केंद्रीय द्विपद गुणांक: Difference between revisions

Revision as of 13:09, 21 July 2023

पास्कल का त्रिकोण, पंक्तियाँ 0 से 7. केंद्रीय स्तंभ में संख्याएँ केंद्रीय द्विपद गुणांक हैं।

गणित में nवां 'केंद्रीय द्विपद गुणांक' विशेष द्विपद गुणांक है

{2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\frac {n+k}{k}}{\text{ for all }}n\geq 0.

उन्हें केंद्रीय कहा जाता है क्योंकि वे पास्कल के त्रिभुज में सम-संख्या वाली पंक्तियों के ठीक बीच में दिखाई देते हैं। n = 0 से शुरू होने वाले पहले कुछ केंद्रीय द्विपद गुणांक हैं:

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, ...; (sequence A000984 in the OEIS)

संयुक्त व्याख्याएँ और अन्य गुण

केंद्रीय द्विपद गुणांक ${\binom {2n}{n}}$ व्यवस्थाओं की संख्या है जहां दो प्रकार की वस्तुएं समान संख्या में होती हैं। उदाहरण के लिए, जब $n=2$ , द्विपद गुणांक ${\binom {2\cdot 2}{2}}$ 6 के बराबर है, और A की दो प्रतियों और B की दो प्रतियों की छह व्यवस्थाएँ हैं: AABB, ABAB, ABBA, BAAB, BABA, BBAA।

वही केंद्रीय द्विपद गुणांक ${\binom {2n}{n}}$ A और B से बनी लंबाई 2n के शब्दों की संख्या भी है जहां किसी भी बिंदु पर बाएं से दाएं पढ़ने पर A से अधिक B कभी नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, जब $n=2$ , लंबाई 4 के छह शब्द हैं जिनमें प्रत्येक उपसर्ग में कम से कम में कम से कम A की B जितनी प्रतियां हैं: AAAA, AAAB, AABA, AABB, ABAA, ABAB।

2 इंच के गुणनखंडों की संख्या ${\binom {2n}{n}}$ n के द्विआधारी प्रतिनिधित्व में 1s की संख्या के बराबर है।^[1] परिणामस्वरूप, 1 एकमात्र विषम केंद्रीय द्विपद गुणांक है।

कार्य उत्पन्न करना

केंद्रीय द्विपद गुणांक के लिए सामान्य जनक फलन है

{\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .

इसे द्विपद श्रृंखला और संबंध का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है

{\binom {2n}{n}}=(-1)^{n}4^{n}{\binom {-1/2}{n}},

जहाँ

\textstyle {\binom {-1/2}{n}}

एक सामान्यीकृत द्विपद गुणांक है।

केंद्रीय द्विपद गुणांक में घातीय जनक कार्य होता है^[2]

\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{2x}I_{0}(2x),

जहां I₀ पहली तरह का एक संशोधित बेसेल फलन है।^[3]

केंद्रीय द्विपद गुणांकों के वर्गों का जनक फलन पहले प्रकार के पूर्ण अण्डाकार समाकलन के संदर्भ में लिखा जा सकता है:^{[citation needed]}

\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}^{2}x^{n}={\frac {4}{\pi (1+{\sqrt {1-16x}})}}K\left({\frac {1-{\sqrt {1-16x}}}{1+{\sqrt {1-16x}}}}\right).

स्पर्शोन्मुख वृद्धि

सरल सीमाएँ जो तुरंत अनुसरण करती हैं $4^{n}=(1+1)^{2n}=\sum _{k=0}^{2n}{\binom {2n}{k}}$

{\frac {4^{n}}{2n+1}}\leq {2n \choose n}\leq 4^{n}{\text{ for all }}n\geq 0

है।

स्पर्शोन्मुख व्यवहार को और भी अधिक सटीक रूप से वर्णित किया जा सकता है:

{2n \choose n}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}.

इसे वालिस उत्पाद में हेरफेर करके या स्टर्लिंग के सूत्र के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है।^{[citation needed]}

अन्य जानकारी

केंद्रीय द्विपद गुणांक का आधा $\textstyle {\frac {1}{2}}{2n \choose n}={2n-1 \choose n-1}$ (के लिए $n>0$ ) (sequence A001700 in the OEIS) वोल्स्टेनहोल्म के प्रमेय में देखा जाता है।

एर्दो के वर्गमुक्त अनुमान के अनुसार, 1996 में साबित हुआ, n > 4 वाला कोई भी केंद्रीय द्विपद गुणांक वर्गमुक्त नहीं है।

$\textstyle {\binom {2n}{n}}$ पास्कल त्रिभुज की nवीं पंक्ति के वर्गों का योग है:^[3]

{2n \choose n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}

उदाहरण के लिए, ${\tbinom {6}{3}}=20=1^{2}+3^{2}+3^{2}+1^{2}$ .

एर्दोज़ ने बर्ट्रेंड की अभिधारणा के प्रमाण में केंद्रीय द्विपद गुणांकों का बड़े स्तर पर पर उपयोग किया है।

एक और उल्लेखनीय तथ्य यह है कि 2 को विभाजित करने की शक्ति $(n+1)\dots (2n)$ बिलकुल $n$ है।

यह भी देखें

केंद्रीय त्रिपद गुणांक

संदर्भ

↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A000120". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
↑ Stanley, Richard P. (2012), Enumerative Combinatorics, vol. 1 (2 ed.), Cambridge University Press, Example 1.1.15, ISBN 978-1-107-60262-5
↑ ^3.0 ^3.1 Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A000984 (Central binomial coefficients)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

Koshy, Thomas (2008), Catalan Numbers with Applications, Oxford University Press, ISBN 978-0-19533-454-8.

बाहरी संबंध

Central binomial coefficient at PlanetMath.

[1] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A000120". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[2] Stanley, Richard P. (2012), Enumerative Combinatorics, vol. 1 (2 ed.), Cambridge University Press, Example 1.1.15, ISBN 978-1-107-60262-5

[Sloanes-3] 3.0 ^3.1 Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A000984 (Central binomial coefficients)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[1]

[2]

[3]

@@ Line 12: / Line 12: @@
 केंद्रीय द्विपद गुणांक <math>\binom{2n}{n}</math> व्यवस्थाओं की संख्या है जहां दो प्रकार की वस्तुएं समान संख्या में होती हैं। उदाहरण के लिए, जब <math>n=2</math>, द्विपद गुणांक <math>\binom{2 \cdot 2}{2}</math> 6 के बराबर है, और A की दो प्रतियों और B की दो प्रतियों की छह व्यवस्थाएँ हैं: AABB, ABAB, ABBA, BAAB, BABA, BBAA।
-वही केंद्रीय द्विपद गुणांक <math>\binom{2n}{n}</math> ए और बी से बनी लंबाई 2एन के शब्दों की संख्या भी है जहां कभी भी अधिक बी नहीं होते हैं{{'s}}ए से{{'s}} किसी भी बिंदु पर जब कोई बाएं से दाएं पढ़ता है। उदाहरण के लिए, जब <math>n=2</math>, लंबाई 4 के छह शब्द हैं जिनमें प्रत्येक उपसर्ग में कम से कम A की उतनी ही प्रतियां हैं जितनी B की: AAAA, AAAB, AABA, AABB, ABAA, ABAB।
+वही केंद्रीय द्विपद गुणांक <math>\binom{2n}{n}</math> A और B से बनी लंबाई 2n के शब्दों की संख्या भी है जहां किसी भी बिंदु पर बाएं से दाएं पढ़ने पर A से अधिक B कभी नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, जब <math>n=2</math>, लंबाई 4 के छह शब्द हैं जिनमें प्रत्येक उपसर्ग में कम से कम में कम से कम A की B जितनी प्रतियां हैं: AAAA, AAAB, AABA, AABB, ABAA, ABAB।
-इंच के गुणनखंडों की संख्या <math>\binom{2n}{n}</math> n के द्विआधारी संख्या प्रतिनिधित्व में 1s की संख्या के बराबर है।<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A000120}}</ref> परिणामस्वरूप, 1 एकमात्र विषम केंद्रीय द्विपद गुणांक है।
+इंच के गुणनखंडों की संख्या <math>\binom{2n}{n}</math> n के द्विआधारी  प्रतिनिधित्व में 1s की संख्या के बराबर है।<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A000120}}</ref> परिणामस्वरूप, 1 एकमात्र विषम केंद्रीय द्विपद गुणांक है।
 ==कार्य उत्पन्न करना==
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 <math display="block">\frac{1}{\sqrt{1-4x}} = \sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n} x^n = 1 + 2x + 6x^2 + 20x^3 + 70x^4 + 252x^5 + \cdots.</math>
 इसे [[द्विपद श्रृंखला]] और संबंध का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है
-<math display="block">\binom{2n}{n} = (-1)^n 4^n \binom{-1/2}{n}, </math>
+<math display="block">\binom{2n}{n} = (-1)^n 4^n \binom{-1/2}{n}, </math>जहाँ <math>\textstyle\binom{-1/2}{n}</math>एक सामान्यीकृत द्विपद गुणांक है।
-कहाँ <math>\textstyle\binom{-1/2}{n}</math> एक द्विपद_गुणांक#सामान्यीकरण_और_द्विपद_श्रृंखला_से_कनेक्शन_है।<ref>{{citation | last = Stanley | first = Richard P. | authorlink = Richard P. Stanley | title = Enumerative Combinatorics | volume = 1 | edition = 2 | at = Example 1.1.15 | publisher = Cambridge University Press | year = 2012 | isbn = 978-1-107-60262-5}}</ref>
-केंद्रीय द्विपद गुणांक में घातीय जनक कार्य होता है
+केंद्रीय द्विपद गुणांक में घातीय जनक कार्य होता है<ref>{{citation | last = Stanley | first = Richard P. | authorlink = Richard P. Stanley | title = Enumerative Combinatorics | volume = 1 | edition = 2 | at = Example 1.1.15 | publisher = Cambridge University Press | year = 2012 | isbn = 978-1-107-60262-5}}</ref><math display="block"> \sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n}\frac{x^n}{n!} = e^{2x} I_0(2x), </math>जहां I<sub>0</sub> पहली तरह का एक संशोधित बेसेल फलन है।<ref name="Sloanes">{{Cite OEIS|sequencenumber=A000984|name=Central binomial coefficients}}</ref>
-<math display="block"> \sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n}\frac{x^n}{n!} = e^{2x} I_0(2x), </math>
-जहां मैं<sub>0</sub> एक [[बेसेल फ़ंक्शन]] है।<ref name=Sloanes>{{Cite OEIS|sequencenumber=A000984|name=Central binomial coefficients}}</ref>
 केंद्रीय द्विपद गुणांकों के वर्गों का जनक फलन पहले प्रकार के पूर्ण अण्डाकार समाकलन के संदर्भ में लिखा जा सकता है:{{cn|date=December 2021}}
 :<math>\sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n}^2 x^{n} = \frac{4}{\pi(1 + \sqrt{1 - 16x})} K\left(\frac{1 - \sqrt{1 - 16x}}{1 + \sqrt{1 - 16x}}\right).</math>
+==स्पर्शोन्मुख वृद्धि==
+सरल सीमाएँ जो तुरंत अनुसरण करती हैं <math>4^n=(1+1)^{2n}= \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k}</math>
+<math display="block">\frac{4^n}{2n+1} \leq {2n \choose n} \leq 4^n\text{ for all }n \geq 0 </math> है।
-==स्पर्शोन्मुख वृद्धि==
+[[स्पर्शोन्मुख विश्लेषण|स्पर्शोन्मुख]] व्यवहार को और भी अधिक सटीक रूप से वर्णित किया जा सकता है:
-सरल सीमाएँ जो तुरंत अनुसरण करती हैं <math>4^n=(1+1)^{2n}= \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k}</math> हैं{{cn|date=April 2023}}
-<math display="block">\frac{4^n}{2n+1} \leq {2n \choose n} \leq 4^n\text{ for all }n \geq 0.</math>
-[[स्पर्शोन्मुख विश्लेषण]] व्यवहार को और भी अधिक सटीक रूप से वर्णित किया जा सकता है:
 <math display="block"> {2n \choose n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}.</math>
 इसे [[वालिस उत्पाद]] में हेरफेर करके या स्टर्लिंग के सूत्र के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है।{{cn|date=April 2023}}
 ==संबंधित क्रम==
-निकट से संबंधित [[कैटलन संख्या]] सी<sub>''n''</sub> द्वारा दिए गए हैं:
+निकट से संबंधित [[कैटलन संख्या]] C<sub>''n''</sub> द्वारा दी गई है:
 :<math>C_n = \frac{1}{n+1} {2n \choose n} = {2n \choose n} -
          {2n \choose n+1}\text{ for all }n \geq 0.</math>
-केंद्रीय द्विपद गुणांकों का एक छोटा सा सामान्यीकरण उन्हें इस रूप में लेना है
+केंद्रीय द्विपद गुणांकों का एक छोटा सा सामान्यीकरण उन्हें <math> \frac{\Gamma(2n+1)}{\Gamma(n+1)^2}=\frac{1}{n \Beta(n+1,n)}</math> के रूप में लेना है उपयुक्त वास्तविक संख्या n के साथ, जहाँ <math>\Gamma(x)</math> [[गामा फ़ंक्शन|गामा फलन]] है और <math>\Beta(x,y)</math> [[बीटा फ़ंक्शन|बीटा फलन]] है.
-<math> \frac{\Gamma(2n+1)}{\Gamma(n+1)^2}=\frac{1}{n \Beta(n+1,n)}</math>, उपयुक्त वास्तविक संख्या n के साथ, कहाँ <math>\Gamma(x)</math> [[गामा फ़ंक्शन]] है और <math>\Beta(x,y)</math> [[बीटा फ़ंक्शन]] है.
 केंद्रीय द्विपद गुणांक को विभाजित करने वाले [[दो की शक्ति]] गोल्ड के अनुक्रम द्वारा दी गई है, जिसका nवां तत्व पास्कल के त्रिकोण की पंक्ति n में विषम पूर्णांकों की संख्या है।
-जनरेटिंग फ़ंक्शन का वर्ग करने से प्राप्त होता है
+उत्पन्न  फलन का वर्ग करने से प्राप्त होता है
 :<math>\frac{1}{1-4x} = \sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n} x^n \sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n} x^n</math>
-के गुणांकों की तुलना करना <math>x^n</math> देता है
+<math>x^n</math> के गुणांकों की तुलना करने देता है
 :<math>\sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}\binom{2n-2k}{n-k} = 4^n</math>
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 केंद्रीय द्विपद गुणांक का आधा <math>\textstyle\frac12{2n \choose n} = {2n-1 \choose n-1}</math> (के लिए <math>n>0</math>) {{OEIS|id=A001700}} वोल्स्टेनहोल्म के प्रमेय में देखा जाता है।
-एर्दो के वर्गमुक्त अनुमान के अनुसार, 1996 में साबित हुआ, n > 4 वाला कोई भी केंद्रीय द्विपद गुणांक [[वर्गमुक्त पूर्णांक]] नहीं है।
+एर्दो के वर्गमुक्त अनुमान के अनुसार, 1996 में साबित हुआ, n > 4 वाला कोई भी केंद्रीय द्विपद गुणांक [[वर्गमुक्त पूर्णांक|वर्गमुक्त]] नहीं है।
 <math>\textstyle \binom{2n}{n}</math> पास्कल त्रिभुज की nवीं पंक्ति के वर्गों का योग है:<ref name=Sloanes/>
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 उदाहरण के लिए, <math>\tbinom{6}{3}=20=1^2+3^2+3^2+1^2</math>.
-एर्दोज़ ने बर्ट्रेंड की अभिधारणा के प्रमाण में केंद्रीय द्विपद गुणांकों का बड़े पैमाने पर उपयोग किया है।
+एर्दोज़ ने बर्ट्रेंड की अभिधारणा के प्रमाण में केंद्रीय द्विपद गुणांकों का बड़े स्तर पर पर उपयोग किया है।
-एक और उल्लेखनीय तथ्य यह है कि 2 को विभाजित करने की शक्ति <math>(n+1)\dots(2n)</math> बिलकुल है {{mvar|n}}.
+एक और उल्लेखनीय तथ्य यह है कि 2 को विभाजित करने की शक्ति <math>(n+1)\dots(2n)</math> बिलकुल {{mvar|n}} है।
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