एक बहुपद की घात: Difference between revisions

Revision as of 23:30, 4 November 2022

गणित में, एक बहुपद की घात, शून्य गुणांकों वाले बहुपद मोनोमियल (अलग-अलग शब्दों) की उच्चतम घात होती है। एक शब्द की घात उस में दिखाई देने वाले चर (गणित) के प्रतिपादकों का योग है, और इस प्रकार एक गैर नकारात्मक पूर्णांक है।एक बहुपदी बहुपद के लिए, बहुपद की घात केवल बहुपद में उत्पन्न उच्चतम प्रतिपादक है।^[1]^[2] शब्द क्रम का प्रयोग घात के पर्यायार्थ के रूप में किया गया है, लेकिन आजकल, यह अनेक अन्य अवधारणाओं के संदर्भ में ((बहुपद) बहुविकल्पी व्यवस्था को दर्शाता है।)

उदाहरण के लिए, बहुपद $7x^{2}y^{3}+4x-9,$ जो भी लिखा जा सकता है $7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},$ तीन शब्द है। पहले पद का घात 5 है (घातांक 2 और 3 का योग), दूसरे पद का घात 1 है, और अंतिम पद का घात 0 है। इसलिए बहुपद की घात 5 है जो किसी भी पद की उच्चतम घात है।

एक बहुपद की घात निर्धारित करने के लिए जो मानक रूप में नहीं है, जैसे कि $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}$ , कोई भी इसे उत्पादों (वितरण द्वारा) के विस्तार और समान शर्तों के संयोजन द्वारा मानक रूप में रख सकता है; उदाहरण के लिए, $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x$ की घात 1 है, चूंकि प्रत्येक शिखर की घात 2 है। चूंकि, यह तब आवश्यक नहीं है जब बहुपद को मानक रूप में एक उत्पाद के रूप में लिखा जाता है क्योंकि एक उत्पाद की घात कारकों की घात का योग है।

घात के अनुसार बहुपदों के नाम

बहुपदों को उनकी घात के अनुसार निम्नलिखित नाम दिए गए हैं:^[3]^[4]^[5]^[2]

विशेष स्थिति - शून्य बहुपद(नीचे शून्य बहुपद की घात देखें)
घात 0 - गैर-शून्य निरंतर ^[6]
घात 1 - रैखिक
घात 2 - द्विघात
घात 3 - घन
घात 4 - क्वार्टिक (या, यदि सभी शर्तों में भी घात, द्विद्विघात है)
घात 5 - क्विंटिक
घात 6 - सेक्स्टिक (या, सामान्य रूप से कम, हेसिक)
घात 7 - सेप्टिक (या, सामान्य रूप से कम, हेप्टिक)

उच्चतर पद के लिए, कभी-कभी प्रस्ताव रखा जाता है,^[7] लेकिन वे शायद ही कभी उपयोग किया जाता है:

घात 8 - ओक्टिक
घात 9 - नॉनिक
घात 10 - डेसिक

तीन से ऊपर की घात के लिए नाम लैटिन क्रम संख्या पर आधारित होते हैं, और अंत-आईसी (ic) में होते हैं। यह चर की संख्या के लिए उपयोग किए जाने वाले नामों से अलग होना चाहिए, एरिटी, जो लैटिन में वितरण संख्या पर आधारित है, और -ary में समाप्त होता है। उदाहरण के लिए, एक घात दो बहुपद जैसे दो चर में दो बहुपद $x^{2}+xy+y^{2}$ , को "द्विआधारी द्विघात" कहा जाता है: द्विआधारी कारण दो चर, द्विघात घात दो के कारण होता है।^{[lower-alpha 1]} शब्दों की संख्या के लिए भी नाम हैं, जो भी लैटिन वितरक संख्याओं पर आधारित हैं, जो कि -नॉमियल में समाप्त होता है; आम एकपद, द्विपद और (कम सामान्यतः) त्रिपद होते हैं; इस प्रकार $x^{2}+y^{2}$ एक "द्विआधारी द्विपद" होता है।

उदाहरण

बहुपद $(y-3)(2y+6)(-4y-21)$ एक घन बहुपद हैः बाहर गुणा और एक ही घात के शब्दों का संग्रह के बाद, यह हो जाता है $-8y^{3}-42y^{2}+72y+378$ , उच्चतम घातांक 3 के साथ।

बहुपद $(3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)$ एक क्विंटिक बहुपद है: समान पदों को मिलाने पर, घात 8 के दो पद रद्द हो जाते हैं, छोड़कर $z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6$ , सर्वोच्च घातांक 5 के साथ।

बहुपद संचालन के तहत व्यवहार

योग की घात, उत्पाद या दो बहुपदों का संयोजन निवेश बहुपदों की घात से दृढ़ता से संबंधित है।^[8]

जोड़

दो बहुपदों के योग (या अंतर) की घात उनकी उपाधियों से कम या बराबर है;अर्थात्,

\deg(P+Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}

तथा

\deg(P-Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}

.

उदाहरण के लिए, की घात $(x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x$ 2, और 2 ≤ अधिकतम{3, 3} है।

बहुपदों के स्तरों के अलग-अलग होने पर हमेशा समानता कायम रहती है। उदाहरण के लिए, की घात $(x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1$ 3 है, और 3 = अधिकतम{3, 2} है।

गुणन

एक गैर शून्य अदिश (गणित) द्वारा एक बहुपद के उत्पाद की घात बहुपद की घात के बराबर है;अर्थात्,

\deg(cP)=\deg(P)

उदाहरण के लिए, की घात $2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4$ 2 है, जो की घात के बराबर है $x^{2}+3x-2$ .

इस प्रकार, बहुपदों का सेट (दिए गए क्षेत्र एफ से गुणांक सहित) जिसकी घात दी गई संख्या N से छोटा या उसके बराबर है, एक सदिश स्थान बनाता है;अधिक जानकारी के लिए सदिश रिक्त स्थान के उदाहरण देखें.आम तौर पर दो बहुपदों के उत्पाद की घात एक क्षेत्र या एक अभिन्न डोमेन पर उनकी घात का योग होता है:

\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)

.

उदाहरण के लिए, की घात $(x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x$ 5 = 3 + 2 है।

बहुपदों के लिए एक मनमाने वलय पर, ऊपर के नियम मान्य नहीं हो सकते, क्योंकि रद्दीकरण के कारण जो दो गैर शून्य स्थिरांक के गुणा करने पर हो सकता है। उदाहरण के लिए, वलय में $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$ पूर्णांक मॉडुलो 4, एक है कि $\deg(2x)=\deg(1+2x)=1$ , लेकिन $\deg(2x(1+2x))=\deg(2x)=1$ , जो कारकों की घात के योग के बराबर नहीं है।

रचना

दो गैर निरंतर बहुपदों $P$ और $Q$ एक क्षेत्र या अभिन्न डोमेन पर उनके संयोजन की घात उनकी घात का उत्पाद है:

\deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q)

.

उदाहरण के लिए:

यदि $P=(x^{3}+x)$ , $Q=(x^{2}+1)$ , फिर $P\circ Q=P\circ (x^{2}+1)=(x^{2}+1)^{3}+(x^{2}+1)=x^{6}+3x^{4}+4x^{2}+2$ , जिसकी घात 6 है।

यह जरूरी नहीं है कि बहुपदों के लिए एक मनमाने वलय पर यह सही नहीं है। उदाहरण के लिए, में $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$ , $\deg(2x)\deg(1+2x)=1\cdot 1=1$ , लेकिन $\deg(2x\circ (1+2x))=\deg(2+4x)=\deg(2)=0$ .

शून्य बहुपद की घात

शून्य बहुपद की घात या तो अपरिभाषित छोड़ दिया है, या नकारात्मक होने के लिए परिभाषित किया गया है (आमतौर पर -1 या $-\infty$ )^[9]

किसी भी निरंतर मूल्य की तरह, मान 0 एक (निरंतर) बहुपद के रूप में माना जा सकता है, शून्य बहुपद कहा जाता है। इसमें कोई शून्येतर शब्द नहीं हैं, और इसलिए पूरी तरह से कहा जा सकता है, इसकी कोई घात भी नहीं है। जैसे, इसकी घात आमतौर पर अपरिभाषित है। उपरोक्त खंड में बहुपदों की मात्रा और उत्पादों के स्तर के लिए प्रस्ताव लागू नहीं होता है अगर इसमें शामिल बहुपदों में से कोई भी शून्य बहुपद है।^[10]

तथापि, यह शून्य बहुपद की घात को ऋणात्मक अनंतता परिभाषित करने के लिए सुविधाजनक है, $-\infty ,$ और अंकगणित नियमों को लागू करने के लिए।^[11]

\max(a,-\infty )=a,

तथा

a+(-\infty )=-\infty .

इन उदाहरणों से स्पष्ट किया गया है कि यह विस्तार उपर्युक्त व्यवहार नियमों को कैसे संतुष्ट करता है:

योग की घात $(x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x$ 3. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है $3\leq \max(3,-\infty )$ .
अंतर की घात $(x)-(x)=0$ है $-\infty$ . यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है $-\infty \leq \max(1,1)$ .
उत्पाद की घात $(0)(x^{2}+1)=0$ है $-\infty$ . यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है $-\infty =-\infty +2$ .

फलन मान से गणना

कई सूत्र मौजूद हैं जो एक बहुपद फलन f की घात का मूल्यांकन करेगा। जो की स्पर्शोन्मुख विश्लेषण पर आधारित है

\deg f=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log x}}

;

यह लॉग-लॉग प्लॉट के ढलान के अनुमान की विधि का सटीक प्रतिरूप है।

यह सूत्र कुछ ऐसे कार्यों में घात की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है जो बहुपद नहीं हैं उदाहरण के लिए:

गुणात्मक प्रतिलोम की घात, $\ 1/x$ , -1 है।
वर्गमूल की घात, ${\sqrt {x}}$ , 1/2 है।
लघुगणक की घात, $\ \log x$ , 0 है।
घातीय फलन की घात, $\exp x$ , है $\infty .$

सूत्र भी ऐसे कार्यों के कई संयोजनों के लिए समझदार परिणाम देता है, जैसे, की घात ${\frac {1+{\sqrt {x}}}{x}}$ है $-1/2$ .

f के उसके मूल्यों से घात की गणना करने के लिए एक और सूत्र है।

\deg f=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}

;

यह दूसरा सूत्र L'Hopital के नियम को पहले सूत्र में लागू करने के बाद आता है। अंतः बोध से यह अधिक होता है कि घात D को व्युत्पन्न में एक अतिरिक्त स्थिर कारक के रूप में प्रदर्शित किया जाता है $dx^{d-1}$ का $x^{d}$ .

एक फलन के एसिम्प्टोटिक्स का एक और अधिक बारीक (एक साधारण संख्यात्मक घात से) विवरण बिग ओ नोटेशन का उपयोग करके किया जा सकता है। एल्गोरिदम के विश्लेषण में, उदाहरण के लिए, यह विकास दर के बीच अंतर करने के लिए अक्सर प्रासंगिक है $x$ तथा $x\log x$ , जो दोनों के रूप में ऊपर सूत्र के अनुसार एक ही घात होने के रूप में बाहर आ जाएगा।

दो या दो से अधिक चरों वाले बहुपदों का विस्तार

दो या दो से अधिक चर में बहुपदों के लिए शब्द की घात इस पद में चर के घातांकों का योग है; घात जिसे (कभी-कभी बहुपद की कुल घात कहा जाता है), बहुपद के सभी पदों की अधिकतम घात होती है। उदाहरण के लिए, बहुपद x²y² + 3x³ + 4y घात 4, शब्द के रूप में एक ही घात है x²y² .

चूंकि, चर में एक बहुपद x और y, x में बहुपद जो y में बहुपद हैं के साथ एक बहुपद है, और भी गुणक के साथ y में एक बहुपद जो x में बहुपद हैं। बहुपद $x^{2}y^{2}+3x^{3}+4y=(3)x^{3}+(y^{2})x^{2}+(4y)=(x^{2})y^{2}+(4)y+(3x^{3})$ की घात 3 में एक्स और घात 2 में y है।

अमूर्त बीजगणित में घात फलन

एक वलय (गणित) R, बहुपद वलय R[x], x में सभी बहुपदों का सेट है जो कि आर में गुणांक है विशेष स्थिति में कि R भी एक क्षेत्र बहुपद वलय है, R[x] एक प्रमुख आदर्श डोमेन है और अधिक महत्वपूर्ण बात यहाँ यूक्लिडियन डोमेन हमारी चर्चा के लिए है।

यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि एक क्षेत्र के ऊपर एक बहुपद की घात यूक्लिडियन डोमेन में मानक प्रकार्य की सभी आवश्यकताओं को संतुष्ट करती है। अर्थात्, दो बहुपद f(x) और g(x) उत्पाद की घात f(x)g(x) व्यक्तिगत रूप से f और g दोनों घात से बड़ी होनी चाहिए।वास्तव में कुछ मजबूत धारण:

\deg(f(x)g(x))=\deg(f(x))+\deg(g(x))

एक उदाहरण के लिए कि क्यों घात फलन एक वलय पर विफल हो सकता है जो एक क्षेत्र नहीं है निम्नलिखित उदाहरण ले। चलो R = $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ पूर्णांकों का वलय मॉड्यूलर अंकगणित 4, यह वलय एक क्षेत्र नहीं है और अभिन्न डोमेन भी नहीं है क्योंकि 2 × 2 = 4 ≡ 0 (मॉड 4)। इसलिए, मान लीजिए f(x) = g(x) = 2x + 1, फिर, f(x)g(x) = 4x² + 4x + 1 = 1. इस प्रकार deg(f⋅g) = 0 जो f और g की घात से अधिक नहीं है (जिनमें से प्रत्येक की घात 1 थी)।

चूंकि मानक फलन वलय के शून्य तत्व के लिए परिभाषित नहीं है, हम बहुपद f(x) = 0 की घात को भी अपरिभाषित करने के लिए विचार करते हैं ताकि यह यूक्लिडियन डोमेन में मानक के नियमों का पालन करे।

यह भी देखें

हाबिल-रफिनी प्रमेय
बीजगणित की मौलिक प्रमेय

↑ Weisstein, Eric W. "Polynomial Degree". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-31.
↑ ^2.0 ^2.1 "Degree (of an Expression)". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-31.
↑ "Names of Polynomials". November 25, 1997. Retrieved 5 February 2012.
↑ Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)
↑ King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".
↑ Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, $f(x)=a_{0}$ : "Such a polynomial is called a constant because if we substitute different values of x in it, we always obtain the same value $a_{0}$ ." (p. 23)
↑ James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171)
↑ Lang, Serge (2005). Algebra (3rd ed.). Springer. p. 100. ISBN 978-0-387-95385-4.
↑ Shafarevich (2003) says of the zero polynomial: "In this case, we consider that the degree of the polynomial is undefined." (p. 27)
Childs (1995) uses −1. (p. 233)
Childs (2009) uses −∞ (p. 287), however he excludes zero polynomials in his Proposition 1 (p. 288) and then explains that the proposition holds for zero polynomials "with the reasonable assumption that $-\infty$ + m = $-\infty$ for m any integer or m = $-\infty$ ".
Axler (1997) uses −∞. (p. 64)
Grillet (2007) says: "The degree of the zero polynomial 0 is sometimes left undefined or is variously defined as −1 ∈ $\mathbb {Z}$ or as $-\infty$ , as long as deg 0 < deg A for all A ≠ 0." (A is a polynomial.) However, he excludes zero polynomials in his Proposition 5.3. (p. 121)
↑ Barile, Margherita. "Zero Polynomial". MathWorld.
↑ Axler (1997) gives these rules and says: "The 0 polynomial is declared to have degree $-\infty$ so that exceptions are not needed for various reasonable results." (p. 64)

संदर्भ

Axler, Sheldon (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer Science & Business Media
Childs, Lindsay N. (1995), A Concrete Introduction to Higher Algebra (2nd ed.), Springer Science & Business Media
Childs, Lindsay N. (2009), A Concrete Introduction to Higher Algebra (3rd ed.), Springer Science & Business Media
Grillet, Pierre Antoine (2007), Abstract Algebra (2nd ed.), Springer Science & Business Media
King, R. Bruce (2009), Beyond the Quartic Equation, Springer Science & Business Media
Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd ed.), American Mathematical Society
Shafarevich, Igor R. (2003), Discourses on Algebra, Springer Science & Business Media

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एलटीआई प्रणाली सिद्धांत
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एफआईआर ट्रांसफर फंक्शन
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निहित सतह
विमानन
भूतपूर्व छात्र
छिपी सतह निर्धारण
अंतरिक्ष आक्रमणकारी
लकीर खींचने की क्रिया
एनएमओएस तर्क
उच्च संकल्प
एमओएस मेमोरी
पूरक राज्य मंत्री
नक्षत्र-भवन
वैश्विक चमक
मैकिंटोश कंप्यूटर
प्रथम व्यक्ति शूटर
साधारण मानचित्रण
हिमयुग (2002 फ़िल्म)
मेडागास्कर (2005 फ़िल्म)
बायोइनफॉरमैटिक्स
शारीरिक रूप से आधारित प्रतिपादन
हीरे की थाली
प्रतिबिंब (कंप्यूटर ग्राफिक्स)
2010 की एनिमेटेड फीचर फिल्मों की सूची
परिवेशी बाधा
वास्तविक समय (मीडिया)
जानकारी
कंकाल एनिमेशन
भीड़ अनुकरण
प्रक्रियात्मक एनिमेशन
अणु प्रणाली
कैमरा
माइक्रोस्कोप
इंजीनियवलय के चित्र
रेखापुंज छवि
नक्शा
हार्डवेयर एक्सिलरेशन
अंधेरा
गैर-समान तर्कसंगत बी-तख़्ता
नक्शा टक्कर
चुम्बकीय अनुनाद इमेजिंग
नमूनाकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग)
sculpting
आधुनिक कला का संग्रहालय
गेम डेवलपर्स कांफ्रेंस
शैक्षिक
आपूर्ती बंद करने की आवृत्ति
प्रतिक्रिया (इलेक्ट्रॉनिक्स)
अण्डाकार फिल्टर
सीरिज़ सर्किट)
मिलान जेड-ट्रांसफॉर्म विधि
कंघी फ़िल्टर
समूह देरी
सप्टक
दूसरों से अलग
लो पास फिल्टर
निर्देश प्रति सेकंड
अंकगणित अतिप्रवाह
चरण (लहरें)
हस्तक्षेप (लहर प्रसार)
बीट (ध्वनिक)
अण्डाकार तर्कसंगत कार्य
जैकोबी अण्डाकार कार्य
क्यू कारक
यूनिट सर्कल
फी (पत्र)
सुनहरा अनुपात
मोनोटोनिक
Immittance
ऑप एंप
आवेग invariance
बेसेल फलन
जटिल सन्युग्म
संकेत प्रतिबिंब
विद्युतीय ऊर्जा
इनपुट उपस्थिति
एकदिश धारा
जटिल संख्या
भार प्रतिबाधा
विद्युतचुंबकीय व्यवधान
बिजली की आपूर्ति
आम-कैथोड
अवमन्दन कारक
ध्वनिरोधन
गूंज (घटना)
फ्रेस्नेल समीकरण
रोड़ी
लोडिंग कॉइल
आर एस होयतो
लोड हो रहा है कॉइल
चेबीशेव बहुपद
एक बंदरगाह
सकारात्मक-वास्तविक कार्य
आपूर्ती बंद करने की आवृत्ति
उच्च मार्ग
रैखिक फ़िल्टर
प्रतिक दर
घेरा
नॉन-रिटर्न-टू-जीरो
अनियमित चर
संघ बाध्य
एकाधिक आवृत्ति-शिफ्ट कुंजीयन
COMPARATOR
द्विआधारी जोड़
असंबद्ध संचरण
त्रुटि समारोह
आपसी जानकारी
बिखरा हुआ1
डिजिटल मॉडुलन
डिमॉड्युलेटर
कंघा
खड़ी तरंगें
नमूना दर
प्रक्षेप
ऑडियो सिग्नल प्रोसेसिंग
खगोल-कंघी
खास समय
पोल (जटिल विश्लेषण)
दुर्लभ
आरसी सर्किट
अवरोध
स्थिर समय
एक घोड़ा
पुनरावृत्ति संबंध
निष्क्रिय फिल्टर
श्रव्य सीमा
मिक्सिंग कंसोल
एसी कपलिंग
क्यूएससी ऑडियो
संकट
दूसरों से अलग
डीएसएल मॉडम
फाइबर ऑप्टिक संचार
व्यावर्तित जोड़ी
बातचीत का माध्यम
समाक्षीय तार
लंबी दूरी का टेलीफोन कनेक्शन
डाउनस्ट्रीम (कंप्यूटर विज्ञान)
आवृत्ति द्वैध
आवृत्ति प्रतिक्रिया
आकड़ों की योग्यता
परीक्षण के अंतर्गत उपकरण
कंघी फिल्टर
निष्क्रियता (इंजीनियवलय)
लाभ (इलेक्ट्रॉनिक्स)
कोने की आवृत्ति
फील्ड इफ़ेक्ट ट्रांजिस्टर
कम आवृत्ति दोलन
एकीकृत परिपथ
निरंतर-प्रतिरोध नेटवर्क
यूनिट सर्कल
अधिकतम प्रयोग करने योग्य आवृत्ति
विशेषता समीकरण (कलन)
लहर संख्या
वेवगाइड (प्रकाशिकी)
लाप्लासियान
वेवनंबर
अपवर्तन तरंग
एकतरफा बहुपद
एकपदी की घात
एक बहुपद का क्रम (बहुविकल्पी)
रैखिक प्रकार्य
कामुक समीकरण
चतुर्थक कार्य
क्रमसूचक अंक
त्रिनाम
इंटीग्रल डोमेन
सदिश स्थल
फील्ड (गणित)
सेट (गणित)
वलय (गणित)
पूर्णांक मॉड्यूल n
लोगारित्म
घातांक प्रकार्य
एल्गोरिदम का विश्लेषण
बीजगणित का मौलिक प्रमेय

बाहरी संबंध

Polynomial Order; Wolfram MathWorld

[8] For simplicity, this is a homogeneous polynomial, with equal degree in both variables separately.

[1] Weisstein, Eric W. "Polynomial Degree". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-31.

[:0-2] 2.0 ^2.1 "Degree (of an Expression)". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-31.

[3] "Names of Polynomials". November 25, 1997. Retrieved 5 February 2012.

[4] Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)

[5] King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".

[6] Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, $f(x)=a_{0}$ : "Such a polynomial is called a constant because if we substitute different values of x in it, we always obtain the same value $a_{0}$ ." (p. 23)

[7] James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171)

[9] Lang, Serge (2005). Algebra (3rd ed.). Springer. p. 100. ISBN 978-0-387-95385-4.

[10] Shafarevich (2003) says of the zero polynomial: "In this case, we consider that the degree of the polynomial is undefined." (p. 27)
Childs (1995) uses −1. (p. 233)
Childs (2009) uses −∞ (p. 287), however he excludes zero polynomials in his Proposition 1 (p. 288) and then explains that the proposition holds for zero polynomials "with the reasonable assumption that $-\infty$ + m = $-\infty$ for m any integer or m = $-\infty$ ".
Axler (1997) uses −∞. (p. 64)
Grillet (2007) says: "The degree of the zero polynomial 0 is sometimes left undefined or is variously defined as −1 ∈ $\mathbb {Z}$ or as $-\infty$ , as long as deg 0 < deg A for all A ≠ 0." (A is a polynomial.) However, he excludes zero polynomials in his Proposition 5.3. (p. 121)

[11] Barile, Margherita. "Zero Polynomial". MathWorld.

[12] Axler (1997) gives these rules and says: "The 0 polynomial is declared to have degree $-\infty$ so that exceptions are not needed for various reasonable results." (p. 64)

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 {{short description|Mathematical concept}}
-गणित में, एक [[ बहुपद |बहुपद]] की डिग्री, शून्य गुणांकों वाले बहुपद मोनोमियल (अलग-अलग शब्दों) की उच्चतम डिग्री होती है। एक शब्द की घात उस में दिखाई देने वाले [[ चर (गणित) |चर (गणित)]] के प्रतिपादकों का योग है, और इस प्रकार एक गैर नकारात्मक [[ पूर्णांक | पूर्णांक]] है।एक बहुपदी बहुपद के लिए, बहुपद की डिग्री केवल बहुपद में उत्पन्न उच्चतम प्रतिपादक है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial Degree|url=https://mathworld.wolfram.com/PolynomialDegree.html|access-date=2020-08-31|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|title=Degree (of an Expression)|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/degree-expression.html|access-date=2020-08-31|website=www.mathsisfun.com}}</ref> शब्द क्रम का प्रयोग डिग्री के पर्यायार्थ के रूप में किया गया है, लेकिन आजकल, यह अनेक अन्य अवधारणाओं के संदर्भ में ((बहुपद) बहुविकल्पी व्यवस्था को दर्शाता है।)
+गणित में, एक [[ बहुपद |बहुपद]] की  घात, शून्य गुणांकों वाले बहुपद मोनोमियल (अलग-अलग शब्दों) की उच्चतम  घात होती है। एक शब्द की घात उस में दिखाई देने वाले [[ चर (गणित) |चर (गणित)]] के प्रतिपादकों का योग है, और इस प्रकार एक गैर नकारात्मक [[ पूर्णांक | पूर्णांक]] है।एक बहुपदी बहुपद के लिए, बहुपद की  घात केवल बहुपद में उत्पन्न उच्चतम प्रतिपादक है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial Degree|url=https://mathworld.wolfram.com/PolynomialDegree.html|access-date=2020-08-31|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|title=Degree (of an Expression)|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/degree-expression.html|access-date=2020-08-31|website=www.mathsisfun.com}}</ref> शब्द क्रम का प्रयोग  घात के पर्यायार्थ के रूप में किया गया है, लेकिन आजकल, यह अनेक अन्य अवधारणाओं के संदर्भ में ((बहुपद) बहुविकल्पी व्यवस्था को दर्शाता है।)
-उदाहरण के लिए, बहुपद  <math>7x^2y^3 + 4x - 9,</math> जो भी लिखा जा सकता है <math>7x^2y^3 + 4x^1y^0 - 9x^0y^0,</math> तीन शब्द है। पहले पद का घात 5 है ([[ घातांक ]] 2 और 3 का योग), दूसरे पद का घात 1 है, और अंतिम पद का घात 0 है। इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है जो किसी भी पद की उच्चतम डिग्री है।
+उदाहरण के लिए, बहुपद  <math>7x^2y^3 + 4x - 9,</math> जो भी लिखा जा सकता है <math>7x^2y^3 + 4x^1y^0 - 9x^0y^0,</math> तीन शब्द है। पहले पद का घात 5 है ([[ घातांक ]] 2 और 3 का योग), दूसरे पद का घात 1 है, और अंतिम पद का घात 0 है। इसलिए बहुपद की  घात 5 है जो किसी भी पद की उच्चतम  घात है।
-एक बहुपद की डिग्री निर्धारित करने के लिए जो मानक रूप में नहीं है, जैसे कि <math>(x+1)^2 - (x-1)^2</math>, कोई भी इसे उत्पादों ([[ वितरण |वितरण]] द्वारा) के विस्तार और समान शर्तों के संयोजन द्वारा मानक रूप में रख सकता है; उदाहरण के लिए, <math>(x+1)^2 - (x-1)^2 = 4x</math> की डिग्री 1 है, हालांकि प्रत्येक शिखर की डिग्री 2 है। हालांकि, यह तब आवश्यक नहीं है जब बहुपद को मानक रूप में एक उत्पाद के रूप में लिखा जाता है क्योंकि एक उत्पाद की डिग्री कारकों की डिग्री का योग है।
+एक बहुपद की  घात निर्धारित करने के लिए जो मानक रूप में नहीं है, जैसे कि <math>(x+1)^2 - (x-1)^2</math>, कोई भी इसे उत्पादों ([[ वितरण |वितरण]] द्वारा) के विस्तार और समान शर्तों के संयोजन द्वारा मानक रूप में रख सकता है; उदाहरण के लिए, <math>(x+1)^2 - (x-1)^2 = 4x</math> की  घात 1 है, चूंकि प्रत्येक शिखर की  घात 2 है। चूंकि, यह तब आवश्यक नहीं है जब बहुपद को मानक रूप में एक उत्पाद के रूप में लिखा जाता है क्योंकि एक उत्पाद की  घात कारकों की  घात का योग है।
 == घात के अनुसार बहुपदों के नाम==
 {{wiktionary|परिशिष्ट: अंग्रेजी बहुपद डिग्री}}
-बहुपदों को उनकी डिग्री के अनुसार निम्नलिखित नाम दिए गए हैं:<ref>{{cite web| url=http://mathforum.org/library/drmath/view/56413.html | title=Names of Polynomials | date=November 25, 1997| access-date=5 February 2012}}</ref><ref>Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)</ref><ref>King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".</ref><ref name=":0" />
+बहुपदों को उनकी  घात के अनुसार निम्नलिखित नाम दिए गए हैं:<ref>{{cite web| url=http://mathforum.org/library/drmath/view/56413.html | title=Names of Polynomials | date=November 25, 1997| access-date=5 February 2012}}</ref><ref>Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)</ref><ref>King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".</ref><ref name=":0" />
-*विशेष स्थिति - [[ शून्य बहुपद |शून्य बहुपद]](नीचे शून्य बहुपद की डिग्री देखें)
+*विशेष स्थिति - [[ शून्य बहुपद |शून्य बहुपद]](नीचे शून्य बहुपद की  घात देखें)
-*डिग्री 0 - गैर-शून्य [[ निरंतर कार्य | निरंतर]] <ref>Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, <math>f(x)=a_0</math>: "Such a polynomial is called a ''constant'' because if we substitute different values of ''x'' in it, we always obtain the same value <math>a_0</math>." (p. 23)</ref>
+*घात 0 - गैर-शून्य [[ निरंतर कार्य | निरंतर]] <ref>Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, <math>f(x)=a_0</math>: "Such a polynomial is called a ''constant'' because if we substitute different values of ''x'' in it, we always obtain the same value <math>a_0</math>." (p. 23)</ref>
-*डिग्री 1 -  रैखिक
+*घात 1 -  रैखिक
-*डिग्री 2 - [[ द्विघात बहुपद | द्विघात]]
+*घात 2 - [[ द्विघात बहुपद | द्विघात]]
-*डिग्री 3 - [[ घन समारोह | घन]]
+*घात 3 - [[ घन समारोह | घन]]
-*डिग्री 4 - क्वार्टिक (या, यदि सभी शर्तों में भी डिग्री,[[ द्विघात फलन | द्विद्विघात]] है)
+*घात 4 - क्वार्टिक (या, यदि सभी शर्तों में भी  घात,[[ द्विघात फलन | द्विद्विघात]] है)
-*डिग्री 5 - [[ क्विंटिक समीकरण | क्विंटिक]]
+*घात 5 - [[ क्विंटिक समीकरण | क्विंटिक]]
-*डिग्री 6 - सेक्स्टिक (या, सामान्य रूप से कम, हेसिक)
+*घात 6 - सेक्स्टिक (या, सामान्य रूप से कम, हेसिक)
-*डिग्री 7 - [[ सेप्टिक समीकरण | सेप्टिक]] (या, सामान्य रूप से कम, हेप्टिक)
+*घात 7 - [[ सेप्टिक समीकरण | सेप्टिक]] (या, सामान्य रूप से कम, हेप्टिक)
-उच्चतर पद के लिए, कभी-कभी प्रस्ताव रखा जाता है,<ref>[[James Cockle]] proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. ([https://books.google.com/books?id=cxIFAAAAQAAJ&pg=PP1#v=onepage&q=sexic%20septic%20octic%20nonic%20decic&f=false ''Mechanics Magazine'', Vol. LV, p. 171])</ref> लेकिन वे शायद ही कभी इस्तेमाल किया जाता है:
+उच्चतर पद के लिए, कभी-कभी प्रस्ताव रखा जाता है,<ref>[[James Cockle]] proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. ([https://books.google.com/books?id=cxIFAAAAQAAJ&pg=PP1#v=onepage&q=sexic%20septic%20octic%20nonic%20decic&f=false ''Mechanics Magazine'', Vol. LV, p. 171])</ref> लेकिन वे शायद ही कभी उपयोग किया जाता है:
-*डिग्री 8 - ओक्टिक
+*घात 8 - ओक्टिक
-*डिग्री 9 - नॉनिक
+*घात 9 - नॉनिक
-*डिग्री 10 - डेसिक
+*घात 10 - डेसिक
-तीन से ऊपर की डिग्री के लिए नाम लैटिन क्रम संख्या पर आधारित होते हैं, और अंत-आईसी (ic) में होते हैं। यह चर की संख्या के लिए उपयोग किए जाने वाले नामों से अलग होना चाहिए, [[ एरिटी |एरिटी]], जो लैटिन में [[ वितरण संख्या |वितरण संख्या]] पर आधारित है, और -ary में समाप्त होता है। उदाहरण के लिए, एक डिग्री दो बहुपद जैसे दो चर में दो बहुपद <math>x^2 + xy + y^2</math>,को "द्विआधारी द्विघात" कहा जाता है: द्विआधारी कारण दो चर, द्विघात डिग्री दो के कारण होता है।{{efn|For simplicity, this is a [[homogeneous polynomial]], with equal degree in both variables separately.}} शब्दों की संख्या के लिए भी नाम हैं, जो भी लैटिन वितरक संख्याओं पर आधारित हैं, जो कि -नॉमियल में समाप्त होता है; आम एकपद, [[ द्विपद (बहुपद) |द्विपद]] और (कम सामान्यतः) त्रिपद होते हैं; इस प्रकार <math>x^2 + y^2</math> एक "द्विआधारी द्विपद" होता है।
+तीन से ऊपर की  घात के लिए नाम लैटिन क्रम संख्या पर आधारित होते हैं, और अंत-आईसी (ic) में होते हैं। यह चर की संख्या के लिए उपयोग किए जाने वाले नामों से अलग होना चाहिए, [[ एरिटी |एरिटी]], जो लैटिन में [[ वितरण संख्या |वितरण संख्या]] पर आधारित है, और -ary में समाप्त होता है। उदाहरण के लिए, एक  घात दो बहुपद जैसे दो चर में दो बहुपद <math>x^2 + xy + y^2</math>, को "द्विआधारी द्विघात" कहा जाता है: द्विआधारी कारण दो चर, द्विघात घात दो के कारण होता है।{{efn|For simplicity, this is a [[homogeneous polynomial]], with equal degree in both variables separately.}} शब्दों की संख्या के लिए भी नाम हैं, जो भी लैटिन वितरक संख्याओं पर आधारित हैं, जो कि -नॉमियल में समाप्त होता है; आम एकपद, [[ द्विपद (बहुपद) |द्विपद]] और (कम सामान्यतः) त्रिपद होते हैं; इस प्रकार <math>x^2 + y^2</math> एक "द्विआधारी द्विपद" होता है।
 ==उदाहरण==
-बहुपद <math>(y - 3)(2y + 6)(-4y - 21)</math> एक घन बहुपद हैः बाहर गुणा और एक ही डिग्री के शब्दों का संग्रह के बाद, यह हो जाता है <math>- 8 y^3 - 42 y^2 + 72 y + 378</math>, उच्चतम घातांक 3 के साथ।
+बहुपद <math>(y - 3)(2y + 6)(-4y - 21)</math> एक घन बहुपद हैः बाहर गुणा और एक ही  घात के शब्दों का संग्रह के बाद, यह हो जाता है <math>- 8 y^3 - 42 y^2 + 72 y + 378</math>, उच्चतम घातांक 3 के साथ।
 बहुपद <math>(3 z^8 + z^5 - 4 z^2 + 6) + (-3 z^8 + 8 z^4 + 2 z^3 + 14 z)</math> एक क्विंटिक बहुपद है: समान पदों को मिलाने पर, घात 8 के दो पद रद्द हो जाते हैं, छोड़कर <math>z^5 + 8 z^4 + 2 z^3 - 4 z^2 + 14 z + 6</math>, सर्वोच्च घातांक 5 के साथ।
 ==बहुपद संचालन के तहत व्यवहार==
-योग की डिग्री, उत्पाद या दो बहुपदों का संयोजन निवेश बहुपदों की डिग्री से दृढ़ता से संबंधित है।<ref>{{cite book|last1=Lang|first1=Serge|title=Algebra|date=2005|publisher=Springer|isbn=978-0-387-95385-4|pages=100|edition=3rd|ref=lang}}</ref>
+योग की  घात, उत्पाद या दो बहुपदों का संयोजन निवेश बहुपदों की  घात से दृढ़ता से संबंधित है।<ref>{{cite book|last1=Lang|first1=Serge|title=Algebra|date=2005|publisher=Springer|isbn=978-0-387-95385-4|pages=100|edition=3rd|ref=lang}}</ref>
 ===जोड़===
-दो बहुपदों के योग (या अंतर) की डिग्री उनकी उपाधियों से कम या बराबर है;अर्थात्,
+दो बहुपदों के योग (या अंतर) की  घात उनकी उपाधियों से कम या बराबर है;अर्थात्,
 :<math>\deg(P + Q) \leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}</math> तथा <math>\deg(P - Q) \leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}</math>.
-उदाहरण के लिए, की डिग्री <math>(x^3+x)-(x^3+x^2)=-x^2+x</math> 2, और 2 ≤ अधिकतम{3, 3} है।
+उदाहरण के लिए, की  घात <math>(x^3+x)-(x^3+x^2)=-x^2+x</math> 2, और 2 ≤ अधिकतम{3, 3} है।
-बहुपदों के स्तरों के अलग-अलग होने पर हमेशा समानता कायम रहती है। उदाहरण के लिए, की डिग्री <math>(x^3+x)+(x^2+1)=x^3+x^2+x+1</math> 3 है, और 3 = अधिकतम{3, 2} है।
+बहुपदों के स्तरों के अलग-अलग होने पर हमेशा समानता कायम रहती है। उदाहरण के लिए, की  घात <math>(x^3+x)+(x^2+1)=x^3+x^2+x+1</math> 3 है, और 3 = अधिकतम{3, 2} है।
 ===गुणन===
-एक गैर शून्य [[ अदिश (गणित) |अदिश (गणित)]] द्वारा एक बहुपद के उत्पाद की डिग्री बहुपद की डिग्री के बराबर है;अर्थात्,
+एक गैर शून्य [[ अदिश (गणित) |अदिश (गणित)]] द्वारा एक बहुपद के उत्पाद की  घात बहुपद की  घात के बराबर है;अर्थात्,
 :<math>\deg(cP)=\deg(P)</math>
-उदाहरण के लिए, की डिग्री <math>2(x^2+3x-2)=2x^2+6x-4</math> 2 है, जो की डिग्री के बराबर है <math>x^2+3x-2</math>.
+उदाहरण के लिए, की  घात <math>2(x^2+3x-2)=2x^2+6x-4</math> 2 है, जो की  घात के बराबर है <math>x^2+3x-2</math>.
-इस प्रकार, बहुपदों का सेट (दिए गए क्षेत्र एफ से गुणांक सहित) जिसकी डिग्री दी गई संख्या N से छोटा या उसके बराबर है, एक सदिश स्थान बनाता है;अधिक जानकारी के लिए सदिश रिक्त स्थान के उदाहरण देखें.आम तौर पर दो बहुपदों के उत्पाद की डिग्री एक क्षेत्र या एक अभिन्न डोमेन पर उनकी डिग्री का योग होता है:
+इस प्रकार, बहुपदों का सेट (दिए गए क्षेत्र एफ से गुणांक सहित) जिसकी  घात दी गई संख्या N से छोटा या उसके बराबर है, एक सदिश स्थान बनाता है;अधिक जानकारी के लिए सदिश रिक्त स्थान के उदाहरण देखें.आम तौर पर दो बहुपदों के उत्पाद की  घात एक क्षेत्र या एक अभिन्न डोमेन पर उनकी  घात का योग होता है:
 :<math>\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)</math>.
-उदाहरण के लिए, की डिग्री <math>(x^3+x)(x^2+1)=x^5+2x^3+x</math> 5 = 3 + 2 है।
+उदाहरण के लिए, की  घात <math>(x^3+x)(x^2+1)=x^5+2x^3+x</math> 5 = 3 + 2 है।
-बहुपदों के लिए एक मनमाने अंगूठी पर, ऊपर के नियम मान्य नहीं हो सकते, क्योंकि रद्दीकरण के कारण जो दो गैर शून्य स्थिरांक के गुणा करने पर हो सकता है। उदाहरण के लिए, रिंग में <math>\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}</math> पूर्णांक modulo 4, एक है कि  <math>\deg(2x) = \deg(1+2x) = 1</math>,  लेकिन <math>\deg(2x(1+2x)) = \deg(2x) = 1</math>, जो कारकों की डिग्री के योग के बराबर नहीं है।
+बहुपदों के लिए एक मनमाने वलय पर, ऊपर के नियम मान्य नहीं हो सकते, क्योंकि रद्दीकरण के कारण जो दो गैर शून्य स्थिरांक के गुणा करने पर हो सकता है। उदाहरण के लिए, वलय में <math>\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}</math> पूर्णांक मॉडुलो 4, एक है कि  <math>\deg(2x) = \deg(1+2x) = 1</math>,  लेकिन <math>\deg(2x(1+2x)) = \deg(2x) = 1</math>, जो कारकों की  घात के योग के बराबर नहीं है।
 ===रचना===
-दो गैर निरंतर बहुपदों <math>P</math> और <math>Q</math> एक क्षेत्र या अभिन्न डोमेन पर उनके संयोजन की डिग्री उनकी डिग्री का उत्पाद है:
+दो गैर निरंतर बहुपदों <math>P</math> और <math>Q</math> एक क्षेत्र या अभिन्न डोमेन पर उनके संयोजन की  घात उनकी  घात का उत्पाद है:
 :<math>\deg(P \circ Q) = \deg(P)\deg(Q)</math>.
 उदाहरण के लिए:
-* यदि <math>P = (x^3+x)</math>, <math>Q = (x^2+1)</math>, फिर <math>P \circ Q = P \circ (x^2+1) = (x^2+1)^3+(x^2+1) = x^6+3x^4+4x^2+2</math>, जिसकी डिग्री 6 है।
+* यदि <math>P = (x^3+x)</math>, <math>Q = (x^2+1)</math>, फिर <math>P \circ Q = P \circ (x^2+1) = (x^2+1)^3+(x^2+1) = x^6+3x^4+4x^2+2</math>, जिसकी  घात 6 है।
 यह जरूरी नहीं है कि बहुपदों के लिए एक मनमाने वलय पर यह सही नहीं है। उदाहरण के लिए, में <math>\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}</math>, <math>\deg(2x) \deg(1+2x) = 1\cdot 1 = 1</math>, लेकिन <math>\deg(2x\circ(1+2x)) = \deg(2+4x)=\deg(2) = 0</math>.
-==शून्य बहुपद की डिग्री==
+==शून्य बहुपद की  घात==
-शून्य बहुपद की डिग्री या तो अपरिभाषित छोड़ दिया है, या नकारात्मक होने के लिए परिभाषित किया गया है (आमतौर पर -1 या <math>-\infty</math>)<ref>
+शून्य बहुपद की  घात या तो अपरिभाषित छोड़ दिया है, या नकारात्मक होने के लिए परिभाषित किया गया है (आमतौर पर -1 या <math>-\infty</math>)<ref>
 Shafarevich (2003) says of the zero polynomial: "In this case, we consider that the degree of the polynomial is undefined." (p. 27)<br />
 Childs (1995) uses −1. (p. 233)<br />
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 </ref>
-किसी भी निरंतर मूल्य की तरह, मान 0 एक (निरंतर) बहुपद के रूप में माना जा सकता है, शून्य बहुपद कहा जाता है। इसमें कोई शून्येतर शब्द नहीं हैं, और इसलिए पूरी तरह से कहा जा सकता है, इसकी कोई डिग्री भी नहीं है। जैसे, इसकी डिग्री आमतौर पर अपरिभाषित है। उपरोक्त खंड में बहुपदों की मात्रा और उत्पादों के स्तर के लिए प्रस्ताव लागू नहीं होता है अगर इसमें शामिल बहुपदों में से कोई भी शून्य बहुपद है।<ref>{{MathWorld|author=Barile, Margherita|id=ZeroPolynomial|title=Zero Polynomial}}</ref>
+किसी भी निरंतर मूल्य की तरह, मान 0 एक (निरंतर) बहुपद के रूप में माना जा सकता है, शून्य बहुपद कहा जाता है। इसमें कोई शून्येतर शब्द नहीं हैं, और इसलिए पूरी तरह से कहा जा सकता है, इसकी कोई  घात भी नहीं है। जैसे, इसकी  घात आमतौर पर अपरिभाषित है। उपरोक्त खंड में बहुपदों की मात्रा और उत्पादों के स्तर के लिए प्रस्ताव लागू नहीं होता है अगर इसमें शामिल बहुपदों में से कोई भी शून्य बहुपद है।<ref>{{MathWorld|author=Barile, Margherita|id=ZeroPolynomial|title=Zero Polynomial}}</ref>
-तथापि, यह शून्य बहुपद की डिग्री को ऋणात्मक अनंतता परिभाषित करने के लिए सुविधाजनक है, <math>-\infty,</math> और अंकगणित नियमों को लागू करने के लिए।<ref>Axler (1997) gives these rules and says: "The 0 polynomial is declared to have degree <math>-\infty</math> so that exceptions are not needed for various reasonable results." (p. 64)</ref>
+तथापि, यह शून्य बहुपद की  घात को ऋणात्मक अनंतता परिभाषित करने के लिए सुविधाजनक है, <math>-\infty,</math> और अंकगणित नियमों को लागू करने के लिए।<ref>Axler (1997) gives these rules and says: "The 0 polynomial is declared to have degree <math>-\infty</math> so that exceptions are not needed for various reasonable results." (p. 64)</ref>
 :<math>\max(a,-\infty) = a,</math>
 तथा
 :<math>a + (-\infty) = -\infty.</math>
 इन उदाहरणों से स्पष्ट किया गया है कि यह विस्तार उपर्युक्त व्यवहार नियमों को कैसे संतुष्ट करता है:
-*योग की डिग्री <math>(x^3+x)+(0)=x^3+x</math> 3. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है  <math>3 \le \max(3, -\infty)</math>.
+*योग की  घात <math>(x^3+x)+(0)=x^3+x</math> 3. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है  <math>3 \le \max(3, -\infty)</math>.
-*अंतर की डिग्री <math>(x)-(x) = 0</math> है <math>-\infty</math>. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है <math>-\infty \le \max(1,1)</math>.
+*अंतर की  घात <math>(x)-(x) = 0</math> है <math>-\infty</math>. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है <math>-\infty \le \max(1,1)</math>.
-*उत्पाद की डिग्री <math>(0)(x^2+1)=0</math> है <math>-\infty</math>. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है <math>-\infty = -\infty + 2</math>.
+*उत्पाद की  घात <math>(0)(x^2+1)=0</math> है <math>-\infty</math>. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है <math>-\infty = -\infty + 2</math>.
-==फ़ंक्शन मान से गणना==
+==फलन मान से गणना==
-कई सूत्र मौजूद हैं जो एक बहुपद फलन f की डिग्री का मूल्यांकन करेगा। जो एक[[ स्पर्शोन्मुख विश्लेषण | स्पर्शोन्मुख विश्लेषण]] पर आधारित है
+कई सूत्र मौजूद हैं जो एक बहुपद फलन f की  घात का मूल्यांकन करेगा। जो की [[ स्पर्शोन्मुख विश्लेषण |स्पर्शोन्मुख विश्लेषण]] पर आधारित है
 :<math>\deg f = \lim_{x\rarr\infty}\frac{\log |f(x)|}{\log x}</math>;
 यह लॉग-लॉग प्लॉट के ढलान के अनुमान की विधि का सटीक प्रतिरूप है।
-यह सूत्र कुछ ऐसे कार्यों में डिग्री की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है जो बहुपद नहीं हैं उदाहरण के लिए:
+यह सूत्र कुछ ऐसे कार्यों में  घात की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है जो बहुपद नहीं हैं उदाहरण के लिए:
-*[[ गुणात्मक प्रतिलोम | गुणात्मक प्रतिलोम]]  की डिग्री, <math>\ 1/x</math>, -1 है।
+*[[ गुणात्मक प्रतिलोम | गुणात्मक प्रतिलोम]]  की  घात, <math>\ 1/x</math>, -1 है।
-*[[ वर्गमूल | वर्गमूल]]  की डिग्री, <math>\sqrt x </math>, 1/2 है।
+*[[ वर्गमूल | वर्गमूल]]  की  घात, <math>\sqrt x </math>, 1/2 है।
-*लघुगणक की डिग्री, <math>\ \log x</math>, 0 है।
+*लघुगणक की  घात, <math>\ \log x</math>, 0 है।
-*घातीय फ़ंक्शन की डिग्री, <math>\exp x</math>, है <math>\infty.</math>
+*घातीय फलन की  घात, <math>\exp x</math>, है <math>\infty.</math>
-सूत्र भी ऐसे कार्यों के कई संयोजनों के लिए समझदार परिणाम देता है, जैसे, की डिग्री <math>\frac{1 + \sqrt{x}}{x}</math> है <math>-1/2</math>.
+सूत्र भी ऐसे कार्यों के कई संयोजनों के लिए समझदार परिणाम देता है, जैसे, की  घात <math>\frac{1 + \sqrt{x}}{x}</math> है <math>-1/2</math>.
-f  के उसके मूल्यों से डिग्री की गणना करने के लिए एक और सूत्र है।
+f  के उसके मूल्यों से  घात की गणना करने के लिए एक और सूत्र है।
 :<math>\deg f = \lim_{x\to\infty}\frac{x f'(x)}{f(x)}</math>;
-यह दूसरा सूत्र L'Hopital के नियम को पहले सूत्र में लागू करने के बाद आता है। अंतः बोध से यह अधिक होता है कि डिग्री D को व्युत्पन्न में एक अतिरिक्त स्थिर कारक के रूप में प्रदर्शित किया जाता है <math>d x^{d-1}</math> का <math>x^d</math>.
+यह दूसरा सूत्र L'Hopital के नियम को पहले सूत्र में लागू करने के बाद आता है। अंतः बोध से यह अधिक होता है कि  घात D को व्युत्पन्न में एक अतिरिक्त स्थिर कारक के रूप में प्रदर्शित किया जाता है <math>d x^{d-1}</math> का <math>x^d</math>.
-एक फ़ंक्शन के एसिम्प्टोटिक्स का एक और अधिक बारीक (एक साधारण संख्यात्मक डिग्री से) विवरण [[ बिग ओ नोटेशन | बिग ओ नोटेशन]] का उपयोग करके किया जा सकता है। एल्गोरिदम के विश्लेषण में, उदाहरण के लिए, यह विकास दर के बीच अंतर करने के लिए अक्सर प्रासंगिक है  <math> x </math> तथा <math> x \log x </math>, जो दोनों के रूप में ऊपर सूत्र के अनुसार एक ही डिग्री होने के रूप में बाहर आ जाएगा।
+एक फलन के एसिम्प्टोटिक्स का एक और अधिक बारीक (एक साधारण संख्यात्मक  घात से) विवरण [[ बिग ओ नोटेशन | बिग ओ नोटेशन]] का उपयोग करके किया जा सकता है। एल्गोरिदम के विश्लेषण में, उदाहरण के लिए, यह विकास दर के बीच अंतर करने के लिए अक्सर प्रासंगिक है  <math> x </math> तथा <math> x \log x </math>, जो दोनों के रूप में ऊपर सूत्र के अनुसार एक ही  घात होने के रूप में बाहर आ जाएगा।
 ==दो या दो से अधिक चरों वाले बहुपदों का विस्तार ==
-दो या दो से अधिक चर में बहुपदों के लिए शब्द की डिग्री इस पद में चर के घातांकों का योग है; डिग्री जिसे (कभी-कभी बहुपद की कुल डिग्री कहा जाता है), बहुपद के सभी पदों की अधिकतम डिग्री होती है। उदाहरण के लिए, बहुपद  ''x''<sup>2</sup>''y''<sup>2</sup> + 3''x''<sup>3</sup> + 4''y डिग्री 4, शब्द के रूप में एक ही डिग्री है  x<sup>2</sup>y<sup>2</sup> .''
+दो या दो से अधिक चर में बहुपदों के लिए शब्द की  घात इस पद में चर के घातांकों का योग है;  घात जिसे (कभी-कभी बहुपद की कुल  घात कहा जाता है), बहुपद के सभी पदों की अधिकतम  घात होती है। उदाहरण के लिए, बहुपद  ''x''<sup>2</sup>''y''<sup>2</sup> + 3''x''<sup>3</sup> + 4''y  घात 4, शब्द के रूप में एक ही  घात है  x<sup>2</sup>y<sup>2</sup> .''
-हालांकि, चर में एक बहुपद  x और y,  x में बहुपद जो y में बहुपद हैं के साथ एक बहुपद है, और भी गुणक के साथ y में एक बहुपद जो x में बहुपद हैं। बहुपद <math>x^2y^2 + 3x^3 + 4y = (3)x^3 + (y^2)x^2 + (4y) =  (x^2)y^2 + (4)y  + (3x^3)</math> की डिग्री 3 में एक्स और डिग्री 2 में y है।
+चूंकि, चर में एक बहुपद  x और y,  x में बहुपद जो y में बहुपद हैं के साथ एक बहुपद है, और भी गुणक के साथ y में एक बहुपद जो x में बहुपद हैं। बहुपद <math>x^2y^2 + 3x^3 + 4y = (3)x^3 + (y^2)x^2 + (4y) =  (x^2)y^2 + (4)y  + (3x^3)</math> की  घात 3 में एक्स और  घात 2 में y है।
-==अमूर्त बीजगणित में डिग्री फ़ंक्शन==
+==अमूर्त बीजगणित में  घात फलन==
 एक वलय (गणित) R, [[ बहुपद वलय |बहुपद वलय]] R[x], x में सभी बहुपदों का सेट है जो कि आर में गुणांक है विशेष स्थिति में कि R भी एक क्षेत्र बहुपद वलय है, R[x] एक [[ प्रमुख आदर्श डोमेन | प्रमुख आदर्श डोमेन]] है और अधिक महत्वपूर्ण बात यहाँ [[ यूक्लिडियन डोमेन |यूक्लिडियन डोमेन]] हमारी चर्चा के लिए है।
-यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि एक क्षेत्र के ऊपर एक बहुपद की डिग्री यूक्लिडियन डोमेन में मानक प्रकार्य की सभी आवश्यकताओं को संतुष्ट करती है। अर्थात्, दो बहुपद f(x) और g(x) उत्पाद की डिग्री f(x)g(x) व्यक्तिगत रूप से f और g दोनों डिग्री से बड़ी होनी चाहिए।वास्तव में कुछ मजबूत धारण:
+यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि एक क्षेत्र के ऊपर एक बहुपद की  घात यूक्लिडियन डोमेन में मानक प्रकार्य की सभी आवश्यकताओं को संतुष्ट करती है। अर्थात्, दो बहुपद f(x) और g(x) उत्पाद की  घात f(x)g(x) व्यक्तिगत रूप से f और g दोनों  घात से बड़ी होनी चाहिए।वास्तव में कुछ मजबूत धारण:
 :<math>\deg(f(x)g(x)) = \deg(f(x)) + \deg(g(x))</math>
-एक उदाहरण के लिए कि क्यों डिग्री फ़ंक्शन एक वलय  पर विफल हो सकता है जो एक क्षेत्र नहीं है निम्नलिखित उदाहरण ले। चलो R = <math>\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}</math>  पूर्णांकों का वलय [[ मॉड्यूलर अंकगणित | मॉड्यूलर अंकगणित]] 4, यह वलय एक क्षेत्र नहीं है और अभिन्न डोमेन भी नहीं है क्योंकि 2 × 2 = 4 ≡ 0 (मॉड 4)। इसलिए, माना f(x) = g(x) = 2x + 1, फिर, f(x)g(x) = 4x<sup>2</sup> + 4x + 1 = 1. इस प्रकार  deg(f⋅g) = 0 जो f और g की डिग्री से अधिक नहीं है (जिनमें से प्रत्येक की डिग्री 1 थी)।
+एक उदाहरण के लिए कि क्यों  घात फलन एक वलय  पर विफल हो सकता है जो एक क्षेत्र नहीं है निम्नलिखित उदाहरण ले। चलो R = <math>\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}</math>  पूर्णांकों का वलय [[ मॉड्यूलर अंकगणित | मॉड्यूलर अंकगणित]] 4, यह वलय एक क्षेत्र नहीं है और अभिन्न डोमेन भी नहीं है क्योंकि 2 × 2 = 4 ≡ 0 (मॉड 4)। इसलिए, मान लीजिए  f(x) = g(x) = 2x + 1, फिर, f(x)g(x) = 4x<sup>2</sup> + 4x + 1 = 1. इस प्रकार  deg(f⋅g) = 0 जो f और g की  घात से अधिक नहीं है (जिनमें से प्रत्येक की  घात 1 थी)।
-चूंकि मानक फ़ंक्शन वलय के शून्य तत्व के लिए परिभाषित नहीं है, हम बहुपद f(x) = 0 की डिग्री को भी अपरिभाषित करने के लिए विचार करते हैं ताकि यह यूक्लिडियन डोमेन में मानक के नियमों का पालन करे।
+चूंकि मानक फलन वलय के शून्य तत्व के लिए परिभाषित नहीं है, हम बहुपद f(x) = 0 की  घात को भी अपरिभाषित करने के लिए विचार करते हैं ताकि यह यूक्लिडियन डोमेन में मानक के नियमों का पालन करे।
 ==यह भी देखें==
@@ Line 505: / Line 505: @@
 *कैमरा
 *माइक्रोस्कोप
-*इंजीनियरिंग के चित्र
+*इंजीनियवलय के चित्र
 *रेखापुंज छवि
 *नक्शा
@@ Line 543: / Line 543: @@
 *ऑप एंप
 *आवेग invariance
-*बेसेल फ़ंक्शन
+*बेसेल फलन
 *जटिल सन्युग्म
 *संकेत प्रतिबिंब
@@ Line 615: / Line 615: @@
 *परीक्षण के अंतर्गत उपकरण
 *कंघी फिल्टर
-*निष्क्रियता (इंजीनियरिंग)
+*निष्क्रियता (इंजीनियवलय)
 *लाभ (इलेक्ट्रॉनिक्स)
 *कोने की आवृत्ति
@@ Line 631: / Line 631: @@
 *अपवर्तन तरंग
 *एकतरफा बहुपद
-*एकपदी की डिग्री
+*एकपदी की  घात
 *एक बहुपद का क्रम (बहुविकल्पी)
 *रैखिक प्रकार्य
@@ Line 642: / Line 642: @@
 *फील्ड (गणित)
 *सेट (गणित)
-*अंगूठी (गणित)
+*वलय (गणित)
 *पूर्णांक मॉड्यूल n
 *लोगारित्म

v t e बहुपद और बहुपद कार्य
डिग्री	शून्य बहुपद (डिग्री अपरिभाषित या −1 या and) निरंतर कार्य (0) रैखिक फ़ंक्शन (1) रेखीय समीकरण द्विघात कार्य (2) द्विघात समीकरण क्यूबिक फंक्शन (3) घन समीकरण चतुर्थक कार्य (4) चतुर्थक समीकरण क्विंटिक फंक्शन (5) सेक्स्टिक समीकरण (6) सेप्टिक समीकरण (7)
गुणों से	Univariate bivariate बहुभिन्नरूपी मोनोमियल बिनोमियल ट्रिनोमियल irreducible वर्ग-मुक्त सजातीय quasi-homogenous
औजार और एल्गोरिदम	कारक सबसे बड़ा आम भाजक डिवीजन हॉर्नर की मूल्यांकन की विधि परिणामी भेदभावपूर्ण Gröbner आधार

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Contents

घात के अनुसार बहुपदों के नाम

उदाहरण

बहुपद संचालन के तहत व्यवहार

जोड़

गुणन

रचना

शून्य बहुपद की घात

फलन मान से गणना

दो या दो से अधिक चरों वाले बहुपदों का विस्तार

अमूर्त बीजगणित में घात फलन

यह भी देखें

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शून्य बहुपद की घात

फलन मान से गणना

दो या दो से अधिक चरों वाले बहुपदों का विस्तार

अमूर्त बीजगणित में घात फलन

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