एक मॉड्यूल का समर्थन: Difference between revisions

Revision as of 11:24, 21 July 2023

क्रमविनिमेय बीजगणित में, क्रमविनिमेय वलय ए पर मॉड्यूल (गणित) एम का समर्थन सभी अभाज्य आदर्शों का समुच्चय है ${\mathfrak {p}}$ ए का ऐसा कि $M_{\mathfrak {p}}\neq 0$ (अर्थात, एम का स्थानीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित) ${\mathfrak {p}}$ शून्य के बराबर नहीं है)।^[1] द्वारा निरूपित किया जाता है $\operatorname {Supp} M$ . समर्थन, परिभाषा के अनुसार, ए की अंगूठी के स्पेक्ट्रम का उपसमूह है।

गुण

$M=0$ यदि और केवल यदि इसका समर्थन खाली सेट है।
होने देना $0\to M'\to M\to M''\to 0$ ए-मॉड्यूल का संक्षिप्त सटीक अनुक्रम बनें। तब
$\operatorname {Supp} M=\operatorname {Supp} M'\cup \operatorname {Supp} M''.$

ध्यान दें कि यह संघ असंयुक्त संघ नहीं हो सकता है।

अगर $M$ सबमॉड्यूल का योग है $M_{\lambda }$ , तब $\operatorname {Supp} M=\bigcup _{\lambda }\operatorname {Supp} M_{\lambda }.$
अगर $M$ तो, अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल ए-मॉड्यूल है $\operatorname {Supp} M$ एम के एनीहिलेटर (रिंग सिद्धांत) वाले सभी प्रमुख आदर्शों का समूह है। विशेष रूप से, यह स्पेक ए पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी में बंद है।
अगर $M,N$ फिर, अंतिम रूप से ए-मॉड्यूल उत्पन्न होते हैं
$\operatorname {Supp} (M\otimes _{A}N)=\operatorname {Supp} M\cap \operatorname {Supp} N.$
अगर $M$ अंतिम रूप से उत्पन्न ए-मॉड्यूल है और मैं, ए का आदर्श (रिंग सिद्धांत) हूं $\operatorname {Supp} (M/IM)$ सभी प्रमुख आदर्शों का समुच्चय है $I+\operatorname {Ann} M.$ यह है $V(I)\cap \operatorname {Supp} M$ .

एक अर्ध सुसंगत शीफ़ का समर्थन

यदि एफ योजना (गणित) एक्स पर अर्ध सुसंगत शीफ है, तो एफ का समर्थन एक्स में सभी बिंदुओं x का सेट है जैसे कि डंठल (शीफ) एफ_x शून्येतर है. यह परिभाषा स्पेस एक्स पर समर्थन (गणित) की परिभाषा के समान है, और यह समर्थन शब्द का उपयोग करने के लिए प्रेरणा है। समर्थन के अधिकांश गुण मॉड्यूल से शब्द दर शब्द क्वासिकोहेरेंट शीव्स तक सामान्यीकृत होते हैं। उदाहरण के लिए, सुसंगत शीफ (या अधिक सामान्यतः, परिमित प्रकार का शीफ) का समर्थन एक्स का बंद उपस्थान है।^[2] यदि एम रिंग ए के ऊपर मॉड्यूल है, तो मॉड्यूल के रूप में एम का समर्थन मॉड्यूल क्वासिकोहेरेंट शीफ से जुड़े शीफ के समर्थन से मेल खाता है ${\tilde {M}}$ एफ़िन स्कीम Spec A पर। इसके अलावा, यदि $\{U_{\alpha }=\operatorname {Spec} (A_{\alpha })\}$ योजना_α प्रत्येक ए के ऊपर_α.^[3]

उदाहरण

जैसा कि ऊपर बताया गया है, प्रमुख आदर्श ${\mathfrak {p}}$ समर्थन में है यदि और केवल तभी जब इसमें विनाशक शामिल हो $M$ .^[4] उदाहरण के लिए, ऊपर $R=\mathbb {C} [x,y,z,w]$ , मॉड्यूल का विनाशक

M=R/I={\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}}

आदर्श है $I=(f)=(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})$ . इसका अर्थ यह है कि $\operatorname {Supp} M\cong \operatorname {Spec} (R/I)$ , बहुपद f का लुप्त हो रहा स्थान। संक्षिप्त सटीक अनुक्रम को देखते हुए

0\to I\to R\to R/I\to 0

हम गलती से यह अनुमान लगा सकते हैं कि I = (f) का समर्थन Spec(R) है_(f)), जो बहुपद f के लुप्त बिंदु का पूरक है। वास्तव में, चूँकि R अभिन्न डोमेन है, आदर्श I = (f) = Rf मॉड्यूल के रूप में R के समरूपी है, इसलिए इसका समर्थन संपूर्ण स्थान है: Supp(I) = Spec(R)।

नोथेरियन अंगूठी पर परिमित मॉड्यूल का समर्थन हमेशा विशेषज्ञता के तहत बंद रहता है।

अब, यदि हम दो बहुपद लें $f_{1},f_{2}\in R$ अभिन्न डोमेन में जो पूर्ण प्रतिच्छेदन आदर्श बनाता है $(f_{1},f_{2})$ , टेंसर संपत्ति हमें वह दिखाती है

\operatorname {Supp} \left(R/(f_{1})\otimes _{R}R/(f_{2})\right)=\,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{1})\right)\cap \,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{2})\right)\cong \,\operatorname {Spec} (R/(f_{1},f_{2})).

यह भी देखें

विनाशकारी (रिंग सिद्धांत)
संबद्ध प्रधान
समर्थन (गणित)

संदर्भ

↑ EGA 0_I, 1.7.1.
↑ The Stacks Project authors (2017). Stacks Project, Tag 01B4.
↑ The Stacks Project authors (2017). स्टैक प्रोजेक्ट, टैग 01एएस.
↑ Eisenbud, David. बीजगणितीय ज्यामिति की ओर एक दृष्टिकोण के साथ क्रमविनिमेय बीजगणित. corollary 2.7. p. 67.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)

Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
Atiyah, M. F., and I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9 MR242802

[1] EGA 0_I, 1.7.1.

[2] The Stacks Project authors (2017). Stacks Project, Tag 01B4.

[3] The Stacks Project authors (2017). स्टैक प्रोजेक्ट, टैग 01एएस.

[4] Eisenbud, David. बीजगणितीय ज्यामिति की ओर एक दृष्टिकोण के साथ क्रमविनिमेय बीजगणित. corollary 2.7. p. 67.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-[[क्रमविनिमेय बीजगणित]] में, [[क्रमविनिमेय वलय]] ''ए'' पर एक [[मॉड्यूल (गणित)]] ''एम'' का समर्थन सभी अभाज्य आदर्शों का समुच्चय है <math>\mathfrak{p}</math> ए का ऐसा कि <math>M_\mathfrak{p} \ne 0</math> (अर्थात, एम का स्थानीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित) <math>\mathfrak{p}</math> शून्य के बराबर नहीं है)।<ref>EGA 0<sub>I</sub>, 1.7.1.</ref> द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\operatorname{Supp}M</math>. समर्थन, परिभाषा के अनुसार, ए की अंगूठी के स्पेक्ट्रम का एक उपसमूह है।
+[[क्रमविनिमेय बीजगणित]] में, [[क्रमविनिमेय वलय]] ''ए'' पर [[मॉड्यूल (गणित)]] ''एम'' का समर्थन सभी अभाज्य आदर्शों का समुच्चय है <math>\mathfrak{p}</math> ए का ऐसा कि <math>M_\mathfrak{p} \ne 0</math> (अर्थात, एम का स्थानीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित) <math>\mathfrak{p}</math> शून्य के बराबर नहीं है)।<ref>EGA 0<sub>I</sub>, 1.7.1.</ref> द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\operatorname{Supp}M</math>. समर्थन, परिभाषा के अनुसार, ए की अंगूठी के स्पेक्ट्रम का उपसमूह है।
 == गुण ==
 * <math>M = 0</math> यदि और केवल यदि इसका समर्थन [[खाली सेट]] है।
-* होने देना <math>0 \to M' \to M \to M'' \to 0</math> ए-मॉड्यूल का एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम बनें। तब
+* होने देना <math>0 \to M' \to M \to M'' \to 0</math> ए-मॉड्यूल का संक्षिप्त सटीक अनुक्रम बनें। तब
 *:<math>\operatorname{Supp}M = \operatorname{Supp}M' \cup \operatorname{Supp}M''.</math>
-:ध्यान दें कि यह संघ एक [[असंयुक्त संघ]] नहीं हो सकता है।
+:ध्यान दें कि यह संघ [[असंयुक्त संघ]] नहीं हो सकता है।
 * अगर <math>M</math> [[सबमॉड्यूल]] का योग है <math>M_\lambda</math>, तब <math>\operatorname{Supp}M = \bigcup_\lambda \operatorname{Supp}M_\lambda.</math>
-* अगर <math>M</math> तो, एक [[अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल]] ए-मॉड्यूल है <math>\operatorname{Supp}M</math> एम के एनीहिलेटर (रिंग सिद्धांत) वाले सभी प्रमुख आदर्शों का समूह है। विशेष रूप से, यह स्पेक ए पर [[ज़ारिस्की टोपोलॉजी]] में बंद है।
+* अगर <math>M</math> तो, [[अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल]] ए-मॉड्यूल है <math>\operatorname{Supp}M</math> एम के एनीहिलेटर (रिंग सिद्धांत) वाले सभी प्रमुख आदर्शों का समूह है। विशेष रूप से, यह स्पेक ए पर [[ज़ारिस्की टोपोलॉजी]] में बंद है।
 *अगर <math>M, N</math> फिर, अंतिम रूप से ए-मॉड्यूल उत्पन्न होते हैं
 *:<math>\operatorname{Supp}(M \otimes_A N) = \operatorname{Supp}M \cap \operatorname{Supp}N.</math>
-*अगर <math>M</math> एक अंतिम रूप से उत्पन्न ए-मॉड्यूल है और मैं, ए का एक [[आदर्श (रिंग सिद्धांत)]] हूं <math>\operatorname{Supp}(M/IM)</math> सभी प्रमुख आदर्शों का समुच्चय है <math>I + \operatorname{Ann}M.</math> यह है <math>V(I) \cap \operatorname{Supp}M</math>.
+*अगर <math>M</math> अंतिम रूप से उत्पन्न ए-मॉड्यूल है और मैं, ए का [[आदर्श (रिंग सिद्धांत)]] हूं <math>\operatorname{Supp}(M/IM)</math> सभी प्रमुख आदर्शों का समुच्चय है <math>I + \operatorname{Ann}M.</math> यह है <math>V(I) \cap \operatorname{Supp}M</math>.
 == एक अर्ध सुसंगत शीफ़ का समर्थन ==
-यदि एफ एक [[योजना (गणित)]] एक्स पर एक अर्ध सुसंगत शीफ है, तो एफ का समर्थन एक्स में सभी बिंदुओं x का सेट है जैसे कि डंठल (शीफ) एफ<sub>''x''</sub> शून्येतर है. यह परिभाषा स्पेस एक्स पर [[समर्थन (गणित)]] की परिभाषा के समान है, और यह समर्थन शब्द का उपयोग करने के लिए प्रेरणा है। समर्थन के अधिकांश गुण मॉड्यूल से शब्द दर शब्द क्वासिकोहेरेंट शीव्स तक सामान्यीकृत होते हैं। उदाहरण के लिए, एक [[सुसंगत शीफ]] (या अधिक सामान्यतः, एक परिमित प्रकार का शीफ) का समर्थन एक्स का एक बंद उपस्थान है।<ref>{{cite book|author=The Stacks Project authors |title=Stacks Project, Tag 01B4|year=2017|url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/01B4}}</ref>
+यदि एफ [[योजना (गणित)]] एक्स पर अर्ध सुसंगत शीफ है, तो एफ का समर्थन एक्स में सभी बिंदुओं x का सेट है जैसे कि डंठल (शीफ) एफ<sub>''x''</sub> शून्येतर है. यह परिभाषा स्पेस एक्स पर [[समर्थन (गणित)]] की परिभाषा के समान है, और यह समर्थन शब्द का उपयोग करने के लिए प्रेरणा है। समर्थन के अधिकांश गुण मॉड्यूल से शब्द दर शब्द क्वासिकोहेरेंट शीव्स तक सामान्यीकृत होते हैं। उदाहरण के लिए, [[सुसंगत शीफ]] (या अधिक सामान्यतः, परिमित प्रकार का शीफ) का समर्थन एक्स का बंद उपस्थान है।<ref>{{cite book|author=The Stacks Project authors |title=Stacks Project, Tag 01B4|year=2017|url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/01B4}}</ref>
-यदि एम रिंग ए के ऊपर एक मॉड्यूल है, तो मॉड्यूल के रूप में एम का समर्थन मॉड्यूल क्वासिकोहेरेंट शीफ से जुड़े शीफ के समर्थन से मेल खाता है <math>\tilde{M}</math> एफ़िन स्कीम Spec A पर। इसके अलावा, यदि <math>\{ U_\alpha = \operatorname{Spec}(A_\alpha) \}</math> एक योजना<sub>α</sub> प्रत्येक ए के ऊपर<sub>α</sub>.<ref>{{cite book|author=The Stacks Project authors |title=स्टैक प्रोजेक्ट, टैग 01एएस|year=2017|url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/01AS}}</ref><!-- This seems unrelated.
+यदि एम रिंग ए के ऊपर मॉड्यूल है, तो मॉड्यूल के रूप में एम का समर्थन मॉड्यूल क्वासिकोहेरेंट शीफ से जुड़े शीफ के समर्थन से मेल खाता है <math>\tilde{M}</math> एफ़िन स्कीम Spec A पर। इसके अलावा, यदि <math>\{ U_\alpha = \operatorname{Spec}(A_\alpha) \}</math> योजना<sub>α</sub> प्रत्येक ए के ऊपर<sub>α</sub>.<ref>{{cite book|author=The Stacks Project authors |title=स्टैक प्रोजेक्ट, टैग 01एएस|year=2017|url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/01AS}}</ref>
-Using the exact sequence
-:<math>0 \to \mathcal{O}_X(-D) \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_D \to 0</math>
-for a [[divisor (algebraic geometry)|divisor]] ''D'' in a [[smooth scheme|smooth]] [[projective variety]] <math>X</math>, if we look at the open subset <math>U = X-D</math> we have
-:<math>\mathcal{O}_X(-D)(U) \cong \mathcal{O}_X(U)</math>
-from the definition of the associated line bundle (this is because <math>U \cap D = \varnothing </math>).-->
 == उदाहरण ==
-जैसा कि ऊपर बताया गया है, एक प्रमुख आदर्श <math>\mathfrak{p}</math> समर्थन में है यदि और केवल तभी जब इसमें विनाशक शामिल हो <math>M</math>.<ref>{{cite book|last1=Eisenbud|first1=David|title=बीजगणितीय ज्यामिति की ओर एक दृष्टिकोण के साथ क्रमविनिमेय बीजगणित|location=corollary 2.7|page=67}}</ref> उदाहरण के लिए, ऊपर <math>R = \mathbb{C}[x,y,z,w]</math>, मॉड्यूल का विनाशक
+जैसा कि ऊपर बताया गया है, प्रमुख आदर्श <math>\mathfrak{p}</math> समर्थन में है यदि और केवल तभी जब इसमें विनाशक शामिल हो <math>M</math>.<ref>{{cite book|last1=Eisenbud|first1=David|title=बीजगणितीय ज्यामिति की ओर एक दृष्टिकोण के साथ क्रमविनिमेय बीजगणित|location=corollary 2.7|page=67}}</ref> उदाहरण के लिए, ऊपर <math>R = \mathbb{C}[x,y,z,w]</math>, मॉड्यूल का विनाशक
 :<math>M = R/I = \frac{\mathbb{C}[x,y,z,w]}{(x^4 + y^4 + z^4 + w^4)}</math>
 आदर्श है <math>I = (f) =  (x^4+ y^4 + z^4 + w^4)</math>. इसका अर्थ यह है कि <math>\operatorname{Supp}M \cong \operatorname{Spec}(R/I)</math>, [[बहुपद]] f का लुप्त हो रहा स्थान। संक्षिप्त सटीक अनुक्रम को देखते हुए
 :<math>0 \to I \to R \to R/I \to 0</math>
-हम गलती से यह अनुमान लगा सकते हैं कि I = (f) का समर्थन Spec(R) है<sub>(''f'')</sub>), जो बहुपद f के लुप्त बिंदु का पूरक है। वास्तव में, चूँकि R एक [[अभिन्न डोमेन]] है, आदर्श I = (f) = Rf एक मॉड्यूल के रूप में R के समरूपी है, इसलिए इसका समर्थन संपूर्ण स्थान है: Supp(I) = Spec(R)।
+हम गलती से यह अनुमान लगा सकते हैं कि I = (f) का समर्थन Spec(R) है<sub>(''f'')</sub>), जो बहुपद f के लुप्त बिंदु का पूरक है। वास्तव में, चूँकि R [[अभिन्न डोमेन]] है, आदर्श I = (f) = Rf मॉड्यूल के रूप में R के समरूपी है, इसलिए इसका समर्थन संपूर्ण स्थान है: Supp(I) = Spec(R)।
-[[नोथेरियन अंगूठी]] पर एक परिमित मॉड्यूल का समर्थन हमेशा विशेषज्ञता के तहत बंद रहता है।{{citation needed|date=October 2018}}
+[[नोथेरियन अंगूठी]] पर परिमित मॉड्यूल का समर्थन हमेशा विशेषज्ञता के तहत बंद रहता है।
-अब, यदि हम दो बहुपद लें <math>f_1,f_2 \in R</math> एक अभिन्न डोमेन में जो एक पूर्ण प्रतिच्छेदन आदर्श बनाता है <math>(f_1,f_2)</math>, टेंसर संपत्ति हमें वह दिखाती है
+अब, यदि हम दो बहुपद लें <math>f_1,f_2 \in R</math> अभिन्न डोमेन में जो पूर्ण प्रतिच्छेदन आदर्श बनाता है <math>(f_1,f_2)</math>, टेंसर संपत्ति हमें वह दिखाती है
 :<math>\operatorname{Supp}\left( R/(f_1)\otimes_R R/(f_2) \right) =\, \operatorname{Supp}\left( R/(f_1)\right) \cap\, \operatorname{Supp}\left( R/(f_2)\right) \cong\, \operatorname{Spec}(R/(f_1,f_2)).</math>

Anonymous

Search

एक मॉड्यूल का समर्थन: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Revision as of 11:24, 21 July 2023

Contents

गुण

एक अर्ध सुसंगत शीफ़ का समर्थन

उदाहरण

यह भी देखें

संदर्भ

Navigation

Navigation

Wiki tools

Wiki tools

Anonymous

Search

एक मॉड्यूल का समर्थन: Difference between revisions

Revision as of 11:24, 21 July 2023

गुण

एक अर्ध सुसंगत शीफ़ का समर्थन

उदाहरण

यह भी देखें

संदर्भ

Navigation

Wiki tools

Page tools

Other projects

Categories