-पिता का दूसरा बच्चा, माता-पिता के साथ पद -अंतर 2 है, तो माता-पिता को अवमानित करें - उसका पद कम करें, अर्थात उसके और प्रत्येक बच्चे के बीच पद -अंतर को कम करें - और पुराने माता-पिता को नए बिन्दु के रूप में संतुलनाधीनीकरण जारी रखें। अन्यथा, यदि सहोदर के दोनों बच्चों के बीच पद -अंतर 2 हैं, तो माता-पिता और सहोदर को अवमानित करें और पुराने माता-पिता को नए बिन्दु के रूप में संतुलनाधीनीकरण जारी रखें। | ||
बिन्दु | |||
माता-पिता के साथ पद -अंतर 2 है, माता-पिता को | |||
अंत में, बिन्दु | अंत में, जहां बिन्दु और सहोदर के बीच पद-अंतर 3 और 1 है, और सहोदर के पास एक बच्चा है जिसका पद -अंतर 1 है, वहां एक या दो ट्री परिवर्तन, पद-अंतरों को संबंधित समायोजन के साथ, संतुलन को संशोधित कर सकते हैं। सहोदर के बच्चों को भांजी और भतीजा के रूप में पहचानें, जहां भांजी की कुंजी माता-पिता और सहोदर की कुंजियों के बीच होती है, और भतीजा की कुंजी नहीं होती है। यदि सहोदर और भतीजा के बीच पद-अंतर 1 है, तो सहोदर को ऊपर ले जाने और माता-पिता को नीचे ले जाने के लिए ट्री परिवर्तन करें, सहोदर को पदोन्नत करें और माता-पिता को एक बार कम करें, कम से कम, और आवश्यक होने पर दो बार कम करें जिससे आंतरिक-बिन्दु गुण का उल्लंघन न हो। अन्यथा, सहोदर और भतीजा के बीच पद-अंतर को 1 के रूप में रखकर, भांजी को ऊपर ले जाने और सहोदर को नीचे ले जाने के लिए ट्री परिवर्तन करें, फिर से ट्री परिवर्तन करें भांजी को ऊपर ले जाने और माता-पिता को नीचे ले जाने के लिए, भांजी को दो बार पदोन्नत करें, सहोदर को एक बार कम करें, और माता-पिता को दो बार कम करें। | ||
पद - | |||
आंतरिक-बिन्दु | |||
कुल मिलाकर, विलोपन में एक | कुल मिलाकर, विलोपन में एक सम्मिलित होता है किसी बाहरी चाइल्ड के साथ एक बिन्दु खोजने के लिए नीचे की ओर खोजें, को हटा दें नए बिन्दु की एक स्थिर संख्या, पद परिवर्तन की एक लघुगणकीय संख्या,और ट्री के घूमने की एक स्थिर संख्या रहने दे। | ||
किसी बाहरी चाइल्ड | |||
नए बिन्दु | |||
और ट्री | |||
यह महत्वपूर्ण है कि एवीएल ट्री में कई स्तरों पर घुमाने वाले चक्रवात होने के कारण हटाने के परिणाम को डब्ल्यूएवीएल ट्री में किए गए चक्रवात और पद परिवर्तनों के साथ तुलना किया जाए। दूसरी छवि में, मान 12 वाले बिन्दु को हटा दिया गया है, इसके बाद दाएं घूमाने और सभी बाह्य बिन्दु को पद शून्य के रूप में निर्धारित किया गया है। | |||
[[File:FibonacciTreeWRanks.png|thumb|पद ों के साथ फाइबोनैचि ट्री ]] [[File:Fibonacci Tree after Delete.png|thumb|हटाने के बाद पद के साथ फाइबोनैचि ट्री ]] | [[File:FibonacciTreeWRanks.png|thumb|पद ों के साथ फाइबोनैचि ट्री ]] [[File:Fibonacci Tree after Delete.png|thumb|हटाने के बाद पद के साथ फाइबोनैचि ट्री ]] | ||
==कम्प्यूटेशनल जटिलता== | ==कम्प्यूटेशनल जटिलता== | ||
डब्ल्यूएवीएल ट्री में प्रत्येक खोज, सम्मिलन या विलोपन में ट्री में एक ही पथ का अनुसरण करना और पथ में प्रत्येक बिन्दु के लिए निरंतर चरणों का पालन करना | डब्ल्यूएवीएल ट्री में प्रत्येक खोज, सम्मिलन या विलोपन में ट्री में एक ही पथ का अनुसरण करना और पथ में प्रत्येक बिन्दु के लिए निरंतर चरणों का पालन करना सम्मिलित है। एक डब्ल्यूएवीएल ट्री में {{mvar|n}} वस्तु जिनमें केवल सम्मिलन हुआ है, अधिकतम पथ लंबाई है <math>\log_{\varphi} n\approx 1.44\log_2 n</math>. यदि सम्मिलन और विलोपन दोनों हो सकते हैं, तो अधिकतम पथ लंबाई है <math>2\log_2 n</math>. इसलिए, किसी भी मामले में, डब्ल्यूएवीएल ट्री में प्रत्येक खोज, सम्मिलन या विलोपन के लिए सबसे खराब स्थिति का समय {{mvar|n}} डेटा वस्तु है {{math|''O''(log ''n'')}}. | ||
इसके अतिरिक्त, सम्मिलन और विलोपन के लिए एक बिन्दु खोजने के बाद, ट्री पुनर्गठन संचालन की परिशोधित जटिलता स्थिर रहती है। बिन्दु को जोड़ना या हटाना स्वयं एक स्थिर समय है, घुमावों की मात्रा हमेशा अधिकतम स्थिर होती है और यह दिखाया जा सकता है कि बिन्दु ्स में पद परिवर्तन की कुल मात्रा सम्मिलन और विलोपन दोनों की संख्या में रैखिक है। | इसके अतिरिक्त, सम्मिलन और विलोपन के लिए एक बिन्दु खोजने के बाद, ट्री पुनर्गठन संचालन की परिशोधित जटिलता स्थिर रहती है। बिन्दु को जोड़ना या हटाना स्वयं एक स्थिर समय है, घुमावों की मात्रा हमेशा अधिकतम स्थिर होती है और यह दिखाया जा सकता है कि बिन्दु ्स में पद परिवर्तन की कुल मात्रा सम्मिलन और विलोपन दोनों की संख्या में रैखिक है। | ||
| Line 145: | Line 88: | ||
एवीएल ट्री एक प्रकार का संतुलित बाइनरी सर्च ट्री है जिसमें प्रत्येक आंतरिक बिन्दु के दो बच्चों की ऊंचाई अधिकतम एक से भिन्न होनी चाहिए।<ref>{{harvtxt|Goodrich|Tamassia|2015}}, Section 4.2 AVL Trees, pp. 120–125.</ref> किसी बाहरी बिन्दु की ऊंचाई शून्य है, और किसी भी आंतरिक बिन्दु की ऊंचाई हमेशा उसके दो बच्चों की ऊंचाई से एक प्लस अधिक होती है। इस प्रकार, एवीएल ट्री की ऊंचाई फलन डब्ल्यूएवीएल ट्री की बाधाओं का पालन करती है, और हम प्रत्येक बिन्दु की ऊंचाई को उसके पद के रूप में उपयोग करके किसी भी एवीएल ट्री को डब्ल्यूएवीएल ट्री में परिवर्तित कर सकते हैं।<ref name="gt"/><ref name="hst15"/> | एवीएल ट्री एक प्रकार का संतुलित बाइनरी सर्च ट्री है जिसमें प्रत्येक आंतरिक बिन्दु के दो बच्चों की ऊंचाई अधिकतम एक से भिन्न होनी चाहिए।<ref>{{harvtxt|Goodrich|Tamassia|2015}}, Section 4.2 AVL Trees, pp. 120–125.</ref> किसी बाहरी बिन्दु की ऊंचाई शून्य है, और किसी भी आंतरिक बिन्दु की ऊंचाई हमेशा उसके दो बच्चों की ऊंचाई से एक प्लस अधिक होती है। इस प्रकार, एवीएल ट्री की ऊंचाई फलन डब्ल्यूएवीएल ट्री की बाधाओं का पालन करती है, और हम प्रत्येक बिन्दु की ऊंचाई को उसके पद के रूप में उपयोग करके किसी भी एवीएल ट्री को डब्ल्यूएवीएल ट्री में परिवर्तित कर सकते हैं।<ref name="gt"/><ref name="hst15"/> | ||
एवीएल ट्री और डब्ल्यूएवीएल ट्री के बीच मुख्य अंतर तब उत्पन्न होता है जब एक बिन्दु में समान पद या ऊंचाई वाले दो चाइल्ड होते हैं। एवीएल ट्री में, यदि एक बिन्दु {{mvar|x}} के एक ही कद के दो चाइल्ड हैं {{mvar|h}} एक दूसरे के रूप में, तो की ऊंचाई {{mvar|x}} बिलकुल होना चाहिए {{math|''h'' + 1}}. इसके विपरीत, डब्ल्यूएवीएल ट्री में, यदि एक node {{mvar|x}} के एक ही पद के दो चाइल्ड हैं {{mvar|r}} एक दूसरे के रूप में, फिर की पद {{mvar|x}} या तो किया जा सकता है {{math|''r'' + 1}} या {{math|''r'' + 2}}. ऐसा इसलिए है क्योंकि डब्ल्यूएवीएल ट्री में पद पूरी तरह से ऊंचाई के बराबर नहीं है। पद ों में इस अधिक लचीलेपन से संरचनाओं में भी अधिक लचीलापन आता है: कुछ डब्ल्यूएवीएल ट्री को उनके पद ों को संशोधित करके भी एवीएल ट्री में नहीं बनाया जा सकता है, क्योंकि उनमें ऐसे बिन्दु | एवीएल ट्री और डब्ल्यूएवीएल ट्री के बीच मुख्य अंतर तब उत्पन्न होता है जब एक बिन्दु में समान पद या ऊंचाई वाले दो चाइल्ड होते हैं। एवीएल ट्री में, यदि एक बिन्दु {{mvar|x}} के एक ही कद के दो चाइल्ड हैं {{mvar|h}} एक दूसरे के रूप में, तो की ऊंचाई {{mvar|x}} बिलकुल होना चाहिए {{math|''h'' + 1}}. इसके विपरीत, डब्ल्यूएवीएल ट्री में, यदि एक node {{mvar|x}} के एक ही पद के दो चाइल्ड हैं {{mvar|r}} एक दूसरे के रूप में, फिर की पद {{mvar|x}} या तो किया जा सकता है {{math|''r'' + 1}} या {{math|''r'' + 2}}. ऐसा इसलिए है क्योंकि डब्ल्यूएवीएल ट्री में पद पूरी तरह से ऊंचाई के बराबर नहीं है। पद ों में इस अधिक लचीलेपन से संरचनाओं में भी अधिक लचीलापन आता है: कुछ डब्ल्यूएवीएल ट्री को उनके पद ों को संशोधित करके भी एवीएल ट्री में नहीं बनाया जा सकता है, क्योंकि उनमें ऐसे बिन्दु सम्मिलित होते हैं जिनके बच्चों की ऊंचाई एक से अधिक भिन्न होती है।<ref name="hst15"/>हालाँकि, हम कह सकते हैं कि सभी एवीएल ट्री डब्ल्यूएवीएल ट्री हैं। एवीएल ट्री बिना किसी प्रकार के बिन्दु वाले डब्ल्यूएवीएल ट्री हैं जिनके दोनों बच्चों की पद में अंतर 2 है।<ref name="gt" /> | ||
यदि एक डब्ल्यूएवीएल ट्री केवल सम्मिलन संचालन का उपयोग करके बनाया गया है, तो इसकी संरचना समान सम्मिलन अनुक्रम द्वारा बनाए गए एवीएल ट्री की संरचना के समान होगी, और इसकी पद संबंधित एवीएल ट्री की पद के समान होगी। केवल विलोपन कार्यों के माध्यम से ही एक डब्ल्यूएवीएल ट्री एक एवीएल ट्री से भिन्न हो सकता है। विशेष रूप से इसका तात्पर्य यह है कि केवल सम्मिलन के माध्यम से बनाए गए डब्ल्यूएवीएल ट्री की ऊंचाई अधिकतम होती है <math>\log_{\varphi} n\approx 1.44\log_2 n</math>.<ref name="hst15"/> | यदि एक डब्ल्यूएवीएल ट्री केवल सम्मिलन संचालन का उपयोग करके बनाया गया है, तो इसकी संरचना समान सम्मिलन अनुक्रम द्वारा बनाए गए एवीएल ट्री की संरचना के समान होगी, और इसकी पद संबंधित एवीएल ट्री की पद के समान होगी। केवल विलोपन कार्यों के माध्यम से ही एक डब्ल्यूएवीएल ट्री एक एवीएल ट्री से भिन्न हो सकता है। विशेष रूप से इसका तात्पर्य यह है कि केवल सम्मिलन के माध्यम से बनाए गए डब्ल्यूएवीएल ट्री की ऊंचाई अधिकतम होती है <math>\log_{\varphi} n\approx 1.44\log_2 n</math>.<ref name="hst15"/> | ||
Revision as of 11:23, 17 July 2023
कंप्यूटर विज्ञान में, डब्ल्यूएवीएल ट्री या कमजोर एवीएल ट्री एक स्व-संतुलन द्विआधारी विवृत्त ट्री है। डब्ल्यूएवीएल ट्री का नाम एवीएल ट्री के नाम पर रखा गया है, जो एक अन्य प्रकार का संतुलित खोज ट्री है, और यह एवीएल ट्री और लाल-काले ट्री दोनों से निकटता से संबंधित है, जो सभी पद संतुलित ट्री के एक सामान्य ढांचे में आते हैं। अन्य संतुलित बाइनरी खोज ट्री की तरह, डब्ल्यूएवीएल ट्री प्रति संचालन O(log n) समय में सम्मिलन, विलोपन और खोज संचालन को संभाल सकते हैं। [1]
डब्ल्यूएवीएल ट्री को एवीएल ट्री लाल-काले ट्री दोनों के कुछ सर्वोत्तम गुणों को संयोजित करने के लिए प्ररूपित किया गया है। लाल-काले ट्री की तुलना में एवीएल ट्री का एक लाभ यह है कि वे अधिक संतुलित होते हैं: उनकी अधिकतम ऊंचाई होती है , जबकि लाल-काले ट्री की अधिकतम ऊंचाई से अधिक होती है, यदि एक डब्ल्यूएवीएल ट्री केवल सम्मिलन का उपयोग करके, बिना हटाए बनाया जाता है, तो इसमें वही छोटी ऊँचाई होती है जो एवीएल ट्री में होती है। दूसरी ओर, लाल-काले ट्री को अपने ट्री के कम पुनर्गठन में एवीएल ट्री के सापेक्ष में लाभ होता है। एवीएल ट्री में, प्रत्येक विलोपन के लिए ट्री के घूर्णन संचालन की एक लघुगणकीय संख्या की आवश्यकता हो सकती है, जबकि लाल-काले ट्री में सरल विलोपन संचालन होते हैं जो केवल ट्री के घूर्णन की एक स्थिर संख्या का उपयोग करते हैं। डब्ल्यूएवीएल ट्री, लाल-काले ट्री की तरह, केवल ट्री के घूर्णन की एक स्थिर संख्या का उपयोग करते हैं, और स्थिरांक लाल-काले ट्री के सापेक्ष में भी उत्तम है।[2][1]
[1]डब्ल्यूएवीएल ट्री एवीएल ट्रीज को कहा जाता है जिन्हें ह्युप्लर, सेन & टारजन (2015). ने प्रस्तुत किया था। उन्ही लेखकों ने एवीएल ट्रीज, एवीएल ट्रीज और लाल-काले ट्रीज को पद -संतुलित ट्री के एक प्रकार के रूप में प्रदर्शित किया।
पद संतुलित ट्रीज की रूपरेखा
अलग-अलग बाइनरी सर्च ट्री में डालने/हटाने और संतुलन कला विधि के लिए अलग-अलग कला विधि होते हैं, जिससे व्यवस्थित अध्ययन करना मुश्किल हो जाता है। लेखक ह्युप्लर, सेन & टारजन (2015) पद बाइनरी ट्री को परिभाषित करके बाइनरी सर्च ट्री के अध्ययन को एकीकृत करने के लिए पद संतुलित ट्री फ्रेमवर्क का परिचय दें, और प्रत्येक बाइनरी सर्च ट्री पद फलन पर लागू विशिष्ट बाधाओं का पालन करता है। ध्यान दें कि फ़्रेमवर्क उन कला विधि को निर्दिष्ट नहीं करता है जिनमें ये ट्री लागू किए जाते हैं।
पद बाइनरी ट्री एक बाइनरी ट्री है जहां प्रत्येक बिन्दु x एक पद r(x) से जुड़ा होता है। परंपरा के अनुसार, खाली बिन्दु की पद -1 होती है। एक बिन्दु x के लिए जो रूट नहीं है, पद अंतर है , और यदि पद अंतर i है तो ऐसे बिन्दु को आई-चाइल्ड कहा जाता है। एक बिन्दु प्रकार का होता है। यदि इसके बाएं चाइल्ड और दाएं चाइल्ड की पद का अंतर i और j है।
इसके साथ, हम अतिरिक्त नियम परिभाषित कर सकते हैं, जो विभिन्न ट्री से मेल खाते हैं:
- एवीएल नियम, जो एवीएल ट्री से मेल खाता है: प्रत्येक बिन्दु प्रकार 1,1 या 1,2 का है।
- 2-3 नियम, जो बाइनराइज्ड 2-3 ट्री से मेल खाता है: प्रत्येक बिन्दु 0,1 या 1,1 प्रकार का है, और 0-चाइल्ड का कोई भी माता-पिता 0-बच्चा नहीं है।
- लाल काला नियम, जो लाल-काले ट्री से मेल खाता है: सभी पद अंतर 0 या 1 हैं, और 0-चाइल्ड का कोई भी माता-पिता 0-बच्चा नहीं है। ध्यान दें कि लाल-काला नियम 0,0 प्रकार के बिन्दु की अनुमति देकर 2-3 नियम को सामान्य बनाता है।
अब तक ये सभी नियम बाएँ बिन्दु और दाएँ बिन्दु के लिए सममित हैं। ऐसी समरूपता को तोड़कर, यह अन्य नियमों को जन्म देता है:
- दाएँ-झुकाव वाला दो-तीन नियम, जो दाएँ झुकाव वाले द्विअर्थी 2-3 ट्री से मेल खाता है: प्रत्येक बिन्दु 1,1 या 0,1 है, 0-चाइल्ड का कोई भी माता-पिता 0-बच्चा नहीं है, और कोई 0-बच्चा नहीं है।
- वाम-झुकाव वाला दो-तीन नियम, जो बायीं ओर झुके हुए द्विअर्थी 2-3 ट्री से मेल खाता है: प्रत्येक बिन्दु 1,1 या 0,1 है, 0-चाइल्ड का कोई भी माता-पिता 0-बच्चा नहीं है, और कोई 0-बच्चा नहीं है सही है।
- दाएं-झुकाव वाला लाल-काला नियम, जो रेफ्ट-झुकाव वाले लाल-काले ट्री से मेल खाता है: 0-चाइल्ड का कोई भी माता-पिता 0-बच्चा नहीं है, और 0,1-बिन्दु का कोई 0-बच्चा नहीं बचा है।
- वाम-झुकाव वाले लाल-काले नियम, जो वाम-झुकाव वाले लाल-काले ट्री से मेल खाता है: सभी पद 0 या 1 हैं, 0-चाइल्ड का कोई भी माता-पिता 0-बच्चा नहीं है, और 0 का कोई 0-बच्चा नहीं है, 1-बिन्दु सही है.
कमज़ोर एवीएल ट्री कमज़ोर एवीएल नियम द्वारा परिभाषित किया गया है:
- कमजोर एवीएल नियम: सभी पद अंतर 1 या 2 हैं, और सभी लीफ बिन्दु की पद 0 है।
ध्यान दें कि कमजोर एवीएल ट्री 2,2 प्रकार के बिन्दु की अनुमति देकर एवीएल ट्री को सामान्यीकृत करता है। एक साधारण प्रमाण से पता चलता है कि एक कमजोर एवीएल ट्री को इस तरह से रंगा जा सकता है जो लाल-काले ट्री का प्रतिनिधित्व करता है। तो एक अर्थ में, कमजोर एवीएल ट्री एवीएल ट्री और लाल-काले ट्री के गुणों को जोड़ता है।
परिभाषा
सामान्यतः बाइनरी सर्च ट्री की तरह, डब्ल्यूएवीएल ट्री में दो प्रकार के बिन्दु का संग्रह होता है: आंतरिक बिन्दु और बाहरी बिन्दु एक आंतरिक बिन्दु एक डेटा वस्तु संग्रहीत करता है, और अपने माता-पिता से जुड़ा होता है और ट्री में ठीक दो बच्चों, बाएं चाइल्ड और दाएं चाइल्ड से जुड़ा होता है। एक बाहरी बिन्दु में कोई डेटा नहीं होता है, और उसका लिंक केवल ट्री में उसके मूल बिन्दु से होता है। इन बिन्दु को एक बाइनरी ट्री बनाने के लिए व्यवस्थित किया जाता है, ताकि किसी भी आंतरिक बिन्दु के लिए x बाएँ और x दाएँ बच्चों के माता-पिता हैं । बाहरी गांठें ट्री की पत्तियाँ बनाती हैं।[3] डेटा वस्तु को ट्री में इस तरह व्यवस्थित किया जाता है कि ट्री का एक इनऑर्डर ट्रैवर्सल डेटा वस्तु को क्रमबद्ध क्रम में सूचीबद्ध करता है।[4]डब्ल्यूएवीएल ट्री को अन्य प्रकार के बाइनरी सर्च ट्री से जो अलग करता है, वह है इसका पद का उपयोग। ये प्रत्येक बिन्दु से जुड़े नंबर हैं, जो बिन्दु से उसके सबसे दूर के पत्ते के वंशज तक की दूरी का अनुमान प्रदान करते हैं। एवीएल ट्री के विपरीत, जहां पद को बिन्दु की ऊंचाई के समान परिभाषित किया जाता है, डब्ल्यूएवीएल ट्री में पद हमेशा ऊंचाई के बराबर नहीं होती है। बिन्दु x के पद अंतर को x के मूल पद और x के पद के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है। पदो को निम्नलिखित गुणों का पालन करना आवश्यक है:[2][1]*बाहरी-बिन्दु गुण: प्रत्येक बाहरी बिन्दु की पद 0 होती है [5]
- पद -अंतर संपत्ति: यदि एक गैर-रूट बिन्दु में पद है r, तो उसके माता-पिता का पद या तो होना चाहिए r + 1 या r + 2. दूसरे शब्दों में, किसी भी गैर-रूट बिन्दु के लिए पद अंतर 1 या 2 है।[2]*आंतरिक-बिन्दु गुण: दो बाहरी बच्चों वाले एक आंतरिक बिन्दु की पद बिल्कुल 1 होनी चाहिए।
संचालन
अन्वेषण
डब्ल्यूएवीएल ट्री में एक कुंजीk की खोज करना किसी भी संतुलित द्विआधार सर्च ट्री डेटा संरचना की तरह होता है। पहले ट्री की रूट पर प्रारंभ करें, और फिर मूल से रूट तक के पथ पर प्रत्येक बिन्दु पर संग्रहीत डेटा वस्तु के साथ k की तुलना करें, जब k बिन्दु के मान से छोटा हो तो वर्तमान बिन्दु के बाएं बच्चे के पथ का पालन करें और जब k बिन्दु के मान से बड़ा हो तो वर्तमान बिन्दु के दाएं बच्चे के पथ का पालन करें। [6]जब किसी बिन्दु के मान के बराबर कीमत के साथ एक बिन्दु तक पहुंचा जाता है या एक बाह्य बिन्दु तक पहुंचा जाता है, खोज समाप्त हो जाती है।[6]यदि खोज किसी आंतरिक बिन्दु पर रुकती है, तो कुंजी k मिल गई है। यदि विपरीत होता है, तो खोज किसी बाह्य बिन्दु पर रुकती है, तो k को किस स्थान पर सम्मिलित किया जाएगा, वह स्थान मिल गया है।
सम्मिलन
कुंजी के साथ एक आंतरिक बिन्दु सम्मिलित करना k डब्ल्यूएवीएल ट्री में खोज की आवश्यकता होती है k ट्री में, एक बाहरी बिन्दु पर समाप्त होता है, फिर दो बाहरी बच्चों के साथ नए आंतरिक बिन्दु के साथ उस बाहरी बिन्दु का प्रतिस्थापन होता है, और अंत में ट्री का पुनर्संतुलन होता है। पुनर्संतुलन चरण या तो ऊपर से नीचे या नीचे से ऊपर किया जा सकता है,[1]लेकिन पुनर्संतुलन का निचला-ऊपर संस्करण वह है जो एवीएल ट्री से सबसे अधिक मेल खाता है।[2][1]
डब्ल्यूएवीएल ट्री में कुंजी k के साथ एक आंतरिक बिन्दु को सम्मिलित करने के लिए, ट्री में k की खोज की जाती है, जो एक बाह्य बिन्दु पर समाप्त होती है, फिर उस बाह्य बिन्दु को दो बाह्य बच्चों के साथ नए आंतरिक बिन्दु से प्रतिस्थापित किया जाता है, और अंततः ट्री को संतुलित किया जाता है। संतुलनाधीन चरण को शीर्ष से नीचे तक या नीचे से शीर्ष तक किया जा सकता है लेकिन संतुलित करने का नीचे से शीर्ष तक वर्जन एवीएल ट्री के सबसे समीप होता है।
पद -अंतर पर विचार करके नीचे-ऊपर पुनर्संतुलन प्रारंभ होता है एक बिन्दु के बीच प्रारंभ में नया डाला गया बिन्दु और उसके अभिभावक. यदि कोई माता-पिता नहीं है, तो संतुलन बहाल हो जाता है। पहले प्रविष्टि प्रारंभ हुई, पैरेंट और बिन्दु के बीच पद -अंतर 1 या 2,था लेकिन उपट्री के कारण वह अंतर 1 से कम हो गया है बिन्दु पर जड़ें लंबी हो गई हैं। यदि नये पद -अंतर के बीच पैरेंट और बिन्दु 1 है, संतुलन बहाल हो गया है। अन्यथा, यदि भाई-बहन, माता-पिता की दूसरी संतान, के साथ पद -अंतर 1 है माता-पिता, माता-पिता को बढ़ावा दें - वृद्धि करके इसकी पद बढ़ाएं इसके और इसके प्रत्येक चाइल्ड के बीच पद -अंतर और जारी है नए बिन्दु के रूप में पुराने पैरेंट के साथ पुनर्संतुलन करता है।
अंत में, बिन्दु और सिबलिंग के लिए 0 और 2 के पद -अंतर के साथ, एक या पद -अंतर से संबंधित समायोजन के साथ, दो ट्री घूर्णन,संतुलन बहाल कर सकता है. बिन्दु का बीच वाला बच्चा कुंजी वाला होता है बिन्दु और पैरेंट की कुंजियों के बीच यदि उसके लिए पद -अंतर है चाइल्ड और बिन्दु 2 है, बिन्दु को ट्री और पेरेंट में ऊपर ले जाने के लिए घुमाएँ नीचे, फिर माता-पिता को पदावनत करें - समायोजित करके इसकी पद कम करें इसके चारों ओर पद -अंतर - और संतुलन बहाल हो जाता है। अन्यथा,चाइल्ड को ऊपर और बिन्दु को नीचे ले जाने के लिए घुमाएँ, फिर दोबारा घुमाएँ चाइल्ड को ऊपर और माता-पिता को नीचे ले जाएँ। चाइल्ड को प्रमोट करो, डिमोट करो बिन्दु और पैरेंट, और संतुलन बहाल हो जाता है।
इस प्रकार, कुल मिलाकर, सम्मिलन प्रक्रिया में एक खोज, नए बिन्दु की एक निरंतर संख्या का निर्माण, पद परिवर्तनों की एक लघुगणकीय संख्या और ट्री के घूर्णन की एक निरंतर संख्या सम्मिलित होती है।[2][1]
विलोपन
डब्ल्यूएवीएल ट्री से एक आंतरिक बिन्दु को हटाने की प्रक्रिया साधारण बाइनरी सर्च ट्री हटाने से प्रारंभ होती है। एक आंतरिक बिन्दु के लिए जो किसी बाह्य बच्चे के बिना होता है, इसका अर्थ है कि उसे ट्री में उसके उत्तरजीवी का पता लगाना होगा, बिन्दु को उसके उत्तरजीवी के साथ बदलना होगा, और फिर बिन्दु को नए ट्री स्थान से हटाना होगा, जहां उसका बाएं बच्चा आवश्यकतानुसार एक बाह्य बिन्दु होगा। एक आंतरिक बिन्दु को हटाने के लिए जो एक बाह्य बच्चे के साथ होता है, उसे दूसरे बच्चे से प्रतिस्थापित करें।
पद -अंतर संतुलनाधीन चरण पाठकों में सोचना प्रारंभ करता है जो बिन्दु के बीच पद -अंतर होता है - प्रारंभिक रूप में, हटाए गए बिन्दु को प्रतिस्थापित करने वाला बिन्दु । यदि कोई माता-पिता नहीं है, तो संतुलन संशोधित होता है। हटाने की प्रारंभिक तिथि से पहले, माता-पिता और बिन्दु के बीच पद -अंतर 1 या 2 था, लेकिन इस अंतर को 1 के साथ बढ़ा दिया गया है क्योंकि बिन्दु के द्वारा जड़ी उपट्री को छोटा कर दिया गया है। यदि माता-पिता के पास अब दो बाह्य बच्चे हैं, तो आंतरिक-बिन्दु संपत्ति को उल्लंघन किया जाता है क्योंकि माता-पिता का पद 2 होता है। माता-पिता को अवमानित किया जाना चाहिए, और संतुलनाधीनीकरण जारी रखना चाहिए जहां माता-पिता उन्हीं का बिन्दु है जो अत्यंत छोटे उपट्री के मूल है।
यदि बिन्दु का माता-पिता नहीं है, तो संतुलन संशोधित हो जाता है। यदि बिन्दु और माता-पिता के बीच पद -अंतर 1 से 2 तक बढ़ गया है, तो संतुलन संशोधित हो जाता है। अन्यथा, यदि सहोदर, माता-पिता का दूसरा बच्चा, माता-पिता के साथ पद -अंतर 2 है, तो माता-पिता को अवमानित करें - उसका पद कम करें, अर्थात उसके और प्रत्येक बच्चे के बीच पद -अंतर को कम करें - और पुराने माता-पिता को नए बिन्दु के रूप में संतुलनाधीनीकरण जारी रखें। अन्यथा, यदि सहोदर के दोनों बच्चों के बीच पद -अंतर 2 हैं, तो माता-पिता और सहोदर को अवमानित करें और पुराने माता-पिता को नए बिन्दु के रूप में संतुलनाधीनीकरण जारी रखें।
अंत में, जहां बिन्दु और सहोदर के बीच पद-अंतर 3 और 1 है, और सहोदर के पास एक बच्चा है जिसका पद -अंतर 1 है, वहां एक या दो ट्री परिवर्तन, पद-अंतरों को संबंधित समायोजन के साथ, संतुलन को संशोधित कर सकते हैं। सहोदर के बच्चों को भांजी और भतीजा के रूप में पहचानें, जहां भांजी की कुंजी माता-पिता और सहोदर की कुंजियों के बीच होती है, और भतीजा की कुंजी नहीं होती है। यदि सहोदर और भतीजा के बीच पद-अंतर 1 है, तो सहोदर को ऊपर ले जाने और माता-पिता को नीचे ले जाने के लिए ट्री परिवर्तन करें, सहोदर को पदोन्नत करें और माता-पिता को एक बार कम करें, कम से कम, और आवश्यक होने पर दो बार कम करें जिससे आंतरिक-बिन्दु गुण का उल्लंघन न हो। अन्यथा, सहोदर और भतीजा के बीच पद-अंतर को 1 के रूप में रखकर, भांजी को ऊपर ले जाने और सहोदर को नीचे ले जाने के लिए ट्री परिवर्तन करें, फिर से ट्री परिवर्तन करें भांजी को ऊपर ले जाने और माता-पिता को नीचे ले जाने के लिए, भांजी को दो बार पदोन्नत करें, सहोदर को एक बार कम करें, और माता-पिता को दो बार कम करें।
कुल मिलाकर, विलोपन में एक सम्मिलित होता है किसी बाहरी चाइल्ड के साथ एक बिन्दु खोजने के लिए नीचे की ओर खोजें, को हटा दें नए बिन्दु की एक स्थिर संख्या, पद परिवर्तन की एक लघुगणकीय संख्या,और ट्री के घूमने की एक स्थिर संख्या रहने दे।
यह महत्वपूर्ण है कि एवीएल ट्री में कई स्तरों पर घुमाने वाले चक्रवात होने के कारण हटाने के परिणाम को डब्ल्यूएवीएल ट्री में किए गए चक्रवात और पद परिवर्तनों के साथ तुलना किया जाए। दूसरी छवि में, मान 12 वाले बिन्दु को हटा दिया गया है, इसके बाद दाएं घूमाने और सभी बाह्य बिन्दु को पद शून्य के रूप में निर्धारित किया गया है।
कम्प्यूटेशनल जटिलता
डब्ल्यूएवीएल ट्री में प्रत्येक खोज, सम्मिलन या विलोपन में ट्री में एक ही पथ का अनुसरण करना और पथ में प्रत्येक बिन्दु के लिए निरंतर चरणों का पालन करना सम्मिलित है। एक डब्ल्यूएवीएल ट्री में n वस्तु जिनमें केवल सम्मिलन हुआ है, अधिकतम पथ लंबाई है . यदि सम्मिलन और विलोपन दोनों हो सकते हैं, तो अधिकतम पथ लंबाई है . इसलिए, किसी भी मामले में, डब्ल्यूएवीएल ट्री में प्रत्येक खोज, सम्मिलन या विलोपन के लिए सबसे खराब स्थिति का समय n डेटा वस्तु है O(log n).
इसके अतिरिक्त, सम्मिलन और विलोपन के लिए एक बिन्दु खोजने के बाद, ट्री पुनर्गठन संचालन की परिशोधित जटिलता स्थिर रहती है। बिन्दु को जोड़ना या हटाना स्वयं एक स्थिर समय है, घुमावों की मात्रा हमेशा अधिकतम स्थिर होती है और यह दिखाया जा सकता है कि बिन्दु ्स में पद परिवर्तन की कुल मात्रा सम्मिलन और विलोपन दोनों की संख्या में रैखिक है।
संबंधित संरचनाएं
डब्ल्यूएवीएल ट्री , एवीएल ट्री और लाल-काले ट्री दोनों से निकटता से संबंधित हैं। प्रत्येक एवीएल ट्री के बिन्दु ्स को इस तरह से पद दी जा सकती है कि वह डब्ल्यूएवीएल ट्री बन जाए। और प्रत्येक डब्ल्यूएवीएल ट्री के बिन्दु ्स लाल और काले रंग के हो सकते हैं (और इसकी पद ों को फिर से निर्दिष्ट किया जा सकता है) जिससे यह एक लाल-काले ट्री में बदल जाता है। हालाँकि, कुछ डब्ल्यूएवीएल ट्री इस तरह से एवीएल ट्री से नहीं आते हैं और कुछ लाल-काले ट्री इस तरह से डब्ल्यूएवीएल ट्री से नहीं आते हैं।
एवीएल ट्री
एवीएल ट्री एक प्रकार का संतुलित बाइनरी सर्च ट्री है जिसमें प्रत्येक आंतरिक बिन्दु के दो बच्चों की ऊंचाई अधिकतम एक से भिन्न होनी चाहिए।[7] किसी बाहरी बिन्दु की ऊंचाई शून्य है, और किसी भी आंतरिक बिन्दु की ऊंचाई हमेशा उसके दो बच्चों की ऊंचाई से एक प्लस अधिक होती है। इस प्रकार, एवीएल ट्री की ऊंचाई फलन डब्ल्यूएवीएल ट्री की बाधाओं का पालन करती है, और हम प्रत्येक बिन्दु की ऊंचाई को उसके पद के रूप में उपयोग करके किसी भी एवीएल ट्री को डब्ल्यूएवीएल ट्री में परिवर्तित कर सकते हैं।[2][1]
एवीएल ट्री और डब्ल्यूएवीएल ट्री के बीच मुख्य अंतर तब उत्पन्न होता है जब एक बिन्दु में समान पद या ऊंचाई वाले दो चाइल्ड होते हैं। एवीएल ट्री में, यदि एक बिन्दु x के एक ही कद के दो चाइल्ड हैं h एक दूसरे के रूप में, तो की ऊंचाई x बिलकुल होना चाहिए h + 1. इसके विपरीत, डब्ल्यूएवीएल ट्री में, यदि एक node x के एक ही पद के दो चाइल्ड हैं r एक दूसरे के रूप में, फिर की पद x या तो किया जा सकता है r + 1 या r + 2. ऐसा इसलिए है क्योंकि डब्ल्यूएवीएल ट्री में पद पूरी तरह से ऊंचाई के बराबर नहीं है। पद ों में इस अधिक लचीलेपन से संरचनाओं में भी अधिक लचीलापन आता है: कुछ डब्ल्यूएवीएल ट्री को उनके पद ों को संशोधित करके भी एवीएल ट्री में नहीं बनाया जा सकता है, क्योंकि उनमें ऐसे बिन्दु सम्मिलित होते हैं जिनके बच्चों की ऊंचाई एक से अधिक भिन्न होती है।[1]हालाँकि, हम कह सकते हैं कि सभी एवीएल ट्री डब्ल्यूएवीएल ट्री हैं। एवीएल ट्री बिना किसी प्रकार के बिन्दु वाले डब्ल्यूएवीएल ट्री हैं जिनके दोनों बच्चों की पद में अंतर 2 है।[2]
यदि एक डब्ल्यूएवीएल ट्री केवल सम्मिलन संचालन का उपयोग करके बनाया गया है, तो इसकी संरचना समान सम्मिलन अनुक्रम द्वारा बनाए गए एवीएल ट्री की संरचना के समान होगी, और इसकी पद संबंधित एवीएल ट्री की पद के समान होगी। केवल विलोपन कार्यों के माध्यम से ही एक डब्ल्यूएवीएल ट्री एक एवीएल ट्री से भिन्न हो सकता है। विशेष रूप से इसका तात्पर्य यह है कि केवल सम्मिलन के माध्यम से बनाए गए डब्ल्यूएवीएल ट्री की ऊंचाई अधिकतम होती है .[1]
लाल-काले ट्री
लाल-काला ट्री एक संतुलित बाइनरी खोज ट्री है जिसमें प्रत्येक बिन्दु का एक रंग (लाल या काला) होता है, जो निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:
- बाहरी बिन्दु ्स काले हैं.
- यदि कोई आंतरिक बिन्दु लाल है, तो उसके दोनों चाइल्ड काले हैं।
- रूट से बाहरी बिन्दु तक के सभी पथों में समान संख्या में ब्लैक बिन्दु होते हैं।
लाल-काले ट्री को समान रूप से बिन्दु ्स पर संग्रहीत पद ों की एक प्रणाली के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, जो निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करता है (डब्ल्यूएवीएल ट्री में पद ों की आवश्यकताओं से भिन्न):
- बाहरी बिन्दु की पद हमेशा 0 होती है और उसके मूल बिन्दु की पद हमेशा 1 होती है।
- किसी भी गैर-रूट बिन्दु की पद या तो उसके मूल बिन्दु की पद या उसके मूल बिन्दु की पद माइनस 1 के बराबर होती है।
- किसी भी जड़-पत्ती पथ पर लगातार दो किनारों में पद अंतर 0 नहीं होता है।
रंग-आधारित और पद -आधारित परिभाषाओं के बीच समानता को एक दिशा में, एक बिन्दु को काले रंग से देखा जा सकता है यदि उसके मूल की पद अधिक है और लाल रंग से यदि उसके मूल की पद समान है। दूसरी दिशा में, किसी बाहरी बिन्दु के किसी भी पथ पर काले बिन्दु की पद को काले बिन्दु की संख्या के बराबर बनाकर और लाल बिन्दु की पद को उसके मूल बिन्दु के बराबर बनाकर रंगों को पद में परिवर्तित किया जा सकता है।[8] डब्ल्यूएवीएल ट्री में बिन्दु ्स की पद को प्रत्येक पद को दो से विभाजित करके और निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करके, लाल-काले ट्री की आवश्यकताओं का पालन करते हुए, बिन्दु ्स की पद की एक प्रणाली में परिवर्तित किया जा सकता है।[9] इस रूपांतरण के कारण, प्रत्येक डब्ल्यूएवीएल ट्री के लिए समान संरचना वाला एक वैध लाल-काला ट्री मौजूद होता है। क्योंकि लाल-काले ट्री की ऊंचाई सबसे अधिक होती है , डब्ल्यूएवीएल ट्री के लिए भी यही सच है।[2][1]हालाँकि, ऐसे लाल-काले ट्री मौजूद हैं जिन्हें वैध डब्ल्यूएवीएल ट्री पद फलन नहीं दिया जा सकता है।[1]
इस तथ्य के बावजूद कि, अपने ट्री संरचनाओं के संदर्भ में, डब्ल्यूएवीएल ट्री लाल-काले ट्री के विशेष मामले हैं, उनके अद्यतन संचालन अलग-अलग हैं। डब्ल्यूएवीएल ट्री अपडेट ऑपरेशन में उपयोग किए जाने वाले ट्री रोटेशन ऐसे परिवर्तन कर सकते हैं जिन्हें लाल-काले ट्री में अनुमति नहीं दी जाएगी, क्योंकि वे वास्तव में केवल एक ही रंग में परिवर्तन करने के बजाय लाल-काले ट्री के बड़े उप-ट्री ों का रंग बदलने का कारण बनेंगे। ट्री में पथ.[1]यह डब्ल्यूएवीएल ट्री को लाल-काले ट्री की तुलना में, सबसे खराब स्थिति में, प्रति विलोपन कम ट्री रोटेशन करने की अनुमति देता है।[2][1]
संदर्भ
- ↑ 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12 1.13 Haeupler, Bernhard; Sen, Siddhartha; Tarjan, Robert E. (2015), "Rank-balanced trees" (PDF), ACM Transactions on Algorithms, 11 (4): Art. 30, 26, doi:10.1145/2689412, MR 3361215.
- ↑ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto (2015), "4.4 Weak AVL Trees", Algorithm Design and Applications, Wiley, pp. 130–138.
- ↑ Goodrich & Tamassia (2015), Section 2.3 Trees, pp. 68–83.
- ↑ Goodrich & Tamassia (2015), Chapter 3 Binary Search Trees, pp. 89–114.
- ↑ In this we follow Goodrich & Tamassia (2015). In the version described by Haeupler, Sen & Tarjan (2015), the external nodes have rank −1. This variation makes very little difference in the operations of WAVL trees, but it causes some minor changes to the formula for converting WAVL trees to red–black trees.
- ↑ 6.0 6.1 Goodrich & Tamassia (2015), Section 3.1.2 Searching in a Binary Search Tree, pp. 95–96.
- ↑ Goodrich & Tamassia (2015), Section 4.2 AVL Trees, pp. 120–125.
- ↑ Goodrich & Tamassia (2015), Section 4.3 Red–black Trees, pp. 126–129.
- ↑ In Haeupler, Sen & Tarjan (2015) the conversion is done by rounding down, because the ranks of external nodes are −1 rather than 0. Goodrich & Tamassia (2015) give a formula that also rounds down, but because they use rank 0 for external nodes their formula incorrectly assigns red–black rank 0 to internal nodes with WAVL rank 1.
