क्वांटाइज्ड अवस्था प्रणाली विधि: Difference between revisions

Revision as of 13:20, 26 July 2023

क्वांटाइज्ड स्टेट सिस्टम (क्यूएसएस) विधियां संख्यात्मक एकीकरण सॉल्वरों का एक वर्ग हैं जो स्टेट क्वांटाइजेशन के विचार पर आधारित हैं, जो समय ड्यूल के पारंपरिक विचार के दोहरे (गणित) हैं। सामान्य अंतर समीकरणों के लिए पारंपरिक संख्यात्मक विधियों के विपरीत,है जो विवेकाधीन समय द्वारा समस्या का समाधान करते हैं और प्रत्येक क्रमिक समय चरण पर अगली (वास्तविक-मूल्यवान) स्थिति को हल करते हैं, क्यूएसएस विधियां समय को एक निरंतर इकाई के रूप में रखती हैं और इसके अतिरिक्त सिस्टम की स्थिति को क्वांटाइज़ेशन (सिग्नल प्रोसेसिंग) करती हैं, इसके अतिरिक्त समय को हल करती हैं जिस पर स्टेट क्वांटम द्वारा अपने परिमाणित मूल्य से विचलित हो जाता है।

मौलिक एल्गोरिदम की तुलना में उनके कई लाभ भी हो सकते हैं।^[1] वे स्वाभाविक रूप से अपनी असतत-घटना प्रकृति और अतुल्यकालिक प्रकृति के कारण सिस्टम में मॉडलिंग असंतुलन की अनुमति देते हैं। वे स्पष्ट एल्गोरिदम का उपयोग करके स्पष्ट रूट-खोज और शून्य-क्रॉसिंग का पता लगाने की भी अनुमति देते हैं, पुनरावृत्ति की आवश्यकता से बचते हैं - एक तथ्य जो कठोर प्रणालियों के स्थिति में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जहां पारंपरिक समय-चरण विधियों को अगले सिस्टम स्टेट के लिए अंतर्निहित रूप से हल करने की आवश्यकता के कारण भारी कम्प्यूटेशनल पेनल्टी की आवश्यकता होती है। अंत में, क्यूएसएस विधियां नीचे वर्णित उल्लेखनीय वैश्विक स्थिरता और त्रुटि सीमाओं को संतुष्ट करती हैं, जो मौलिक समाधान तकनीकों से संतुष्ट नहीं हैं।

उनकी प्रकृति से, क्यूएसएस विधियों को पारंपरिक विधि के विपरीत, डीईवीएस औपचारिकता, गणना का एक अलग-घटना मॉडल द्वारा बड़े करीने से तैयार किया जाता है, जो निरंतर-समय प्रणाली के अलग-अलग-समय मॉडल बनाते हैं। इसलिए उन्हें ऐसे असतत-घटना प्रणालियों के लिए एक सिमुलेशन इंजन, [पॉवरडीईवीएस] में प्रयुक्त किया गया है।

सैद्धांतिक गुण

2001 में, अर्नेस्टो कॉफ़मैन ने साबित किया^[2] क्वांटाइज्ड-स्टेट सिस्टम सिमुलेशन विधि की एक उल्लेखनीय संपत्ति: अर्थात्, जब तकनीक का उपयोग घातीय स्थिरता एलटीआई सिस्टम सिद्धांत | रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (एलटीआई) प्रणाली को हल करने के लिए किया जाता है, तो वैश्विक त्रुटि एक स्थिरांक से बंधी होती है जो क्वांटम के लिए आनुपातिक होती है, लेकिन (महत्वपूर्ण रूप से) सिमुलेशन की अवधि से स्वतंत्र होती है। अधिक विशेष रूप से, राज्य-संक्रमण मैट्रिक्स के साथ एक स्थिर बहुआयामी एलटीआई प्रणाली के लिए $A$ और राज्य-अंतरिक्ष प्रतिनिधित्व#रैखिक प्रणाली $B$ , यह [CK06] में दिखाया गया था कि पूर्ण त्रुटि वेक्टर ${\vec {e}}(t)$ से ऊपर घिरा हुआ है

\left|{\vec {e}}(t)\right|\leq \left|V\right|\ \left|\Re \left(\Lambda \right)^{-1}\Lambda \right|\ \left|V^{-1}\right|\ \Delta {\vec {Q}}+\left|V\right|\ \left|\Re \left(\Lambda \right)^{-1}V^{-1}B\right|\ \Delta {\vec {u}}

कहाँ $\Delta {\vec {Q}}$ स्टेट क्वांटा का वेक्टर है, $\Delta {\vec {u}}$ इनपुट सिग्नल में अपनाए गए क्वांटा वाला वेक्टर है, $V\Lambda V^{-1}=A$ एक मैट्रिक्स या जॉर्डन विहित रूप का Eigendecomposition#Eigendecomposition है $A$ , और $\left|\,\cdot \,\right|$ तत्व-वार निरपेक्ष मान ऑपरेटर को दर्शाता है (निर्धारक या नॉर्म (गणित) के साथ भ्रमित न हों)।

यह ध्यान देने योग्य है कि यह उल्लेखनीय त्रुटि बाध्यता एक कीमत पर आती है: एक स्थिर एलटीआई प्रणाली के लिए वैश्विक त्रुटि भी, एक अर्थ में, क्वांटम द्वारा ही सीमित होती है, कम से कम प्रथम-क्रम QSS1 विधि के लिए। ऐसा इसलिए है, क्योंकि जब तक सन्निकटन बिल्कुल सही मान (एक घटना जो लगभग निश्चित रूप से घटित नहीं होगी) के साथ मेल नहीं खाता है, यह बस संतुलन के चारों ओर दोलन करता रहेगा, क्योंकि स्टेट हमेशा (परिभाषा के अनुसार) संतुलन के बाहर ठीक एक क्वांटम द्वारा बदलने की गारंटी देता है। इस स्थिति से बचने के लिए पारंपरिक असतत समय सिमुलेशन एल्गोरिदम में अनुकूली चरणबद्ध विधियों के अनुरूप क्वांटम को गतिशील रूप से कम करने के लिए एक विश्वसनीय तकनीक खोजने की आवश्यकता होगी।

प्रथम-क्रम QSS विधि - QSS1

प्रारंभिक मूल्य समस्या को निम्नानुसार निर्दिष्ट किया जाए।

{\dot {x}}(t)=f(x(t),t),\quad x(t_{0})=x_{0}.

प्रथम-क्रम QSS विधि, जिसे QSS1 के रूप में जाना जाता है, उपरोक्त प्रणाली का अनुमान लगाती है

{\dot {x}}(t)=f(q(t),t),\quad q(t_{0})=x_{0}.

कहाँ $x$ और $q$ हिस्टैरिसीस परिमाणीकरण फ़ंक्शन द्वारा संबंधित हैं

q(t)={\begin{cases}x(t)&{\text{if }}\left|x(t)-q(t^{-})\right|\geq \Delta Q\\q(t^{-})&{\text{otherwise}}\end{cases}}

कहाँ $\Delta Q$ क्वांटम कहा जाता है. ध्यान दें कि यह परिमाणीकरण फ़ंक्शन 'हिस्टेरेटिक' है क्योंकि इसमें मेमोरी है: न केवल इसका आउटपुट वर्तमान स्थिति का एक फ़ंक्शन है $x(t)$ , लेकिन यह इसके पुराने मूल्य पर भी निर्भर करता है, $q(t^{-})$ .

इसलिए यह सूत्रीकरण टुकड़े-टुकड़े स्थिर फ़ंक्शन द्वारा स्टेट का अनुमान लगाता है, $q(t)$ , जैसे ही स्टेट इस सन्निकटन से एक क्वांटम से विचलित होता है, वह अपना मूल्य अपडेट कर देता है।

इस प्रणाली का बहुआयामी प्रणाली सूत्रीकरण लगभग उपरोक्त एकल-आयामी सूत्रीकरण के समान है: $k^{\text{th}}$ परिमाणित अवस्था $q_{k}(t)$ इसकी संगत स्थिति का एक कार्य है, $x_{k}(t)$ , और स्टेट वेक्टर ${\vec {x}}(t)$ संपूर्ण परिमाणित स्टेट वेक्टर का एक कार्य है, ${\vec {q}}(t)$ :

{\vec {x}}(t)=f({\vec {q}}(t),t)

उच्च-क्रम QSS विधियाँ - QSS2 और QSS3

दूसरे क्रम की QSS विधि, QSS2, QSS1 के समान सिद्धांत का पालन करती है, सिवाय इसके कि यह परिभाषित करती है $q(t)$ प्रक्षेपवक्र के टुकड़े-टुकड़े रैखिक फ़ंक्शन सन्निकटन के रूप में $x(t)$ जैसे ही दोनों एक-दूसरे से एक क्वांटम से भिन्न होते हैं, यह अपने प्रक्षेप पथ को अपडेट कर देता है। पैटर्न उच्च-क्रम सन्निकटन के लिए जारी रहता है, जो परिमाणित स्थिति को परिभाषित करता है $q(t)$ सिस्टम की स्थिति के क्रमिक रूप से उच्च-क्रम बहुपद सन्निकटन के रूप में।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि, जबकि सैद्धांतिक रूप से मनमाने ढंग से क्रम की एक क्यूएसएस विधि का उपयोग निरंतर समय प्रणाली को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है, चार से अधिक ऑर्डर के विधियों का उपयोग करना शायद ही वांछनीय है, क्योंकि एबेल-रफिनी प्रमेय का तात्पर्य है कि अगले परिमाणीकरण का समय, $t$ , (सामान्य तौर पर) बीजगणितीय समाधान के लिए स्पष्ट और अंतर्निहित तरीके नहीं हो सकते हैं जब बहुपद सन्निकटन चार से अधिक डिग्री का होता है, और इसलिए इसे जड़-खोज एल्गोरिदम का उपयोग करके पुनरावृत्त रूप से अनुमानित किया जाना चाहिए। व्यवहार में, QSS2 या QSS3 कई समस्याओं के लिए पर्याप्त साबित होता है और उच्च-क्रम विधियों के उपयोग से बहुत कम, यदि कोई हो, अतिरिक्त लाभ होता है।

सॉफ़्टवेयर कार्यान्वयन

QSS विधियों को एक अलग घटना प्रणाली के रूप में कार्यान्वित किया जा सकता है और किसी भी DEVS सिम्युलेटर में सिम्युलेटेड किया जा सकता है।

QSS विधियाँ PowerDEVSPowerDEVS#References|[BK011] सॉफ़्टवेयर के लिए मुख्य संख्यात्मक सॉल्वर का निर्माण करती हैं। इन्हें स्टैंड-अलोन संस्करण के रूप में भी लागू किया गया है।

संदर्भ

↑ Migoni, Gustavo; Ernesto Kofman; François Cellier (2011). "कठोर साधारण अंतर समीकरणों के लिए परिमाणीकरण-आधारित नई एकीकरण विधियाँ". Simulation: 387–407.
↑ Kofman, Ernesto (2002). "सतत प्रणालियों के DEVS सिमुलेशन के लिए दूसरे क्रम का सन्निकटन". Simulation. 78 (2): 76–89. CiteSeerX 10.1.1.640.1903. doi:10.1177/0037549702078002206. S2CID 20959777.

[CK06] Francois E. Cellier & Ernesto Kofman (2006). Continuous System Simulation (first ed.). Springer. ISBN 978-0-387-26102-7.
[BK11] Bergero, Federico & Kofman, Ernesto (2011). "PowerDEVS: a tool for hybrid system modeling and real-time simulation" (first ed.). Society for Computer Simulation International,San Diego.

बाहरी संबंध

[1] Migoni, Gustavo; Ernesto Kofman; François Cellier (2011). "कठोर साधारण अंतर समीकरणों के लिए परिमाणीकरण-आधारित नई एकीकरण विधियाँ". Simulation: 387–407.

[2] Kofman, Ernesto (2002). "सतत प्रणालियों के DEVS सिमुलेशन के लिए दूसरे क्रम का सन्निकटन". Simulation. 78 (2): 76–89. CiteSeerX 10.1.1.640.1903. doi:10.1177/0037549702078002206. S2CID 20959777.

[1]

[2]

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-क्वांटाइज्ड स्टेट सिस्टम (क्यूएसएस) विधियां संख्यात्मक एकीकरण सॉल्वरों का एक परिवार हैं जो राज्य क्वांटाइजेशन के विचार पर आधारित हैं, जो समय [[विवेक]] के पारंपरिक विचार के दोहरे (गणित) हैं।
+'''क्वांटाइज्ड स्टेट सिस्टम (क्यूएसएस) विधियां''' संख्यात्मक एकीकरण सॉल्वरों का एक वर्ग हैं जो स्टेट क्वांटाइजेशन के विचार पर आधारित हैं, जो समय [[विवेक|ड्यूल]] के पारंपरिक विचार के दोहरे (गणित) हैं। सामान्य अंतर समीकरणों के लिए पारंपरिक संख्यात्मक विधियों के विपरीत,है  जो विवेकाधीन समय द्वारा समस्या का समाधान करते हैं और प्रत्येक क्रमिक समय चरण पर अगली (वास्तविक-मूल्यवान) स्थिति को हल करते हैं, क्यूएसएस विधियां समय को एक निरंतर इकाई के रूप में रखती हैं और इसके अतिरिक्त सिस्टम की स्थिति को क्वांटाइज़ेशन (सिग्नल प्रोसेसिंग) करती हैं, इसके अतिरिक्त ''समय'' को हल करती हैं जिस पर स्टेट ''क्वांटम'' द्वारा अपने परिमाणित मूल्य से विचलित हो जाता है।
-सामान्य अंतर समीकरणों के लिए पारंपरिक संख्यात्मक तरीकों के विपरीत, जो विवेकाधीन समय द्वारा समस्या का समाधान करते हैं और प्रत्येक क्रमिक समय चरण पर अगली (वास्तविक-मूल्यवान) स्थिति को हल करते हैं, क्यूएसएस विधियां समय को एक निरंतर इकाई के रूप में रखती हैं और इसके बजाय सिस्टम की स्थिति को क्वांटाइज़ेशन (सिग्नल प्रोसेसिंग) करती हैं, इसके बजाय ''समय'' को हल करती हैं जिस पर राज्य ''क्वांटम'' द्वारा अपने परिमाणित मूल्य से विचलित हो जाता है।
-शास्त्रीय एल्गोरिदम की तुलना में उनके कई फायदे भी हो सकते हैं।<ref>{{cite journal |author1=Migoni, Gustavo |author2=Ernesto Kofman |author3=François Cellier |title=कठोर साधारण अंतर समीकरणों के लिए परिमाणीकरण-आधारित नई एकीकरण विधियाँ|year=2011 |journal = Simulation |pages=387&ndash;407 |url=http://sim.sagepub.com/content/88/4/387 }}</ref>
+मौलिक एल्गोरिदम की तुलना में उनके कई लाभ भी हो सकते हैं।<ref>{{cite journal |author1=Migoni, Gustavo |author2=Ernesto Kofman |author3=François Cellier |title=कठोर साधारण अंतर समीकरणों के लिए परिमाणीकरण-आधारित नई एकीकरण विधियाँ|year=2011 |journal = Simulation |pages=387&ndash;407 |url=http://sim.sagepub.com/content/88/4/387 }}</ref> वे स्वाभाविक रूप से अपनी असतत-घटना प्रकृति और अतुल्यकालिक प्रकृति के कारण सिस्टम में मॉडलिंग असंतुलन की अनुमति देते हैं। वे स्पष्ट एल्गोरिदम का उपयोग करके स्पष्ट रूट-खोज और शून्य-क्रॉसिंग का पता लगाने की भी अनुमति देते हैं, पुनरावृत्ति की आवश्यकता से बचते हैं - एक तथ्य जो कठोर प्रणालियों के स्थिति में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जहां पारंपरिक समय-चरण विधियों को अगले सिस्टम स्टेट के लिए अंतर्निहित रूप से हल करने की आवश्यकता के कारण भारी कम्प्यूटेशनल पेनल्टी  की आवश्यकता होती है। अंत में, क्यूएसएस विधियां नीचे वर्णित उल्लेखनीय वैश्विक स्थिरता और त्रुटि सीमाओं को संतुष्ट करती हैं, जो मौलिक  समाधान तकनीकों से संतुष्ट नहीं हैं।
-वे स्वाभाविक रूप से अपनी असतत-घटना प्रकृति और अतुल्यकालिक प्रकृति के कारण सिस्टम में मॉडलिंग असंतुलन की अनुमति देते हैं। वे स्पष्ट एल्गोरिदम का उपयोग करके स्पष्ट रूट-खोज और शून्य-क्रॉसिंग का पता लगाने की भी अनुमति देते हैं, पुनरावृत्ति की आवश्यकता से बचते हैं - एक तथ्य जो कठोर प्रणालियों के मामले में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जहां पारंपरिक समय-चरण विधियों को अगले सिस्टम राज्य के लिए अंतर्निहित रूप से हल करने की आवश्यकता के कारण भारी कम्प्यूटेशनल दंड की आवश्यकता होती है। अंत में, क्यूएसएस विधियां नीचे वर्णित उल्लेखनीय वैश्विक स्थिरता और त्रुटि सीमाओं को संतुष्ट करती हैं, जो शास्त्रीय समाधान तकनीकों से संतुष्ट नहीं हैं।
-उनकी प्रकृति से, QSS विधियों को [[DEVS]] औपचारिकता द्वारा बड़े करीने से तैयार किया जाता है, एक अलग घटना सिमुलेशन | संगणना का असतत-घटना मॉडल, पारंपरिक तरीकों के विपरीत, जो असतत समय और निरंतर समय # असतत समय | असतत समय और निरंतर समय के असतत-समय मॉडल # निरंतर समय | निरंतर-समय प्रणाली का निर्माण करता है। इसलिए उन्हें PowerDEVS#References|[PowerDEVS] में लागू किया गया है, जो ऐसे असतत-घटना प्रणालियों के लिए एक सिमुलेशन इंजन है।
+उनकी प्रकृति से, क्यूएसएस विधियों को पारंपरिक विधि के विपरीत, डीईवीएस औपचारिकता, गणना का एक अलग-घटना मॉडल द्वारा बड़े करीने से तैयार किया जाता है, जो निरंतर-समय प्रणाली के अलग-अलग-समय मॉडल बनाते हैं। इसलिए उन्हें ऐसे असतत-घटना प्रणालियों के लिए एक सिमुलेशन इंजन, [पॉवरडीईवीएस] में प्रयुक्त किया गया है।
 ==सैद्धांतिक गुण==
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 \left| V \right|\ \left| \Re\left(\Lambda\right)^{-1} \Lambda \right|\ \left| V^{-1} \right|\ \Delta\vec{Q} +
 \left| V \right|\ \left| \Re\left(\Lambda\right)^{-1} V^{-1} B \right|\ \Delta\vec{u}</math>
-कहाँ <math>\Delta\vec{Q}</math> राज्य क्वांटा का वेक्टर है, <math>\Delta\vec{u}</math> इनपुट सिग्नल में अपनाए गए क्वांटा वाला वेक्टर है, <math>V \Lambda V^{-1} = A</math> एक मैट्रिक्स या [[जॉर्डन विहित रूप]] का Eigendecomposition#Eigendecomposition है <math>A</math>, और <math>\left|\,\cdot\,\right|</math> तत्व-वार निरपेक्ष मान ऑपरेटर को दर्शाता है (निर्धारक या नॉर्म (गणित) के साथ भ्रमित न हों)।
+कहाँ <math>\Delta\vec{Q}</math> स्टेट क्वांटा का वेक्टर है, <math>\Delta\vec{u}</math> इनपुट सिग्नल में अपनाए गए क्वांटा वाला वेक्टर है, <math>V \Lambda V^{-1} = A</math> एक मैट्रिक्स या [[जॉर्डन विहित रूप]] का Eigendecomposition#Eigendecomposition है <math>A</math>, और <math>\left|\,\cdot\,\right|</math> तत्व-वार निरपेक्ष मान ऑपरेटर को दर्शाता है (निर्धारक या नॉर्म (गणित) के साथ भ्रमित न हों)।
-यह ध्यान देने योग्य है कि यह उल्लेखनीय त्रुटि बाध्यता एक कीमत पर आती है: एक स्थिर एलटीआई प्रणाली के लिए वैश्विक त्रुटि भी, एक अर्थ में, क्वांटम द्वारा ही सीमित होती है, कम से कम प्रथम-क्रम QSS1 विधि के लिए। ऐसा इसलिए है, क्योंकि जब तक सन्निकटन बिल्कुल सही मान (एक घटना जो [[लगभग निश्चित रूप से]] घटित नहीं होगी) के साथ मेल नहीं खाता है, यह बस संतुलन के चारों ओर दोलन करता रहेगा, क्योंकि राज्य हमेशा (परिभाषा के अनुसार) संतुलन के बाहर ठीक एक क्वांटम द्वारा बदलने की गारंटी देता है। इस स्थिति से बचने के लिए पारंपरिक असतत समय सिमुलेशन एल्गोरिदम में अनुकूली चरणबद्ध तरीकों के अनुरूप क्वांटम को गतिशील रूप से कम करने के लिए एक विश्वसनीय तकनीक खोजने की आवश्यकता होगी।
+यह ध्यान देने योग्य है कि यह उल्लेखनीय त्रुटि बाध्यता एक कीमत पर आती है: एक स्थिर एलटीआई प्रणाली के लिए वैश्विक त्रुटि भी, एक अर्थ में, क्वांटम द्वारा ही सीमित होती है, कम से कम प्रथम-क्रम QSS1 विधि के लिए। ऐसा इसलिए है, क्योंकि जब तक सन्निकटन बिल्कुल सही मान (एक घटना जो [[लगभग निश्चित रूप से]] घटित नहीं होगी) के साथ मेल नहीं खाता है, यह बस संतुलन के चारों ओर दोलन करता रहेगा, क्योंकि स्टेट हमेशा (परिभाषा के अनुसार) संतुलन के बाहर ठीक एक क्वांटम द्वारा बदलने की गारंटी देता है। इस स्थिति से बचने के लिए पारंपरिक असतत समय सिमुलेशन एल्गोरिदम में अनुकूली चरणबद्ध विधियों  के अनुरूप क्वांटम को गतिशील रूप से कम करने के लिए एक विश्वसनीय तकनीक खोजने की आवश्यकता होगी।
 ==प्रथम-क्रम QSS विधि - QSS1==
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 कहाँ <math>\Delta Q</math> क्वांटम कहा जाता है. ध्यान दें कि यह परिमाणीकरण फ़ंक्शन 'हिस्टेरेटिक' है क्योंकि इसमें मेमोरी है: न केवल इसका आउटपुट वर्तमान स्थिति का एक फ़ंक्शन है <math>x(t)</math>, लेकिन यह इसके पुराने मूल्य पर भी निर्भर करता है, <math>q(t^{-})</math>.
-इसलिए यह सूत्रीकरण टुकड़े-टुकड़े स्थिर फ़ंक्शन द्वारा राज्य का अनुमान लगाता है, <math>q(t)</math>, जैसे ही राज्य इस सन्निकटन से एक क्वांटम से विचलित होता है, वह अपना मूल्य अपडेट कर देता है।
+इसलिए यह सूत्रीकरण टुकड़े-टुकड़े स्थिर फ़ंक्शन द्वारा स्टेट का अनुमान लगाता है, <math>q(t)</math>, जैसे ही स्टेट इस सन्निकटन से एक क्वांटम से विचलित होता है, वह अपना मूल्य अपडेट कर देता है।
-इस प्रणाली का [[बहुआयामी प्रणाली]] सूत्रीकरण लगभग उपरोक्त एकल-आयामी सूत्रीकरण के समान है: <math>k^\text{th}</math> परिमाणित अवस्था <math>q_k(t)</math> इसकी संगत स्थिति का एक कार्य है, <math>x_k(t)</math>, और राज्य वेक्टर <math>\vec{x}(t)</math> संपूर्ण परिमाणित राज्य वेक्टर का एक कार्य है, <math>\vec{q}(t)</math>:
+इस प्रणाली का [[बहुआयामी प्रणाली]] सूत्रीकरण लगभग उपरोक्त एकल-आयामी सूत्रीकरण के समान है: <math>k^\text{th}</math> परिमाणित अवस्था <math>q_k(t)</math> इसकी संगत स्थिति का एक कार्य है, <math>x_k(t)</math>, और स्टेट वेक्टर <math>\vec{x}(t)</math> संपूर्ण परिमाणित स्टेट वेक्टर का एक कार्य है, <math>\vec{q}(t)</math>:
 :<math>\vec{x}(t) = f(\vec{q}(t), t)</math>
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 पैटर्न उच्च-क्रम सन्निकटन के लिए जारी रहता है, जो परिमाणित स्थिति को परिभाषित करता है <math>q(t)</math> सिस्टम की स्थिति के क्रमिक रूप से उच्च-क्रम बहुपद सन्निकटन के रूप में।
-यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि, जबकि सैद्धांतिक रूप से मनमाने ढंग से क्रम की एक क्यूएसएस विधि का उपयोग निरंतर समय प्रणाली को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है, चार से अधिक ऑर्डर के तरीकों का उपयोग करना शायद ही वांछनीय है, क्योंकि एबेल-रफिनी प्रमेय का तात्पर्य है कि अगले परिमाणीकरण का समय, <math>t</math>, (सामान्य तौर पर) [[बीजगणितीय समाधान]] के लिए [[स्पष्ट और अंतर्निहित तरीके]] नहीं हो सकते हैं जब बहुपद सन्निकटन चार से अधिक डिग्री का होता है, और इसलिए इसे [[जड़-खोज एल्गोरिदम]] का उपयोग करके पुनरावृत्त रूप से अनुमानित किया जाना चाहिए। व्यवहार में, QSS2 या QSS3 कई समस्याओं के लिए पर्याप्त साबित होता है और उच्च-क्रम विधियों के उपयोग से बहुत कम, यदि कोई हो, अतिरिक्त लाभ होता है।
+यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि, जबकि सैद्धांतिक रूप से मनमाने ढंग से क्रम की एक क्यूएसएस विधि का उपयोग निरंतर समय प्रणाली को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है, चार से अधिक ऑर्डर के विधियों  का उपयोग करना शायद ही वांछनीय है, क्योंकि एबेल-रफिनी प्रमेय का तात्पर्य है कि अगले परिमाणीकरण का समय, <math>t</math>, (सामान्य तौर पर) [[बीजगणितीय समाधान]] के लिए [[स्पष्ट और अंतर्निहित तरीके]] नहीं हो सकते हैं जब बहुपद सन्निकटन चार से अधिक डिग्री का होता है, और इसलिए इसे [[जड़-खोज एल्गोरिदम]] का उपयोग करके पुनरावृत्त रूप से अनुमानित किया जाना चाहिए। व्यवहार में, QSS2 या QSS3 कई समस्याओं के लिए पर्याप्त साबित होता है और उच्च-क्रम विधियों के उपयोग से बहुत कम, यदि कोई हो, अतिरिक्त लाभ होता है।
 ==सॉफ़्टवेयर कार्यान्वयन==

v t e Numerical methods for integration
First-order methods	Euler method Backward Euler Semi-implicit Euler Exponential Euler
Second-order methods	Verlet integration Velocity Verlet Trapezoidal rule Beeman's algorithm Midpoint method Heun's method Newmark-beta method Leapfrog integration
Higher-order methods	Exponential integrator Runge–Kutta methods List of Runge–Kutta methods Linear multistep method General linear methods Backward differentiation formula Yoshida Gauss–Legendre method
Theory	Symplectic integrator

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सैद्धांतिक गुण

प्रथम-क्रम QSS विधि - QSS1

उच्च-क्रम QSS विधियाँ - QSS2 और QSS3

सॉफ़्टवेयर कार्यान्वयन

संदर्भ

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