अनंत विभाज्यता (संभावना): Difference between revisions

Revision as of 21:31, 18 July 2023

संभाव्यता सिद्धांत में, एक संभाव्यता वितरण अनंत रूप से विभाज्य होता है यदि इसे स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर (i.i.d.) यादृच्छिक चर की मनमानी संख्या के योग की संभाव्यता वितरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। किसी भी अपरिमित रूप से विभाज्य वितरण के कैरेक्टेरिस्टिक फलन (अभिलक्षणिक फलन) ) को तब अपरिमित रूप से विभाज्य कैरेक्टेरिस्टिक फलन कहा जाता है।^[1]

अधिक सख्ती से, संभाव्यता वितरण F अपरिमित रूप से विभाज्य है यदि, प्रत्येक घनात्मक पूर्णांक n के लिए, n i.i.d उपस्थित है। यादृच्छिक चर X_n1, ..., X_nn जिसका योग S_n = X_n1 +… + X_nn समान वितरण F है।

संभाव्यता वितरण की अपरिमित रूप से विभाज्य की अवधारणा 1929 में ब्रूनो डी फिनेची द्वारा पेश की गई थी। इस प्रकार के विघटित वितरण का उपयोग संभाव्यता और सांख्यिकी में संभाव्यता वितरण के समूहों को खोजने के लिए किया जाता है जो कुछ मॉडलों या अनुप्रयोगों के लिए प्राकृतिक विकल्प हो सकते हैं। सीमा प्रमेय के संदर्भ में अपरिमित विभाज्य वितरण संभाव्यता सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।^[1]

उदाहरण

निरंतर वितरण के उदाहरण जो अनंत रूप से विभाज्य हैं वे हैं सामान्य वितरण, कॉची वितरण, लेवी वितरण, और स्थिर वितरण समूह के अन्य सभी सदस्य, साथ ही गामा वितरण, ची-स्क्वायर वितरण, वाल्ड वितरण, लॉग -सामान्य वितरण^[2] और विद्यार्थी का टी-वितरण।

असतत वितरणों में, उदाहरण पॉइसन वितरण और ऋणात्मक द्विपद वितरण (और इसलिए ज्यामितीय वितरण भी) हैं। एक-बिंदु वितरण जिसका एकमात्र संभावित परिणाम 0 है, वह भी (बिना प्रयास किये) अपरिमित रूप से विभाज्य है।

समान वितरण (निरंतर) और द्विपद वितरण अपरिमित रूप से विभाज्य नहीं हैं, न ही ऊपर उल्लिखित एक-बिंदु वितरण के अलावा, बंधे हुए समर्थन (गणित) (≈ किसी फलन का परिमित आकार का डोमेन) के साथ कोई अन्य वितरण हैं।^[3] एक छात्र के टी-वितरण वाले यादृच्छिक चर के गुणक व्युत्क्रम का वितरण भी अपरिमित रूप से विभाज्य नहीं है।^[4]

कोई भी यौगिक पॉइसन वितरण अपरिमित रूप से विभाज्य है; यह परिभाषा से तुरंत अनुसरण करता है।

सीमा प्रमेय

केंद्रीय सीमा प्रमेय के व्यापक सामान्यीकरण में अपरिमित रूप से विभाज्य वितरण दिखाई देते हैं: योग S के n → +∞ के रूप में सीमा S_n = X_n1 +… + X_nn त्रिकोणीय सरणी के भीतर सांख्यिकीय स्वतंत्रता समान रूप से स्पर्शोन्मुख रूप से नगण्य (यू.ए.एन) .यादृच्छिक चर

{\begin{array}{cccc}X_{11}\\X_{21}&X_{22}\\X_{31}&X_{32}&X_{33}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}

दृष्टिकोण - वितरण में अभिसरण में - एक अपरिमित रूप से विभाज्य वितरण। समान रूप से स्पर्शोन्मुख रूप से नगण्य (यू.ए.एन.) स्थिति द्वारा दी गई है

\lim _{n\to \infty }\,\max _{1\leq k\leq n}\;P(\left|X_{nk}\right|>\varepsilon )=0{\text{ for every }}\varepsilon >0.

इस प्रकार, उदाहरण के लिए, यदि समान असममित नगण्यता (यू.ए.एन) की स्थिति परिमित विचरण के साथ समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के उचित स्केलिंग के माध्यम से संतुष्ट होती है, तो अशक्त अभिसरण केंद्रीय सीमा प्रमेय के शास्त्रीय संस्करण में सामान्य वितरण के लिए है। अधिक सामान्यतः यदि यू.ए.एन. स्थिति को समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर (जरूरी नहीं कि सीमित दूसरे क्षण के साथ) के स्केलिंग के माध्यम से संतुष्ट किया जाता है, तो अशक्त अभिसरण एक स्थिर वितरण के लिए होता है। दूसरी ओर, स्वतंत्र (अनस्केल्ड) बर्नौली वितरण की त्रिकोणीय सरणी के लिए जहां यू.ए.एन. के माध्यम से शर्त संतुष्ट है

\lim _{n\rightarrow \infty }np_{n}=\lambda ,

योग का अशक्त अभिसरण माध्य λ के साथ पॉइसन वितरण के लिए है जैसा कि पॉइसन सीमा प्रमेय के परिचित प्रमाण द्वारा दिखाया गया है।

लेवी प्रक्रिया

प्रत्येक अपरिमित रूप से विभाज्य संभाव्यता वितरण स्वाभाविक रूप से लेवी प्रक्रिया से मेल खाता है। लेवी प्रक्रिया एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है {L_t: t ≥ 0 } स्थिर वेतन वृद्धि के साथ स्वतंत्र वेतन वृद्धि, जहां स्थिर का तात्पर्य है कि s < t के लिए, L_t − L_s की संभाव्यता वितरण केवल t − s पर निर्भर करता है और जहां स्वतंत्र वृद्धि का तात्पर्य है कि अंतर L_t − L_s [s,t] के साथ ओवरलैप नहीं होने वाले किसी भी अंतराल पर संबंधित अंतर की सांख्यिकीय स्वतंत्रता है, और इसी तरह पारस्परिक रूप से गैर-अतिव्यापी अंतराल की किसी भी सीमित संख्या के लिए।

यदि {L_t: t ≥ 0 } एक लेवी प्रक्रिया है, तो किसी भी t ≥ 0 के लिए, यादृच्छिक चर L_t अपरिमित रूप से विभाज्य होगा: किसी भी n के लिए, हम चुन सकते हैं (X_n1, X_n2, …, X_nn) = (L_t/n − L₀, L_2t/n − L_t/n, …, L_t − L_(n−1)t/n). इसी प्रकार, L_t − L_s किसी भी s < t के लिए अपरिमित रूप से विभाज्य है।

दूसरी ओर, यदि F एक अपरिमित रूप से विभाज्य वितरण है, तो हम एक लेवी प्रक्रिया {L _t: t ≥ 0 } का निर्माण इससे कर सकते हैंl किसी भी अंतराल [s,t] के लिए जहां t − s > 0 एक परिमेय संख्या p/q के बराबर है, हम L को परिभाषित कर सकते हैं L_t − L_s के समान वितरण होना X_q1 + X_q2 +… + X_qp. t − s > 0 के अपरिमेय संख्या मानों को निरंतरता तर्क के माध्यम से नियंत्रित किया जाता है।

योगात्मक प्रक्रिया

एक योगात्मक प्रक्रिया $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ (एक उनींदा , कंटीन्यूअस_स्टोकेस्टिक_प्रोसेस#कंटीन्युटी_इन_प्रोबेबिलिटी स्वतंत्र वेतन वृद्धि के साथ स्टोकेस्टिक प्रक्रिया) में किसी के लिए अपरिमित रूप से विभाज्य वितरण होता है $t\geq 0$ . मान लीजिये $\{\mu _{t}\}_{t\geq 0}$ इसका अपरिमित रूप से विभाज्य वितरणों का समूह हो।

$\{\mu _{t}\}_{t\geq 0}$ निरंतरता और एकरसता की कई शर्तों को पूरा करता है। इसके अलावा , यदि अपरिमित रूप से विभाज्य वितरण का एक समूह है $\{\mu _{t}\}_{t\geq 0}$ इन निरंतरता और एकरसता स्थितियों को संतुष्ट करता है, वहाँ (नियम में विशिष्ट रूप से) एक योगात्मक प्रक्रिया उपस्थित है $\{\mu _{t}\}_{t\geq 0}$ इस वितरण के साथ. ^[5]

यह भी देखें

क्रैमर का अपघटन प्रमेय क्रैमर का प्रमेय
अविघटनीय वितरण
यौगिक पॉइसन वितरण

फ़ुटनोट

↑ ^1.0 ^1.1 Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions, Griffin , London. p. 107
↑ Thorin, Olof (1977). "लघुगणक वितरण की अनंत विभाज्यता पर". Scandinavian Actuarial Journal. 1977 (3): 121–148. doi:10.1080/03461238.1977.10405635. ISSN 0346-1238.
↑ Sato, Ken-iti (1999). Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions. Cambridge University Press. p. 31, 148. ISBN 978-0-521-55302-5.
↑ Johnson, N.L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1995). सतत् अविभाज्य वितरण (2nd ed.). Wiley. volume 2, chapter 28, page 368. ISBN 0-471-58494-0.
↑ Sato, Ken-Ito (1999). Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge University Press. pp. 31–68. ISBN 9780521553025.

संदर्भ

Domínguez-Molina, J.A.; Rocha-Arteaga, A. (2007) "On the Infinite Divisibility of some Skewed Symmetric Distributions". Statistics and Probability Letters, 77 (6), 644–648 doi:10.1016/j.spl.2006.09.014
Steutel, F. W. (1979), "Infinite Divisibility in Theory and Practice" (with discussion), Scandinavian Journal of Statistics. 6, 57–64.
Steutel, F. W. and Van Harn, K. (2003), Infinite Divisibility of Probability Distributions on the Real Line (Marcel Dekker).

[Lukacs-1] 1.0 ^1.1 Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions, Griffin , London. p. 107

[OlofThorin1978LNInfDivi-2] Thorin, Olof (1977). "लघुगणक वितरण की अनंत विभाज्यता पर". Scandinavian Actuarial Journal. 1977 (3): 121–148. doi:10.1080/03461238.1977.10405635. ISSN 0346-1238.

[3] Sato, Ken-iti (1999). Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions. Cambridge University Press. p. 31, 148. ISBN 978-0-521-55302-5.

[4] Johnson, N.L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1995). सतत् अविभाज्य वितरण (2nd ed.). Wiley. volume 2, chapter 28, page 368. ISBN 0-471-58494-0.

[5] Sato, Ken-Ito (1999). Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge University Press. pp. 31–68. ISBN 9780521553025.

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[4]

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 असतत वितरणों में, उदाहरण पॉइसन वितरण और ऋणात्मक [[द्विपद वितरण]] (और इसलिए [[ज्यामितीय वितरण]] भी) हैं। [[एक-बिंदु वितरण]] जिसका एकमात्र संभावित परिणाम 0 है, वह भी (बिना प्रयास किये) अपरिमित रूप से विभाज्य है।
-[[समान वितरण (निरंतर)]] और द्विपद वितरण अपरिमित रूप से विभाज्य नहीं हैं, न ही ऊपर उल्लिखित एक-बिंदु वितरण के अलावा, बंधे हुए [[समर्थन (गणित)]] (≈ किसी फ़ंक्शन का परिमित आकार का डोमेन) के साथ कोई अन्य वितरण हैं।<ref>{{cite book |author=Sato, Ken-iti |year=1999 |title=Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions |page=31, 148 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-55302-5}}</ref> एक छात्र के टी-वितरण वाले यादृच्छिक चर के गुणक व्युत्क्रम का वितरण भी अपरिमित रूप से विभाज्य नहीं है।<ref>{{cite book |author1=Johnson, N.L. |author2=Kotz, S. |author3=Balakrishnan, N. |year=1995 |title=सतत् अविभाज्य वितरण|edition=2nd |publisher=Wiley |ISBN=0-471-58494-0 |at=volume&nbsp;2, chapter&nbsp;28, page&nbsp;368}}</ref>
+[[समान वितरण (निरंतर)]] और द्विपद वितरण अपरिमित रूप से विभाज्य नहीं हैं, न ही ऊपर उल्लिखित एक-बिंदु वितरण के अलावा, बंधे हुए [[समर्थन (गणित)]] (≈ किसी फलन का परिमित आकार का डोमेन) के साथ कोई अन्य वितरण हैं।<ref>{{cite book |author=Sato, Ken-iti |year=1999 |title=Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions |page=31, 148 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-55302-5}}</ref> एक छात्र के टी-वितरण वाले यादृच्छिक चर के गुणक व्युत्क्रम का वितरण भी अपरिमित रूप से विभाज्य नहीं है।<ref>{{cite book |author1=Johnson, N.L. |author2=Kotz, S. |author3=Balakrishnan, N. |year=1995 |title=सतत् अविभाज्य वितरण|edition=2nd |publisher=Wiley |ISBN=0-471-58494-0 |at=volume&nbsp;2, chapter&nbsp;28, page&nbsp;368}}</ref>
 कोई भी [[यौगिक पॉइसन वितरण]] अपरिमित रूप से विभाज्य है; यह परिभाषा से तुरंत अनुसरण करता है।
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 : <math>\lim_{n\to\infty} \, \max_{1 \le k \le n} \; P( \left| X_{nk} \right| > \varepsilon ) = 0 \text{ for every }\varepsilon > 0.</math>
-इस प्रकार, उदाहरण के लिए, यदि समान असममित नगण्यता (यू.ए.एन) की स्थिति परिमित विचरण के साथ समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के उचित स्केलिंग के माध्यम से संतुष्ट होती है, तो अशक्त अभिसरण केंद्रीय सीमा प्रमेय के शास्त्रीय संस्करण में सामान्य वितरण के लिए है। अधिक सामान्यतः, यदि यू.ए.एन. स्थिति को समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर (जरूरी नहीं कि सीमित दूसरे क्षण के साथ) के स्केलिंग के माध्यम से संतुष्ट किया जाता है, तो अशक्त अभिसरण एक स्थिर वितरण के लिए होता है। दूसरी ओर, स्वतंत्र (अनस्केल्ड) [[बर्नौली वितरण]] की [[त्रिकोणीय सरणी]] के लिए जहां यू.ए.एन. के माध्यम से शर्त संतुष्ट है
+इस प्रकार, उदाहरण के लिए, यदि समान असममित नगण्यता (यू.ए.एन) की स्थिति परिमित विचरण के साथ समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के उचित स्केलिंग के माध्यम से संतुष्ट होती है, तो अशक्त अभिसरण केंद्रीय सीमा प्रमेय के शास्त्रीय संस्करण में सामान्य वितरण के लिए है। अधिक सामान्यतः यदि यू.ए.एन. स्थिति को समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर (जरूरी नहीं कि सीमित दूसरे क्षण के साथ) के स्केलिंग के माध्यम से संतुष्ट किया जाता है, तो अशक्त अभिसरण एक स्थिर वितरण के लिए होता है। दूसरी ओर, स्वतंत्र (अनस्केल्ड) [[बर्नौली वितरण]] की [[त्रिकोणीय सरणी]] के लिए जहां यू.ए.एन. के माध्यम से शर्त संतुष्ट है
 :<math>\lim_{n\rightarrow\infty} np_n = \lambda,</math>
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 प्रत्येक अपरिमित रूप से विभाज्य संभाव्यता वितरण स्वाभाविक रूप से लेवी प्रक्रिया से मेल खाता है। लेवी प्रक्रिया एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है {''L''<sub>t</sub>: t ≥ 0 } [[स्थिर वेतन वृद्धि]] के साथ [[स्वतंत्र वेतन वृद्धि]], जहां स्थिर का तात्पर्य है कि s < t के लिए, L<sub>''t''</sub> − ''L<sub>s</sub>'' की संभाव्यता वितरण केवल t − s पर निर्भर करता है और जहां स्वतंत्र वृद्धि का तात्पर्य है कि अंतर L<sub>''t''</sub> − L<sub>''s''</sub> [s,t] के साथ ओवरलैप नहीं होने वाले किसी भी अंतराल पर संबंधित अंतर की सांख्यिकीय स्वतंत्रता है, और इसी तरह पारस्परिक रूप से गैर-अतिव्यापी अंतराल की किसी भी सीमित संख्या के लिए।
-यदि {L<sub>t</sub>: t ≥ 0 } एक लेवी प्रक्रिया है, तो किसी भी t ≥ 0 के लिए, यादृच्छिक चर L<sub>''t''</sub> अपरिमित रूप से विभाज्य होगा: किसी भी n के लिए, हम चुन सकते हैं (X<sub>''n''1</sub>, X<sub>''n''2</sub>, …, X<sub>''nn''</sub>) = (L<sub>''t''/''n''</sub> − L<sub>0</sub>, L<sub>2''t''/''n''</sub> − L<sub>''t''/''n''</sub>, …, L<sub>''t''</sub> − L<sub>(''n''−1)''t''/''n''</sub>). इसी प्रकार, L<sub>''t''</sub> − L<sub>''s''</sub> किसी भी s < t के लिए अपरिमित रूप से विभाज्य है।
+यदि {L<sub>t</sub>: t ≥ 0 } एक लेवी प्रक्रिया है, तो किसी भी t ≥ 0 के लिए, यादृच्छिक चर L<sub>''t''</sub> अपरिमित रूप से विभाज्य होगा: किसी भी ''n'' के लिए, हम चुन सकते हैं (X<sub>''n''1</sub>, X<sub>''n''2</sub>, …, X<sub>''nn''</sub>) = (L<sub>''t''/''n''</sub> − L<sub>0</sub>, L<sub>2''t''/''n''</sub> − L<sub>''t''/''n''</sub>, …, L<sub>''t''</sub> − L<sub>(''n''−1)''t''/''n''</sub>). इसी प्रकार, L<sub>''t''</sub> − L<sub>''s''</sub> किसी भी s < t के लिए अपरिमित रूप से विभाज्य है।
 दूसरी ओर, यदि F एक अपरिमित रूप से विभाज्य वितरण है, तो हम एक लेवी प्रक्रिया {L <sub>t</sub>:  t ≥ 0 } का निर्माण इससे कर सकते हैंl  किसी भी अंतराल [s,t] के लिए जहां t − s > 0 एक परिमेय संख्या p/q के बराबर है, हम L को परिभाषित कर सकते हैं L<sub>''t''</sub> − L<sub>''s''</sub> के समान वितरण होना X<sub>''q''1</sub> + X<sub>''q''2</sub> +… + X<sub>''qp''</sub>. t − s > 0 के [[अपरिमेय संख्या]] मानों को निरंतरता तर्क के माध्यम से नियंत्रित किया जाता है।
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 * Steutel, F. W. (1979), "Infinite Divisibility in Theory and Practice" (with discussion), ''Scandinavian Journal of Statistics.'' 6, 57&ndash;64.
 * Steutel, F. W. and Van Harn, K. (2003), ''Infinite Divisibility of Probability Distributions on the Real Line'' (Marcel Dekker).
-{{ProbDistributions|Infinite divisibility}}
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