तुलनीयता (समूह सिद्धांत)

Not to be confused with तुलनीयता (गणित).

गणित में, विशेष रूप से समूह सिद्धांत में, दो समूह तुलनीय होते हैं यदि वे एक सटीक अर्थ में केवल एक सीमित मात्रा में भिन्न होते हैं। एक उपसमूह का अनुरूपक एक अन्य उपसमूह है, जो सामान्यीकरणकर्ता से संबंधित है।

समूह सिद्धांत में अनुरूपता

दो समूह (गणित) जी₁ और जी₂ यदि उपसमूह एच हैं तो इसे (अमूर्त रूप से) तुलनीय कहा जाता है₁ ⊂ जी₁ और वह₂ ⊂ जी₂ परिमित सेट इंडेक्स (समूह सिद्धांत) का ऐसा एच₁ H के लिए समूह समरूपता है₂. उदाहरण के लिए:

• एक समूह तभी सीमित होता है जब वह तुच्छ समूह के अनुरूप हो।
• कम से कम 2 जेनरेटर पर कोई भी दो अंतिम रूप से उत्पन्न मुक्त समूह एक दूसरे के साथ तुलनीय हैं। समूह मॉड्यूलर समूह|SL(2,'Z') भी इन मुक्त समूहों के अनुरूप है।
• जीनस (गणित) के कोई भी दो सतह समूह कम से कम 2 एक दूसरे के अनुरूप हैं।

किसी दिए गए समूह के उपसमूहों के लिए एक अलग लेकिन संबंधित धारणा का उपयोग किया जाता है। अर्थात्, दो उपसमूह Γ₁ और Γ₂ यदि प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) Γ है, तो समूह G को 'अनुरूपणीय' कहा जाता है₁ ∩ सी₂ दोनों Γ में परिमित सूचकांक है₁ और Γ₂. स्पष्ट रूप से इसका तात्पर्य यह है कि Γ₁ और Γ₂ अमूर्त रूप से तुलनीय हैं।

उदाहरण: गैर-शून्य वास्तविक संख्या ए और बी के लिए, 'आर' का उपसमूह, ए द्वारा समूह का सेट उत्पन्न करना, बी द्वारा उत्पन्न उपसमूह के साथ तुलनीय है यदि और केवल यदि वास्तविक संख्या ए और बी तुलनीयता (गणित) हैं, जिसका अर्थ है कि ए /b परिमेय संख्या 'Q' से संबंधित है।

ज्यामितीय समूह सिद्धांत में, एक अंतिम रूप से उत्पन्न समूह को मीट्रिक शब्द का उपयोग करके मीट्रिक स्थान के रूप में देखा जाता है। यदि दो समूह (अमूर्त रूप से) तुलनीय हैं, तो वे अर्ध-आइसोमेट्री|अर्ध-आइसोमेट्रिक हैं। यह पूछना उपयोगी रहा है कि बातचीत कब होती है।

रैखिक बीजगणित में एक समान धारणा है: एक सदिश समष्टि V के दो रैखिक उपस्थान S और T 'अनुरूपणीय' हैं यदि प्रतिच्छेदन S ∩ T का S और T दोनों में परिमित संहिताकरण है।

टोपोलॉजी में

दो पथ-संबंधित टोपोलॉजिकल स्पेस स्थान को कभी-कभी तुलनीय कहा जाता है यदि उनके पास होमियोमोर्फिज्म परिमित-शीट वाले जगह को कवर करना हैं। विचाराधीन स्थान के प्रकार के आधार पर, कोई व्यक्ति परिभाषा में होमोमोर्फिज्म के बजाय होमोटॉपी तुल्यता या भिन्नता का उपयोग करना चाह सकता है। कवरिंग रिक्त स्थान और मौलिक समूह के बीच संबंध के अनुसार, तुलनीय रिक्त स्थान में तुलनीय मौलिक समूह होते हैं।

उदाहरण: गिसेकिंग मैनिफ़ोल्ड आकृति-आठ गाँठ (गणित)|आकृति-आठ गाँठ के पूरक के अनुरूप है; ये दोनों परिमित आयतन के सघन स्थान अतिशयोक्तिपूर्ण 3-मैनिफोल्ड हैं। दूसरी ओर, कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड्स के और गैर-कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड्स के परिमित आयतन के भी अनंत रूप से कई अलग-अलग अनुरूपता वर्ग हैं।

अनुमानक

समूह जी के उपसमूह Γ का अनुरूपक, कॉम को दर्शाता है_G(Γ), G के तत्वों g का समुच्चय है जो इस प्रकार है कि आंतरिक स्वचालितता उपसमूह gΓg है⁻¹ Γ के अनुरूप है। दूसरे शब्दों में,

$\operatorname {Comm} _{G}(\Gamma )=\{g\in G:g\Gamma g^{-1}\cap \Gamma {\text{ has finite index in both }}\Gamma {\text{ and }}g\Gamma g^{-1}\}.$

यह G का एक उपसमूह है जिसमें नॉर्मलाइज़र N शामिल है_G(Γ) (और इसलिए इसमें Γ शामिल है)।

उदाहरण के लिए, SL(n,'R') में विशेष रैखिक समूह SL(n,'Z') के अनुरूपक में SL(n,'Q') होता है। विशेष रूप से, SL(n,'R') में SL(n,'Z') का अनुरूपक SL(n,'R') में सघन सेट है। अधिक आम तौर पर, ग्रिगोरी मार्गुलिस ने दिखाया कि एक अर्धसरल लाई समूह G में एक जाली (असतत उपसमूह) का अनुरूपक G में सघन है यदि और केवल यदि Γ G का एक अंकगणितीय उपसमूह है।

अमूर्त अनुरूपक

किसी समूह का अमूर्त तुल्यकारक $G$, कॉम दर्शाया गया है$(G)$, समरूपता के समतुल्य वर्गों का समूह है $\phi :H\to K$, कहाँ $H$ और $K$ के परिमित सूचकांक उपसमूह हैं $G$, रचना के अंतर्गत. घटक ${\text{Comm}}(G)$ के अनुरूपक कहलाते हैं $G$.

अगर $G$ एक जुड़ा हुआ अर्धसरल लाई समूह है लाई समूह समरूपी नहीं है ${\text{PSL}}_{2}(\mathbb {R} )$, तुच्छ केंद्र के साथ और कोई कॉम्पैक्ट कारक नहीं, फिर मोस्टो कठोरता प्रमेय द्वारा, किसी भी इरेड्यूसेबल जाली (समूह) का अमूर्त अनुरूपक $\Gamma \leq G$ रैखिक है. इसके अलावा, यदि $\Gamma$ अंकगणित है, तो कॉम$(\Gamma )$ के घने उपसमूह के लिए वस्तुतः समरूपी है $G$, अन्यथा कॉम$(\Gamma )$ वस्तुतः समरूपी है $\Gamma$.

संदर्भ

• Druțu, Cornelia; Kapovich, Michael (2018), Geometric Group Theory, American Mathematical Society, ISBN 9781470411046, MR 3753580
• Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003), The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds, Springer Nature, ISBN 0-387-98386-4, MR 1937957
• Margulis, Grigory (1991), Discrete Subgroups of Semisimple Lie Groups, Springer Nature, ISBN 3-540-12179-X, MR 1090825