कॉची समाकलन प्रमेय: Difference between revisions
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गणित में, [[जटिल विश्लेषण]] में '''कॉची समाकलन प्रमेय''' (जिसे कॉची-गॉरसैट प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है), जिसका नाम [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] (और एडौर्ड गौरसैट) के नाम पर रखा गया है, [[जटिल संख्या]] में [[होलोमोर्फिक फ़ंक्शन|होलोमोर्फिक फलन]] के लिए [[लाइन इंटीग्रल|रेखीय समाकलन]] के बारे में एक महत्वपूर्ण कथन है। मूलतः यह कहता है कि यदि <math>f(z)</math> किसी सरल रूप से जुड़े डोमेन Ω में होलोमोर्फिक है, फिर किसी भी सरल रूप से बंद परिरेखा के लिए Ω में <math>C</math> , वह परिरेखा समाकलन शून्य है। | गणित में, [[जटिल विश्लेषण]] में '''कॉची समाकलन प्रमेय''' (जिसे कॉची-गॉरसैट प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है), जिसका नाम [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] (और एडौर्ड गौरसैट) के नाम पर रखा गया है, [[जटिल संख्या]] में [[होलोमोर्फिक फ़ंक्शन|होलोमोर्फिक फलन]] के लिए [[लाइन इंटीग्रल|रेखीय समाकलन]] के बारे में एक महत्वपूर्ण कथन है। मूलतः यह कहता है कि यदि <math>f(z)</math> किसी सरल रूप से जुड़े डोमेन(क्षेत्र) Ω में होलोमोर्फिक है, फिर किसी भी सरल रूप से बंद परिरेखा के लिए Ω में <math>C</math> , वह परिरेखा समाकलन शून्य है। | ||
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जो | जो इकाई वृत्त का पता लगाता है। यहाँ निम्नलिखित समाकलन है: | ||
<math display="block">\int_{\gamma} \frac{1}{z}\,dz = 2\pi i \neq 0 , </math> | <math display="block">\int_{\gamma} \frac{1}{z}\,dz = 2\pi i \neq 0 , </math> | ||
शून्येतर है. कॉची समाकलन प्रमेय यहां लागू नहीं होता है <math>f(z) = 1/z</math> पर परिभाषित नहीं है <math>z = 0</math>. सहजता से, <math>\gamma</math> के डोमेन में | शून्येतर है. कॉची समाकलन प्रमेय यहां लागू नहीं होता है <math>f(z) = 1/z</math> पर परिभाषित नहीं है <math>z = 0</math>. सहजता से, <math>\gamma</math> के डोमेन में ख़ाली स्थान <math>f</math> को घेर लेता है , इसलिए <math>\gamma</math> स्थान से बाहर निकले बिना किसी बिंदु तक सिमट नहीं जा सकता। इस प्रकार, प्रमेय लागू नहीं होता है। | ||
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Revision as of 10:20, 24 July 2023
Mathematical analysis → Complex analysis |
Complex analysis |
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Complex numbers |
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गणित में, जटिल विश्लेषण में कॉची समाकलन प्रमेय (जिसे कॉची-गॉरसैट प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है), जिसका नाम ऑगस्टिन-लुई कॉची (और एडौर्ड गौरसैट) के नाम पर रखा गया है, जटिल संख्या में होलोमोर्फिक फलन के लिए रेखीय समाकलन के बारे में एक महत्वपूर्ण कथन है। मूलतः यह कहता है कि यदि किसी सरल रूप से जुड़े डोमेन(क्षेत्र) Ω में होलोमोर्फिक है, फिर किसी भी सरल रूप से बंद परिरेखा के लिए Ω में , वह परिरेखा समाकलन शून्य है।
कथन
जटिल रेखा समाकलनों के लिए मौलिक प्रमेय
अगर f(z) एक अनावृत डोमेन U पर होलोमोर्फिक फलन है, और U में से एक वक्र है तब,
सरलता से जुड़े डोमेनों पर सूत्रीकरण
माना की एक सरल रूप से संयोजित अनावृत समुच्चय हो, और माना की एक होलोमोर्फिक फलन हैं। माना की एक चिकना बंद वक्र हैं। तब
(अनुबंध यह है कि संयोजित रहने का तात्पर्य है में कोई ख़ाली स्थान नहीं है, या दूसरे शब्दों में, तो का यह मूल समूह नगण्य है)
सामान्य सूत्रीकरण
माना की एक अनावृत समुच्चय है, और माना की एक होलोमोर्फिक फलन हैं। माना की एक चिकना बंद वक्र हैं। अगर एक स्थिर वक्र की समरूपता है, तो,
मुख्य उदाहरण
दोनों ही स्थितियों में, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि वक्र डोमेन में कोई ख़ाली स्थान नहीं घेरता है, अन्यथा प्रमेय लागू नहीं होता है। एक प्रसिद्ध उदाहरण निम्नलिखित वक्र है
चर्चा
जैसा कि एडौर्ड गौरसैट ने दिखाया, कॉची के समाकलन प्रमेय को केवल यह मानते हुए सिद्ध किया जा सकता है कि जटिल व्युत्पन्न में प्रत्येक जगह उपस्थित है . यह महत्वपूर्ण है क्योंकि तब कोई इन कार्यों के लिए कॉची के समाकलन सूत्र को सिद्ध कर सकता है, और उससे यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि ये कार्य असीम रूप से अवकल हैं।
अनुबंध यह है कि बस जुड़े रहने का तात्पर्य है की में कोई ख़ाली स्थान नहीं है या, समरूप शब्दों में, इसका मूल समूह नगण्य है; उदाहरण के लिए, प्रत्येक खुली डिस्क , के लिए , अर्हता प्राप्त करता है। स्थिति महत्वपूर्ण विचार करना
कॉची समाकलन प्रमेय कॉची के समाकलन सूत्र और रेसिडुए(परिशिष्ट) प्रमेय की ओर ले जाता है।
प्रमाण
यदि कोई मानता है कि होलोमोर्फिक फलन के आंशिक व्युत्पन्न निरंतर हैं, तो कॉची समाकलन प्रमेय को ग्रीन के प्रमेय के प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में सिद्ध किया जा सकता है और यह तथ्य कि वास्तविक और काल्पनिक भाग से घिरे डोमेन में और इसके अलावा इस क्षेत्र के अनावृत आसपास U में कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करना होगा। कॉची ने यह प्रमाण प्रदान किया, लेकिन बाद में इसे वेक्टर कैलकुलस, या आंशिक व्युत्पन्न (शब्द) की निरंतरता की तकनीकों की आवश्यकता के बिना गौरसैट द्वारा सिद्ध किया गया।
हम एकीकृत को साथ ही अवकल को भी उनके वास्तविक और काल्पनिक घटकों में रोक सकते हैं
यह भी देखें
- मोरेरा का प्रमेय
- परिरेखा एकीकरण के प्रयोग
- स्टार डोमेन
संदर्भ
- ↑ Walsh, J. L. (1933-05-01). "रेक्टिफ़िएबल जॉर्डन कर्व्स के लिए कॉची-गॉरसैट प्रमेय". Proceedings of the National Academy of Sciences. 19 (5): 540–541. doi:10.1073/pnas.19.5.540. ISSN 0027-8424. PMC 1086062. PMID 16587781.
- Kodaira, Kunihiko (2007), Complex Analysis, Cambridge Stud. Adv. Math., 107, CUP, ISBN 978-0-521-80937-5
- Ahlfors, Lars (2000), Complex Analysis, McGraw-Hill series in Mathematics, McGraw-Hill, ISBN 0-07-000657-1
- Lang, Serge (2003), Complex Analysis, Springer Verlag GTM, Springer Verlag
- Rudin, Walter (2000), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill series in mathematics, McGraw-Hill
बाहरी संबंध
- "Cauchy integral theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Cauchy Integral Theorem". MathWorld.
- Jeremy Orloff, 18.04 Complex Variables with Applications Spring 2018 Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare Creative Commons.