अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरण: Difference between revisions

Revision as of 16:27, 23 July 2023

गणित में, क्रम $n$ का एक अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरण एक आंशिक अवकल समीकरण (PDE) है, जो मोटे तौर पर बोलते हुए, पहले $n-1$ डेरिवेटिव के लिए एक अच्छी तरह से प्रस्तुत प्रारंभिक मूल्य समस्या है। अधिक सटीक रूप से कॉची समस्या को किसी भी गैर-विशेषता हाइपरसर्फेस के साथ मनमाने ढंग से प्रारंभिक डेटा के लिए स्थानीय रूप से हल किया जा सकता है। यांत्रिकी के कई समीकरण अतिपरवलयिक हैं, और इसलिए अतिपरवलयिक समीकरणों का अध्ययन समकालीन रुचि का विषय है। मॉडल अतिपरवलयिक समीकरण तरंग समीकरण है। एक स्थानिक आयाम में, यह है

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}

समीकरण में यह गुण है कि, यदि

u

और इसके पहली बार व्युत्पन्न को लाइन

t = 0

(पर्याप्त चिकनाई गुणों के साथ) पर मनमाने ढंग से प्रारंभिक डेटा निर्दिष्ट किया जाता है, तो सभी समय

t

के लिए एक समाधान मौजूद है।

अतिपरवलयिक समीकरणों के समाधान "तरंग-सदृश" होते हैं। यदि अतिपरवलयिक अवकल समीकरण के प्रारंभिक डेटा में गड़बड़ी की जाती है, तो अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु पर एक बार में गड़बड़ी महसूस नहीं होती है। एक निश्चित समय समन्वय के सापेक्ष, गड़बड़ी की एक सीमित प्रसार गति होती है। वे समीकरण की विशेषताओं के साथ यात्रा करते हैं। यह विशेषता गुणात्मक रूप से अतिपरवलयिक समीकरणों को दीर्घवृत्तीय आंशिक अवकल समीकरणों और परवलयिक आंशिक अवकल समीकरणों से अलग करती है। किसी दीर्घवृत्तीय या परवलयिक समीकरण के प्रारंभिक (या सीमा) डेटा की गड़बड़ी अनिवार्य रूप से डोमेन के सभी बिंदुओं द्वारा एक बार में महसूस की जाती है।

यद्यपि अतिशयोक्ति की परिभाषा मौलिक रूप से गुणात्मक है, ऐसे सटीक मानदंड हैं जो विचाराधीन विशेष प्रकार के अवकल समीकरण पर निर्भर करते हैं। माइक्रोलोकल विश्लेषण के संदर्भ में, लार्स गार्डिंग के कारण, रैखिक अंतर संक्रियकों के लिए एक अच्छी तरह से विकसित सिद्धांत है। गैररेखीय विभेदक समीकरण अतिपरवलयिक होते हैं यदि उनके रैखिककरण गार्डिंग के अर्थ में अतिपरवलयिक हों। संरक्षण नियम (भौतिकी) की प्रणालियों से आने वाले समीकरणों की प्रथम क्रम प्रणालियों के लिए कुछ अलग सिद्धांत है।

परिभाषा

एक आंशिक अवकल समीकरण एक बिंदु $P$ पर अतिपरवलयिक है, बशर्ते कि कॉची समस्या $P$ से गुजरने वाले गैर-विशेषता हाइपरसतह पर दिए गए किसी भी प्रारंभिक डेटा के लिए $P$ के पड़ोस में विशिष्ट रूप से हल करने योग्य हो। यहां निर्धारित प्रारंभिक डेटा में अवकल समीकरण के क्रम से एक कम तक सतह पर फ़ंक्शन के सभी (अनुप्रस्थ) डेरिवेटिव शामिल हैं।

उदाहरण

चरों के रैखिक परिवर्तन द्वारा किसी भी समीकरण का रूप

A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(lower order derivative terms)}}=0

साथ

B^{2}-AC>0

निचले क्रम के शब्दों के अलावा, जो समीकरण की गुणात्मक समझ के लिए आवश्यक हैं, तरंग समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है।^[1]^: 400 यह परिभाषा एक समतल हाइपरबोला की परिभाषा के अनुरूप है।

एक आयामी तरंग समीकरण:

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0

अतिपरवलयिक समीकरण का एक उदाहरण है. द्वि-आयामी और त्रि-आयामी तरंग समीकरण भी अतिपरवलयिक पीडीई की श्रेणी में आते हैं। इस प्रकार के दूसरे क्रम के अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरण को पहले क्रम के अवकल समीकरणों की अतिपरवलयिक प्रणाली में बदला जा सकता है।^[1]^: 402

आंशिक अवकल समीकरणों की अतिपरवलयिक प्रणाली

निम्नलिखित $s$ अज्ञात फलन ${\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})$ , ${\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)$ , के लिए $s$ प्रथम क्रम आंशिक अवकल समीकरणों की एक प्रणाली है जहां ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}$ :

{\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\vec {f}}^{j}({\vec {u}})=0,

(∗)

जहां ${\vec {f}}^{j}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s}),j=1,\ldots ,d$ एक बार सामान्य रूप से लगातार अलग-अलग विभेदक कार्य गैर-रेखीय होते हैं।

प्रत्येक ${\vec {f}}^{j}$ के लिए अगला, $s\times s$ जैकोबियन मैट्रिक्स को परिभाषित करें

A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ for }}j=1,\ldots ,d.

सिस्टम (∗) हाइपरबो

\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R}

है, मैट्रिक्स

A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}

में केवल वास्तविक संख्या है और यह विकर्णीय मैट्रिक्स है।

यदि मैट्रिक्स $A$ में $s$ विशिष्ट वास्तविक eigenvalues हैं, तो यह इस प्रकार है कि यह विकर्ण योग्य है। इस मामले में सिस्टम (∗) को सख्ती से अतिपरवलयिक कहा जाता है।

यदि मैट्रिक्स $A$ सममित है, तो यह इस प्रकार है कि यह विकर्णीय है और स्वदेशी मान वास्तविक हैं। इस मामले में प्रणाली (∗) को सममित अतिपरवलयिक कहा जाता है।

अतिपरवलयिक प्रणाली और संरक्षण नियम

अतिपरवलयिक प्रणाली और संरक्षण नियम के बीच एक संबंध है। एक अज्ञात फलन $u=u({\vec {x}},t)$ के लिए एक आंशिक अवकल समीकरण की अतिपरवलयिक प्रणाली पर विचार करें। तब सिस्टम (∗) का रूप होता है

{\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{f^{j}}(u)=0.

(∗∗)

यहां $u$ की व्याख्या एक ऐसी मात्रा के रूप में की जा सकती है जो ${\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})$ द्वारा दिए गए फ्लक्स के अनुसार घूमती है। यह देखने के लिए कि मात्रा $u$ संरक्षित है अभिन्न ∗∗ को एक डोमेन $\Omega$ पर एकीकृत करें।

\int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)\,d\Omega =0.

यदि

u

और

{\vec {f}}

पर्याप्त रूप से सुचारू कार्य हैं तो हम विचलन प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं और सामान्य रूप में मात्रा

u

के लिए संरक्षण नियम प्राप्त करने के लिए एकीकरण और

\partial /\partial t

के क्रम को बदल सकते हैं।

{\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }u\,d\Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}\,d\Gamma =0,

जिसका अर्थ है कि डोमेन

\Omega

में

u

के परिवर्तन की समय दर इसकी सीमा

\partial \Omega

के माध्यम से

u

के शुद्ध प्रवाह के बराबर है। चूँकि यह एक समानता है, इसलिए यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि

u

\Omega

के भीतर संरक्षित है।

यह भी देखें

दीर्घवृत्तीय आंशिक अवकल समीकरण
हाइपोएलिप्टिक संक्रियक
परवलयिक आंशिक अवकल समीकरण

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics, vol. 19 (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/019, ISBN 978-0-8218-4974-3, MR 2597943, OCLC 465190110

अग्रिम पठन

A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

बाहरी संबंध

"Hyperbolic partial differential equation, numerical methods", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Linear Hyperbolic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Nonlinear Hyperbolic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

[Evans_1998-1] 1.0 ^1.1 Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics, vol. 19 (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/019, ISBN 978-0-8218-4974-3, MR 2597943, OCLC 465190110

[1]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Type of partial differential equations}}
 {{more footnotes|date=March 2012}}
-गणित में, क्रम का एक अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण <math>n</math> एक आंशिक अंतर समीकरण (पीडीई) है, जिसमें मोटे तौर पर पहले के लिए एक अच्छी तरह से प्रस्तुत [[प्रारंभिक मूल्य समस्या]] है <math>n - 1</math> व्युत्पन्न। अधिक सटीक रूप से, [[कॉची समस्या]] को किसी भी गैर-विशेषता [[ऊनविम पृष्ठ]] के साथ मनमाने ढंग से प्रारंभिक डेटा के लिए स्थानीय रूप से हल किया जा सकता है। [[यांत्रिकी]] के कई समीकरण अतिपरवलयिक हैं, और इसलिए अतिशयोक्तिपूर्ण समीकरणों का अध्ययन समकालीन रुचि का विषय है। मॉडल अतिपरवलयिक समीकरण [[तरंग समीकरण]] है। एक स्थानिक आयाम में, यह है
+गणित में, क्रम <math>n</math> का एक '''अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरण''' एक आंशिक अवकल समीकरण (PDE) है, जो मोटे तौर पर बोलते हुए, पहले <math>n - 1</math> डेरिवेटिव के लिए एक अच्छी तरह से प्रस्तुत प्रारंभिक मूल्य समस्या है। अधिक सटीक रूप से  [[कॉची समस्या]] को किसी भी गैर-विशेषता हाइपरसर्फेस के साथ मनमाने ढंग से प्रारंभिक डेटा के लिए स्थानीय रूप से हल किया जा सकता है। [[यांत्रिकी]] के कई समीकरण अतिपरवलयिक हैं, और इसलिए अतिपरवलयिक समीकरणों का अध्ययन समकालीन रुचि का विषय है। मॉडल अतिपरवलयिक समीकरण तरंग समीकरण है। एक स्थानिक आयाम में, यह है
 <math display="block">\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} </math>
-समीकरण में यह गुण है कि, यदि {{mvar|''u''}} और इसका पहली बार व्युत्पन्न लाइन पर मनमाने ढंग से निर्दिष्ट प्रारंभिक डेटा है {{math|1=''t'' = 0}} (पर्याप्त चिकनाई गुणों के साथ), तो हर समय के लिए एक समाधान मौजूद है {{mvar|t}}.
+समीकरण में यह गुण है कि, यदि {{mvar|''u''}} और इसके पहली बार व्युत्पन्न को लाइन {{math|1=''t'' = 0}} (पर्याप्त चिकनाई गुणों के साथ) पर मनमाने ढंग से प्रारंभिक डेटा निर्दिष्ट किया जाता है, तो सभी समय {{mvar|t}} के लिए एक समाधान मौजूद है।
-अतिशयोक्तिपूर्ण समीकरणों के समाधान तरंग-जैसे होते हैं। यदि हाइपरबोलिक डिफरेंशियल समीकरण के प्रारंभिक डेटा में गड़बड़ी की जाती है, तो अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु पर एक बार में गड़बड़ी महसूस नहीं होती है। एक निश्चित समय समन्वय के सापेक्ष, गड़बड़ी की एक सीमित [[प्रसार गति]] होती है। वे समीकरण की [[विशेषताओं की विधि]] के साथ यात्रा करते हैं। यह विशेषता गुणात्मक रूप से अतिशयोक्तिपूर्ण समीकरणों को अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरणों और परवलयिक आंशिक अंतर समीकरणों से अलग करती है। किसी अण्डाकार या परवलयिक समीकरण के प्रारंभिक (या सीमा) डेटा की गड़बड़ी अनिवार्य रूप से डोमेन के सभी बिंदुओं द्वारा एक बार में महसूस की जाती है।
+अतिपरवलयिक समीकरणों के समाधान "तरंग-सदृश" होते हैं। यदि अतिपरवलयिक अवकल समीकरण के प्रारंभिक डेटा में गड़बड़ी की जाती है, तो अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु पर एक बार में गड़बड़ी महसूस नहीं होती है। एक निश्चित समय समन्वय के सापेक्ष, गड़बड़ी की एक सीमित प्रसार गति होती है। वे समीकरण की विशेषताओं के साथ यात्रा करते हैं। यह विशेषता गुणात्मक रूप से अतिपरवलयिक समीकरणों को दीर्घवृत्तीय आंशिक अवकल समीकरणों और परवलयिक आंशिक अवकल समीकरणों से अलग करती है। किसी दीर्घवृत्तीय या परवलयिक समीकरण के प्रारंभिक (या सीमा) डेटा की गड़बड़ी अनिवार्य रूप से डोमेन के सभी बिंदुओं द्वारा एक बार में महसूस की जाती है।
-यद्यपि अतिशयोक्ति की परिभाषा मौलिक रूप से गुणात्मक है, ऐसे सटीक मानदंड हैं जो विचाराधीन विशेष प्रकार के अंतर समीकरण पर निर्भर करते हैं। [[माइक्रोलोकल विश्लेषण]] के संदर्भ में, लार्स गार्डिंग के कारण, रैखिक अंतर ऑपरेटरों के लिए एक अच्छी तरह से विकसित सिद्धांत है। गैररेखीय विभेदक समीकरण अतिपरवलयिक होते हैं यदि उनके रैखिककरण गार्डिंग के अर्थ में अतिपरवलयिक हों। [[संरक्षण कानून (भौतिकी)]] की प्रणालियों से आने वाले समीकरणों की प्रथम क्रम प्रणालियों के लिए कुछ अलग सिद्धांत है।
+यद्यपि अतिशयोक्ति की परिभाषा मौलिक रूप से गुणात्मक है, ऐसे सटीक मानदंड हैं जो विचाराधीन विशेष प्रकार के अवकल समीकरण पर निर्भर करते हैं। [[माइक्रोलोकल विश्लेषण]] के संदर्भ में, लार्स गार्डिंग के कारण, रैखिक अंतर संक्रियकों के लिए एक अच्छी तरह से विकसित सिद्धांत है। गैररेखीय विभेदक समीकरण अतिपरवलयिक होते हैं यदि उनके रैखिककरण गार्डिंग के अर्थ में अतिपरवलयिक हों। [[संरक्षण कानून (भौतिकी)|संरक्षण नियम (भौतिकी)]] की प्रणालियों से आने वाले समीकरणों की प्रथम क्रम प्रणालियों के लिए कुछ अलग सिद्धांत है।
 == परिभाषा ==
-एक आंशिक अवकल समीकरण एक बिंदु पर अतिपरवलयिक होता है <math>P</math> बशर्ते कि कॉची समस्या पड़ोस में विशिष्ट रूप से हल करने योग्य हो <math>P</math> किसी गैर-विशेषतापूर्ण हाइपरसतह से गुजरने पर दिए गए किसी भी प्रारंभिक डेटा के लिए <math>P</math>.<ref name="Rozhdestvenskii">{{eom|id=H/h048300|first=B.L.|last= Rozhdestvenskii}}</ref> यहां निर्धारित प्रारंभिक डेटा में अंतर समीकरण के क्रम से एक कम तक सतह पर फ़ंक्शन के सभी (अनुप्रस्थ) डेरिवेटिव शामिल हैं।
+एक आंशिक अवकल समीकरण एक बिंदु <math>P</math> पर अतिपरवलयिक है, बशर्ते कि कॉची समस्या <math>P</math> से गुजरने वाले गैर-विशेषता हाइपरसतह पर दिए गए किसी भी प्रारंभिक डेटा के लिए <math>P</math> के पड़ोस में विशिष्ट रूप से हल करने योग्य हो। यहां निर्धारित प्रारंभिक डेटा में अवकल समीकरण के क्रम से एक कम तक सतह पर फ़ंक्शन के सभी (अनुप्रस्थ) डेरिवेटिव शामिल हैं।
 == उदाहरण ==
-चरों के रैखिक परिवर्तन से, किसी भी समीकरण का रूप
+चरों के रैखिक परिवर्तन द्वारा किसी भी समीकरण का रूप
 <math display="block"> A\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2B\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} + C\frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \text{(lower order derivative terms)} = 0</math>
 साथ
 <math display="block"> B^2 - A C > 0</math>
-निचले क्रम के शब्दों के अलावा, तरंग समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है जो समीकरण की गुणात्मक समझ के लिए आवश्यक हैं।<ref name="Evans 1998"/>{{rp|p=400}} यह परिभाषा समतल हाइपरबोला#द्विघात समीकरण की परिभाषा के अनुरूप है।
+निचले क्रम के शब्दों के अलावा, जो समीकरण की गुणात्मक समझ के लिए आवश्यक हैं, तरंग समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है।<ref name="Evans 1998"/>{{rp|p=400}}  यह परिभाषा एक समतल हाइपरबोला की परिभाषा के अनुरूप है।
 एक आयामी तरंग समीकरण:
 <math display="block">\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0</math>
-अतिपरवलयिक समीकरण का एक उदाहरण है. द्वि-आयामी और त्रि-आयामी तरंग समीकरण भी अतिशयोक्तिपूर्ण पीडीई की श्रेणी में आते हैं। इस प्रकार के दूसरे क्रम के हाइपरबोलिक आंशिक अंतर समीकरण को पहले क्रम के अंतर समीकरणों की हाइपरबोलिक प्रणाली में बदला जा सकता है।<ref name="Evans 1998">{{Citation | last1=Evans | first1=Lawrence C. | title=Partial differential equations | orig-year=1998 | url=https://www.worldcat.org/oclc/465190110 | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | edition=2nd | series=[[Graduate Studies in Mathematics]] | isbn=978-0-8218-4974-3 |mr=2597943 | year=2010 | volume=19 | doi=10.1090/gsm/019| oclc=465190110 }}</ref>{{rp|p=402}}
+अतिपरवलयिक समीकरण का एक उदाहरण है. द्वि-आयामी और त्रि-आयामी तरंग समीकरण भी अतिपरवलयिक पीडीई की श्रेणी में आते हैं। इस प्रकार के दूसरे क्रम के अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरण को पहले क्रम के अवकल समीकरणों की अतिपरवलयिक प्रणाली में बदला जा सकता है।<ref name="Evans 1998">{{Citation | last1=Evans | first1=Lawrence C. | title=Partial differential equations | orig-year=1998 | url=https://www.worldcat.org/oclc/465190110 | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | edition=2nd | series=[[Graduate Studies in Mathematics]] | isbn=978-0-8218-4974-3 |mr=2597943 | year=2010 | volume=19 | doi=10.1090/gsm/019| oclc=465190110 }}</ref>{{rp|p=402}}
-== आंशिक अंतर समीकरणों की अतिशयोक्तिपूर्ण प्रणाली ==
+== आंशिक अवकल समीकरणों की अतिपरवलयिक प्रणाली ==
-निम्नलिखित की एक प्रणाली है <math>s</math> प्रथम कोटि के आंशिक अवकल समीकरण <math>s</math> अज्ञात [[फ़ंक्शन (गणित)]]एस {{nowrap|<math> \vec u = (u_1, \ldots, u_s) </math>,}} {{nowrap|<math> \vec u = \vec u (\vec x,t)</math>,}} कहाँ {{nowrap|<math>\vec x \in \mathbb{R}^d</math>:}}
+निम्नलिखित <math>s</math> अज्ञात फलन  {{nowrap|<math> \vec u = (u_1, \ldots, u_s) </math>,}} {{nowrap|<math> \vec u = \vec u (\vec x,t)</math>,}} के लिए <math>s</math> प्रथम क्रम आंशिक अवकल समीकरणों की एक प्रणाली है जहां {{nowrap|<math>\vec x \in \mathbb{R}^d</math>:}}
 {{NumBlk||<math display="block"> \frac{\partial \vec u}{\partial t}
   + \sum_{j=1}^d \frac{\partial}{\partial x_j}
@@ Line 32: / Line 32: @@
 </math>|{{EquationRef|∗}}}}
-कहाँ <math>\vec {f}^j \in C^1(\mathbb{R}^s, \mathbb{R}^s), j = 1, \ldots, d</math> एक बार [[सतत कार्य]] [[विभेदक कार्य]] कार्य, सामान्य रूप से [[अरेखीय]] होते हैं।
+जहां <math>\vec {f}^j \in C^1(\mathbb{R}^s, \mathbb{R}^s), j = 1, \ldots, d</math> एक बार सामान्य रूप से लगातार अलग-अलग [[विभेदक कार्य]] [[अरेखीय|गैर-रेखीय]] होते हैं।
-अगला, प्रत्येक के लिए <math>\vec {f}^j</math> को परिभाषित करो <math>s \times s</math> [[जैकोबियन मैट्रिक्स]]
+प्रत्येक <math>\vec {f}^j</math> के लिए अगला, <math>s \times s</math> [[जैकोबियन मैट्रिक्स]] को परिभाषित करें
 <math display="block">A^j :=
 \begin{pmatrix}
@@ Line 42: / Line 42: @@
 \end{pmatrix}
 ,\text{ for }j = 1, \ldots, d.</math>
-प्रणाली ({{EquationNote|∗}}) यदि सभी के लिए अतिपरवलयिक है <math>\alpha_1, \ldots, \alpha_d \in \mathbb{R}</math> गणित का सवाल <math>A := \alpha_1 A^1 + \cdots + \alpha_d A^d</math>
+सिस्टम ({{EquationNote|∗}}) हाइपरबो <math>\alpha_1, \ldots, \alpha_d \in \mathbb{R}</math> है, मैट्रिक्स <math>A := \alpha_1 A^1 + \cdots + \alpha_d A^d</math> में केवल [[वास्तविक संख्या]] है और यह [[विकर्णीय मैट्रिक्स]] है।
-इसमें केवल [[वास्तविक संख्या]] [[eigenvalue]]s है और यह [[विकर्णीय मैट्रिक्स]] है।
-यदि मैट्रिक्स <math>A</math> है {{mvar|s}} विशिष्ट वास्तविक eigenvalues, इसका तात्पर्य यह है कि यह विकर्णीय है। इस मामले में सिस्टम ({{EquationNote|∗}}) को पूर्णतः अतिशयोक्तिपूर्ण कहा जाता है।
+यदि मैट्रिक्स <math>A</math> में {{mvar|s}} विशिष्ट वास्तविक eigenvalues हैं, तो यह इस प्रकार है कि यह विकर्ण योग्य है। इस मामले में सिस्टम ({{EquationNote|∗}}) को सख्ती से अतिपरवलयिक कहा जाता है।
-यदि मैट्रिक्स <math>A</math> सममित है, इसका तात्पर्य यह है कि यह विकर्णीय है और eigenvalues वास्तविक हैं। इस मामले में सिस्टम ({{EquationNote|∗}}) को सममित अतिशयोक्तिपूर्ण कहा जाता है।
+यदि मैट्रिक्स <math>A</math> सममित है, तो यह इस प्रकार है कि यह विकर्णीय है और स्वदेशी मान वास्तविक हैं। इस मामले में प्रणाली ({{EquationNote|∗}}) को सममित अतिपरवलयिक कहा जाता है।
-== अतिशयोक्तिपूर्ण प्रणाली और संरक्षण कानून ==
+== अतिपरवलयिक प्रणाली और संरक्षण नियम ==
-एक अतिशयोक्तिपूर्ण प्रणाली और एक संरक्षण कानून (भौतिकी) के बीच एक संबंध है। एक अज्ञात फलन के लिए एक आंशिक अवकल समीकरण की अतिपरवलयिक प्रणाली पर विचार करें <math>u = u(\vec x, t)</math>. फिर सिस्टम ({{EquationNote|∗}}) का रूप है
+अतिपरवलयिक प्रणाली और संरक्षण नियम के बीच एक संबंध है। एक अज्ञात फलन <math>u = u(\vec x, t)</math> के लिए एक आंशिक अवकल समीकरण की अतिपरवलयिक प्रणाली पर विचार करें। तब सिस्टम ({{EquationNote|∗}}) का रूप होता है
 {{NumBlk||<math display="block"> \frac{\partial u}{\partial t}
   + \sum_{j=1}^d \frac{\partial}{\partial x_j}
@@ Line 57: / Line 56: @@
 </math>|{{EquationRef|∗∗}}}}
-यहाँ, <math>u</math> इसकी व्याख्या एक ऐसी मात्रा के रूप में की जा सकती है जो दिए गए प्रवाह के अनुसार घूमती है <math>\vec f = (f^1, \ldots, f^d)</math>. यह देखने के लिए कि मात्रा क्या है <math>u</math> संरक्षित है, [[अभिन्न]] ({{EquationNote|∗∗}}) एक डोमेन पर <math>\Omega</math>
+यहां <math>u</math> की व्याख्या एक ऐसी मात्रा के रूप में की जा सकती है जो <math>\vec f = (f^1, \ldots, f^d)</math> द्वारा दिए गए फ्लक्स के अनुसार घूमती है। यह देखने के लिए कि मात्रा <math>u</math> संरक्षित है [[अभिन्न]] {{EquationNote|∗∗}} को एक डोमेन <math>\Omega</math> पर एकीकृत करें।
 <math display="block">\int_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial t} \, d\Omega + \int_{\Omega} \nabla \cdot \vec f(u)\, d\Omega = 0.</math>
-अगर <math>u</math> और <math>\vec f</math> पर्याप्त रूप से सुचारू कार्य हैं, हम [[विचलन प्रमेय]] का उपयोग कर सकते हैं और एकीकरण के क्रम को बदल सकते हैं <math>\partial / \partial t</math> मात्रा के लिए एक संरक्षण कानून प्राप्त करने के लिए <math>u</math> सामान्य रूप में
+यदि  <math>u</math> और <math>\vec f</math> पर्याप्त रूप से सुचारू कार्य हैं तो हम [[विचलन प्रमेय]] का उपयोग कर सकते हैं और सामान्य रूप में मात्रा <math>u</math> के लिए संरक्षण नियम प्राप्त करने के लिए एकीकरण और <math>\partial / \partial t</math> के क्रम को बदल सकते हैं।
 <math display="block">
 \frac{ d}{ dt} \int_{\Omega} u \, d\Omega
 + \int_{\partial\Omega} \vec f(u) \cdot \vec n \, d\Gamma = 0,
 </math>
-जिसका अर्थ है कि परिवर्तन की समय दर <math>u</math> डोमेन में <math>\Omega</math> के शुद्ध प्रवाह के बराबर है <math>u</math> इसकी सीमा के माध्यम से <math>\partial\Omega</math>. चूँकि यह एक समानता है, इसलिए यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है <math>u</math> भीतर संरक्षित है <math>\Omega</math>.
+जिसका अर्थ है कि डोमेन <math>\Omega</math> में <math>u</math> के परिवर्तन की समय दर इसकी सीमा <math>\partial\Omega</math> के माध्यम से <math>u</math> के शुद्ध प्रवाह के बराबर है। चूँकि यह एक समानता है, इसलिए यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि <math>u</math> <math>\Omega</math> के भीतर संरक्षित है।
 == यह भी देखें ==
-* अण्डाकार आंशिक अवकल समीकरण
+* दीर्घवृत्तीय आंशिक अवकल समीकरण
-* [[हाइपोएलिप्टिक ऑपरेटर]]
+* [[हाइपोएलिप्टिक ऑपरेटर|हाइपोएलिप्टिक संक्रियक]]
 * परवलयिक आंशिक अवकल समीकरण

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अतिपरवलयिक प्रणाली और संरक्षण नियम

यह भी देखें

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आंशिक अवकल समीकरणों की अतिपरवलयिक प्रणाली

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